2021學(xué)年13.3.2 等邊三角形優(yōu)秀當(dāng)堂檢測(cè)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專(zhuān)訓(xùn)13.3.2.1 等邊三角形的性質(zhì)與判定
一、單選題
1．如圖，等邊三角形紙片ABC的周長(zhǎng)為6，E，F(xiàn)是邊BC上的三等分點(diǎn)．分別過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)沿著平行于BA，CA的方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長(zhǎng)是（）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根據(jù)邊三角形紙片ABC的周長(zhǎng)為6可求BC=2，根據(jù)三等分點(diǎn)的定義可求EF的長(zhǎng)，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)即可求解．
【詳解】
解：∵等邊三角形紙片ABC的周長(zhǎng)為6，
∴
∵E，F(xiàn)是邊BC上的三等分點(diǎn)，
∴EF=，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
又∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60°，
∴△DEF是等邊三角形，
∴剪下的△DEF的周長(zhǎng)是×3=2．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是證明△DEF是等邊三角形．
2．如圖，為等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊和上，，與交于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，則下列結(jié)論：①，②，③，其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A．0個(gè) B．1個(gè)
C．2個(gè) D．3個(gè)
【答案】D
【分析】
證明△ACE≌△CBD（SAS），推出∠ACE=∠CBD，可得①②正確，再根據(jù)AAS證明△APB≌△BFC，可得結(jié)論．
【詳解】
解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BCD=∠CAE=60°，
在△ACE和△CBD中，，
∴△ACE≌△CBD（SAS），
∴∠ACE=∠CBD，故①正確，
∵∠BPE=∠PCB+∠CBD=∠PCB+∠ACE=∠ACB=60°，故②正確，
∵AP⊥BD，BF⊥CE，
∴∠APB=∠BFC=90°，
∵∠ACB=∠ABC=60°，∠ACE=∠CBD，
∴∠BCF=∠ABP，
在△APB和△BFC中，，
∴△APB≌△BFC（AAS），故③正確，
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．
3．如圖，在等腰與等腰中，，，，連接和相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交與點(diǎn)．則下列結(jié)論：①；②；③平分；④若，則．一定正確的是（）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】
由“SAS”可證△BAD≌△CAE，可得BD=CE；由全等三角形的性質(zhì)可得∠ABD=∠ACE，由外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得∠BPE=∠ACB+∠ABC=180°-α；由全等三角形的性質(zhì)可得S△BAD=S△CAE，由三角形面積公式可得AH=AF，由角平分線的性質(zhì)可得AP平分∠BPE；由全等三角形的性質(zhì)可得∠BDA=∠CEA，由“SAS”可證△AOE≌△APD，可得AO=AP，可證△APO是等邊三角形，可得AP=PO，可得PE=AP+PD，即可求解．
【詳解】
解：∵∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，且AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴BD=CE，故①符合題意；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α，
∵∠BPE=∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ACB+∠ACP=∠PBC+∠ACB+∠ABP，
∴∠BPE=∠ACB+∠ABC=180°-α，故②不符合題意；
如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BD，AF⊥CE，

∵△BAD≌△CAE，
∴S△BAD=S△CAE，
∴BD×AH=CE×AF，且BD=CE，
∴AH=AF，且AH⊥BD，AF⊥CE，
∴AP平分∠BPE，故③符合題意；
如圖，在線段PE上截取OE=PD，連接AO，

∵△BAD≌△CAE，
∴∠BDA=∠CEA，且OE=PD，AE=AD，
∴△AOE≌△APD（SAS）
∴AP=AO，
∵∠BPE=180°-α=120°，且AP平分∠BPE，
∴∠APO=60°，且AP=AO，
∴△APO是等邊三角形，
∴AP=PO，
∵PE=PO+OE，
∴PE=AP+PD，故④符合題意．
綜上，正確有選項(xiàng)有①③④，
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及角之間的關(guān)系，證明△BAD≌△CAE是解本題的關(guān)鍵．
4．如圖，C為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），在同側(cè)分別作等邊和等邊與交于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)G，與交于點(diǎn)H，連接．以下四個(gè)結(jié)論：①；②為等邊三角形；③；④．其中正確的是（）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以得出△ACE≌△DCB，就可以得出∠CAE＝∠CDB，通過(guò)證明△ACG≌△DCH就可以得出CG＝CH，AG=DH，可以得出△GCH是等邊三角形，再判斷AC與DH的大小關(guān)系，求出∠DFG=∠GCA=60°，利用外角定理即可得到．
【詳解】
∵△ACD和△BCE是等邊三角形，
∴AD＝AC＝CD，CE＝CB＝BE，∠ACD＝∠BCE＝60°．
∵∠ACB＝180°，
∴∠DCE＝60°．
∴∠DCE＝∠BCE．
∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB．
在△ACE和△DCB中，，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴
即，①正確；
在△ACG和△DCH中，，
∴△ACG≌△DCH（ASA），
∴GC=HC,AG=DH
又∠GCH=60°，
∴為等邊三角形，②正確；
又AC≠AG，∴DH≠AC，④錯(cuò)誤；
∵∠GAC+∠ACG+∠AGC=180°，∠GDF+∠DFG+∠DGF=180°
又∠AGC=∠DGF，∠GAC=∠GDF
∴∠DFG=∠ACG=60°
又∠DFG=，
∴，③正確；
故選A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的外角與內(nèi)角之間的關(guān)系的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．
5．如圖，在中，，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．則的最小值是（）

A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】
以CD為邊作等邊三角形CDE，連接EQ，由題意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，進(jìn)而可得△PCD≌△QED，則有∠PCD=∠QED=90°，然后可得點(diǎn)Q是在QE所在直線上運(yùn)動(dòng)，所以CQ的最小值為CQ⊥QE時(shí)，最后問(wèn)題可求解．
【詳解】
解：以CD為邊作等邊三角形CDE，連接EQ，如圖所示：

∵是等邊三角形，
∴，
∵∠CDQ是公共角，
∴∠PDC=∠QDE，
∴△PCD≌△QED（SAS），
∵，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，
∴∠PCD=∠QED=90°，，
∴點(diǎn)Q是在QE所在直線上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)CQ⊥QE時(shí)，CQ取的最小值，
∴，
∴；
故選B．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、含30°直角三角形的性質(zhì)及最短路徑問(wèn)題，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、含30°直角三角形的性質(zhì)及最短路徑問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，中，的平分線與邊的垂直平分線相交于D，交的延長(zhǎng)線于E，于F，現(xiàn)有下列結(jié)論：①；②；③平分;④，其中正確的有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】C
【分析】
①由角平分線的性質(zhì)可知①正確；②由題意可知，故此可知，，從而可證明②正確；③若平分，則，從而得到為等邊三角形，條件不足，不能確定，故③錯(cuò)誤；④連接、，然后證明，從而得到，從而可證明④．
【詳解】
解：如圖所示：連接、．

①平分，，，
．
①正確．
②，平分，
．
，
．
，，
．
同理：．
．
②正確．
③由題意可知：．
假設(shè)平分，則，
又，
．
．
是否等于不知道，
不能判定平分，
故③錯(cuò)誤．
④是的垂直平分線，
．
在和中
，
．
．

又，，
．
故④正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．

二、填空題
7．如圖，點(diǎn)在內(nèi)部，，若添加一個(gè)條件：______．則是等邊三角形．

【答案】AD=DE或∠EAD=60°或∠BAC=60°或AB=BC等
【分析】
根據(jù)全等三角形的性質(zhì)定理和等邊三角形的判定即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：∵△DAB≌△EAC，
∴AD=AE，
若添加條件：AD=DE，則△EAD是等邊三角形；
若添加條件：∠EAD=60°，則△EAD是等邊三角形；
若添加條件：∠BAC=60°，
∵△DAB≌△EAC，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴∠EAD=∠CAE+∠CAD=∠BAD +∠CAD =60°，
∴△EAD是等邊三角形；
若添加條件：AB=BC，同理可得△EAD是等邊三角形．
故答案為：AD=DE或∠EAD=60°或∠BAC=60°或AB=BC等．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，△BCD的周長(zhǎng)為13，△ABC的周長(zhǎng)是19，若∠ACD＝60°，則AD＝___．

【答案】6
【分析】
根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD＝AC，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．
【詳解】
解：∵DE是AC的垂直平分線，
∴DA＝DC，
∵∠ACD＝60°，
∴△ADC為等邊三角形，
∴AD＝AC，
∵△ABC的周長(zhǎng)是19，
∴AB+BC+AC＝19，
∵△BCD的周長(zhǎng)為13，
∴BD+DC+BC＝BD+DA+BC＝AB+BC＝13，
∴AC＝19﹣13＝6，
∴AD＝AC＝6，
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】
本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
9．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，腰長(zhǎng)為1，那么這個(gè)三角形底邊的長(zhǎng)是____．
【答案】或1
【分析】
分①三角形是鈍角三角形時(shí)，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得AD=AB，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠ABC=30°，然后根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)解答，②三角形是銳角三角形時(shí)，判斷出△ABC是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答．
【詳解】
解：①三角形是鈍角三角形時(shí)，如圖1，

∵∠ABD=30°，
∴AD=AB=×1=cm，BD=AB=cm，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAD=（90°30°）=30°，
∴BC=2BD=cm；
②三角形是銳角三角形時(shí)，如圖2，

∵∠ABD=30°，
∴∠A=90°30°=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴BC=AB=1cm．
綜上所述，其底邊長(zhǎng)是或1cm．
故答案為：或1．
【點(diǎn)睛】
本題考查了直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．

三、解答題
10．如圖，，是邊上的兩點(diǎn)，且，求的度數(shù)．

【答案】
【分析】
由，可得，繼而可得，．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得，．由此即可求得．
【詳解】
因?yàn)椋裕?br /> 所以，．
因?yàn)?，?br /> 所以，
．
所以．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
11．如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)，分別在邊，上，且，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

（1）求的度數(shù)；
（2）若，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）30°；（2）2
【分析】
（1）證明△DCE中的三個(gè)角均為60°，然后再求得∠F＝30°，則可得出答案；
（2）先證明是等邊三角形，然后由ED＝DC進(jìn)行求解即可．
【詳解】
解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝30°；
（2）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴是等邊三角形，
∴DE＝DC＝2．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查的是等邊三角形的性質(zhì)和判定以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
12．已知：如圖，B、C、E三點(diǎn)共線，，都是等邊三角形，連結(jié)AE、BD分別交CD、AC于N、M，連結(jié)MN．求證：AE＝BD，MN∥BE．

【答案】見(jiàn)解析
【分析】
本題應(yīng)從等邊三角形的性質(zhì)出發(fā)，利用三角形全等證明；為證明，可先證明為等邊三角形，再利用角去轉(zhuǎn)化證明．
【詳解】
證明：都是等邊三角形
∴
∠1＋∠2＋∠3＝180°
∴∠2＝60°∴
在和中
（已證）
∴（SAS）

∴（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）
（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）
在和中
（已證）
∴（ASA）
∴（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）
∵∠2＝60°
∴是等邊三角形（有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形）
∴∠6＝60°，∴∠6＝∠1
∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）
【點(diǎn)睛】
本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟悉以上性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，在等邊中，已知點(diǎn)在直線上（不與點(diǎn)、重合），點(diǎn)在直線上，且．

圖1

圖2
（1）若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求證：；
（2）若的邊長(zhǎng)為2，．求的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）的長(zhǎng)為1或3．
【分析】
（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，求出，得到，從而得到結(jié)論；
（2）對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，在線段上或在線段的反向延長(zhǎng)線，求出，從而求得的長(zhǎng)度．
【詳解】
（1）證明：∵是等邊三角形，為的中點(diǎn)，
∴，，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴．
（2）解：如圖，在線段上時(shí)，

∵，，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，
由（1）知，，∴；
如圖，在線段的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，
∵，，∴，
∵是等邊三角形，
∴，，
過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，

∴，
∴是等邊三角形，
∴，，
∵，∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
綜上所述，的長(zhǎng)為1或3．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，涉及了全等三角形的證明、等腰三角形的性質(zhì)等內(nèi)容，熟練掌握三角形的性質(zhì)以及全等三角形的證明是解決此題的關(guān)鍵．
14．如圖，在中，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊上，且．

（1）求證：是等腰三角形；
（2）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；
（3）若，判斷是否為等邊三角形．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）65°；（3）是，理由見(jiàn)解析
【分析】
（1）根據(jù)AB=AC可得∠B=∠C，即可求證△BDE≌△CEF，即可解題；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CEF=∠BDE，于是得到∠DEF=∠B，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）由（1）知：△DEF是等腰三角形，DE=EF，由（2）知，∠DEF=∠B，于是得到結(jié)論．
【詳解】
解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BDE和△CEF中，
∵，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵∠DEC=∠B+∠BDE，
即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，
∵△BDE≌△CEF，
∴∠CEF=∠BDE，
∴∠DEF=∠B，
又∵在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，
∴∠B=65°，
∴∠DEF=65°；
（3）由（1）知：△DEF是等腰三角形，即DE=EF，
由（2）知，∠DEF=∠B，
∵∠A=∠DEF，
∴∠A=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠A=∠B=∠C，
∴△ABC的等邊三角形，
∴∠B=∠DEF=60°，
∴△DEF是等邊三角形．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．已知，點(diǎn)P是等邊中一點(diǎn)，以線段為邊向右邊作等邊，連接、．

（1）求證：；
（2）若，求的長(zhǎng)度．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）5
【分析】
（1）根據(jù)證明，則可得出結(jié)論；
（2）證明，由勾股定理可求出答案．
【詳解】
解：（1）證明：是等邊三角形，
，，
是等邊三角形，，
是等邊三角形，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）是等邊三角形，
，，
，
，
，
，
是直角三角形，
．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，正確應(yīng)用等邊三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
16．如圖，、分別是等邊三角形的邊，上的點(diǎn)，且，、交于點(diǎn)．

（1）求證：；
（2）求的度數(shù)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）120°
【分析】
（1）欲證明CE=BF，只需證得△BCE≌△ABF；
（2）利用（1）中的全等三角形的性質(zhì)得到∠BCE=∠ABF，則由圖示知∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，所以根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠BPC=120°．
【詳解】
解：（1）證明：如圖，∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°，
∴在△BCE與△ABF中，
，
∴△BCE≌△ABF（SAS），
∴CE=BF；
（2）∵由（1）知△BCE≌△ABF，
∴∠BCE=∠ABF，
∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，
∴∠BPC=180°-60°=120°．
即：∠BPC=120°．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．
17．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿C→B→A→C的方向運(yùn)動(dòng)，速度為；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→A→C的方向運(yùn)動(dòng)，速度為，兩個(gè)點(diǎn)有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，解答下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)時(shí)，BP= （用含的式子表示）；
（2）當(dāng)= 時(shí)，PQ//BC，此時(shí)，△APQ是三角形；
（3）當(dāng)時(shí)，求的值．

【答案】（1）；（2），等邊；（3）當(dāng)時(shí)，或．
【分析】
（1）根據(jù)“路程=速度×?xí)r間”可判斷當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在邊AB上，即可求解；
（2）由平行線的性質(zhì)可求∠APQ＝∠B＝60°，∠AQP＝∠C＝60°，可證△APQ是等邊三角形，可得AP＝AQ，即可求解；
（3）分兩種情況討論，由BP＝2cm，列出方程可求解．
【詳解】
解：（1）解：由題意得當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在邊AB上，
∴BP=（cm），
故答案為：；
（2）如圖，∵PQ∥BC，
∴∠APQ＝∠B＝60°，∠AQP＝∠C＝60°，
∴△APQ是等邊三角形，
∴AP＝AQ，
∴20﹣4x＝3x﹣10，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，PQ∥BC，此時(shí)△APQ是等邊三角形；

故答案為：，等邊；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，
∴10﹣4x＝2，
∴x＝2，
當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，
∴4x﹣10＝2，
∴x＝3，
∴當(dāng)BP＝2cm時(shí)，x＝2或3．
【點(diǎn)睛】
本題為等邊三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，利用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
18．點(diǎn)D、A、E在直線m上（D、E兩點(diǎn)分別在點(diǎn)A的左右兩邊），AB＝AC，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．
（1）如圖1，若∠BAC＝90°，證明：DE＝BD+CE．
（2）如圖2，若∠BAC＝120°，點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且AF＝AB，連接DF、EF，試判斷DEF的形狀并說(shuō)明理由．

【答案】（1）z證明見(jiàn)解析；（2）DEF為等邊三角形，理由見(jiàn)解析
【分析】
（1）利用∠BDA＝∠BAC得到：∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE，得出∠DBA＝∠CAE，進(jìn)而得出△ABD≌△CAE即可得出答案；
（2）連接BF，證明△ABF為等邊三角形，可得∠ABF＝∠BAF＝∠AFB＝60°，證得∠FAC＝60°，由（1）知：△ADB≌△CEA，BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，得出△FDB≌△FEA，所以FD＝FE，∠BFD＝∠AFE，進(jìn)而得到∠DFE＝60°，所以可判斷△DEF的形狀為等邊三角形．
【詳解】

解：（1）證明：∵∠BDA＝∠BAC，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB和△CEA中，

∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）△DEF為等邊三角形．理由如下：
連接BF，如圖2所示
由（1）知，△ADB≌△CAE，
∴BD＝EA，∠DBA＝∠CAE，
∵∠BAC＝120°，AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF＝60°，
∵AF＝AB，
∴△ABF為等邊三角形，
∴∠ABF＝∠BAF＝∠AFB＝60°，
∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF＝∠FAE，
在△DBF和△EAF中，

∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，
∴△DEF為等邊三角形．
故答案為：△DEF為等邊三角形．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“AAS”、“ASA”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．
19．如圖，是等邊三角形，點(diǎn)為邊的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，交于點(diǎn)．

（1）判斷的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）求證：；
（3）當(dāng)點(diǎn)為的三等分點(diǎn)（）時(shí)，與的位置關(guān)系是______．
【答案】（1）是等邊三角形；見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）
【分析】
（1）可證明∠A=∠AED=∠D=60°；
（2）可證明△EDG≌△CFG，最后在依據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；
（3）證明DE=AE=EG，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求得∠EDG=∠EGD=30°，即可求解．
【詳解】
解：（1）△ADE是等邊三角形．
理由如下：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ACB=60°，∠ADE=∠B=60°，
∴∠A=∠AED=∠ADE，
∴△ADE是等邊三角形；
（2）∵△ADE是等邊三角形，
∴AD=DE=AE．
∵CF=DE，且DE∥BC，
∴∠EDG=∠F，∠DEG=∠FCG．
在△DEG和△FCG中
，
∴△DEG≌△FCG．
∴EG=CG；
（3）DF⊥AB．
∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，且AD=AB，
∴AD=DE=AE=AB=AC，
∴DE=AE=EC，
∵EG=CG=EC，
∴DE=AE=EG，
∵∠AED=∠ADE=60°，
∴∠EDG=∠EGD=30°，
∴∠ADG=∠ADE+∠EDG=90°，
∴DF與AB的位置關(guān)系是：DF⊥AB．
故答案為：DF⊥AB．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定定理，全等三角形的性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵．
20．在等邊△ABC中，點(diǎn)O在BC邊上，點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上且OA＝OD．
（1）如圖1，若點(diǎn)O為BC中點(diǎn)，求∠COD的度數(shù)．
（2）如圖2，若點(diǎn)O為BC上任意一點(diǎn)，求證：AD＝2BO+OC．
（3）如圖3，若點(diǎn)O為BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)P，連接AP，OP，請(qǐng)判斷△AOP的形狀，并說(shuō)明理由．

【答案】（1）30°；（2）見(jiàn)解析；（3）等邊三角形，理由見(jiàn)解析
【分析】
（1）由等邊三角形的性質(zhì)得出∠CAO＝30°，求出∠AOD的度數(shù)即可得出答案；
（2）如圖1，過(guò)O作OE∥AB，OE交AD于E，證明△COE為等邊三角形，根據(jù)AAS證明△AOE≌△DOC，得出CD＝EA，則AB＝AC，可得出答案；
（3）如圖2，連接PC，PD，延長(zhǎng)OC交PD于F，證明△OPE≌△OPF，得出∠POF＝∠DOF，OP＝OD，則△AOP為等腰三角形，過(guò)O作OE∥AB，OE交AD于E，證得∠AOP＝∠COE＝60°，則結(jié)論得證．
【詳解】
解：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵O為BC中點(diǎn)，
∴ ，
且AO⊥BC，∠AOC＝90°，
∵OA＝OD，
∴△AOD中，∠D＝∠CAO＝30°，
∴∠AOD＝180°﹣∠D﹣∠CAO＝120°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝30°；
（2）如圖1，過(guò)O作OE∥AB，OE交AD于E，

∵OE∥AB
∴∠EOC＝∠ABC＝60°∠CEO＝∠CAB＝60°，
∴△COE為等邊三角形，
∴OE＝OC＝CE∠AEO＝180°﹣∠CEO＝120°∠DCO＝180°﹣∠ACB＝120°，
又∵OA＝OD，
∴∠EAO＝∠CDO，
在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△DOC（AAS），
∴CD＝EA，
∵EA＝AC﹣CE，BO＝BC﹣CO，
∴EA＝BO，
∴BO＝CD，
又∵AD＝AC+CD，AB＝BC，
∴AD＝AB+BO＝BC+BO＝BO+CO+BO＝2BO+CO；
（3）△AOP為等邊三角形．
證明：如圖2，連接PC，PD，延長(zhǎng)OC交PD于F，

∵P、D關(guān)于OC對(duì)稱(chēng)，
∴PF＝DF，∠PFO＝∠DFO＝90°，
在△OPE與△OPF中，
，
∴△OPE≌△OPF（SAS），
∴∠POF＝∠DOF，OP＝OD，
∴△AOP為等腰三角形，
過(guò)O作OE∥AB，OE交AD于E，
由（2）得△AOE≌△DOC∠AOE＝∠DOC，
∴∠AOE＝∠POF，
∴∠AOE+∠POE＝∠POF+∠POE，
即∠AOP＝∠COE＝60°，
∴△AOP是等邊三角形．

【點(diǎn)睛】
本題是三幾何變換綜合題，考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，正確作出輔助線.
21．如圖1，在等邊三角形中，于于與相交于點(diǎn)．

（1）求證：；
（2）如圖2，若點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，平分交所在直線于點(diǎn)．求證：．
（3）如圖3，若點(diǎn)是線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，在下方作邊交所在直線于點(diǎn)．猜想：三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）OF=OG+OA，理由見(jiàn)解析
【分析】
（1）由等邊三角形的可求得∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，理由含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得OC=2OD，進(jìn)而可證明結(jié)論；
（2）理由ASA證明△CGB≌△CGF即可證明結(jié)論；
（3）連接OB，在OF上截取OM=OG，連接GM，可證得△OMG是等邊三角形，進(jìn)而可利用ASA證明△GMF≌△GOB，得到MF=OB=OA，由OF=OM+MF可說(shuō)明猜想的正確性．
【詳解】
解：（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，
∴OA=OC，
在Rt△OCD中，∠ODC=90°，∠OCD=30°，
∴OC=2OD，
∴OA=2OD；
（2）證明：∵AB=AC=BC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴BG=CG，
∴∠GCB=∠GBC，
∵CG平分∠BCE，
∴∠FCG=∠BCG=∠BCF=15°，
∴∠BGC=150°，
∵∠BGF=60°，
∴∠FGC=360°-∠BGC-∠BGF=150°，
∴∠BGC=∠FGC，
在△CGB和△CGF中，
，
∴△CGB≌△CGF（ASA），
∴GB=GF；
（3）解：OF=OG+OA．理由如下：
連接OB，在OF上截取OM=OG，連接GM，

∵CA=CB，CE⊥AB，
∴AE=BE，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠AOB=120°，∠AOM=∠BOM=60°，
∵OM=OG，
∴△OMG是等邊三角形，
∴GM=GO=OM，∠MGO=∠OMG=60°，
∵∠BGF=60°，
∴∠BGF=∠MGO，
∴∠MGF=∠OGB，
∵∠GMF=120°，
∴∠GMF=∠GOB，
在△GMF和△GOB中，
，
∴△GMF≌△GOB（ASA），
∴MF=OB，
∴MF=OA，
∵OF=OM+MF，
∴OF=OG+OA．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定的與性質(zhì)，含30° 角的直角三角形，角平分線的定義等知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬于三角形的綜合題，證明相關(guān)三角形全等是解題的關(guān)鍵．
22．（1）如圖1，等邊△ABC中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，若∠EDF＝120°，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，DF與BC的延長(zhǎng)線交于F點(diǎn)，則DE與DF的數(shù)量關(guān)系是　　；BE＋BF與的BC數(shù)量關(guān)系是　　；（寫(xiě)出結(jié)論即可，不必證明）

（2）將（1）中的點(diǎn)E移動(dòng)一定距離（如圖2），DE交AB于E點(diǎn)，DF交BC的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，其中“等邊△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，若∠EDF＝120°”這一條件不變，則DE與DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？BE＋BF與BC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的結(jié)論并加以證明；
（3）將（1）中的點(diǎn)E移動(dòng)到AB延長(zhǎng)線上，DE與AB的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，DF交BC的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)（如圖3），其中“等邊△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，若∠EDF＝120°”這一條件仍然不變，則BE、BF、BC這三者之間的數(shù)量關(guān)系是　 ?。ㄖ苯訉?xiě)出結(jié)論即可）
【答案】（1）DE=DF，BE+BF=BC；（2）DE=DF，BE+BF=BC；（3）DE=DF，BF-BE=BC
【分析】
（1）點(diǎn)與點(diǎn)重合，即，因?yàn)?，所以可得出三者之間的關(guān)系；
（2）過(guò)作交于點(diǎn)，證明，DE=DF，ME=CF，即可得到結(jié)果；
（3）取中點(diǎn)，連接，證明△END≌△FCD，得到DE=DF，從而判斷BE、BF、BC的關(guān)系．
【詳解】
解：（1）等邊中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，
，
，
；
（2）；．
過(guò)作交于點(diǎn)，

則，，
是等邊三角形，
則，，
則，
即：，
在和中，
，
，
，，
∴；
（3）取中點(diǎn)，連接，如圖所示
，，，
，
，
，
，
．
．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；可圍繞結(jié)論尋找全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)判定線段相等，證得三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵．
23．已知，點(diǎn)A在邊OM上，點(diǎn)P是邊ON上一動(dòng)點(diǎn)，，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段AB，連接OB，再將線段OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段OC，作于點(diǎn)H．
（1）如圖1，．
①依題意補(bǔ)全圖形；
②連接BP，求的度數(shù)；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在射線ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，用等式表示線段OA與CH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

【答案】（1）①見(jiàn)解析；②90°；（2），見(jiàn)解析
【分析】
（1）①按題意畫(huà)圖即可；②由旋轉(zhuǎn)可得是等邊三角形，進(jìn)而求出的度數(shù)；
（2）由旋轉(zhuǎn)證，得出，再求出，可得線段OA與CH之間的數(shù)量關(guān)系．
【詳解】
解：（1）①下圖即為所求：

② ，
解：∵線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AB，
，且．
是等邊三角形．
．
，
，
．
．
（2）
證明：連接BP，BC，
由（2）可知，是等邊三角形，
．
∵線段OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OC，

．
是等邊三角形．
．
．
．
．
，
．
．
，
．
，
．
∴在中，．
．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)準(zhǔn)確進(jìn)行推理證明．
24．如圖，△ABD和△BCE都是等邊三角形，∠ABC＜105°，AE與DC交于點(diǎn)F．
（1）求證：AE＝DC；
（2）求∠BFE的度數(shù)；
（3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求CD．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）60°；（3）18.23cm
【分析】
（1）由等邊三角形的性質(zhì)可知∠DBA＝∠EBC＝60°，BD＝AB，BC＝BE．從而可證∠DBC＝∠ABE．即可利用“SAS”可證明△DBC≌△ABE，得出結(jié)論AE＝DC．
（2）過(guò)點(diǎn)B作BN⊥CD于N，BH⊥AE于H．由△DBC≌△ABE可知∠BEH＝∠BCN，∠BDF＝∠BAF．再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可求出∠FDA+∠DAF＝120°，進(jìn)而求出∠DFA＝180°-120°＝60°，即求出∠DFE＝180°-60°＝120°．即可利用“AAS”證明△BEH≌△BCN，得出結(jié)論BH＝BN，即得出BF平分∠DFE，即可求出∠BFE＝60°．
（3）延長(zhǎng)BF至Q，使FQ＝AF，連接AQ．根據(jù)所作輔助線可知∠AFQ＝∠BFE＝60°，即證明△AFQ是等邊三角形，得出結(jié)論AF＝AQ＝BQ，∠FAQ＝60°．又可證明∠DAF＝∠BAQ．利用“SAS”可證明△DAF≌△BAQ，即得出DF＝BQ＝BF+FQ＝BF+AF，最后即可求出CD＝DF+CF＝BF+AF+CF＝1.53+9.17+7.53＝18.23cm．
【詳解】
（1）證明：∵△ABD和△BCE都是等邊三角形，
∴∠DBA＝∠EBC＝60°，BD＝AB，BC＝BE，
∴∠DBA+∠ABC＝∠EBC+∠ABC，即∠DBC＝∠ABE，
∵在△DBC和△ABE中，，
∴△DBC≌△ABE（SAS），
∴AE＝DC；
（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥CD于N，BH⊥AE于H．

∵△DBC≌△ABE，
∴∠BEH＝∠BCN，∠BDF＝∠BAF，
∵△ABD是等邊三角形，
∴∠BDA+∠BAD＝120°，
∴∠FDA+∠DAF＝120°，
∴∠DFA＝180°-120°＝60°，
∴∠DFE＝180°-60°＝120°，
在△BEH和△BCN中，
，
∴△BEH≌△BCN（AAS），
∴BH＝BN，
∴BF平分∠DFE，
∴∠BFE＝∠DFE＝×120°＝60°；
（3）解：如圖，延長(zhǎng)BF至Q，使FQ＝AF，連接AQ．
則∠AFQ＝∠BFE＝60°，
∴△AFQ是等邊三角形，
∴AF＝AQ＝BQ，∠FAQ＝60°，
∵△ABD是等邊三角形，
∴AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴∠DAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAQ，即∠DAF＝∠BAQ，
在△DAF和△BAQ中，，
∴△DAF≌△BAQ（SAS），
∴DF＝BQ＝BF+FQ＝BF+AF，
∴CD＝DF+CF＝BF+AF+CF＝1.53+9.17+7.53＝18.23cm．

【點(diǎn)睛】
本題為三角形綜合題．考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的判定和性質(zhì)．正確的作出輔助線也是解答本題的關(guān)鍵．
25．如圖，已知CD是線段AB的垂直平分線，垂足為D，C在D點(diǎn)上方，∠BAC=30°，P是直線CD上一動(dòng)點(diǎn)，E是射線AC上除A點(diǎn)外的一點(diǎn)，PB=PE，連BE．
（1）如圖1，若點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，求∠ABE的度數(shù)；
（2）如圖2，若P在C點(diǎn)上方，求證：PD+AC=CE；
（3）若AC=6，CE=2，則PD的值為　 ?。ㄖ苯訉?xiě)出結(jié)果）．

【答案】（1）∠ABE=90°；（2）PD+AC=CE，見(jiàn)解析；（3）1
【分析】
（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)得到：△BPE為等邊三角形，則∠CBE=60°，故∠ABE=90°；
（2）如圖2，過(guò)P作PH⊥AE于H，連BC，作PG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于G，構(gòu)造含30度角的直角△PCG、直角△CPH以及全等三角形（Rt△PGB≌Rt△PHE），根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得結(jié)論；
（3）分三種情況討論，根據(jù)（2）的解題思路得到PD=AC+CE或PD=CE-AC，將數(shù)值代入求解即可．
【詳解】
（1）解：如圖1，∵點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，CD是線段AB的垂直平分線，

∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA=30°，
∴∠BPE=∠PAB+∠PBA=60°，
∵PB=PE，
∴△BPE為等邊三角形，
∴∠CBE=60°，
∴∠ABE=90°；
（2）如圖2，過(guò)P作PH⊥AE于H，連BC，作PG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于G，

∵CD垂直平分AB，
∴CA=CB，
∵∠BAC=30°，
∴∠ACD=∠BCD=60°，
∴∠GCP=∠HCP=∠BCE=∠ACD=∠BCD=60°，
∴∠GPC=∠HPC=30°，
∴PG=PH，CG=CH=CP，CD=AC，
在Rt△PGB和Rt△PHE中，
，
∴Rt△PGB≌Rt△PHE（HL）．
∴BG=EH，即CB+CG=CE-CH，
∴CB+CP=CE-CP，即CB+CP=CE，
又∵CB=AC，
∴CP=PD-CD=PD-AC，
∴PD+AC=CE；
（3）①當(dāng)P在C點(diǎn)上方時(shí)，由（2）得：PD=CE-AC，
當(dāng)AC=6，CE=2時(shí)，PD=2-3=-1，不符合題意；
②當(dāng)P在線段CD上時(shí)，
如圖3，過(guò)P作PH⊥AE于H，連BC，作PG⊥BC交BC于G，

此時(shí)Rt△PGB≌Rt△PHE（HL），
∴BG=EH，即CB-CG=CE+CH，
∴CB-CP=CE+CP，即CP=CB-CE，
又∵CB=AC，
∴PD=CD-CP=AC-CB+CE，
∴PD=CE-AC．
當(dāng)AC=6，CE=2時(shí)，PD=2-3=-1，不符合題意；
③當(dāng)P在D點(diǎn)下方時(shí)，如圖4，

同理，PD=AC-CE，
當(dāng)AC=6，CE=2時(shí)，PD=3-2=1．
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了三角形綜合題，綜合運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)，含30度角直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度較大，解題時(shí)，注意要分類(lèi)討論．
26．如圖所示，已知ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度是1厘米/秒的速度，點(diǎn)N的速度是2厘米/秒，當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
（1）M、N同時(shí)運(yùn)動(dòng)幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？
（2）M、N同時(shí)運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得等邊三角形AMN？
（3）M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以MN為底邊的等腰AMN，如中存在，請(qǐng)求出此時(shí)M、N同時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間？

【答案】（1）10；（2）；（3）；
【分析】
（1）首先設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，表示出M，N的運(yùn)動(dòng)路程，N的運(yùn)動(dòng)路程比M的運(yùn)動(dòng)路程多10cm，列出方程求解即可；
（2）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形△AMN，然后表示出AM，AN的長(zhǎng)，由于∠A等于60°，所以只要AM=AN，三角形ANM就是等邊三角形；
（3）首先假設(shè)△AMN是等腰三角形，可證出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，設(shè)出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，表示出CM，NB的長(zhǎng)，列出方程，可解出未知數(shù)的值；
【詳解】
（1）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，
∵ AB=AC=BC=10
∴ x×1+10=2x，
解得：x=10．
（2）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形△AMN
如圖①，

AM=t×1=t，AN=AB-BN=10-2t，
∵三角形△AMN是等邊三角形，
∴t=10-2t，
解得：
∴點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)秒后，可得到等邊三角形△AMN．
（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能得到以MN為底邊的等腰△AMN，此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒。
當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到以MN為底邊的等腰三角形，
由上一問(wèn)知10秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合，恰好在C處，
如圖②，假設(shè)△AMN是等腰三角形，

∴AN=AM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴∠AMC=∠ANB，
∵AB=BC=AC，
∴△ACB是等邊三角形，
∴∠C=∠B，
∴在△ACM和△ABN中，

∴△ACM≌△ABN(AAS)，
∴CM=BN，
設(shè)當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間y秒時(shí)，△AMN是等腰三角形；
∴CM=y-10，NB=30-2y，CM=NB， y-10=30-2y，
解得：，故假設(shè)成立；
∴當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能得到以MN為底邊的等腰△AMN，此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒；
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定，關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，理清線段之間的數(shù)量關(guān)系；
27．已知：在等腰中，，是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，是等邊三角形．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：
①；②；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，（1）中的結(jié)論②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段，，三者之間的數(shù)量關(guān)系．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）
【分析】
（1）①連接，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性證，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得；
②在上截取，證和是等邊三角形即可；
（2）在上截取，證和是等邊三角形即可．
【詳解】
解：（1）證明：①如圖1，連接，

∵，為的中點(diǎn)，
∴直線是等腰的對(duì)稱(chēng)軸，
∵在上，
∴由軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)得：，，
又∵是等邊三角形，
∴，
∴，∴，
則．
②如圖1，在上截取，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
則．
（2）如圖2，（1）中的結(jié)論②不成立．
在上截取，由（1）得，
，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
則．
故線段，，三者之間的數(shù)量關(guān)系為．

【點(diǎn)睛】
本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)淖鬏o助線，構(gòu)建全等三角形進(jìn)行證明．
28．如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片和重合放置，其中，．

（1）操作發(fā)現(xiàn)：
如圖2，固定，使繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)．
填空：①線段與的位置關(guān)系是________；
②設(shè)的面積為，的面積為，則與的數(shù)量關(guān)系是________．
（2）猜想論證：
當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中與的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了和中、邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想．
【答案】（1）①DE∥AC；②S1=S2；（2）見(jiàn)解析
【分析】
（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACD=60°，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行解答；
②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AD，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C到AB的距離等于點(diǎn)D到AC的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明．
【詳解】
解：（1）①DE∥AC，
理由如下：
∵△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)點(diǎn)D恰好落在AB邊上，
∴AC=CD，
∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠CDE，
∴DE∥AC；
②∵∠B=30°，∠C=90°，
∴CD=AC=AB，
∴BD=AD=AC，
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，△ACD的邊AC、AD上的高相等，
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），
即S1=S2；
故答案為：DE∥AC；S1=S2；
（2）如圖3，∵△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
在△ACN和△DCM中，
，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），
即S1=S2．

【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等，以及全等三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵．
29．如圖所示，回答下列問(wèn)題

（1）如圖1，在中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線，⊥直線，垂足分別為點(diǎn)、．證明：．
（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，、、三點(diǎn)都在直線上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問(wèn)結(jié)論是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）拓展與應(yīng)用：如圖3，、是、、三點(diǎn)所在直線上的兩動(dòng)點(diǎn)（、、三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)為平分線上的一點(diǎn)，且和均為等邊三角形，連接、，若，，試判斷的形狀，并求出的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）等邊三角形，6cm
【分析】
（1）根據(jù)直線m，直線m，得，而，根據(jù)等角的余角相等得，然后根據(jù)“”可判斷，則，，于是；
（2）利用，則，得出，進(jìn)而得出即可得出答案；
（3）通過(guò)證明和得到，即可求解．
【詳解】
解：（1），，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，．
，
；
（2）成立，理由如下：
，
，
，
，
在和中，
，
，．
，
；
（3）△DEF是等邊三角形，理由如下：
，
，
，
，
∵和均為等邊三角形，
∴，
在和中，
，
∴，，
∵和均為等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是等邊三角形，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判斷與性質(zhì)，掌握上述基本性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

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