?專訓(xùn)13.3.1.3 等腰三角形的性質(zhì)與判定的綜合
一、單選題
1．如圖，∠ABE＝∠ACD，∠EBC＝∠DCB，則下列結(jié)論正確的有（　　）
①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE；④CD＝BE．

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】D
【分析】
由∠ABE＝∠ACD，∠EBC＝∠DCB，可得出∠ABC＝∠ACB，再利用等角對(duì)等邊可得出AB＝AC，可判斷①；由∠A＝∠A，AB＝AC及∠ABE＝∠ACD，可證出△ABE≌△ACD（ASA），再利用全等三角形的性質(zhì)可得出AD＝AE，CD＝BE，可判斷②④；由AB＝AC，AD＝AE，可得出BD＝CE可判斷③即可．
【詳解】
解：∵∠ABE＝∠ACD，∠EBC＝∠DCB，
∴∠ABE+∠EBC＝∠ACD+∠DCB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，結(jié)論①正確；
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AD＝AE，CD＝BE，結(jié)論②④正確；
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
∴BD＝CE，結(jié)論③正確．
∴正確的結(jié)論有4個(gè)．
故選擇：D．

【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，銳角三角形ABC中，D點(diǎn)在BC上，，今欲在AD上找一點(diǎn)P，使得，以下是甲、乙兩人的作法：
甲：作AC的中垂線交AD于P點(diǎn)，則P即為所求．
乙：以C為圓心，CD長為半徑畫弧，交AD于異于D點(diǎn)的一點(diǎn)P，則P即為所求．
對(duì)于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？（ ）

A．兩人皆正確 B．兩人皆錯(cuò)誤
C．甲正確，乙錯(cuò)誤 D．甲錯(cuò)誤，乙正確
【答案】A
【分析】
兩人都是正確的．利用等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)一一判斷即可．
【詳解】
解：兩人都是正確的．
理由：甲，點(diǎn)P在AC的垂直平分線上，
，
，
，
，
，，
，
乙，，
，
，
甲、乙兩人的作法都是正確的，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查作圖復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用等腰三角形的判定和性質(zhì)解決問題．
3．如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑作弧，分別交邊，于點(diǎn)，；再分別以點(diǎn)，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn).設(shè)，的面積分別為，，則的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)作圖過程可得是的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和，，可得，設(shè)，則，，根據(jù)三角形的面積公式分別求出，，再計(jì)算即可．
【詳解】
解：根據(jù)作圖過程可知：是的平分線，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴
∴
設(shè)，則在中，
∴，，
∴，，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了角平分線的作法，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積公式等知識(shí)點(diǎn)，掌握角平分線的畫法與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
4．求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形．
已知：如圖，是的外角，，AD∥BC．求證．

以下是排亂的證明過程：①又，
②∴，
③∵AD∥BC，
④∴，，
⑤∴．
證明步驟正確的順序是（ ）
A．③→②→①→④→⑤ B．③→④→①→②→⑤
C．①→②→④→③→⑤ D．①→④→③→②→⑤
【答案】B
【分析】
根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再利用等量代換，得出，即可判定是等腰三角形，即可證明．
【詳解】
具體步驟為：
③∵AD∥BC，
④∴，，
①又，
②∴，
⑤∴．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查平行線的性質(zhì)，等量代換，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)與等腰三角形的判定與性質(zhì)．
5．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，BE是AC邊的中線，CF是∠ACB的角平分線，CF交AD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，下面說法正確的是（ ）
①△ABE的面積＝△BCE的面積；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．

A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【答案】D
【分析】
根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行判斷①，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠FAG＝∠ACB，再判斷②即可，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠AFG＝∠AGF，再根據(jù)等腰三角形的判定判斷③即可，根據(jù)等腰三角形的判定判斷④即可．
【詳解】
解：∵BE是AC邊的中線，
∴AE＝CE，
∵△ABE的面積＝，△BCE的面積＝AB，
∴△ABE的面積＝△BCE的面積，故①正確；
∵AD是BC邊上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分線，
∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠FAG＝2∠FCB，故②錯(cuò)誤；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，
∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故③正確；
根據(jù)已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④錯(cuò)誤；
即正確的為①③，
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了角平分線的定義，三角形的面積，三角形的中線，三角形的高，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
6．如圖在中，和的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于，交于，過點(diǎn)作于，下列四個(gè)結(jié)論：其中正確的結(jié)論有（ ）個(gè)．
①；②；③點(diǎn)到各邊的距離相等；
④設(shè),，則；⑤的周長等于的和．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
①根據(jù)∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G可得出∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG，再由EF∥BC可知∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，故可得出BE=EG，GF=CF，由此可得出結(jié)論；②先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB），再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；③根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；④連接AG，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論；⑤根據(jù)BE=EG，GF=CF，進(jìn)行等量代換可得結(jié)論．
【詳解】
解：①∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，
∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．
∵EF∥BC，
∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，
∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，
∴BE=EG，GF=CF，
∴EF=EG+GF=BE+CF，故①正確；
②∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，
∴∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A），
∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A，故②錯(cuò)誤；
③∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，
∴點(diǎn)G也在∠BAC的平分線上，
∴點(diǎn)G到△ABC各邊的距離相等，故③正確；
④連接AG，作GM⊥AB于M，如圖所示：

∵點(diǎn)G是△ABC的角平分線的交點(diǎn)，GD=m，AE+AF=n，
∴GD=GM=m，
∴S△AEF=AE?GM+AF?GD=（AE+AF）?GD=nm，故④錯(cuò)誤．
⑤∵BE=EG，GF=CF，
∴AE+AF+EF=AE+AF+EG+FG=AE+AF+BE+CF=AB+AC，
即△AEF的周長等于AB+AC的和，故⑤正確，
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及三角形內(nèi)心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．


二、填空題
7．如圖，以的頂點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交邊于點(diǎn)，連接．若，，則的大小為______度．

【答案】75
【分析】
根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠B=180°-∠BAC-∠C=30°，由作圖可得：BA=BD,BA=BD,再根據(jù)等腰三角形兩底角相等得出∠BAD=∠ADB=（180°-∠B）÷2=75°．
【詳解】
解：∵∠BAC=100°，∠C=50°，
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=30°，
由作圖可得：AB=BD，
∴∠BAD=∠ADB=（180°-∠B）÷2=75°，
故答案為：75°．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握等邊對(duì)等角是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，中，是上任意一點(diǎn)，于點(diǎn)于點(diǎn)F，若，則________．

【答案】1
【分析】
將的面積拆成兩個(gè)三角形面積之和，即可間接求出的值．
【詳解】
解：連接，如下圖：

于點(diǎn)于點(diǎn)，


，
，
，
故答案是：1．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，利用面積法解決兩邊之和問題，解題的關(guān)鍵是：將的面積拆成兩個(gè)三角形面積之和來解答．
9．如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分別是線段BC、AC上的一點(diǎn)，且AD＝AE．用等式表示∠1和∠2之間的數(shù)量關(guān)系是__．

【答案】∠1＝2∠2．
【分析】
根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，得出∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再利用等腰三角形的性質(zhì)，等量代換和等式的性質(zhì)即可求得．
【詳解】
∵是△ABD的外角，是△DEC的外角，
∴∠AED＝∠2+∠C，∠ADC＝∠B+∠1，
又∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∴,
∴,
即,
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
,
即∠1＝2∠2,
故填：∠1＝2∠2．
【點(diǎn)睛】
本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)和等式的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)和等式的性質(zhì)．

三、解答題
10．如圖，在中，平分于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，若，求的長．

【答案】4
【分析】
根據(jù)角平分線的定義可得∠CAD=∠BAD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠CAD=∠ADE，然后求出∠ADE=∠BAD，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AE=DE，然后根據(jù)等角的余角相等求出∠ABD=∠BDE，根據(jù)等角對(duì)等邊可得DE=BE．
【詳解】
解：∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠CAD=∠BAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD=∠ADE，
∴∠ADE=∠BAD，
∴AE=DE，
∵BD⊥AD，
∴∠ADE+∠BDE=∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE=BE=4．
【點(diǎn)睛】
本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及等角的余角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖，準(zhǔn)確找出圖中相等的角是解題的關(guān)鍵．
11．如圖，在中，．線段是由線段平移得到的，點(diǎn)F在邊上，是以為斜邊的等腰直角三角形，且點(diǎn)D恰好在的延長線上．

（1）求證：；
（2）求證：．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】
（1）通過兩角和等于，然后通過等量代換即可證明；
（2）通過平移的性質(zhì)，證明三角形全等，得到對(duì)應(yīng)邊相等，通過等量代換即可證明．
【詳解】
證明：（1）在等腰直角三角形中，，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）連接．

由平移的性質(zhì)得．
∴，
∴，
∴．
∵是等腰直角三角形，
∴．
由（1）得，
∴，
∴，∴．
【點(diǎn)睛】
本小題考查平移的性質(zhì)、直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：正確添加輔助線、熟練掌握平移的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)．
12．如圖，點(diǎn)C在線段上，．

（1）求證：．
（2）若，求的度數(shù)．
【答案】（1）見詳解；（2）50°
【分析】
（1）由“SAS”可證△ADC≌△BCE，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）由全等三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】
證明：（1）∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
∵AC＝BE， AD＝BC，
∴△ADC≌△BCE（SAS）
∴CD＝CE，
∴；
（2）∵△ADC≌△BCE，，
∴∠DCB＝60°，∠ADC＝∠ECB＝20°，CD＝CE，
∴∠DCE＝∠DCB＋∠ECB＝80°，
∴∠CDE＝（180°-80°）÷2=50°．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證明△ADC≌△BCE是本題的關(guān)鍵．
13．如圖，在中，，的垂直平分線交、于點(diǎn)、．
（1）若，求、的度數(shù)；
（2）若，，求的周長．

【答案】（1）；；（2）19
【分析】
（1）可得AE=BE，則∠B=∠BAE=40°，可求出∠3的度數(shù)，再求∠1即可；
（2）由AE=BE，可求出結(jié)論．
【詳解】
解：∵AB的垂直平分線分別交AB，BC于點(diǎn)D，E，
∴BE=AE，∠ADE=∠BDE，
∵AB=BC，
∴∠C=∠BAC=∠3+∠4=72°，
∴∠B=180°-∠C-∠BAC=180°-72°-72°=36°，
∴∠3=∠B=36°，
∴∠1=90°-∠3=54°；
（2）∵BD=6，
∴AB=2BD=2×6=12，
∴BC=12，
∵AE=BE，
∴AE+CE+AC=BC+AC=12+7=19．
即△AEC的周長為19．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
14．如圖，在中，，且．

（1）作的垂直平分線，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E；連接；延長，交直線于點(diǎn)F；
（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）所作的圖中，求證：．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】
（1）作圖：分別以為圓心，大于為半徑作圓弧相交于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)作直線，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E
（2）根據(jù)和（1）的結(jié)論，證明是等腰三角形，且，即可證明
【詳解】
（1）如圖：

分別以為圓心，大于為半徑作圓弧相交于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)作直線，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E
（2）如（1）中所作的圖
，且

是的垂直平分線


,
,






是等腰三角形
又

【點(diǎn)睛】
本題考查了垂直平分線的作圖，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，證明是等腰三角形是解題的關(guān)鍵．
15．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊BC上，連接AE，AF，∠BAF＝∠CAE，延長AF至點(diǎn)D，使AD＝AC，連接CD．
（1）求證：△ABE≌△ACF；
（2）若∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，求∠ADC的度數(shù)．

【答案】（1）見解析；（2）80°
【分析】
（1）要證明△ABE≌△ACF，由題意可得AB＝AC，∠B＝∠ACF，∠AEF＝∠AFE，從而可以證明結(jié)論成立；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論和等腰三角形的性質(zhì)可以求得∠ADC的度數(shù)．
【詳解】
解：（1）證明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACF，
∵∠BAF＝∠CAE，
∴∠BAF﹣∠EAF＝∠CAE﹣∠EAF，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA）；
（2）解：∵B＝∠ACF＝30°，
∵∠AEB＝130°，
∴∠BAE＝180°﹣130°﹣30°＝20°，
∵△ABE≌△ACF，
∴∠CAF＝∠BAE＝20°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠ADC＝＝80°．
答：∠ADC的度數(shù)為80°．
【點(diǎn)睛】
本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
16．如圖， 是的兩條高線，且它們相交于F，于點(diǎn)H，與相交于點(diǎn)G，已知．

（1）求證： ．
（2）若平分．求證： ．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】
（1）根據(jù)垂直的定義得到∠CEF=∠ADC=∠BDF=90°，求得∠ACD=∠DBF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)DH⊥BC，求得∠HGB+∠HBG=90°，根據(jù)角平分線的定義得到∠HBG=∠FBD，求得∠DFG=∠DGF．
【詳解】
解：（1）證明：∵CD，BE是△ABC的兩條高線，
∴∠CEF=∠ADC=∠BDF=90°，
∵∠CFE=∠BFD，
∴∠ACD=∠DBF，
∵CD=BD，
∴△ACD≌△FBD（ASA），
∴BF=AC；
（2）∵∠BDC=90°，CD=BD，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵DH⊥BC，
∴∠HGB+∠HBG=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠HBG=∠FBD，
∵∠DFB+∠DBF=90°，
∴∠DFG=∠BGH，
∵∠BGH=∠DGF，
∴∠DFG=∠DGF．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
17．如圖，和均為等腰三角形，，，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接．

（1）如圖1，若．
①求證：；
②則的度數(shù)為_______．
（2）如圖2，若，為中邊上的高，試猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并簡要證明你的結(jié)論．
【答案】（1）①見解析；②；（2）．理由見解析．
【分析】
（1）①證明即可；②根據(jù)①得到結(jié)合已知條件，即可求解；
（2）由（1）結(jié)論，可得，都是等腰直角三角形，從而得出結(jié)論．
【詳解】
（1）①證明：，，，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
②
由①
，





（2）結(jié)論：．
理由：，都是等腰直角三角形，
，
由（1）可得，
，
，，
．
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練以上性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
18．如圖，在中，為的中點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以3個(gè)單位長度每秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以3個(gè)單位長度每秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是秒．

（1）在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)______秒時(shí)，；
（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)時(shí)，求出的值；
（3）是否存在某一時(shí)刻，使？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）不存在；答案見解析．
【分析】
（1）根據(jù)題意求出BP，CQ，結(jié)合圖形用含t的代數(shù)式表示CP的長度，根據(jù)CP＝CQ，列式計(jì)算即可；
（2）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等列式計(jì)算；
（3）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等列式計(jì)算，判斷即可．
【詳解】
解：（1）由題意得BP＝CQ＝3t，
則CP＝8﹣3t，
∵CP＝CQ，
∴8﹣3t＝3t，
解得，t，
則當(dāng)t時(shí)，；
（2）∵D為AB的中點(diǎn)，AB＝AC＝10，
∴BD＝5，
∵△BPD≌△CQP，
∴BD＝CP，
∴8﹣3t＝5，
解得，t＝1，
則當(dāng)△BPD≌△CQP時(shí)，t＝1；
（3）不存在，∵△BPD≌△CPQ，
∴BD＝CQ，BP＝CP，
則3t＝5，3t＝8﹣3t
解得，t，t，
∴不存在某一時(shí)刻t，使△BPD≌△CPQ．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是幾何動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題、全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．
19．如圖，在中，．D是內(nèi)一點(diǎn)，．過點(diǎn)B作交的延長線于點(diǎn)E．

（1）依題意補(bǔ)全圖形；
（2）求證：；
（3）在（1）補(bǔ)全的圖形中，不添加其他新的線段，在圖中找出與相等的線段并加以證明．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）AE；見解析
【分析】
（1）根據(jù)題意作出平行線和交點(diǎn)即可；
（2）如圖，根據(jù)平行，得到∠1=∠ADC=∠BAC，再根據(jù)三角形外角定理得到，，從而；
（3）通過在上截取，構(gòu)造，再結(jié)合平行進(jìn)一步得到，從而證明，．
【詳解】
解：補(bǔ)全圖形如圖6所示．

（2）證明：如圖7，延長至點(diǎn)F．

∵，點(diǎn)F在的延長線上，
∴．
∵，∴．
∵是的外角，
∴，∴．
又∵，
∴．
（3）
證明：如圖8，延長至點(diǎn)F，在上截取，連接


由（2）得，又∵
∴，∴．
∵，∴．
∵，
∴．∴．
∴．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了構(gòu)造三角形全等，以及外角的相關(guān)知識(shí)，能夠畫輔助線構(gòu)造全等是解決本題的關(guān)鍵．
20．在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

（1）如圖1，若，，求的度數(shù)；
（2）如圖2，若，求證：；
（3）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有可能的與的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1）50°；（2）見解析；（3）、、
【分析】
（1）知道，，，分別為，的垂直平分線，用垂直平分線的性質(zhì)可求；
（2），分別為，的垂直平分線，可得，求出可證；
（3）分別考慮AE=AG、、AG=GE時(shí)這三種情況即可．
【詳解】
（1），，
；
，分別為，的垂直平分線，
，，
，，
；
（2），
，
，分別為，的垂直平分線，
，，

在與中，



（3）當(dāng)是等腰三角形時(shí)
①當(dāng)AE=AG時(shí)，
∴∠AEG=∠AGE，
∵，，
∴，
∴
②當(dāng)時(shí)，
∴∠EAG=∠EGA，
∵，，
∴，
∵
∴
∴．
③當(dāng)AG=GE時(shí)，同理可得

綜上所述：、、．
【點(diǎn)睛】
此題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
21．如圖，在中，，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，，連結(jié)CD，BE．

（1）若，求，的度數(shù)．
（2）寫出與之間的關(guān)系，并說明理由．
【答案】（1）；；（2），見解析
【分析】
（1）利用三角形的內(nèi)角和定理求出的大小，再利用等腰三角形的性質(zhì)分別求出，．
（2）利用三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，求出用含分別表示，，即可得到兩角的關(guān)系．
【詳解】
（1），，
．
在中，，
，
，
，
．
．

（2），的關(guān)系：．
理由如下：設(shè)，．
在中，，
，
．
，
在中，，
．
．
．
．
【點(diǎn)睛】
本題主要通過求解角和兩角之間的關(guān)系，考查三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．三角形的內(nèi)角和等于 ．三角形的外角等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．等腰三角形等邊對(duì)等角．
22．如圖，在四邊形中，，，，是邊上的兩點(diǎn)，且．

（1）求證：≌．
（2）若，求的度數(shù)．
【答案】（1）見解析；（2）35°
【分析】
（1）利用SAS證明≌即可；
（2）先利用等角對(duì)等邊證得，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求解．
【詳解】
（1）證明：∵，
∴，
即，
∵，，
∴≌(SAS)；

（2）∵≌，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
23．如圖，已知．

（1）與全等嗎？請(qǐng)說明理由；
（2）若，垂足為F，請(qǐng)說明線段；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，猜想線段存在的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)論．
【答案】（1），理由見解析；（2）理由見解析；（3）．
【分析】
（1）利用等量代換求出，根據(jù)證明；
（2）延長到，使得，連接，通過證明，得出，然后通過等量代換即可說明；
（3）在利用（2）的結(jié)論的前提下，再通過等量代換即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：（1）
證明：，
，
，
在和中，，
；
（2），理由如下；
延長到，使得，連接，如下圖：

，
，
，
，
，
，
,
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
（3）猜想線段存在的數(shù)量關(guān)系為：，
理由如下：
由（2）可知：，
，
通過等量代換得：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，同時(shí)要熟練運(yùn)用等量代換的思想來轉(zhuǎn)化．
24．如圖①，△ABC中．AB＝AC，P為底邊BC上一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分別為E、F、H．易證PE＋PF＝CH．證明過程如下：

如圖①，連接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴＝AB?PE，＝AC?PF，＝AB?CH．
又∵，
∴AB?PE＋AC?PF＝AB?CH．∵AB＝AC，∴PE＋PF＝CH．
（1）如圖②，P為BC延長線上的點(diǎn)時(shí)，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明：
（2）填空：若∠A＝30°，△ABC的面積為49，點(diǎn)P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF，當(dāng)PF＝3時(shí)，則AB邊上的高CH______．點(diǎn)P到AB邊的距離PE＝________．
【答案】（1）PE＝PF＋CH，證明見解析；（2）7；4或10；
【分析】
（1）連接AP．先根據(jù)三角形的面積公式分別表示出，，，再由＝＋即可得出PE＝PF＋PH；
（2）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AC＝2CH，再由△ABC的面積為49，求出CH＝7，由于CH＞PF，則可分兩種情況進(jìn)行討論：①P為底邊BC上一點(diǎn)，運(yùn)用結(jié)論P(yáng)E＋PF＝CH；②P為BC延長線上的點(diǎn)時(shí)，運(yùn)用結(jié)論P(yáng)E＝PF＋CH．
【詳解】
解：（1）如圖②，PE＝PF＋CH．證明如下：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴＝AB?PE，＝AC?PF，＝AB?CH，
∵＝＋，
∴AB?PE＝AC?PF＋AB?CH，
又∵AB＝AC，
∴PE＝PF＋CH；
（2）∵在△ACH中，∠A＝30°，
∴AC＝2CH．
∵＝AB?CH，AB＝AC，
∴×2CH?CH＝49，
∴CH＝7．
分兩種情況：
①P為底邊BC上一點(diǎn)，如圖①．
∵PE＋PF＝CH，
∴PE＝CH－PF＝7－3＝4；
②P為BC延長線上的點(diǎn)時(shí)，如圖②．
∵PE＝PF＋CH，
∴PE＝3＋7＝10．
故答案為7；4或10．

【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與三角形的面積，難度適中，運(yùn)用面積證明可使問題簡便，（2）中分情況討論是解題的關(guān)鍵．
25．閱讀與思考：在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出了這樣一個(gè)問題：如圖1，已知銳角，是邊上一點(diǎn)，利用尺規(guī)作圖在邊上求作點(diǎn)，使．小明同學(xué)想到了如下的方法，并完成了部分證明．
方法：①如圖2，分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點(diǎn)，；②作直線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)；③連接．則點(diǎn)即為所求．
證明：如圖3，連接，，，．
由作圖可知，，．
∴點(diǎn)，均在線段的垂直平分線上．（依據(jù)1）
∴直線是線段的垂直平分線．（依據(jù)2）
……
（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別指什么？
（2）請(qǐng)將上述證明過程補(bǔ)充完整．
（3）尺規(guī)作圖：請(qǐng)?jiān)趫D1中，用不同于小明的方法求作點(diǎn)．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】（1）依據(jù)1：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上；依據(jù)2：兩點(diǎn)確定一條直線；（2）見解析；（3）見解析
【分析】
（1）根據(jù)作圖痕跡可分別寫出依據(jù)；
（2）結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)即可補(bǔ)充；
（3）作即可．
【詳解】
解：（1）依據(jù)1：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．
依據(jù)2：兩點(diǎn)確定一條直線；
（2）∴
∴
∴；
（3）如解圖所示，點(diǎn)P即為所求．

【點(diǎn)睛】
本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、線段的垂直平分線以及作圖能力，較強(qiáng)的閱讀能力和對(duì)所學(xué)知識(shí)的靈活應(yīng)用能力成為解答本題的關(guān)鍵．
26．在等腰△ABC中，AB＝BC，點(diǎn)D，E在射線BA上，BD＝DE，過點(diǎn)E作EF∥BC，交射線CA于點(diǎn)F．請(qǐng)解答下列問題：

（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上，CD是△ACB的角平分線時(shí)，如圖①，求證：AE＋BC＝CF；（提示：延長CD，F(xiàn)E交于點(diǎn)M．）
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長線上，CD是△ACB的角平分線時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長線上，CD是△ACB的外角平分線時(shí)，如圖③，請(qǐng)直接寫出線段AE，BC，CF之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；
【答案】（1）見解析；（2）BC＝AE＋CF或AE＝CF＋BC
【分析】
（1）延長CD，F(xiàn)E交于點(diǎn)M．利用AAS證明△MED≌△CBD，得到ME＝BC，并利用角平分線加平行的模型證明CF＝MF，AE＝EF，從而得證；
（2）延長CD，EF交于點(diǎn)M．類似于（1）的方法可證明當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長線上，CD是△ACB的角平分線時(shí)，BC＝AE＋CF，當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長線上，CD是△ACB的外角平分線時(shí)，AE＝CF＋BC．
【詳解】
解：（1）如圖①，延長CD，F(xiàn)E交于點(diǎn)M．
∵AB＝BC，EF∥BC，
∴∠A＝∠BCA＝∠EFA，
∴AE＝EF，
∴MF∥BC，
∴∠MED＝∠B，∠M＝∠BCD，
又∵∠FCM＝∠BCM，
∴∠M＝∠FCM，
∴CF＝MF，
又∵BD＝DE，
∴△MED≌△CBD（AAS），
∴ME＝BC，
∴CF＝MF＝ME＋EF＝BC＋AE，
即AE＋BC＝CF；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長線上，CD是△ACB的角平分線時(shí)，BC＝AE＋CF，
如圖②，延長CD，EF交于點(diǎn)M．

由①同理可證△MED≌△CBD（AAS），
∴ME＝BC，
由①證明過程同理可得出MF＝CF，AE＝EF，
∴BC＝ME＝EF＋MF＝AE＋CF；
當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長線上，
CD是△ACB的外角平分線時(shí)，AE＝CF＋BC．
如圖③，延長CD交EF于點(diǎn)M，

由上述證明過程易得△MED≌△CBD（AAS），BC＝EM，CF＝FM，
又∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠CAB＝∠FAE，
∵EF∥BC，
∴∠F＝∠FCB，
∴∠F＝∠FAE，
∴EF＝AE，
∴AE＝FE＝FM＋ME＝CF＋BC，即：AE＝CF＋BC．
【點(diǎn)睛】
本題是考查了角平分線、平行線和等腰三角形及全等三角形的綜合題，關(guān)鍵是添加恰當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)建角平分線加平行的模型，是一道較好的中考真題．
27．如圖，已知等腰中，是的高，是的角平分線，與交于點(diǎn)P，當(dāng)?shù)拇笮∽兓瘯r(shí)，的形狀也隨之改變．

（1）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；
（2）求和的關(guān)系；
（3）當(dāng)?shù)亩葦?shù)為___________時(shí)，是等腰三角形．
【答案】（1）56°；（2）；（3）或
【分析】
（1）根據(jù)等邊對(duì)等角求出等腰△ABC的底角度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義得到∠ABE的度數(shù)，再根據(jù)高的定義得到∠BDC=90°，從而可得∠BPD；
（2）按照（1）中計(jì)算過程，即可得到∠A與∠EPC的關(guān)系，即可得到結(jié)果；
（3）分①若EP=EC，②若PC=PE，③若CP=CE，三種情況，利用∠ABC+∠BCD=90°，以及解出∠A即可．
【詳解】
解：（1），，
，
，
，
平分，
，
；
（2）∵，
由（1）可得：，，
；
（3）設(shè)，，
①若，
則，
而，，
則有：，又，代入，
，
解得：；
②若，
則，
由①得：，
，
又，代入，
解得：；
③若，
則，，
由①得：，
，又，代入，
解得：，不符合，
綜上：當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的度數(shù)為或．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，二元一次方程組的應(yīng)用，高與角平分線的定義，有一定難度，關(guān)鍵是找到角之間的等量關(guān)系．
28．如圖1，在△ABC中，BO⊥AC于點(diǎn)O，AO＝BO＝3，OC＝1，過點(diǎn)A作AH∠BC于點(diǎn)H，交BO于點(diǎn)P．
（1）求線段OP的長度；
（2）連接OH，求證：∠OHP＝45°；
（3）如圖2，若點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段BO延長線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MD，過點(diǎn)D作DN⊥DM交線段A延長線于N點(diǎn)，則S△BDM－S△ADN的值是否發(fā)生改變，如改變，求出該值的變化范圍；若不改變，求該式子的值．

【答案】（1）1；（2）見解析；（3）不改變，
【分析】
（1）證△OAP≌△OBC（ASA），即可得出OP=OC=1；
（2）過O分別作OM⊥CB于M點(diǎn)，作ON⊥HA于N點(diǎn)，證△COM≌△PON（AAS），得出OM=ON．得出HO平分∠CHA，即可得出結(jié)論；
（3）連接OD，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出OD⊥AB，∠BOD=∠AOD=45°，OD=DA=BD，則∠OAD=45°，證出∠DAN=∠MOD．證△ODM≌△ADN（ASA），得S△ODM=S△ADN，進(jìn)而得出答案．
【詳解】
解：（1）∵BO⊥AC，AH⊥BC，
∴∠AOP＝∠BOC＝∠AHC＝90°，
∴∠OAP+∠C＝∠OBC+∠C＝90°，
∴∠OAP＝∠OBC，
在△OAP和△OBC中，
，
∴△OAP≌△OBC（ASA），
∴OP＝OC＝1；
（2）過O分別作OM⊥CB于M點(diǎn)，作ON⊥HA于N點(diǎn)，如圖1所示：

在四邊形OMHN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°，
∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP．
在△COM與△PON中，
，
∴△COM≌△PON（AAS），
∴OM＝ON．
∵OM⊥CB，ON⊥HA，
∴HO平分∠CHA，
∴∠OHP=∠AHC＝45°；
（3）S△BDM﹣S△ADN的值不發(fā)生改變，等于．理由如下：
連接OD，如圖2所示：

∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D為AB的中點(diǎn)，
∴OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD
∴∠OAD＝45°，∠MOD＝90°+45°＝135°，
∴∠DAN＝135°＝∠DOM．
∵M(jìn)D⊥ND，
即∠MDN＝90°，
∴∠MDO＝∠NDA＝90°﹣∠MDA．
在△ODM和△ADN中，
，
∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S△ODM＝S△ADN，
∴S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△ODM＝S△BOD=S△AOB=×AO?BO=××3×3=．
【點(diǎn)睛】
本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角形面積等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
29．若兩條線段將一個(gè)三角形分割成三個(gè)等腰三角形，則這兩條線段稱為三分線．
（1）如圖①，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出兩條三分線，并標(biāo)出每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)（畫出一種分割即可）．
（2）如圖②，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出兩條三分線，并標(biāo)出每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)（畫出一種分割即可）．
（3）如圖③，△ABC中，∠BAC為鈍角，AE，DE為三分線，BD＝BE，DA＝DE，CA＝CE．
①求∠B和∠C的關(guān)系式．
②求∠BAC的取值范圍．

【答案】（1）見解析 （2）見解析 （3）① 3∠B+2∠C＝180°；②90°＜∠BAC＜120°．
【分析】
（1）根據(jù)三分線的定義、等腰三角形的定義畫出圖形，使得，，是等腰三角形，并標(biāo)出每個(gè)角的度數(shù)即可；
（2）根據(jù)三分線的定義、等腰三角形的定義畫出圖形，使得，，是等腰三角形，并標(biāo)出每個(gè)角的度數(shù)即可；
（3）①設(shè)∠B=α，∠C=β，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理用α表示出∠BED、∠DEA，用β表示出∠CEA，根據(jù)平角的定義列出式子，整理得到答案；②根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到0＜α＜60，根據(jù)①中結(jié)論計(jì)算，得到答案．
【詳解】
（1）如圖①；

（2）如圖②；

（3）①設(shè)∠B＝α，∠C＝β，
∵BD＝BE，
∴∠BED＝∠BDE（180﹣α）＝90α，
∵DA＝DE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴∠DEA∠BDE＝45α，
∵CA＝CE，
∴∠CEA＝∠CAE（180﹣β）＝90β，
∴90α+45α+90β＝180，
整理得，3α+2β＝180，即3∠B+2∠C＝180；
②∠BAC＝∠DAE+∠CAE
＝45α+90β
＝135（α+2β）
＝135（3α+2β）α
＝90α，
∵3α+2β＝180，
∴0＜α＜60，
∴90＜∠BAC＜120．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和等于180是解題的關(guān)鍵．
30．如圖所示，是的高，點(diǎn)H為的垂直平分線與的交點(diǎn)，．
（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，若，求證：；

（3）在（2）的條件下，若，，求的長．

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）1
【分析】
（1）連接，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知，．即可推出，即．再由三角形外角性質(zhì)即可推出，即得出．
（2）因?yàn)樵谥?，，結(jié)合，即得出，即可推出．在上截取，連接，易證，即得，AB=AG，．由（1）和三角形外角的性質(zhì)可證明，即．最后即得
（3）在上截取，連接，易證，即得，即．再根據(jù)（2）和（1）可得出．再由，得：，即，得出結(jié)論，即，最后根據(jù)AC和CF的長即可求出DF的長．
【詳解】
解：（1）連接，
∵H為的垂直平分線與的交點(diǎn)
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．

（2）∵，
∴，
在中，，
∴
∴，即平分，
在上截取，連接，

在和中，，
∴，
∴，AB=AG，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）在上截取，連接，

在和中，，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知，
又∵，．
∴．
又∵
∴
∴
∴，
∴
∴．
【點(diǎn)睛】
本題為三角形綜合題．考查垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理．正確的作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．

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初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)電子課本

13.3.1 等腰三角形

版本： 人教版

年級(jí)： 八年級(jí)上冊(cè)

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