培優(yōu)課　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)1.解決函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)問(wèn)題，可通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)圖象的位置、形狀和發(fā)展趨勢(shì)，觀察圖象與x軸的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法判斷函數(shù)的零點(diǎn)是否存在及零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等.2.通過(guò)等價(jià)變形，可將“函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)”與“方程f(x)＝g(x)的解”相互轉(zhuǎn)化.類(lèi)型一　判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)例1 已知二次函數(shù)f(x)的最小值為－4，且關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)g(x)＝－4ln x的零點(diǎn)個(gè)數(shù).解　(1)∵f(x)是二次函數(shù)，且關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}，∴設(shè)f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x2－2x－3.(2)由(1)知g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2，∴g(x)的定義域?yàn)?/span>(0，＋∞)，g′(x)＝1＋－＝，令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.當(dāng)x變化時(shí)，g′(x)，g(x)的取值變化情況如下表：x(0，1)1(1，3)3(3，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)↗極大值↘極小值↗當(dāng)0<x≤3時(shí)，g(x)≤g(1)＝－4<0，當(dāng)x>3時(shí)，g(e5)＝e5－－20－2>25－1－22＝9>0，又因?yàn)?/span>g(x)在(3，＋∞)上單調(diào)遞增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1個(gè)零點(diǎn)，故g(x)僅有1個(gè)零點(diǎn).思維升華　利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)或方程根個(gè)數(shù)的常用方法(1)構(gòu)建函數(shù)g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，轉(zhuǎn)化為確定g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題求解，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)(或變化趨勢(shì))等，畫(huà)出g(x)的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)利用零點(diǎn)存在性定理：先用該定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).類(lèi)型二　已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍例2 函數(shù)f(x)＝ax＋xln x在x＝1處取得極值.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若y＝f(x)－m－1在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解　(1)函數(shù)f(x)＝ax＋xln x的定義域?yàn)?/span>(0，＋∞)，f′(x)＝a＋ln x＋1.因?yàn)?/span>f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，故f(x)＝－x＋xln x，f′(x)＝ln x，令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0<x<1.所以f(x)在x＝1處取得極小值，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1).(2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為y＝f(x)與y＝m＋1的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).由(1)知，f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)min＝f(1)＝－1.由題意得，m＋1>－1，即m>－2，①當(dāng)0<x<e時(shí)，f(x)＝x(－1＋ln x)<0；當(dāng)x>e時(shí)，f(x)>0.當(dāng)x>0且x→0時(shí)，f(x)→0；當(dāng)x→＋∞時(shí)，顯然f(x)→＋∞.由圖象可知，m＋1<0，即m<－1，②由①②可得－2<m<－1.所以m的取值范圍是(－2，－1).思維升華　與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)，從而判斷函數(shù)的大致圖象，討論其圖象與x軸的位置關(guān)系，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍；或通過(guò)對(duì)方程等價(jià)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題. 

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