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人教8下·數(shù)學(xué)



【單元專題卷】人教版數(shù)學(xué)8年級下冊
第17章 專題01 勾股定理、逆定理
一、選擇題（共15小題）
1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，則點C到直線AB的距離是（　　）

A．185 B．3 C．125 D．2
2．如圖，已知正方形A的面積為3，正方形B的面積為4，則正方形C的面積為（　?。?br />
A．7 B．5 C．25 D．1
3．如圖，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AD交AB于點E，M為AE的中點，BF⊥BC交CM的延長線于點F，BD＝4，CD＝3．下列結(jié)論①∠AED＝∠ADC；②DEDA=34；③AC?BE＝12；④4BF＝5AC，其中結(jié)論正確的個數(shù)有（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
4．如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面積依次為4、6、18，則正方形B的面積為（　?。?br />
A．8 B．9 C．10 D．12
5．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（﹣2，5），點B（1，1），則線段AB的長度為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知直角三角形有兩邊為3和5，則第三邊為（　　）
A．4 B．5 C．4或34 D．3或34
7．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，點D、E分別是BC、AD的中點，AF∥BC交CE的延長線于F，則四邊形AFBD的面積為（　　）

A．10 B．11 C．12 D．13
8．等腰三角形的腰長為5，底邊上的中線長為4，它的面積為（　?。?br /> A．24 B．20 C．15 D．12
9．如圖△ABC中，∠BAC＝90°，點A向上平移后到A′得到△A′BC．下面說法錯誤的是（　?。?br />
A．△ABC的內(nèi)角和仍為180° B．∠BA′C＜∠BAC
C．AB2+AC2＝BC2 D．A′B2+A′C2＜BC2
10．如圖在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝20，AD平分∠BAC交BC于點D，且BD：CD＝3：2，則點D到線段AB的距離DE的長為（　?。?br />
A．4 B．8 C．10 D．12
11．在下列四組數(shù)中，不是勾股數(shù)的一組數(shù)是（　　）
A．3、4、5 B．6、8、10 C．5、12、13 D．3、5、7
12．在△ABC中，已知AB＝4，AC＝3，BC=7，則△ABC的面積為（　　）
A．47 B．37 C．6 D．327
13．下列幾組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形三邊長的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
14．△ABC的三邊分別為a，b，c，則無法判斷△ABC為直角三角形的是（　?。?br /> A．b2＝a2﹣c2 B．∠A＝∠B+∠C
C．a(chǎn)：b：c＝3：4：5 D．a(chǎn)：b：c＝1：2：3
15．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（　?。?br /> A．0.3，0.4，0.5 B．35，45，1
C．3，4，5 D．4，5，6
二、填空題（共18小題）
16．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為BC上一點，∠DAC＝30°，BD＝2，AB＝23，則AC的長是 　 ?。?br />
17．在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝2，BC=2，AC、BC的中垂線分別交AB于D、E兩點，則△CDE的周長為　 ?。?br />

18．已知平面直角坐標(biāo)系中，點P（m﹣2，4）到坐標(biāo)原點距離為5，則m的值為 　 ?。?br /> 19．如圖，在正方形網(wǎng)格中，點A，B，C，D，E是格點，則∠ABD+∠CBE的度數(shù)為 　 ?。?br />
20．若6，a，8是一組勾股數(shù)，則a的值為 　 　．
21．如圖，正方形網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，則∠CAB+∠ACB＝　 　．

22．一個三角形的三邊長分別為6，8，10，則這個三角形最長邊上的中線為 　 ?。?br /> 23．如圖，已知∠BAC＝90°，BC=3，AB＝1，AD＝CD＝1，則∠BAD＝　 ?。?br />
24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，若AC＝8，則AB邊上的高為 　 ?。?br /> 25．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線交BC于點D，且CD＝2，AC＝6，則AB＝　 ?。?br />
26．如圖，△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于點D，DE⊥BC于E，若AB＝6，BC＝9，則DE的長為 　 　．

27．如圖，在△ABC，∠C＝90°，c=3，則a2+b2+c2＝　 ?。?br />
28．已知：點A（﹣1，4），點B（﹣4，﹣2），則AB＝　 ?。?br /> 29．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2．以AB為一條邊向三角形外部作正方形，則正方形的面積是 　 ?。?br />
30．如圖所示，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB垂足為E，AB＝12，AC＝8，則BE的長為 　 　．

31．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分線BD交AC于點E，AE＝　 ?。?br />
32．如圖：已知四邊形ABCD中，AB＝AC，∠CAD＝2∠DBC，∠ACB＝60°+∠DBC，若CD＝2，AD＝7，則線段BC的長是 　 ?。?br />
33．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，DE⊥AB于點E，若BC＝3，BD＝2，則DE的長為 　 ?。?br />
三、解答題（共18小題）
34．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．求BC邊上的高的長．

35．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，AC＝20，BC＝15．
求：（1）CD的長；
（2）AD的長．

36．如下列各圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AB，BC，CA為邊向外作正三角形（如圖①）、等腰直角三角形（如圖②、圖③），所作三角形的面積分別為S1，S2，S3，試求S1，S2，S3的關(guān)系．

37．如圖，當(dāng)兩個全等的直角三角形按一定方式擺放時，可以用“面積法”來證明勾股定理．下面是利用圖①證明勾股定理的過程：
將兩個全等的直角三角形按圖①所示擺放，其中∠DAB＝90°，求證：a2+b2＝c2．
證明：連接DB，過點D作邊BC上的高DF，則DF＝EC＝b﹣a，
∵S四邊形ADCB＝S△ACD+S△ABC=12b2+12ab，
又∵S四邊形ADCB＝S△ADB+S△DCB=12c2+12a（b﹣a），
∴12b2+12ab=12c2+12a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2．
請參照上述證法，利用圖②證明勾股定理．

38．如圖，一塊鐵皮（圖中陰影部分），測得AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝90°．求陰影部分的面積．

39．如圖，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13，試判斷△ABD的形狀，并說明理由．

40．如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求AD的長；
（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由．

41．如圖，已知△ABC，AB＝AC，∠B＝50°，點D在線段BC上，點E在線段AC上，設(shè)∠BAD＝α，∠CDE＝β．
（1）如果α＝20°，β＝10°，那么△ADE是等邊三角形？請說明理由；
（2）若AD＝AE，試求α與β之間的關(guān)系．

42．在學(xué)習(xí)勾股定理時，我們學(xué)會運用圖（I）驗證它的正確性：圖中大正方形的面積可表示為：（a+b）2，也可表示為：c2+4?（12ab），即（a+b）2＝c2+4?（12ab）由此推出勾股定理a2+b2＝c2，這種根據(jù)圖形可以極簡單地直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱“無字證明”．

（1）請你用圖（Ⅱ）（2002年國際數(shù)字家大會會標(biāo)）的面積表達(dá)式驗證勾股定理（其中四個直角三角形全等）；
（2）請你用（Ⅲ）提供的圖形進(jìn)行組合，用組合圖形的面積表達(dá)式驗證（x+y）2＝x2+2xy+y2．

43．如圖，其中△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，根據(jù)這個圖形的面積關(guān)系，可以證明勾股定理．設(shè)AD＝c，DE＝a，AE＝b，取c＝20，b﹣a＝4．
（1）填空：正方形EFCH的面積為 　 　，四個直角三角形的面積和為 　 ?。?br /> （2）求a+b的值．

44．如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1．線段AB，AE分別是圖中兩個1×3的長方形的對角線，請你說明：AB⊥AE．

45．如圖，已知△ABC的邊BC＝13cm，D是AB上一點，連接CD，且CD＝12cm，BD＝5cm．求證：△BDC是直角三角形．

46．如圖，已知等腰△ABC的底邊BC=85cm，D是腰BA延長線上一點，連接CD，且BD＝16cm，CD＝8cm．
（1）判斷△BDC的形狀，并說明理由；
（2）求△ABC的周長．

47．如圖，已知等腰△ABC的底邊BC＝13cm，D是腰AB上一點，連接CD，且CD＝12cm，BD＝5cm．
（1）求證：△BDC是直角三角形；
（2）求AB的長．

48．如圖，四邊形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．
（1）判斷∠D是否是直角，并說明理由．
（2）求四邊形ABCD的面積．

49．如圖，每個小正方形的邊長都為1，△ABC的頂點都在格點上．判斷△ABC是什么形狀，并說明理由．

50．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD．則∠ABC＝90°，請說明理由．

51．如圖，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，且BD＝DE，連接AE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度數(shù)；
（2）若AC＝6cm，DC＝5cm，求△ABC的周長．


參考答案
一、選擇題（共15小題）
1．C
2．A
3．B
4．A
5．D
6．C
7．C
8．D
9．D
10．B
11．D
12．D
13．C
14．D
15．C；
二、填空題（共18小題）
16．
17．
18．5或﹣1．
19．45°
20．10
21．45°
22．5
23．45°
24．4
25．7.5
26．
27．6
28．
29．20
30．4
31．5
32．3
33．1；
三、解答題（共18小題）
34．解：如圖，過點A作AD⊥BC于點D，

∵AB＝AC＝5，BC＝8，AD⊥BC，
∴BD＝CD=12BC＝4，
∴AD=AB2-BD2=52-42=3，
即BC邊上的高的長為3．
35．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB=AC2+BC2=202+152=25，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC=12AB?CD=12AC?BC，
∴CD=AC?BCAB=20×1525=12；
（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，
BD=BC2-CD2=152-122=9，
AD＝25﹣9＝16．
36．解：結(jié)論都是：S1＝S2+S3．
理由：∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝BC2+AC2，
如圖①中，∵S1=34AB2，S2=34AC2，S3=34BC2，
∴S1＝S2+S3．
如圖2中，∵S1=14AB2，S2=14AC2，S3=14BC2，
∴S1＝S2+S3．
如圖3中，∵S1=12AB2，S2=12AC2，S3=12BC2，
∴S1＝S2+S3．
37．證明：連接BD，過點B作DE的垂線BF交DE的延長線于點F，則BF＝b﹣a．

∵S五邊形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE=12ab+12b2+12ab，
又S五邊形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12a（b﹣a），
∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2．
38．解：如圖，連接AC．
在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC=62+82=10．
∵CD＝24，AD＝26，AC＝10，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S陰影＝S△ACD﹣S△ABC=12×10×24-12×6×8＝120﹣24＝96．
故陰影部分的面積是96．

39．解：△ABD為直角三角形．理由如下：
∵在△ABC中，∠C＝90°，
∴AB2＝CB2+AC2＝42+32＝52，
∴在△ABD中，AB2+AD2＝52+122＝132，
∴AB2+AD2＝BD2，
∴△ABD為直角三角形．
40．解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：CD=BC2-BD2=152-92=12，
在Rt△BCD中，由勾股定理得AD=AC2-CD2=202-122=16，
（2）△ABC是直角三角形，
理由：由（1）知：AD＝16，
∴AB＝AD+DB＝16+9＝25，
在△ABC中，
∵AC2+BC2＝202+152＝625，AB2＝252＝625，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
41．解：（1）△ADE是等邊三角形，
理由：∵AB＝AC，∠B＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝80°﹣α＝80°﹣20°＝60°，
∵β＝10°，
∴∠DAE＝∠C+β＝60°，
∴△ADE是等腰三角形；
（2）若AD＝AE時，則α＝2β，
證明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴∠ADE+β＝∠B+α，
∴∠ADE＝∠B+α﹣β，
∵∠AED＝∠C+∠CDE＝∠B+β，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠B+α﹣β＝∠B+β，
∴α＝2β．
42．解：（1）由圖可得：大正方形的面積為：c2，
中間小正方形面積為：（b﹣a）2，
四個直角三角形面積和為：4×12ab，
由圖形關(guān)系可知：大正方形面積＝小正方形面積+四直角三角形面積，
則有：c2＝（b﹣a）2+4×12ab＝b2﹣2ab+a2+2ab＝a2+b2，
即：c2＝a2+b2．
（2）如圖示：

大正方形邊長為（x+y）
所以面積為：（x+y）2，
因為它的面積也等于兩個邊長分別為x，y和兩個長為x寬為y的矩形面積之和，即x2+2xy+y2，
所以有：（x+y）2＝x2+2xy+y2成立．
43．解：（1）∵HE＝b﹣a＝4，
∴S正方形EFGH＝HE2＝16，
∵AD＝c＝20，
∴S正方形ABCD＝AD2＝400，
∴四個直角三角形的面積和＝S正方形ABCD﹣S正方形EFGH＝400﹣16＝384，
故答案為：16；384；

（2）由（1）可知四個直角三角形的面積和為384，
∴4×12ab＝384，解得2ab＝384，
∵a2+b2＝c2＝400，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝400+384＝784．
∴a+b＝28（負(fù)值舍去）．
44．證明：連接BE，

∵AE=12+32=10，AB=12+32=10，BE=22+42=20，
∴AE2+AB2＝BE2，
∴∠BAE＝90°，
∴AB⊥AE．
45．證明：∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，
∴BC2＝169，BD2+CD2＝169，
即BC2＝BD2+CD2，
∴△BDC為直角三角形．
46．解：（1）△BDC是直角三角形，
理由是：∵BC＝85cm，BD＝16cm，CD＝8cm，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠D＝90°，
即△BDC是直角三角形；
（2）設(shè)AB＝AC＝xcm，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2，
即（16﹣x）2+82＝x2，
解得：x＝10，
∴AB＝AC＝10（cm），
∵BC＝85cm，
∴△ABC的周長＝AB+AC+BC＝10+10+85=（20+85）（cm）．
故△ABC的周長是（20+85）cm．
47．（1）證明：∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，
∴BC2＝132＝169，BD2+CD2＝52+122＝25+144＝169，即BC2＝BD2+CD2，
∴△BDC為直角三角形；
（2）解：設(shè)AB＝xcm，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝xcm．
∵△BDC為直角三角形，
∴△ADC為直角三角形，
∴AD2+CD2＝AC2，即x2＝（x﹣5）2+122，
解得：x=16910，
故AB的長為16910cm．
48．（1）解：∠D是直角．
理由：連接AC，

∵∠B＝90°，
∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，
∵DA2+CD2＝242+72＝625，
∴AC2＝DA2+DC2，
∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角；
（2）解：∵S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ADC，
∴S四邊形ABCD=12AB?BC+12AD?CD，
=12×20×15+12×24×7，
＝234．
49．解：△ABC是直角三角形，理由如下：
由勾股定理可得：AC2＝12+82＝65，BC2＝42+62＝52，AB2＝32+22＝13，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形．
50．解：連接AC，

∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
∴AD2+CD2＝AC2，
∵AD2+CD2＝2AB2，
∴AC2＝2AB2，
∵AB＝BC，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC＝90°．
51．解：（1）∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AED=12（180°﹣40°）＝70°，
∴∠C=12∠AED＝35°；
（2）∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴DC＝DE+EC＝BD+AB＝5cm，
∴△ABC周長＝AB+BD+DC+AC＝16cm．

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