培優(yōu)課　圓錐曲線的熱點問題——最值、范圍、證明問題1.圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：(1)代數(shù)法，從代數(shù)的角度考慮，通過建立函數(shù)、不等式等模型，利用二次函數(shù)法、基本不等式法、換元法等求最值.(2)幾何法，從圓錐曲線的幾何性質(zhì)的角度考慮，根據(jù)圓錐曲線的幾何意義求最值.2.解決圓錐曲線中的取值范圍問題常從五方面考慮：(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式或者建立關(guān)于某變量的一元二次方程，利用判別式求參數(shù)的取值范圍；(5)利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.類型一　最值問題例1 已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，且經(jīng)過點.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點P(0，2)的直線交橢圓C于A，B兩點，求△OAB(O為原點)面積的最大值.解　(1)根據(jù)題意知，離心率e＝＝，即＝.因為c2＝a2－b2，所以＝，整理得a2＝3b2.①又由橢圓C經(jīng)過點，可得＋＝1，即＋＝1.②聯(lián)立①②，解得所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.(2)由題意，易知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋2，由得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0.由Δ＝(12k)2－4×9(1＋3k2)>0，得k2>1.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝，所以AB＝·|x1－x2|＝·＝·＝6·.點O(0，0)到直線kx－y＋2＝0的距離d＝，所以S△OAB＝AB·d＝·＝.令＝t(t>0)，則k2＝t2＋1，所以S△OAB＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝3t，即t2＝時等號成立，此時k2＝，所以△OAB 面積的最大值為.思維升華　求最值常用的方法有兩種：①幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)圖形的幾何特征及意義，則考慮利用圖形的性質(zhì)來解決；②代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值.類型二　范圍問題例2 如圖，已知點P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點，拋物線C：y2＝4x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上.(1)設(shè)AB中點為M，證明：PM垂直于y軸；(2)若P是半橢圓x2＋＝1(x<0)上的動點，求△PAB面積的取值范圍.(1)證明　設(shè)P(x0，y0)，A，B.因為PA，PB的中點在拋物線上，所以y1，y2為方程＝4·，即y2－2y0y＋8x0－y＝0的兩個不同的實根.所以y1＋y2＝2y0，即＝y0，因此PM垂直于y軸.(2)解　由(1)可知所以PM＝(y＋y)－x0＝y－3x0，|y1－y2|＝2.因此，△PAB的面積S△PAB＝PM·|y1－y2|＝(y－4x0).因為x＋＝1(－1≤x0<0)，所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4，5]，因此，△PAB面積的取值范圍是.思維升華　求參數(shù)的取值范圍問題常用的方法有兩種：①不等式(組)法，根據(jù)題意結(jié)合圖形列出所討論的參數(shù)滿足的不等式(組)，通過不等式(組)得出參數(shù)的取值范圍；②函數(shù)值域法，用某變量的函數(shù)表示所討論的參數(shù)，通過討論函數(shù)的值域求得參數(shù)的取值范圍.類型三　證明問題例3 設(shè)橢圓C：＋y2＝1的右焦點為F，過點F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標(biāo)為(2，0).(1)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，證明：∠OMA＝∠OMB.(1)解　由已知得F(1，0)，則直線l的方程為x＝1.則點A的坐標(biāo)為或.又M(2，0)，所以直線AM的方程為y＝－x＋或y＝x－，即x＋y－2＝0或x－y－2＝0.(2)證明　當(dāng)l與x軸重合時，∠OMA＝∠OMB＝0°.當(dāng)l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA＝∠OMB.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1<，x2<，直線MA，MB的斜率之和為kMA＋kMB＝＋.由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k，得kMA＋kMB＝.將y＝k(x－1)代入＋y2＝1，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，Δ＝8k2＋8>0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.則2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0.從而kMA＋kMB＝0，故直線MA，MB的傾斜角互補(bǔ).所以∠OMA＝∠OMB.綜上，∠OMA＝∠OMB成立.思維升華　圓錐曲線中的證明問題，常見位置關(guān)系方面的證明：如證明相切、垂直、過定點等；數(shù)量關(guān)系方面的證明：如存在定值、恒成立等.在熟悉圓錐曲線的定義和性質(zhì)的前提下，多采用直接法證明，但有時也會用到反證法. 

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