?八年級下冊數(shù)學(xué)《第十七章 勾股定理》
專題 勾股定理與趙爽弦圖問題
（ 基礎(chǔ)題＆提升題＆壓軸題 ）
基礎(chǔ)題

1．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，觀察“趙爽弦圖”（如圖），若圖中四個全等的直角三角形的兩直角邊分別為a，b，a＜b，斜邊是c，證明勾股定理的過程中用到的等式是（　?。?br />
A．a(chǎn)（b﹣a）＝ab﹣a2 B．（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a2
C．（b﹣a）2+4×12ab＝c2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
2．（2022秋?朝陽區(qū)校級期末）公元3世紀(jì)初，中國古代數(shù)學(xué)家趙爽注《周髀算經(jīng)》時，創(chuàng)造了“趙爽弦圖”．如圖，設(shè)勾a＝3，弦c＝5，則小正方形ABCD的面積是（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2021秋?溫州期中）漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，如圖所示的弦圖中，其中四邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四個直角三角形，當(dāng)EF＝7，DE＝12時，則正方形ABCD的邊長是（　　）

A．13 B．28 C．48 D．52
4．（2022秋?衡東縣期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若ab＝24，大正方形的面積為129．則小正方形的邊長為（　　）

A．12 B．11 C．10 D．9
5．（2022春?青秀區(qū)校級期末）如圖所示的圖形表示勾股定理的一種證明方法，該方法運用了祖沖之的出入相補原理．若圖中空白部分的面積是14，整個圖形（連同空白部分）的面積是36，則大正方形ABCD的邊長是 　 　．

6．（2022秋?陽城縣期末）如圖，是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，則EF的長是 　 　．



7．我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖是由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成，若圖中正方形ABCD的邊長為14，正方形IJKL的邊長為2，且IJ∥AB，則正方形EFGH的邊長為 　 ?。?br />

8．（2022秋?西安月考）如圖，這是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝2022，則S2的值是（　　）

A．672 B．673 C．674 D．675

9．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理．在如圖所示的“趙爽弦圖”中，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD，EFGH都是正方形．若AB＝10，EF＝2，則AH的長為（　　）

A．62 B．82 C．6 D．8


10．圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若AC＝6，BC＝5，將四個直角三角形的邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是（　　）

A．49 B．51 C．76 D．96

11．（2022春?思明區(qū)校級期中）如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列結(jié)論：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正確的結(jié)論是（　?。?br />
A．①② B．②④ C．①②③ D．①③

12．（2021秋?金臺區(qū)校級月考）四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間空出的部分是一個小正方形，這樣就組成了一個“趙爽弦圖”（如圖），大正方形的面積為13，小正方形的面積為1，則組成弦圖的每個小直角三角形的兩個直角邊和為（　　）

A．5 B．7 C．25 D．3



13．（2021春?忠縣期末）本期，我們學(xué)習(xí)了用趙爽弦圖證明勾股定理．在如圖所示的趙爽弦圖中，在DH上取點M使得DM＝GH，連接AM、CM．若正方形EFGH的面積為6，則△ADM與△CDM的面積之差為（　?。?br />
A．3 B．2 C．3 D．不確定

14．（2022秋?臺江區(qū)校級期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．將Rt△ABC繞點O依次旋轉(zhuǎn)90°、180°和270°，構(gòu)成的圖形如圖1所示．該圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽制作的“勾股圓方圖”，也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國最早對勾股定理證明的記載，也成為了2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)設(shè)計的主要依據(jù)．
（1）請利用這個圖形證明勾股定理；
（2）圖2所示的徽標(biāo)，是我國古代弦圖的變形，該圖是由其中的一個Rt△ABC繞中心點O順時針連續(xù)旋轉(zhuǎn)3次，每次旋轉(zhuǎn)90°得到的，如果中間小正方形的面積為1cm2，這個圖形的總面積為113cm2，AD＝2cm，則徽標(biāo)的外圍周長為 　 　cm．



15．（2022秋?屯留區(qū)期末）閱讀與思考
閱讀下列材料，完成后面的任務(wù)：
趙爽“弦圈”與完全平方公式三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)建了一幅“弦圖”，利用面積法
給出了勾股定理的證明．實際上，該“弦圖”與完全平方公式有著密切的關(guān)系，如圖2，這是
由8個全等的直角邊長分別為a，b，斜邊長為c的三角形拼成的“弦圖”．由圖可知，1個大正方形ABCD的面積＝8個直角三角形的面積+1個小正方形PQMN的面積．
任務(wù)：
（1）在圖2中，正方形ABCD的面積可表示為 　 　，正方形PQMN的面積可表示為 　 　．（用含a，b的式子表示）
（2）根據(jù)S正方形ABCD＝8S直角三角形+S正方形PQMN，可得（a+b）2，ab，（a﹣b）2之間的關(guān)系為 　 　．
（3）根據(jù)（2）中的等量關(guān)系，解決問題：已知a+b＝5，ab＝4，求（a﹣b）2的值．










提升題

1．（2022春?包河區(qū)期末）如圖，我國古代數(shù)學(xué)家得出的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪成的大正方形，若勾為3，弦為5，則圖中四邊形ABCD的周長為 　 ?。?br />
2．（2022秋?萬州區(qū)校級期末）如圖所示的圖案是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》中“趙爽弦圖”經(jīng)修飾后的圖形，四邊形ABCD與四邊形EFGH均為正方形，點H是DE的中點，陰影部分的面積為60，則AD的長為 　 ?。?br />

3．（2022春?安慶期末）代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，構(gòu)造了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖，大正方形ABCD由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，若∠ADE＝∠AED，AD＝45，則△ADE的面積為（　　）

A．24 B．6 C．25 D．210

4．（2022?大悟縣校級開學(xué)）如圖一所示，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．在此圖形中連接四條線段得到如圖（2）所示的圖案，記陰影部分的面積為S1，空白部分的面積為S2，大正方形的邊長為m，小正方形的邊長為n，若S1＝S2，則nm的值為（　?。?br />
A．3?1 B．3?12 C．5?1 D．5?12
5．（2022?宜城市一模）如圖，我國古代數(shù)學(xué)家得出的“趙爽弦圖”，是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構(gòu)成的大正方形，直角三角形的較長邊為b，較短邊為a．若小正方形與大正方形的面積之比為1：13，則a：b＝（　?。?br />
A．2：5 B．3：5 C．2：3 D．1：3

6．（2022春?高郵市期末）趙爽的“弦圖”被譽為“中國數(shù)學(xué)界的圖騰”，它是由四個直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如圖為“弦圖”的一部分，正方形ABCD的邊長為13，點M、N是正方形ABCD內(nèi)的兩點，且AM＝CN＝12，BM＝DN＝5，則MN的長為 　 　．


7．如圖，四個全等的直角三角形圍成正方形ABCD和正方形EFGH，即趙爽弦圖．連接AC，分別交EF、GH于點M，N，連接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，則圖中陰影部分的面積之和為（　　）

A．214 B．215 C．225 D．223

8．（2022?瑞安市校級開學(xué)）如圖，為四個全等的直角三角形拼成的“趙爽弦圖”．連接AC，HF相交于點O，BG與AC相交于點J．若OF＝FJ，已知S△BJC＝2，則正方形ABCD的面積為（　?。?br />
A．42+8 B．14 C．65 D．102
9．如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．在弦圖中（如圖2）連結(jié)AF，DE，并延長DE交AF于點K，連結(jié)KG．若AH＝2DH=22，則KG的長為（　　）

A．2 B．322 C．5 D．22

10．（2022春?濟寧月考）綜合與實踐．
勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對它的證明頗感興趣，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．
（1）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅如圖1所示的用4個全等的直角三角形拼成的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，AB＝c，請你利用這個圖形說明a2+b2＝c2．
（2）業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法：把兩個全等的Rt△ABC和Rt△DAE按如圖2所示的方式放置，∠DAB＝∠B＝90°，AB＝AD＝c，BC＝AE＝a，AC＝DE＝b．請你利用這個圖形說明c2+a2＝b2．（提示：連接EC，CD）







11．（2022秋?伊川縣期末）八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：將2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．
【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：
解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）．
解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）．
【感悟】對項數(shù)較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）
【類比】
（1）請用分組分解法將x2﹣a2+x+a因式分解；
【應(yīng)用】
（2）“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間是一個小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長分別是a和b（a＞b），斜邊長是3，小正方形的面積是1．根據(jù)以上信息，先將a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．





12．（2022秋?揚州期中）著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c2），也可以表示為4×12ab+（a﹣b）2，由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，則a2+b2＝c2．
（1）圖②為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖②推導(dǎo)勾股定理．
（2）如圖③，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在同一條直線上），并新修一條路CH，且CH⊥AB．測得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
（3）在第（2）問中若AB≠AC時，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，設(shè)AH＝x，求x的值．





壓軸題

1．（2022春?瑞安市期中）2002年北京國際數(shù)學(xué)家大會的會徽是一個“弦圖”（如圖1）．圖2中，點P和點Q分別是線段AE和CG上的中點，連結(jié)DP，BP，DQ，BQ，則構(gòu)成了一個“壓扁”的弦圖四邊形BQDP，若記△DHQ和△BQG的面積分別為S1，S2，且S1S2=32，正方形ABCD的面積為25，則四邊形BQDP的面積為（　?。?br />
A．12.5 B．15 C．17.5 D．20
2．（2023?桐鄉(xiāng)市校級開學(xué)）公元三世紀(jì)，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》題時給出了“趙爽弦圖”．將兩個“趙爽弦圖”（如圖1）中的兩個正方形和八個直角三角形按圖2方式擺放圍成正方形MNPQ，記空隙處正方形ABCD，正方形EFGH的面積分別為S1，S2（S1＞S2），則下列四個判斷：①S1+S2=14S四邊形MNPQ；②DG＝2AF；③若∠EMH＝30°，則S1＝3S2；④若點A是線段GF的中點，則3S1＝4S2，其中正確的序號是（　?。?br />
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③

3．（2022秋?溫州期末）如圖，大正方形ABCD由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼接而成．點E為小正方形的頂點，延長CE交AD于點F，連結(jié)BF交小正方形的一邊于點G，若△BCF為等腰三角形，AG＝5，則小正方形的面積為（　?。?br />
A．15 B．16 C．20 D．25
4．（2021秋?西湖區(qū)校級期中）如圖，四個全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成了一個大正方形ABCD，連結(jié)AC，交BE于點P，若正方形ABCD的面積為28，AE+BE＝7．則S△CFP﹣S△AEP的值是（　?。?br />
A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5
5．（2022秋?霞浦縣期中）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形（如圖1）與中間的一個小正方形拼成一個大正方形（如圖2）．

（1）利用圖2正方形面積的等量關(guān)系得出直角三角形勾股的定理，該定理的結(jié)論用字母表示：　 ??；
（2）用圖1這樣的兩個直角三角形構(gòu)造圖3的圖形，滿足AE＝BC＝a，DE＝AC＝b，AD＝AB＝c，
∠AED＝∠ACB＝90°，求證（1）中的定理結(jié)論；
（3）如圖，由四個全等的直角三角形拼成的圖形，設(shè)CE＝m，HG＝n，求正方形BDFA的面積．（用m，n表示）
6．為了突出勾股定理的價值，教科書上設(shè)計了大量的探究、驗證活動，其中用“面積法”探究勾股定理的例子枚不勝舉．受“面積法”啟發(fā)，小明認(rèn)為，利用趙爽弦圖的一部分就可以證明勾股定理．

（1）請把下面的證明過程補充完整；已知：將兩個全等的直角三角形按圖1所示拼在一起，其中∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝BD＝c，AC＝BE＝b，BC＝ED＝a，
求證：a2+b2＝c2．
證明：連接AD，過點A作AF⊥ED交DE的延長線于點F，則AF＝b﹣a．
（2）應(yīng)用：如圖2，已知等腰直角三角形紙片ABC，∠C＝90°，AC＝BC，AB=2+1．點D，E分別在邊AC，AB上，將△ABC沿DE所在直線折疊，使點A的對應(yīng)點A'正好落在邊BC上．若△A'BE為直角三角形，請直接寫出AE的長．







7．（2022?南京模擬）閱讀理解：我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖1所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”（邊長為c的大正方形中放四個全等的直角三角形，兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c）．

（1）請根據(jù)“趙爽弦圖”寫出勾股定理的推理過程；
探索研究：
（2）小亮將“弦圖”中的2個三角形進行了運動變換，得到圖2，請利用圖2證明勾股定理；
問題解決：
（3）如圖2，若a＝6，b＝8，此時空白部分的面積為 　 ；
（4）如圖3，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成風(fēng)車狀，已知外圍輪廓（實線）的周長為24，OC＝3，求該風(fēng)車狀圖案的面積．





8．（2022秋?蘇州期中）我國三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽利用四個全等的直角三角形拼成如圖1的“弦圖”（史稱“趙爽弦圖”）．
（1）弦圖中包含了一大一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長為c，結(jié)合圖1，試驗證勾股定理；
（2）如圖2，將四個全等的直角三角形緊密地拼接，形成“勾股風(fēng)車”，已知外圍輪廓（粗線）的周長為24，OC＝3，求該“勾股風(fēng)車”圖案的面積；
（3）如圖3，將八個全等的直角三角形（外圍四個和內(nèi)部四個）緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3，若S1+2S2+S3＝20，則S2＝　 ?。?br />

9．（2021春?交城縣期中）勾股定理被譽為“千古第一定理”，長期以來人們對它進行了大量的研究，找到了數(shù)百種不同的驗證方法，這些方法不但驗證了勾股定理，而且豐富了研究數(shù)學(xué)問題的方法和手段，促進了數(shù)學(xué)的發(fā)展．
某數(shù)學(xué)興趣小組受“趙爽弦圖”的啟發(fā)，對勾股定理的驗證進行了如下探究：
實踐操作
他們裁剪出若干張大小，形狀完全相同的直角三角形紙片，三邊長分別記為a，b，c，如圖（1）所示．之后分別用4張直角三角形紙片拼成如圖（2）（3）（4）所示的形狀，通過觀察推理，驗證了勾股定理．
定理驗證
（1）觀察圖（2）和圖（3）可以發(fā)現(xiàn)：①它們整體上都是邊長為 　 　的正方形；②陰影部分的面積都是由4個完全相同的直角三角形組成，所以陰影的面積為 　 ?。虎蹐D（2）中空白部分面積用不同的方法表示可得關(guān)系式 　 ?。粓D（3）中空白部分面積用不同的方法表示可得關(guān)系式 　 ??；④從而得到a2+b2＝c2．
（2）興趣小組的同學(xué)通過觀察圖（4）中正方形的個數(shù)，以及它們之間的關(guān)系，驗證了勾股定理，即a2+b2＝c2.請你幫他們寫出推理驗證的完整過程．
創(chuàng)新構(gòu)圖
（3）一個直立的火柴盒在平面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了一種新的證明勾股定理的方法．如圖（5）同樣是用4個完全相同的直角三角形拼成的圖形，請你利用圖中的直角梯形和等腰直角三角形證明勾股定理．








10．（2021春?市南區(qū)期中）【知識總結(jié)】幾何學(xué)為人們當(dāng)今的科學(xué)發(fā)展做出了杰出的貢獻，中國古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》有著這樣的記載：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”．這句話的意思是：“如果直角三角形兩直角邊長為3和4時，那么斜邊的長為5”．上述記載表明了：在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c三者之間的數(shù)量關(guān)系是：a2+b2＝c2．
用四個全等的直角三角形拼成如圖①所示的大正方形，中間也是一個正方形．它是美麗的“趙爽弦圖”．其中四個直角三角形的直角邊長分別為a，b（a＜b），斜邊長為c．
【溫故知新】（1）如圖①，求證：a2+b2＝c2；
【問題解決】（2）如圖②，將這四個全等的直角三角形無縫隙無重疊地拼接在一起，得到圖形ABCDEFGH．若該圖形的周長為48，OH＝6．求該圖形的面積；
（3）如圖③，將八個全等的直角三角形緊密地拼接成正方形PQMN，記正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面積分別為S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝24，則S2＝　 ?。?br /> （4）如圖④，把矩形ABCD折疊，使點C與點A重合，折痕為EF，如果AB＝4，BC＝8，求BE的長．










11．（2022?南京模擬）北師大版初中數(shù)學(xué)教科書七年級下冊第23頁告訴我們，對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式．例如由圖①可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，這樣就用圖形面積驗證了完全平方公式．
請解答下列問題：
（1）類似地，寫出圖②中所表示的數(shù)學(xué)等式 　 ??；
（2）如圖③的圖案被稱為“趙爽弦圖”，是3世紀(jì)我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，它表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．這個圖案被選為2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會徽．此圖由四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中空的部分是一個小正方形．已知直角三角形的兩直角邊分別為a，b，若a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求大正方形的面積；
（3）如圖④，在邊長為m（m＞2）的正方形ABCD各邊上分別截取AE＝BF＝CG＝DH＝1，當(dāng)∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°時，求正方形MNPQ的面積．





12．（2022春?開封期末）如圖①是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周筆算經(jīng)》時給出的趙爽弦圖，是用四個全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成的一個大正方形ABCD．
問題發(fā)現(xiàn)：
如圖①，若直角三角形斜邊AB的長為5，直角邊AG的長為4，則DE的長為 　 　．
知識遷移：
已知正方形ABCD，點P是直線CD上一動點，連接BP，分別過點A，C，D向直線BP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，G．
（1）如圖②，若點P在邊CD上，則線段BE和線段FG的數(shù)量關(guān)系為 　 ?。?br /> （2）如圖③，若點P在CD的延長線上，（1）中結(jié)論是否成立？請說明理由．
（3）當(dāng)直線BP與正方形ABCD一邊的夾角為60°時，若FG＝3，請直接寫出正方形ABCD的面積．















八年級下冊數(shù)學(xué)《第十七章 勾股定理》
專題 勾股定理與趙爽弦圖問題答案
（ 基礎(chǔ)題＆提升題＆壓軸題 ）
基礎(chǔ)題

1．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，觀察“趙爽弦圖”（如圖），若圖中四個全等的直角三角形的兩直角邊分別為a，b，a＜b，斜邊是c，證明勾股定理的過程中用到的等式是（　?。?br />
A．a(chǎn)（b﹣a）＝ab﹣a2 B．（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a2
C．（b﹣a）2+4×12ab＝c2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【分析】用等面積法，大的正方形面積等于小正方形的面積與4個直角三角形面積之和，列等式化簡即可證明，則可得出答案．
【解答】解：根據(jù)題意得，大正方形面積：c2，
小正方形面積：（b﹣a）2，
4個直角三角形面積之和：4×a×b×12=2ab，
∵大正方形面積等于小正方形的面積與4個直角三角形面積之和，
∴（b﹣a）2+2ab＝c2，
∴a2+b2＝c2．
故選：C．
【點評】本題考查了勾股定理的證明，用等面積法列出等式，并化簡是解本題的關(guān)鍵．
2．（2022秋?朝陽區(qū)校級期末）公元3世紀(jì)初，中國古代數(shù)學(xué)家趙爽注《周髀算經(jīng)》時，創(chuàng)造了“趙爽弦圖”．如圖，設(shè)勾a＝3，弦c＝5，則小正方形ABCD的面積是（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】應(yīng)用勾股定理和正方形的面積公式可求解．
【解答】解：∵勾a＝3，弦c＝5，
∴股b=52?32=4，
∴小正方形的邊長＝4﹣3＝1，
∴小正方形的面積＝12＝1，
故選：A．
【點評】本題運用了勾股定理和正方形的面積公式，關(guān)鍵是運用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．
3．（2021秋?溫州期中）漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，如圖所示的弦圖中，其中四邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四個直角三角形，當(dāng)EF＝7，DE＝12時，則正方形ABCD的邊長是（　?。?br />
A．13 B．28 C．48 D．52
【分析】在直角△ABF中，利用勾股定理進行解答即可．
【解答】解：依題意知，BG＝AF＝DE＝12，EF＝FG＝7，
∴BF＝BG﹣FG＝5，
直角△ABF中，利用勾股定理得：
AB=AF2+BF2=122+52=13，
則正方形ABCD的邊長為13．
故選：A．
【點評】此題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是得到直角△ABF的兩直角邊的長度．
4．（2022秋?衡東縣期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若ab＝24，大正方形的面積為129．則小正方形的邊長為（　?。?br />
A．12 B．11 C．10 D．9
【分析】首先根據(jù)已知條件易得，中間小正方形的邊長為：a﹣b；結(jié)合題意可得ab＝24，a2+b2＝129，結(jié)合完全平方公式即可求出小正方形的邊長．
【解答】解：由題意可知：中間小正方形的邊長為：a﹣b，
∵ab＝24，a2+b2＝129，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝129﹣2×24＝81，
而a﹣b＞0，
∴a﹣b＝9，
故選：D．
【點評】本題考查勾股定理的應(yīng)用，完全平方公式的應(yīng)用，算術(shù)平方根的含義，解題的關(guān)鍵是熟練運用勾股定理以及完全平方公式．
5．（2022春?青秀區(qū)校級期末）如圖所示的圖形表示勾股定理的一種證明方法，該方法運用了祖沖之的出入相補原理．若圖中空白部分的面積是14，整個圖形（連同空白部分）的面積是36，則大正方形ABCD的邊長是 　 ?。?br />
【分析】設(shè)四個全等的直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊為c，根據(jù)題意列出方程組，即可求得．
【解答】解：設(shè)四個全等的直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊為c，
根據(jù)題意得c2?12ab×2=14c2+12ab×2=36，
解得：c2＝25，
解得：c＝5或﹣5（舍去），
故大正方形的邊長為5，
故答案為：5．
【點評】本題考查了勾股定理的證明，正確表示出直角三角形的面積是解題的關(guān)鍵．
6．（2022秋?陽城縣期末）如圖，是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，則EF的長是 　 ?。?br />
【分析】根據(jù)△ABE是直角三角形，用勾股定理可得AE的長，再證明四邊形HGFE是正方形，根據(jù)勾股定理，即可求出HF的長．
【解答】解：∵△ABE是直角三角形，AE＝10，BE＝24，

根據(jù)勾股勾股定理，可得AB=AE2+BE2=26，
∵此圖是由四個全等的直角三角形拼接而成，
∴CH＝BE＝DF＝AG＝24，AE＝BH＝CF＝DG＝10，
∴HE＝HF＝GF＝EG＝14，
∵∠AHD＝90°，
∴∠GHE＝90°，
∴四邊形HGFE是正方形，
根據(jù)勾股定理，可得EF=EG2+GF2=142，
故答案為：142．
【點評】本題考查了勾股定理，熟練掌握并靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
7．我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖是由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成，若圖中正方形ABCD的邊長為14，正方形IJKL的邊長為2，且IJ∥AB，則正方形EFGH的邊長為 　 ?。?br />
【分析】根據(jù)題意和圖形，設(shè)BE＝x，則BF＝FL＝x+2，根據(jù)正方形ABCD的邊長為14，列方程可解答．
【解答】解：設(shè)BE＝x，則BF＝FL＝x+2，
∵正方形ABCD的邊長為14，
∴BC＝14，
∴x+2+x＝14，
∴x＝6，
∴BF＝8，BE＝6，
∵∠B＝90°，
∴EF=82+62=10，
即正方形EFGH的邊長為10．
故答案為：10．
【點評】本題考查勾股定理的證明、數(shù)學(xué)常識、正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是表示四個直角三角形的直角邊．

8．（2022秋?西安月考）如圖，這是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝2022，則S2的值是（　?。?br />
A．672 B．673 C．674 D．675
【分析】根據(jù)正方形的面積和勾股定理即可求解．
【解答】解：設(shè)全等的直角三角形的兩條直角邊為a、b且a＞b，
由題意可知：
S1＝（a+b）2，S2＝a2+b2，S3＝（a﹣b）2，
因為S1+S2+S3＝2022，即
（a+b）2+a2+b2+（a﹣b）2＝2022，
3（a2+b2）＝2022，
所以3S2＝2022，
S2的值是674．
故選：C．
【點評】本題考查了正方形的面積、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是隨著正方形的邊長的變化表示面積．

9．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理．在如圖所示的“趙爽弦圖”中，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD，EFGH都是正方形．若AB＝10，EF＝2，則AH的長為（　?。?br />
A．62 B．82 C．6 D．8
【分析】由題意得，設(shè)AH＝DE＝CF＝BG＝x，則AE＝DF＝CG＝BH＝2+x，再根據(jù)勾股定理即可求解．
【解答】解：∵△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD，EFGH都是正方形．AB＝10，EF＝2，
∴設(shè)AH＝DE＝CF＝BG＝x，則AE＝DF＝CG＝BH＝2+x，
在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，
即102＝x2+（x+2）2，
整理得，x2+2x﹣48＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣8（不符合題意，舍去），
∴AH＝6．
故選：C．
【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意得到線段的關(guān)系，然后根據(jù)勾股定理列出方程并求解是解題關(guān)鍵．
10．圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若AC＝6，BC＝5，將四個直角三角形的邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是（　?。?br />
A．49 B．51 C．76 D．96
【分析】由題意∠ACB為直角，利用勾股定理求得外圍中一條邊，又由AC延伸一倍，從而求得風(fēng)車的一個輪子，進一步求得四個．
【解答】解：依題意，設(shè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”中的四個直角三角形的斜邊長為x，則
x2＝122+52＝169，
所以x＝13，
所以“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的周長是：（13+6）×4＝76．
故選：C．
【點評】本題是勾股定理在實際情況中應(yīng)用，并注意隱含的已知條件來解答此類題．

11．（2022春?思明區(qū)校級期中）如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列結(jié)論：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正確的結(jié)論是（　　）

A．①② B．②④ C．①②③ D．①③
【分析】由題意知x2+y2=49①(x?y)2=4②，①﹣②可得2xy＝45記為③，①+③得到（x+y）2＝94由此即可判斷．
【解答】解：由題意知x2+y2=49①(x?y)2=4②，
由①﹣②得2xy＝45 ③，
∴2xy+4＝49，
①+③得x2+2xy+y2＝94，
∴（x+y）2＝94，
∴x+y=94．
∴結(jié)論①②③正確，④錯誤．
故選：C．
【點評】本題考查勾股定理，全等圖形以及完全平方公式的幾何背景等知識，解題的關(guān)鍵學(xué)會利用方程的思想解決問題，學(xué)會整體恒等變形的思想，屬于中考常考題型．

12．（2021秋?金臺區(qū)校級月考）四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間空出的部分是一個小正方形，這樣就組成了一個“趙爽弦圖”（如圖），大正方形的面積為13，小正方形的面積為1，則組成弦圖的每個小直角三角形的兩個直角邊和為（　　）

A．5 B．7 C．25 D．3
【分析】先設(shè)直角三角形的兩直角邊為a、b，然后根據(jù)題意，可以得到12ab×4＝13﹣1，a2+b2＝13，然后即可計算出（a+b）2的值，從而可以求得a+b的值．
【解答】解：設(shè)直角三角形的兩直角邊為a、b，
由題意可得，12ab×4＝13﹣1，a2+b2＝13，
∴ab＝6，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝（a2+b2）+2ab＝13+2×6＝13+12＝25，
∴a+b＝5或a+b＝﹣5（舍去），
故選：A．
【點評】本題考查勾股定理的應(yīng)用、正方形的面積、三角形的面積、完全平方公式，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解答本題的關(guān)鍵．
13．（2021春?忠縣期末）本期，我們學(xué)習(xí)了用趙爽弦圖證明勾股定理．在如圖所示的趙爽弦圖中，在DH上取點M使得DM＝GH，連接AM、CM．若正方形EFGH的面積為6，則△ADM與△CDM的面積之差為（　?。?br />
A．3 B．2 C．3 D．不確定
【分析】由趙爽弦圖可知，正方形EFGH的邊長為6，即AH﹣AE=6，AE＝CG，可得AH﹣CG=6，再表示出S△ADM﹣S△CDM，代入計算即可．
【解答】解：由趙爽弦圖可知：
正方形EFGH的邊長為6，AH＝DG＝CF＝BE，AE＝DH＝CG＝BF，
∵DM＝GH，
∴EH＝AH﹣AE＝AH﹣CG=6，
∴S△ADM﹣S△CDM
=12DM?AH?12DM?CG
=12DM?（AH﹣CG）
=12×6×6
＝3，
故選：A．
【點評】本題考查了趙爽弦圖的應(yīng)用，三角形的面積，熟練掌握趙爽弦圖中包含的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

14．（2022秋?臺江區(qū)校級期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．將Rt△ABC繞點O依次旋轉(zhuǎn)90°、180°和270°，構(gòu)成的圖形如圖1所示．該圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽制作的“勾股圓方圖”，也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國最早對勾股定理證明的記載，也成為了2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)設(shè)計的主要依據(jù)．
（1）請利用這個圖形證明勾股定理；
（2）圖2所示的徽標(biāo)，是我國古代弦圖的變形，該圖是由其中的一個Rt△ABC繞中心點O順時針連續(xù)旋轉(zhuǎn)3次，每次旋轉(zhuǎn)90°得到的，如果中間小正方形的面積為1cm2，這個圖形的總面積為113cm2，AD＝2cm，則徽標(biāo)的外圍周長為 　 　cm．

【分析】（1）從整體和部分分別表示正方形的面積即可證明；
（2）設(shè)Rt△ABC的較長直角邊為a，短直角邊為b，斜邊為c，則有a﹣b＝3，4×12ab+1=113，利于整體思想可求出斜邊c的長，從而解決問題．
【解答】（1）證明：∵正方形的邊長為c，
∴正方形的面積等于c2，
∵正方形的面積還可以看成是由4個直角三角形與1個邊長為（a﹣b）的小正方形組成的，
∴正方形的面積為：4×12ab+(a?b)2=a2+b2，
∴c2＝a2+b2；
（2）解：設(shè)Rt△ABC的較長直角邊為a，短直角邊為b，斜邊為c，
根據(jù)題意得，a﹣b＝3，4×12ab+1=113，
又∵c2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝32+112＝121，
∴c＝11cm，
故徽標(biāo)的外圍周長為：4×（11+2）＝52（cm）．
故答案為：52．
【點評】本題主要考查了勾股定理的證明，勾股定理的應(yīng)用，完全平方公式等知識，運用整體思想求出斜邊c的長，是解題的關(guān)鍵．

15．（2022秋?屯留區(qū)期末）閱讀與思考
閱讀下列材料，完成后面的任務(wù)：
趙爽“弦圈”與完全平方公式三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)建了一幅“弦圖”，利用面積法
給出了勾股定理的證明．實際上，該“弦圖”與完全平方公式有著密切的關(guān)系，如圖2，這是
由8個全等的直角邊長分別為a，b，斜邊長為c的三角形拼成的“弦圖”．由圖可知，1個大正方形ABCD的面積＝8個直角三角形的面積+1個小正方形PQMN的面積．
任務(wù)：
（1）在圖2中，正方形ABCD的面積可表示為 　 　，正方形PQMN的面積可表示為 　 　．（用含a，b的式子表示）
（2）根據(jù)S正方形ABCD＝8S直角三角形+S正方形PQMN，可得（a+b）2，ab，（a﹣b）2之間的關(guān)系為 　 　．
（3）根據(jù)（2）中的等量關(guān)系，解決問題：已知a+b＝5，ab＝4，求（a﹣b）2的值．

【分析】（1）利用正方形的面積公式即可求解；
（2）直接利用相等關(guān)系用代數(shù)式進行表示即可．
（3）將代數(shù)式的值代入上一小題的等式中求解即可．
【解答】解：（1）∵大正方形邊長為（a+b），小正方形邊長為（a﹣b），
∴大正方形面積為（a+b）2，小正方形面積為（a﹣b）2；
故答案為：（a+b）2；（a﹣b）2．
（2）根據(jù)S正方形ABCD＝8S直角三角形+S正方形PQMN，可得(a+b)2=8×12ab+(a?b)2，
故答案為：（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2．
（3）∵a+b＝5，ab＝4，
∴52＝4×4+（a﹣b）2，
∴（a﹣b）2＝9，
∴（a﹣b）2的值為9．
【點評】本題考查了趙爽“弦圈”與完全平方公式，解題關(guān)鍵是牢記并能靈活利用完全平方和與完全平方差公式進行變換．







提升題

1．（2022春?包河區(qū)期末）如圖，我國古代數(shù)學(xué)家得出的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪成的大正方形，若勾為3，弦為5，則圖中四邊形ABCD的周長為 　 ?。?br />
【分析】根據(jù)勾股定理可得CD＝4，由全等的直角三角形可求CE的長，進而可得CE，BE的長，再利用勾股定理求解BC的長，證明四邊形ABCD為平行四邊形，進而可求解．
【解答】解：如圖，DF＝3，CF＝5，∠CDF＝90°，

∴CD＝4，
∵四個直角三角形全等，
∴CE＝DF＝3，
∴BE＝DE＝CD﹣CE＝4﹣3＝1，
∴BC=BE2+CE2=10，
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∴四邊形ABCD的周長為：2（BC+CD）＝2×（10+4）＝210+8．
【點評】本題主要考查勾股定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，利用勾股定理求解線段長是解題的關(guān)鍵．

2．（2022秋?萬州區(qū)校級期末）如圖所示的圖案是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》中“趙爽弦圖”經(jīng)修飾后的圖形，四邊形ABCD與四邊形EFGH均為正方形，點H是DE的中點，陰影部分的面積為60，則AD的長為 　 ?。?br />
【分析】由四邊形ABCD與四邊形EFGH均為正方形，點H是DE的中點，可知E、F、G分別為AF、BG、CH的中點，可推出陰影部分的四個直角三角形面積相等，每一個都為正方形EFGH面積的12，從而陰影部分總面積為正方形EFGH面積的3倍，即可得正方形EFGH面積為4，繼而得DH＝EH＝AE＝2，由勾股定理可求得AD的長．
【解答】解：由四邊形ABCD與四邊形EFGH均為正方形，點H是DE的中點，可知E、F、G分別為AF、BG、CH的中點，
且AE＝EH＝DH＝HG＝CG＝FG＝BF＝EF＝BE，
∴S△AEH＝S△DHG＝S△CGF＝S△BFE=12S正方形EFGH，
∴S陰影＝3×S正方形EFGH＝60，
∴S正方形EFGH＝20，
∴EH＝DH＝25，
∴DE＝2EH＝45，
又∠AED＝90°，
∴AD=DE2+AE2=(45)2+(25)2=10．
故答案為：10，
【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，找到周圍三角形面積和中間正方形面積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

3．（2022春?安慶期末）代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，構(gòu)造了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖，大正方形ABCD由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，若∠ADE＝∠AED，AD＝45，則△ADE的面積為（　?。?br />
A．24 B．6 C．25 D．210
【分析】由已知得出AD＝AE＝AB，進而利用圖形面積的割補關(guān)系解得即可．
【解答】解：如圖：

∵∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE＝AB，
∴∠AEF＝∠ABF，
∵AF⊥BE，
∴EF＝BF=12BE，
∴GE＝AH，
∵∠GEM＝∠HAM，∠MGE＝∠MHA，
∴△GEM≌△HAM（ASA），
∴S△HAM＝S△GEM，
∴S△ADE＝S△ADH+S△DGE，
∵AD＝45，DH＝2AH，AD2＝DH2+AH2，
∴AH＝4，DH＝8，
∴DG＝GE＝4，
∴S△ADE=12×4×8+12×4×4=24，
故選：A．
【點評】本題考查了勾股定理，正確表示出直角三角形的面積是解題的關(guān)鍵．

4．（2022?大悟縣校級開學(xué)）如圖一所示，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．在此圖形中連接四條線段得到如圖（2）所示的圖案，記陰影部分的面積為S1，空白部分的面積為S2，大正方形的邊長為m，小正方形的邊長為n，若S1＝S2，則nm的值為（　?。?br />
A．3?1 B．3?12 C．5?1 D．5?12
【分析】如圖2，由題意可設(shè)AB＝CD＝x，則可以用x表示出S2，又由于S1＝S2，S1+S2＝m2，所以可以得到m與x的關(guān)系式，在直角△ABC中，利用勾股定理列出方程，得到n與x的關(guān)系，等量代換進行運算，即可解決．
【解答】解：設(shè)圖2中AB＝x，則CD＝AB＝x，
∴S△ACD=12×CD?AB=12x2，
∴S2＝4S△ACD＝2x2，
∵S1＝S2，S1+S2＝m2，
∴4x2＝m2，
∴m＝2x，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，
∴x2+（x+n）2＝m2，
∴x2+（x+n）2＝4x2，
∴x+n=3x，
∴n＝（3?1）x，
∴nm=3?12，
故選：B．

【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，設(shè)出參數(shù)，用參數(shù)表示出線段或者面積，利用勾股定理列方程，是解決本題的關(guān)鍵．
5．（2022?宜城市一模）如圖，我國古代數(shù)學(xué)家得出的“趙爽弦圖”，是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構(gòu)成的大正方形，直角三角形的較長邊為b，較短邊為a．若小正方形與大正方形的面積之比為1：13，則a：b＝（　　）

A．2：5 B．3：5 C．2：3 D．1：3
【分析】設(shè)小正方形的面積為1，大正方形的面積是13，根據(jù)勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面積，然后求四個直角三角形的面積，即可得到ab的值，然后根據(jù)（a+b）2＝a2+2ab+b2即可求得（a+b）的值；由小正方形的面積求出（b﹣a）的值，進而求出a，b的值，則可求出答案．
【解答】解：設(shè)小正方形的面積為1，大正方形的邊長為c，
∵小正方形與大正方形的面積之比為1：13，
∴大正方形的面積是13，
∴c2＝13，
∴a2+b2＝c2＝13，
∵直角三角形的面積是13?14=3，
又∵直角三角形的面積是12ab＝3，
∴ab＝6，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+2×6＝13+12＝25，
∴a+b＝5．
∵小正方形的面積為（b﹣a）2＝1，
∴b＝3，a＝2，
∴a：b＝2：3．
故選：C．
【點評】本題考查了勾股定理以及完全平方公式，正確表示出直角三角形的面積是解題的關(guān)鍵．

6．（2022春?高郵市期末）趙爽的“弦圖”被譽為“中國數(shù)學(xué)界的圖騰”，它是由四個直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如圖為“弦圖”的一部分，正方形ABCD的邊長為13，點M、N是正方形ABCD內(nèi)的兩點，且AM＝CN＝12，BM＝DN＝5，則MN的長為 　 ?。?br />
【分析】延長BM交CN于E，延長DN交AM于點F，由趙爽弦圖可知：四邊形MENF是正方形，△ABM≌△BCE≌△CDN≌△DAF，利用全等三角形的性質(zhì)可求ME＝NE＝7，再利用勾股定理可求解．
【解答】解：延長BM交CN于E，延長DN交AM于點F，

由題意知：四邊形MENF是正方形，△ABM≌△BCE≌△CDN≌△DAF，
∴AM＝BE＝CN＝DF＝12，BM＝CE＝DN＝AF，
∵BM＝DN＝5，
∴CE＝AF＝5，
∴ME＝EN＝NF＝FM＝12﹣5＝7，
∴MN=72．
故答案為：72．
【點評】本題主要考查勾股定理的證明，理解趙爽弦圖是解題的關(guān)鍵．

7．如圖，四個全等的直角三角形圍成正方形ABCD和正方形EFGH，即趙爽弦圖．連接AC，分別交EF、GH于點M，N，連接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，則圖中陰影部分的面積之和為（　?。?br />
A．214 B．215 C．225 D．223
【分析】根據(jù)正方形的面積可得正方形邊長的平方，設(shè)DH＝x，則AH＝3DH＝3x，根據(jù)勾股定理可得x的平方的值，再根據(jù)題意可得S△FGN＝S△AEM+S△CGN，然后可得陰影部分的面積之和為梯形NGFM的面積．
【解答】解：∵S正方形ABCD＝21，
∴AB2＝21，
設(shè)DH＝x，
則AH＝3DH＝3x，
∴x2+9x2＝21，
∴x2=2110，
根據(jù)題意可知：
AE＝CG＝DH＝x，CF＝AH＝3x，
∴FE＝FG＝CF﹣CG＝3x﹣x＝2x，
∴S△FGN＝2S△CGN
∵S△AEM＝S△CGN，
∴S△FGN＝S△AEM+S△CGN，
∴陰影部分的面積之和為：
S梯形NGFM=12（NG+FM）?FG
=12（EM+MF）?FG
=12FE?FG
=12×（2x）2
＝2x2
=215．
故選：B．
【點評】本題考查了勾股定理的證明、全等圖形、梯形的面積，首先要正確理解題意，然后會利用勾股定理和梯形的面積解題．

8．（2022?瑞安市校級開學(xué)）如圖，為四個全等的直角三角形拼成的“趙爽弦圖”．連接AC，HF相交于點O，BG與AC相交于點J．若OF＝FJ，已知S△BJC＝2，則正方形ABCD的面積為（　?。?br />
A．42+8 B．14 C．65 D．102
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠OFJ＝45°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠FJO＝∠FOJ＝67.5°，求得∠CJG＝∠FJO＝67.5°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BF＝FJ，求得BF＝FJ＝CG，設(shè)BF＝FJ＝CG＝x，根據(jù)三角形的面積公式得到FJ＝FO=2，求得BG＝2+2，根據(jù)正方形的面積公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵四邊形EFGH是正方形，
∴∠OFJ＝45°，
∵OF＝FJ，
∴∠FJO＝∠FOJ＝67.5°，
∴∠CJG＝∠FJO＝67.5°，
∵∠AFJ＝90°，
∴∠FAJ＝22.5°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠DCH＝22.5°，
∠AFJ＝∠AFB＝90°，
∴∠JAF＝22.5°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BAF＝22.5°，
∵AF＝AF，
∴△ABF≌△AJF（ASA），
∴BF＝FJ，
∵BF＝CG，
∴BF＝FJ＝CG，
設(shè)BF＝FJ＝CG＝x，
∵S△BJC=12BJ?CG=12×2CG?CG＝x2＝2，
∴x=2（負(fù)值舍去），
∴FJ＝FO=2，
∴FH＝2OF＝22，
∴FG=22FH＝2，
∴BG＝2+2，
∴正方形ABCD的面積＝BC2＝BG2+CG2＝（2+2）2+（2）2＝8+42．
故選：A．

【點評】本題考查了勾股定理的證明，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

9．如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．在弦圖中（如圖2）連結(jié)AF，DE，并延長DE交AF于點K，連結(jié)KG．若AH＝2DH=22，則KG的長為（　?。?br />
A．2 B．322 C．5 D．22
【分析】過點K作KM⊥CF，與CF的延長線交于點M，由圖形關(guān)系求得AE＝EF＝FG=2，再帥AK＝KF=22EF，KM＝MF=22KF求得MK與MF，進而由勾股定理求得結(jié)果．
【解答】解：過點K作KM⊥CF，與CF的延長線交于點M，

∵AH＝2DH=22，
∴AE＝DE=2，
∴EH＝HG＝GF＝EF＝22?2=2，
∴DH＝EH，
∴∠AEK＝∠HED＝∠HDE＝45°，
∴∠AEK＝∠FEK＝45°，
∵AE＝EF=2，
∴AK＝KF=22EF=1，∠AFE＝45°，
∴∠EFM＝45°，
∴MK＝MF=22KF=22，
∴KG=MK2+MG2=(22)2+(22+2)2=5．
故選：C．
【點評】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．

10．（2022春?濟寧月考）綜合與實踐．
勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對它的證明頗感興趣，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．
（1）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅如圖1所示的用4個全等的直角三角形拼成的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，AB＝c，請你利用這個圖形說明a2+b2＝c2．
（2）業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法：把兩個全等的Rt△ABC和Rt△DAE按如圖2所示的方式放置，∠DAB＝∠B＝90°，AB＝AD＝c，BC＝AE＝a，AC＝DE＝b．請你利用這個圖形說明c2+a2＝b2．（提示：連接EC，CD）

【分析】（1）根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達式；
（2）連接EC，CD，由面積的和差可求解．
【解答】解：（1）∵大正方形面積為c2，直角三角形面積為12ab，小正方形面積為（b﹣a）2，
∴c2＝4×12ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2，
即c2＝a2+b2；
（2）連接EC，CD，

∵Rt△ABC≌Rt△DAE，
∴∠ACB＝∠AED，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°＝∠BAC+∠AED，
∴∠AFE＝90°，
∴AC⊥DE，
∵四邊形ABCD的面積=12（BC+AD）×AB=ac+c22，
四邊形AECD的面積＝S△AEC+S△ACD=12AC×DE=12b2，
∴△BEC的面積＝四邊形ABCD的面積﹣四邊形AECD的面積=ac+c22?12b2=12ac?12a2，
∴c2+a2＝b2．
【點評】本題考查勾股定理，掌握三角形和正方形面積計算公式是解決問題的關(guān)鍵．

11．（2022秋?伊川縣期末）八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：將2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．
【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：
解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）．
解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）．
【感悟】對項數(shù)較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）
【類比】
（1）請用分組分解法將x2﹣a2+x+a因式分解；
【應(yīng)用】
（2）“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間是一個小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長分別是a和b（a＞b），斜邊長是3，小正方形的面積是1．根據(jù)以上信息，先將a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．

【分析】（1）用分組分解法將x2﹣a2+x+a因式分解即可；
（2）先將a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值即可．
【解答】解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a）
＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）
＝（x+a）（x﹣a+1）；
（2）原式＝（a4+2a2b2+b4）﹣（2ab3+2a3b）
＝（a2+b2）2﹣2ab（a2+b2）
＝（a2+b2）（a2+b2﹣2ab）
＝（a2+b2）（a﹣b）2，
∵直角三角形的兩條直角邊長分別是a和b（a＞b），斜邊長是3，小正方形的面積是1，
∴a2+b2＝32＝9，（a﹣b）2＝1，
∴原式＝9．
【點評】本題主要考查因式分解的知識，熟練掌握因式分解的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
12．（2022秋?揚州期中）著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c2），也可以表示為4×12ab+（a﹣b）2，由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，則a2+b2＝c2．
（1）圖②為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖②推導(dǎo)勾股定理．
（2）如圖③，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在同一條直線上），并新修一條路CH，且CH⊥AB．測得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
（3）在第（2）問中若AB≠AC時，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，設(shè)AH＝x，求x的值．

【分析】（1）梯形的面積可以由梯形的面積公式求出，也可利用三個直角三角形面積求出，兩次求出的面積相等列出關(guān)系式，化簡即可得證；
（2）設(shè)CA＝x，則AH＝x﹣0.9，根據(jù)勾股定理列方程，解得即可得到結(jié)果；
（3）在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得求出CH2＝CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，列出方程求解即可得到結(jié)果；
【解答】解：（1）梯形ABCD的面積為12（a+b）（a+b）=12a2+ab+12b2，
也可以表示為12ab+12ab+12c2，
∴12ab+12ab+12c2=12a2+ab+12b2，
即a2+b2＝c2；

（2）∵CA＝x，
∴AH＝x﹣0.9，
在Rt△ACH中，CA2＝CH2+AH2，
即x2＝1.22+（x﹣0.9）2，
解得x＝1.25，
即CA＝1.25，
CA﹣CH＝1.25﹣1.2＝0.05（千米），
答：新路CH比原路CA少0.05千米；
（3）設(shè)AH＝x，則BH＝6﹣x，
在Rt△ACH中，CH2＝CA2﹣AH2，
在Rt△BCH中，CH2＝CB2﹣BH2，
∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，
即42﹣x2＝52﹣（6﹣x）2，
解得：x=94．
【點評】此題主要考查了勾股定理的證明與應(yīng)用，一元一次方程，熟練掌握相關(guān)定理是解答此題的關(guān)鍵．

壓軸題

1．（2022春?瑞安市期中）2002年北京國際數(shù)學(xué)家大會的會徽是一個“弦圖”（如圖1）．圖2中，點P和點Q分別是線段AE和CG上的中點，連結(jié)DP，BP，DQ，BQ，則構(gòu)成了一個“壓扁”的弦圖四邊形BQDP，若記△DHQ和△BQG的面積分別為S1，S2，且S1S2=32，正方形ABCD的面積為25，則四邊形BQDP的面積為（　?。?br />
A．12.5 B．15 C．17.5 D．20
【分析】設(shè)CQ＝x，F(xiàn)G＝y(tǒng)，則BG＝CH＝2x+y，根據(jù)S1S2=32，列方程可得y＝2x，由勾股定理可得x2=54，最后利用面積和可得結(jié)論．
【解答】解：設(shè)CQ＝x，F(xiàn)G＝y(tǒng)，則BG＝CH＝2x+y，
∵S1S2=32，
∴12?2x?(x+y)12?x?(2x+y)=32，
∴y＝2x，
∵正方形ABCD的面積為25，
∴BC2＝25，
∵CG2+BG2＝BC2，
∴（2x）2+（2x+y）2＝25，
∴x2=54，
∴S1=12?2x?（x+y）＝3x2=154，S2=12?x?（2x+y）＝2x2=52，
∴四邊形BQDP的面積
＝2S1+2S2+S正方形EFGH
＝2×154+2×52+（2x）2
=152+5+4x2
＝17.5．
故選：C．
【點評】本題主要考查了以弦圖為背景的綜合題，熟練掌握正方形的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理等知識，利用參數(shù)表示各三角形的面積是解題的關(guān)鍵．
2．（2023?桐鄉(xiāng)市校級開學(xué)）公元三世紀(jì)，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》題時給出了“趙爽弦圖”．將兩個“趙爽弦圖”（如圖1）中的兩個正方形和八個直角三角形按圖2方式擺放圍成正方形MNPQ，記空隙處正方形ABCD，正方形EFGH的面積分別為S1，S2（S1＞S2），則下列四個判斷：①S1+S2=14S四邊形MNPQ；②DG＝2AF；③若∠EMH＝30°，則S1＝3S2；④若點A是線段GF的中點，則3S1＝4S2，其中正確的序號是（　?。?br />
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【分析】設(shè)“趙爽弦圖”中，直角三角形的較短直角邊是a，較長直角邊是b，斜邊是c，則小正方形的邊長是b﹣a，由正方形面積公式，勾股定理，即可解決問題．
【解答】解：設(shè)“趙爽弦圖”中，直角三角形的較短直角邊是a，較長直角邊是b，斜邊是c，則小正方形的邊長是b﹣a，
∴正方形ABCD的面積S1＝b2，正方形EFGH的面積S2＝a2，
∴S1+S2＝a2+b2＝c2，
∵正方形MNPQ的邊長是2c，
∴正方形MNPQ的面積＝（2c）2＝4c2，
∴S1+S2=14S四邊形MNPQ，
故①符合題意；
∵AF＝b﹣a，
∴AG＝FG﹣AF＝a﹣（b﹣a）＝2a﹣b，
∴DG＝AD﹣AG＝b﹣（2a﹣b）＝2（b﹣a），
∴DG＝2AF，
故②符合題意；
∵∠HME＝30°，∠MHE＝90°，
∴MH=3HE，
∴b=3a，
∴b2＝3a2，
∴S1＝3S2，
故③符合題意；
∵A是FG中點，
∴AG＝FA，
∴a﹣（b﹣a）＝b﹣a，
∴2b＝3a，
∴4b2＝9a2，
∴9S1＝4S2，
故④不符合題意．
∴正確的是①②③，
故選：D．
【點評】本題考查勾股定理，正方形的面積，關(guān)鍵是設(shè)“趙爽弦圖”中，直角三角形的較短直角邊是a，較長直角邊是b，斜邊是c，用a，b，c表示出有關(guān)的量，從而可以解決問題．

3．（2022秋?溫州期末）如圖，大正方形ABCD由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼接而成．點E為小正方形的頂點，延長CE交AD于點F，連結(jié)BF交小正方形的一邊于點G，若△BCF為等腰三角形，AG＝5，則小正方形的面積為（　　）

A．15 B．16 C．20 D．25
【分析】由等腰三角形性質(zhì)可得出BF＝CF，利用HL可證得Rt△ABF≌Rt△DCF（HL），得出AB＝AD＝2AF，根據(jù)余角的性質(zhì)得出∠BAG＝∠ABF，進而推出CF＝BF＝2AG＝10，利用面積法求得BN＝8，再運用勾股定理求得CN＝4，即可求得答案．
【解答】解：設(shè)小正方形為EHMN，如圖，
∵四邊形ABCD和四邊形EHMN是正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝90°，CF∥AG，
∵△BCF為等腰三角形，且BF＞AB＝BC，CF＞CD＝BC，
∴BF＝CF，
在Rt△ABF和Rt△DCF中，
AB=CDBF=CF，
∴Rt△ABF≌Rt△DCF（HL），
∴∠AFB＝∠CFD，AF＝DF，
∴AB＝AD＝2AF，
∵CF∥AG，
∴∠CFD＝∠DAG，
∴∠AFB＝∠DAG，
∴AG＝FG，
∵∠AFB+∠ABF＝90°，∠DAG+∠BAG＝90°，
∴∠BAG＝∠ABF，
∴AG＝BG，
∴CF＝BF＝2AG＝10，
在Rt△ABF中，AB2+AF2＝BF2，
∴（2AF）2+AF2＝102，
∴AF＝25，
∴AB＝BC＝45，
∵S△BCF=12BC?AB=12CF?BN，
∴BN=BC?ABCF=45×4510=8，
∴CN=BC2?BN2=(45)2?82=4，
∵△ABM≌△BCN，
∴BM＝CN＝4，
∴MN＝BN﹣BM＝8﹣4＝4，
∴S正方形EHMN＝（MN）2＝42＝16，
故選：B．

【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等，利用面積法求得BN是解題的關(guān)鍵．
4．（2021秋?西湖區(qū)校級期中）如圖，四個全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成了一個大正方形ABCD，連結(jié)AC，交BE于點P，若正方形ABCD的面積為28，AE+BE＝7．則S△CFP﹣S△AEP的值是（　　）

A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5
【分析】先證明△AEP≌△CGM（ASA），則S△AEP＝S△CGM，所以兩三角形面積的差是中間正方形面積的一半，設(shè)AE＝x，BE＝7﹣x，根據(jù)勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，x2+（7﹣x）2＝28，則2x2﹣14x＝﹣21，整體代入可得結(jié)論．
【解答】解：∵正方形ABCD的面積為28，

∴AB2＝28，
設(shè)AE＝x，
∵AE+BE＝7，
∴BE＝7﹣x，
Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，
∴x2+（7﹣x）2＝28，
∴2x2﹣14x＝﹣21，
∵AH⊥BE，BE⊥CF，
∴AH∥CF，
∴∠EAP＝∠GCM，
∵“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成的一個大正方形ABCD，
∴△AEB≌△CGD，
∴AE＝CG，
∴△AEP≌△CGM（ASA），
∴S△AEP＝S△CGM，EP＝MG，
∴S△CFP﹣S△AEP＝S△CFP﹣S△CGM＝S梯形FPMG=12（MG+PF）?FG=12EF?FG=12S正方形EHGF，
∵S矩形EHGF＝S正方形ABCD﹣4S△AEB＝28﹣4×12x?（7﹣x）＝28﹣2x（7﹣x）＝28﹣21＝7，
則S△CFP﹣S△AEP的值是3.5；
故選：A．
【點評】本題考查了勾股定理的證明，多邊形的面積，首先要求學(xué)生正確理解題意，然后會利用勾股定理和三角形全等的性質(zhì)解題．
5．（2022秋?霞浦縣期中）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形（如圖1）與中間的一個小正方形拼成一個大正方形（如圖2）．

（1）利用圖2正方形面積的等量關(guān)系得出直角三角形勾股的定理，該定理的結(jié)論用字母表示：　 　；
（2）用圖1這樣的兩個直角三角形構(gòu)造圖3的圖形，滿足AE＝BC＝a，DE＝AC＝b，AD＝AB＝c，
∠AED＝∠ACB＝90°，求證（1）中的定理結(jié)論；
（3）如圖，由四個全等的直角三角形拼成的圖形，設(shè)CE＝m，HG＝n，求正方形BDFA的面積．（用m，n表示）

【分析】（1）由大正方形的面積的兩種表示列出等式，可求解；
（2）由四邊形ABCD的面積兩種計算方式列出等式，即可求解；
（3）分別求出a，b，由勾股定理可求解．
【解答】（1）解：∵大正方形的面積＝c2，大正方形的面積＝4×12×a×b+（b﹣a）2，
∴c2＝4×12×a×b+（b﹣a）2，
∴c2＝a2+b2，
故答案為：c2＝a2+b2；
（2）證明：如圖：連接BD，

∵Rt△ABC≌Rt△DAE，
∴∠ADE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠ADE＝90°＝∠DAE+∠BAC，
∴∠DAB＝90°，
∵S四邊形ABCD=12c2+12×a×（b﹣a），S四邊形ABCD＝2×12×a?b+12×b×（b﹣a），
∴12c2+12×a×（b﹣a）＝2×12×a?b+12×b×（b﹣a），
∴c2＝a2+b2；
（3）由題意可得：CE＝CD+DE，GH＝AG﹣AH，
∴m＝a+b，n＝b﹣a，
∴a=m?n2，b=m+n2，
∴BD2＝BC2+CD2＝a2+b2=m2+n22，
∴正方形BDFA的面積為m2+n22．
【點評】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
6．為了突出勾股定理的價值，教科書上設(shè)計了大量的探究、驗證活動，其中用“面積法”探究勾股定理的例子枚不勝舉．受“面積法”啟發(fā)，小明認(rèn)為，利用趙爽弦圖的一部分就可以證明勾股定理．

（1）請把下面的證明過程補充完整；已知：將兩個全等的直角三角形按圖1所示拼在一起，其中∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝BD＝c，AC＝BE＝b，BC＝ED＝a，
求證：a2+b2＝c2．
證明：連接AD，過點A作AF⊥ED交DE的延長線于點F，則AF＝b﹣a．
（2）應(yīng)用：如圖2，已知等腰直角三角形紙片ABC，∠C＝90°，AC＝BC，AB=2+1．點D，E分別在邊AC，AB上，將△ABC沿DE所在直線折疊，使點A的對應(yīng)點A'正好落在邊BC上．若△A'BE為直角三角形，請直接寫出AE的長．
【分析】（1）連接AD，過點A作AF⊥ED交DE的延長線于點F，連接AE，用兩種方法表示S四邊形ABDE，可得12b2+12ab=12c2+12a（b﹣a），化簡變形即有a2+b2＝c2；
（2）分兩種情況：當(dāng)∠A'EB＝90°時，△A'BE是等腰直角三角形，可得AE＝BE，即得AE=12AB=2+12；當(dāng)∠EA'B＝90°時，可得BE=2AE，即得AE＝1．
【解答】（1）證明：連接AD，過點A作AF⊥ED交DE的延長線于點F，連接AE，則AF＝b﹣a，如圖：

∵S四邊形ABDE＝S△ABE+S△BDE，
∴S四邊形ABDE=12b2+12ab，
∵S四邊形ABDE＝S△ABD+S△AED，
∴S四邊形ABDE=12c2+12a（b﹣a），
∴12b2+12ab=12c2+12a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2；
（2）解：當(dāng)∠A'EB＝90°時，如圖：

∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝45°，
∴△A'BE是等腰直角三角形，
∴A'E＝BE，
∵△ABC沿DE所在直線折疊，點A的對應(yīng)點為A'，
∴AE＝A'E，
∴AE＝BE，
∴AE=12AB=2+12；
當(dāng)∠EA'B＝90°時，如圖：

∵∠B＝45°，
∴△A'BE是等腰直角三角形，
∴BE=2A'E，
∵△ABC沿DE所在直線折疊，點A的對應(yīng)點為A'，
∴AE＝A'E，
∴BE=2AE，
∵BE+AE=2+1，
∴AE＝1，
綜上所述，AE的長為2+12或1．
【點評】本題是勾股定理的探究與應(yīng)用，主要考查了勾股定理的性質(zhì)及應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．
7．（2022?南京模擬）閱讀理解：我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖1所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”（邊長為c的大正方形中放四個全等的直角三角形，兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c）．

（1）請根據(jù)“趙爽弦圖”寫出勾股定理的推理過程；
探索研究：
（2）小亮將“弦圖”中的2個三角形進行了運動變換，得到圖2，請利用圖2證明勾股定理；
問題解決：
（3）如圖2，若a＝6，b＝8，此時空白部分的面積為 　 ；
（4）如圖3，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成風(fēng)車狀，已知外圍輪廓（實線）的周長為24，OC＝3，求該風(fēng)車狀圖案的面積．
【分析】（1）運用等面積法S大正方形＝S小正方形+4S△計算即可；
（2）連接大正方形一條對角線，運用等面積法S梯形ACDE＝2S△+S△BDE化簡計算即可；
（3）先用勾股定理計算出c，再利用S空白＝S大正方形﹣2S△計算面積即可；
（4）將風(fēng)車周長表示出來C風(fēng)車＝4（c+b﹣a）＝24，其中a＝OC＝3，得到b、c的等量關(guān)系，再結(jié)合勾股定理求解出b，最后計算面積即可．
【解答】（1）證明：由圖可知，每個直角三角形的面積為S△=12ab，
空白小正方形的面積為S小正方形=(b?a)2，
整個圍成的大正方形的面積為S大正方形=c2，
∵S大正方形＝S小正方形+4S△，
即c2＝（b﹣a）2+4×12ab＝b2+a2﹣2ab+2ab＝b2+a2，
故c2＝b2+a2；
（2）解：如下圖所示，連接大正方形一條對角線DE
可知S梯形ACDE＝2S△+S△BDE，
其中，S梯形ACDE=12(a+b)(a+b)，S△BDE=12c2，S△=12ab，
代入可得，12（a+b）2＝2×12ab+12c2，
即a2+b2＝c2；

（3）解：由圖2可知，S空白＝S大正方形﹣2S△，
∵a＝6，b＝8，
∴c=62+82=10，
則S大正方形=c2=100，
∴S空白＝c2﹣2×12ab＝100﹣6×8＝52，
故空白部分的面積為52，
故答案為：52；
（4）由題意可知，風(fēng)車的周長為C風(fēng)車＝4（c+b﹣a）＝24，
其中OC＝a＝3，代入上式可得c+b＝9，
則c＝9﹣b，
且a2+b2＝c2，
即c2﹣b2＝a2＝9，將c＝9﹣b代入得，（9﹣b）2﹣b2＝9，
解得b＝4，
則S風(fēng)車＝4×12ab＝4×12×3×4=24．
【點評】本題考查了勾股定理的證明與運用，靈活掌握等面積法在證明勾股定理中的作用是解題的關(guān)鍵．
8．（2022秋?蘇州期中）我國三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽利用四個全等的直角三角形拼成如圖1的“弦圖”（史稱“趙爽弦圖”）．
（1）弦圖中包含了一大一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長為c，結(jié)合圖1，試驗證勾股定理；
（2）如圖2，將四個全等的直角三角形緊密地拼接，形成“勾股風(fēng)車”，已知外圍輪廓（粗線）的周長為24，OC＝3，求該“勾股風(fēng)車”圖案的面積；
（3）如圖3，將八個全等的直角三角形（外圍四個和內(nèi)部四個）緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3，若S1+2S2+S3＝20，則S2＝　 　．


【分析】（1）依據(jù)圖1中的正方形的面積可以用兩種方式表示出來，即可驗證勾股定理；
（2）可設(shè)AC＝x，根據(jù)勾股定理列出方程可求x，再根據(jù)直角三角形面積公式計算即可求解；
（3）設(shè)八個全等的直角三角形的面積均為a，依據(jù)正方形EFGH內(nèi)外四個直角三角形的面積之和相等，即可得到2S2＝S1+S3，再根據(jù)S1+2S2+S3＝20，即可得出S2的值．
【解答】解：（1）由圖1可得，大正方形的面積為c2，
大正方形的面積＝4×12ab+（a﹣b）2，
∴4×12ab+（a﹣b）2＝c2，
化簡可得，a2+b2＝c2；
（2）24÷4＝6，
設(shè)AC＝x，則AB＝6﹣x，
依題意得：
（x+3）2+32＝（6﹣x）2，
解得x＝1，
∴該“勾股風(fēng)車”圖案的面積為：12×（3+1）×3×4
=12×4×3×4
＝24．
答：該“勾股風(fēng)車”圖案的面積為24；
（3）設(shè)八個全等的直角三角形的面積均為a，則
S2＝S1﹣4a，S2＝S3+4a，
兩式相加，可得2S2＝S1+S3，
又∵S1+2S2+S3＝20，
∴4S2＝20，
∴S2＝5，
故答案為：5．
【點評】本題是四邊形綜合題，主要考查了勾股定理的證明以及正方形的性質(zhì)，本題是用數(shù)形結(jié)合來證明勾股定理，鍛煉了同學(xué)們的數(shù)形結(jié)合的思想方法．（3）考查了圖形面積關(guān)系，根據(jù)已知得出用S1，S3表示出S2，再利用S1+2S2+S3＝20求出是解決問題的關(guān)鍵．
9．（2021春?交城縣期中）勾股定理被譽為“千古第一定理”，長期以來人們對它進行了大量的研究，找到了數(shù)百種不同的驗證方法，這些方法不但驗證了勾股定理，而且豐富了研究數(shù)學(xué)問題的方法和手段，促進了數(shù)學(xué)的發(fā)展．
某數(shù)學(xué)興趣小組受“趙爽弦圖”的啟發(fā)，對勾股定理的驗證進行了如下探究：
實踐操作
他們裁剪出若干張大小，形狀完全相同的直角三角形紙片，三邊長分別記為a，b，c，如圖（1）所示．之后分別用4張直角三角形紙片拼成如圖（2）（3）（4）所示的形狀，通過觀察推理，驗證了勾股定理．
定理驗證
（1）觀察圖（2）和圖（3）可以發(fā)現(xiàn)：①它們整體上都是邊長為 　 　的正方形；②陰影部分的面積都是由4個完全相同的直角三角形組成，所以陰影的面積為 　 ?。虎蹐D（2）中空白部分面積用不同的方法表示可得關(guān)系式 　 ?。粓D（3）中空白部分面積用不同的方法表示可得關(guān)系式 　 ?。虎軓亩玫絘2+b2＝c2．
（2）興趣小組的同學(xué)通過觀察圖（4）中正方形的個數(shù)，以及它們之間的關(guān)系，驗證了勾股定理，即a2+b2＝c2.請你幫他們寫出推理驗證的完整過程．
創(chuàng)新構(gòu)圖
（3）一個直立的火柴盒在平面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了一種新的證明勾股定理的方法．如圖（5）同樣是用4個完全相同的直角三角形拼成的圖形，請你利用圖中的直角梯形和等腰直角三角形證明勾股定理．

【分析】（1）借助圖形利用正方形和直角三角形的面積，即可得出答案；
（2）利用以c為邊的正方形和2個直角三角形的面積和等于以邊為a，b的兩個正方形的面積和兩個直角三角形的面積和建立方程，即可得出結(jié)論；
（3）利用直角梯形的面積等于一個等腰直角三角形的面積和2個直角三角形的面積建立方程，即可得出結(jié)論．
【解答】（1）解：由圖（2）（3）得出大正方形的邊長為a+b，
陰影部分的面積為2ab，
圖（2）中空白部分面積用不同的方法表示可得關(guān)系式為a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
圖（3）中空白部分面積用不同的方法表示可得關(guān)系式為c2＝（a+b）2﹣2ab；
故答案為：a+b，2ab，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，c2＝（a+b）2﹣2ab；
（2）解：∵整個圖形得面積可以表示為c2+12ab×2=c2+ab，
整個圖形得面積又可以表示為a2+b2+12ab×2=a2+b2+ab，
∴c2+ab＝a2+b2+ab，
∴a2+b2＝c2；
（3）證明：∵S直角梯形=12(a+b)(a+b)，
S直角梯形＝S等腰直角三角形+2S直角三角形=12c2+2×12ab，
∴12(a+b)(a+b)=12c2+2×12ab，
∴（a+b）2＝c2+2ab，
∴a2+2ab+b2＝c2+2ab，
∴a2+b2＝c2．
【點評】此題主要考查了直角三角形、正方形、梯形的面積公式，正確識別圖形是解本題的關(guān)鍵．

9．（2021春?市南區(qū)期中）【知識總結(jié)】幾何學(xué)為人們當(dāng)今的科學(xué)發(fā)展做出了杰出的貢獻，中國古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》有著這樣的記載：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”．這句話的意思是：“如果直角三角形兩直角邊長為3和4時，那么斜邊的長為5”．上述記載表明了：在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c三者之間的數(shù)量關(guān)系是：a2+b2＝c2．
用四個全等的直角三角形拼成如圖①所示的大正方形，中間也是一個正方形．它是美麗的“趙爽弦圖”．其中四個直角三角形的直角邊長分別為a，b（a＜b），斜邊長為c．
【溫故知新】（1）如圖①，求證：a2+b2＝c2；
【問題解決】（2）如圖②，將這四個全等的直角三角形無縫隙無重疊地拼接在一起，得到圖形ABCDEFGH．若該圖形的周長為48，OH＝6．求該圖形的面積；
（3）如圖③，將八個全等的直角三角形緊密地拼接成正方形PQMN，記正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面積分別為S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝24，則S2＝　 　．
（4）如圖④，把矩形ABCD折疊，使點C與點A重合，折痕為EF，如果AB＝4，BC＝8，求BE的長．


【分析】（1）用兩種方法分別表示中間小正方形面積即可；
（2）設(shè)AH＝BC＝x，則AB＝12﹣x，在Rt△AOB中，由勾股定理列出方程即可求出BC的長，從而解決問題；
（3）設(shè)正方形EFGH的面積為x，其他八個全等三角形的面積為y，則S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，根據(jù)S1+S2+S3＝24，即可得出x+4y＝8．
（4）根據(jù)翻折變換的特點、根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】（1）證明：S小正方形＝（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2，
S小正方形＝c2﹣4×12ab＝c2﹣2ab，
即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，
∴a2+b2＝c2；
（2）解：∵AB+BC＝48÷4＝12，
設(shè)AH＝BC＝x，則AB＝12﹣x，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
OH2+OG2＝GH2，
即62+（6+x）2＝（12﹣x）2，
解得：x＝2，
∴S=12×6×（6+2）×4＝96；
（3）解：設(shè)正方形EFGH的面積為x，其他八個全等三角形的面積為y，
∵S1+S2+S3＝24，
∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，
∴S1+S2+S3＝3x+12y＝24，
∴x+4y＝8，
∴S2＝8，
故答案為：8．
（4）設(shè)BE＝x，則EC＝8﹣x，
由折疊的性質(zhì)可知，AE＝EC＝8﹣x，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，
則（8﹣x）2＝42+x2，
解得，x＝3，
則BE的長為3．
【點評】本題是四邊形的綜合題，主要考查了勾股定理的證明，勾股定理的應(yīng)用等知識，運用整體思想、方程思想是解題的關(guān)鍵．

11．（2022?南京模擬）北師大版初中數(shù)學(xué)教科書七年級下冊第23頁告訴我們，對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式．例如由圖①可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，這樣就用圖形面積驗證了完全平方公式．
請解答下列問題：
（1）類似地，寫出圖②中所表示的數(shù)學(xué)等式 　 ?。?br /> （2）如圖③的圖案被稱為“趙爽弦圖”，是3世紀(jì)我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，它表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．這個圖案被選為2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會徽．此圖由四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中空的部分是一個小正方形．已知直角三角形的兩直角邊分別為a，b，若a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求大正方形的面積；
（3）如圖④，在邊長為m（m＞2）的正方形ABCD各邊上分別截取AE＝BF＝CG＝DH＝1，當(dāng)∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°時，求正方形MNPQ的面積．

【分析】（1）利用大正方形面積公式表示出大正方形的面積，也可用四個小長方形與一個小正方形表示出大正方形的面積，利用面積相等即可求解；
（2）利用四個直角三角形的面積與小正方形的面積表示出大正方形的面積，根據(jù)a+b＝5，（a﹣b）2＝13可求出ab，代入即可求解；
（3）延長PE交BA的延長線于點I，延長QF交CB的延長線于點J，延長MG交DC的延長線于點K，延長NH交AD的延長線于點L，由∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°可得△AEI，△BFJ，△CGK，△DHL為等腰直角三角形，從而可得FI＝GK＝HK＝EL＝AB＝BC＝CD＝AD，可得等腰Rt△FQI，等腰Rt△MGJ，等腰Rt△NHK，等腰Rt△EPL的面積之和為正方形ABCD的面積，從而可得正方形MNPQ的面積為等腰Rt△AEI，等腰Rt△BFJ，等腰Rt△CGK，等腰Rt△DHL的面積之和，即可求解．
【解答】解：（1）利用正方形面積公式，大正方形的面積為：（a+b）2，
∵大正方形由四個小長方形和一個小正方形構(gòu)成，
∴大正方形的面積也可表示為：4ab+（a﹣b）2，
∴（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2，
故答案為：（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2；
（2）∵小正方形的邊長為：a﹣b，
∴小正方形的面積為：（a﹣b）2，
∴大正方形面積為：4×12ab+（a﹣b）2＝2ab+（a﹣b）2＝a2+b2，
∵a+b＝5，（a﹣b）2＝13，
∴（a+b）2＝25，
∴（a+b）2+（a﹣b）2＝a2+b2+2ab+a2+b2﹣2ab＝2（a2+b2）＝25+13＝38，
∴a2+b2＝19，
∴大正方形的面積為19；
（3）如圖，延長PE交BA的延長線于點I，延長QF交CB的延長線于點J，延長MG交DC的延長線于點K，延長NH交AD的延長線于點L，

∵∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°，
∴∠AEI＝∠BFJ＝∠CGK＝∠DHL＝45°，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠EAI＝∠FBJ＝∠GCK＝∠HDL＝90°，
∴△AEI，△BFJ，△CGK，△DHL為等腰直角三角形，
∵AE＝BF＝CG＝DH＝1，
∴AI＝BJ＝CK＝DL＝1，
∴FI＝GK＝HK＝EL＝AB＝BC＝CD＝AD，
∴S?ABCD＝S△FQI+S△MGJ+S△NHK+S△EPL，
∵S?ABCD＝S四邊形AEQF+S四邊形BFMG+S四邊形CGNH+S四邊形DHPE+S?MNPQ，
∴S?MNPQ＝S△AEI+S△BFJ+S△CGK+S△DHL
=12AE2+12BF2+12CG2+12DH2
=12+12+12+12
＝2．
【點評】本題考查乘法公式的證明，解題的關(guān)鍵是熟練掌握乘法公式的證明方法，一般利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明．
12．（2022春?開封期末）如圖①是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周筆算經(jīng)》時給出的趙爽弦圖，是用四個全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成的一個大正方形ABCD．
問題發(fā)現(xiàn)：
如圖①，若直角三角形斜邊AB的長為5，直角邊AG的長為4，則DE的長為 　 ?。?br /> 知識遷移：
已知正方形ABCD，點P是直線CD上一動點，連接BP，分別過點A，C，D向直線BP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，G．
（1）如圖②，若點P在邊CD上，則線段BE和線段FG的數(shù)量關(guān)系為 　 ?。?br /> （2）如圖③，若點P在CD的延長線上，（1）中結(jié)論是否成立？請說明理由．
（3）當(dāng)直線BP與正方形ABCD一邊的夾角為60°時，若FG＝3，請直接寫出正方形ABCD的面積．

【分析】問題發(fā)現(xiàn)：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得CD＝AB＝5，CE＝AG＝4，利用勾股定理即可求解；
（1）如圖②，過點D作DH⊥AE于H，可得四邊形DHEG是矩形，DH＝EG，證明△AHD≌△CFB（AAS），則DH＝BF，可得BF＝EG，即可得出BE＝FG；
（2）如圖③，同（2）的方法即可求解；
（3）分兩種情況：①當(dāng)直線BP與BC邊的夾角為60°時，②當(dāng)直線BP與AB邊的夾角為60°時，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出正方形ABCD的邊長，即可求解．
【解答】解：問題發(fā)現(xiàn)：由題意得：Rt△CDE≌Rt△ABG，
∴CD＝AB＝5，CE＝AG＝4，
∴DE=CD2?CE2=52?42=3，
故答案為：3；
（1）如圖②，過點D作DH⊥AE于H，

∵AE⊥BP，DG⊥BP，CF⊥BP，DH⊥AE，
∴四邊形DHEG是矩形，∠ADH+∠DAH＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，∠AHD＝∠CFB＝90°，
∴DH＝EG，
∵四邊形ABCD是正方形形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝CB，
∴∠BAE+∠DAH＝90°，∠CBF+∠ABE＝90°，
∴∠BAE＝∠ADH＝∠CBF，
∴△AHD≌△CFB（AAS），
∴DH＝BF，
∵DH＝EG，
∴BF＝EG，
∴BF﹣EF＝EG﹣EF，
∴BE＝FG，
故答案為：BE＝FG；
（2）若點P在CD的延長線上，（1）中結(jié)論成立，理由如下：
如圖③，過點D作DH⊥AE于H，

∵AE⊥BP，DG⊥BP，CF⊥BP，DH⊥AE，
∴四邊形DHFG是矩形，∠CDH+∠DCH＝90°，∠BCF+∠CBF＝90°，∠CHD＝∠AEB＝90°，
∴DH＝FG，
∵四邊形ABCD是正方形形，
∴∠BCD＝∠ABC＝90°，AB＝CD，
∴∠BCF+∠DCH＝90°，∠CBF+∠ABE＝90°，
∴∠BCF＝∠CDH＝∠ABE，
∴△CHD≌△AEB（AAS），
∴DH＝BE，
∵DH＝FG，
∴BE＝FG；
（3）①當(dāng)直線BP與BC邊的夾角為60°時，如圖，
分別過點A，C，D向直線BP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，G．過點D作DH⊥AE于H，

∵∠CBP＝60°，CF⊥BP，
∴∠ABE＝30°．
∵BE＝FG，F(xiàn)G＝3，
∴BE＝3，
∴AE=3，AB＝23，
∴正方形ABCD的面積為23×23=12；
②當(dāng)直線BP與AB邊的夾角為60°時，如圖，
分別過點A，C，D向直線BP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，G．過點D作DH⊥AE于H，

∵∠ABP＝60°，AE⊥BP，
∴∠BAE＝30°．
∵BE＝FG，F(xiàn)G＝3，
∴BE＝3，
∴AB＝2BE＝6，
∴正方形ABCD的面積為6×6＝36．
綜上，正方形ABCD的面積為12或36．
【點評】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．

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