13.3.4 含30°角的直角三角形的性質(zhì)
人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)
1．探索含30°角的直角三角形的性質(zhì)．（重點(diǎn)）2．會(huì)運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算．（難點(diǎn)）
用兩個(gè)含30°角的三角尺，你能拼成一個(gè)怎樣的三角形？能拼成一個(gè)等邊三角形嗎？說說你的理由.
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系？能證明你的結(jié)論嗎？
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猜想：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.
猜想：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.
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猜想：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.
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含30°角的直角三角形的性質(zhì)： 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.
例1.如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC、DE垂直于橫梁AC，AB=7.4m，∠A=30°. 立柱BC、DE要多長(zhǎng).
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如圖1所示的是某超市人口的雙翼閘門，當(dāng)它的雙翼展開時(shí)，如圖2，雙翼邊緣的端點(diǎn)A與B之間的距離為12cm，雙翼的邊緣AC＝BD＝62cm，且與閘機(jī)側(cè)立面夾角∠ACP＝∠BDQ＝30°．求當(dāng)雙翼收起時(shí)，可以通過閘機(jī)的物體的最大寬度．
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例2.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．求證:BF=2CF.
證明:連接AF.∵EF是AC的垂直平分線∴AF=CF∴∠C=∠FAC∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠B=∠C=∠FAC=30°∴∠BAF=120°-30°=90°∴BF=2AF∴BF=2CF
如圖，點(diǎn)D在線段BC上，連接AD，BD=CD，CA⊥AD，∠1=30°，AB=4，求AC的長(zhǎng)．
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例3.如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，D為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F.(1)若AD=2，求AF的長(zhǎng);(2)當(dāng)AD取何值時(shí)，DE=EF?
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例3.如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，D為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F.(1)若AD=2，求AF的長(zhǎng);(2)當(dāng)AD取何值時(shí)，DE=EF?
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如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，∠ABC的平分線BE交AC于點(diǎn)E．點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，且AD=AC，CD、BE交于點(diǎn)M.(1)求∠DMB的度數(shù);
(1)解:∵∠ACB=90°，∠A=30°∴∠ABC=60°∴BE是∠ABC的平分線∴∠ABE=∠CBE=30°∵∠A=30°，AC=AD∴∠ACD=∠ADC=75°∴∠DMB=∠ADC-∠ABE=45°
(2)證明:∵∠ACB=90°，∠A=30°∴AB=2BC∵CH⊥BE，∠CBE=30°∴BC=2CH ∴AB=4CH∵∠CMH=∠DMB=45°∴∠CMH=∠MCH=45°∴CH=MH∴AB=4MH
如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，∠ABC的平分線BE交AC于點(diǎn)E．點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，且AD=AC，CD、BE交于點(diǎn)M. (2)若CH⊥BE于點(diǎn)H，求證:AB=4MH.
例4.已知，如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)E在AC邊上，點(diǎn)D在BC邊上，并且AE＝CD，AD和BE相交于點(diǎn)M，BN⊥AD于N．(1)求證：BE＝AD；(2)求∠BMN的度數(shù)；(3)若MN＝3cm，ME＝1cm，則AD＝　 　cm．
例4.已知，如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)E在AC邊上，點(diǎn)D在BC邊上，并且AE＝CD，AD和BE相交于點(diǎn)M，BN⊥AD于N．(1)求證：BE＝AD；
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例4.已知，如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)E在AC邊上，點(diǎn)D在BC邊上，并且AE＝CD，AD和BE相交于點(diǎn)M，BN⊥AD于N．(2)求∠BMN的度數(shù)；
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例4.已知，如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)E在AC邊上，點(diǎn)D在BC邊上，并且AE＝CD，AD和BE相交于點(diǎn)M，BN⊥AD于N．(3)若MN＝3cm，ME＝1cm，則AD＝　 　cm．
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1.如圖(1)，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則AP長(zhǎng)不可能是( )A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7
D
2.如圖(2)，是某商場(chǎng)一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖．其中AB，CD分別表示一樓，二樓地面的水平線，∠ABC=150°，BC的長(zhǎng)是8m，則乘電梯從點(diǎn)B到點(diǎn)C上升的高度h是( )A.3m B.4m C.5m D.6m
B
3.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，垂足為D,交BC于E，AE平分∠BAC，那么下列關(guān)系式中不成立的是( )A.∠B=∠CAE B.∠DEA=∠CEA C.AB=2AC D.AC=2EC
D
4.已知一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的比是1:2:3，最短邊為5cm,則最長(zhǎng)邊為_____cm.5.如圖，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，若AD=3cm，則AB=____cm，BE=_____cm.
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6
4.5
6.如圖(3)，∠BAC=30°，AM是∠BAC的平分線，過點(diǎn)M作ME∥BA交AC于點(diǎn)E，作MD⊥BA，垂足為D，ME=10cm，則MD=_____cm.7.將一副三角尺按如圖(4)所示方式疊放在一起,若AB=16cm，則陰影部分的面積是_____cm2.
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8.Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？邊AB與BC之間有什么關(guān)系？
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9.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°, ∠BAC=60°，∠BAC的平分線AM長(zhǎng)為15cm，求BC的長(zhǎng).
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10.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，過點(diǎn)D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分線．CD與DB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．
理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.
∵DE是∠ADB的平分線，∴∠ADE＝∠BDE.
又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，
∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
含30°角的直角三角形的性質(zhì)： 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

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13.3.2 等邊三角形

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