培優(yōu)課　借助幾何性質(zhì)解決圓中的最值問題高中數(shù)學(xué)中，在研究圓的相關(guān)問題時(shí)，最值問題又是研究的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，現(xiàn)把常見的與圓相關(guān)的最值問題總結(jié)如下.希望對(duì)學(xué)生有些啟發(fā).類型一　“圓上一點(diǎn)到直線距離的最值”問題例1 已知圓C經(jīng)過(2，5)，(－2，1)兩點(diǎn)，并且圓心C在直線y＝x上.(1)求圓C的方程；(2)求圓C上的點(diǎn)到直線3x－4y＋23＝0的最大距離.解　(1)點(diǎn)(2，5)與點(diǎn)(－2，1)連線的中點(diǎn)為(0，3)，中垂線方程為y＝－x＋3，聯(lián)立解得圓心坐標(biāo)為(2，1)，∴r＝5－1＝4.∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝16.(2)圓的圓心為(2，1)，半徑r＝4.圓心到直線3x－4y＋23＝0的距離d＝＝5.則圓上的點(diǎn)到直線3x－4y＋23＝0的最大距離為d＋r＝9.思維升華　求圓上一點(diǎn)到直線距離的最值問題，常轉(zhuǎn)化為求圓心到定直線的距離問題來解決.類型二　“圓上一點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值”問題例2 已知點(diǎn)P(x，y)是圓x2＋y2－6x－4y＋12＝0上的一動(dòng)點(diǎn)，求：(1)x2＋y2的最小值；(2)點(diǎn)P到直線x－y－2＝0的距離的最大值.解　將x2＋y2－6x－4y＋12＝0化為(x－3)2＋(y－2)2＝1，圓心為C(3，2)，半徑r＝1.(1)設(shè)z＝x2＋y2，則z的幾何意義為圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方.原點(diǎn)到圓心的距離d＝＝，∴圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離為－1，∴x2＋y2的最小值為14－2；(2)圓心到直線x－y－2＝0的距離d＝＝，∴點(diǎn)P到直線x－y－2＝0的距離d的最大值為＋1.思維升華　形如(x－a)2＋(y－b)2的最值問題的實(shí)質(zhì)是兩點(diǎn)間距離.涉及與圓相關(guān)的兩點(diǎn)的距離，總是轉(zhuǎn)化為圓心與定點(diǎn)距離問題來解決.類型三　“過定點(diǎn)的弦長(zhǎng)”問題例3 已知直線l：(3＋t)x－(t＋1)y－4＝0(t為參數(shù))和圓C：x2＋y2－6x－8y＋16＝0.(1)t∈R時(shí)，證明直線l與圓C總相交；(2)直線l被圓C截得弦長(zhǎng)最短時(shí)，求此弦長(zhǎng)并求此時(shí)t的值.(1)證明　直線l：(3＋t)x－(t＋1)y－4＝0可化為t(x－y)＋(3x－y－4)＝0，令解得∴直線l恒過定點(diǎn)A(2，2)，把點(diǎn)(2，2)代入可得22＋22－12－16＋16＝－4＜0，∴點(diǎn)A(2，2)在圓內(nèi)，∴t∈R時(shí)，直線l與圓C總相交.(2)解　直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，弦心距最大，此時(shí)CA⊥l.∵圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝9，∴圓心C(3，4)，半徑為3，∴CA的斜率為2，∴l的斜率為－.∵直線l：(3＋t)x－(t＋1)y－4＝0的斜率為.∴＝－.∴t＝－，∵CA＝＝，∴直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)的最小值為2＝4.思維升華　當(dāng)直線與圓相交時(shí)，弦長(zhǎng)最短，需使弦心距最大，然后根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，進(jìn)而利用弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決問題.類型四　利用“數(shù)形結(jié)合方法”解決直線與圓的問題例4 已知圓C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)為圓C上任一點(diǎn).(1)求的最大、最小值；(2)求x－2y的最大、最小值.解　法一　(1)設(shè)k＝，則y－2＝kx－k，即kx－y＋2－k＝0.∵P(x，y)為圓C上任一點(diǎn)，∴圓心(－2，0)到直線kx－y＋2－k＝0的距離d＝＝≤1，即|2－3k|≤，平方得8k2－12k＋3≤0，解得≤k≤，故的最大值為，最小值為；(2)設(shè)b＝x－2y，即x－2y－b＝0.∵P(x，y)為圓C上任一點(diǎn)，∴圓心(－2，0)到直線的距離d＝＝≤1，即|b＋2|≤，則－2－≤b≤－2，故x－2y的最大值為－2，最小值為－2－.法二　(1)可看作圓上的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(1，2)連線的斜率.令k＝，則y－2＝kx－k，即kx－y＋2－k＝0.當(dāng)直線kx－y＋2－k＝0與圓相切時(shí)，k取得最大值和最小值，此時(shí)＝1，解得k＝.故的最大值為，最小值為.(2)設(shè)b＝x－2y，即y＝x－，當(dāng)y＝x－與圓相切時(shí)，縱截距－取得最值，從而b取得最值，此時(shí)＝1，解得b＝－2±.故x－2y的最大值為－2＋，最小值為－2－.思維升華　(1)解決此類問題的關(guān)鍵是利用幾何意義進(jìn)行求解.(2)表示點(diǎn)A(x，y)和點(diǎn)B(a，b)連線的斜率，ax＋by往往轉(zhuǎn)化為截距來解決. 

相關(guān)課件

【最新版】高中數(shù)學(xué)（新湘教版）習(xí)題+同步課件培優(yōu)課　與圓有關(guān)的最值問題：

這是一份【最新版】高中數(shù)學(xué)（新湘教版）習(xí)題+同步課件培優(yōu)課　與圓有關(guān)的最值問題，文件包含培優(yōu)課與圓有關(guān)的最值問題pptx、培優(yōu)課與圓有關(guān)的最值問題DOCX等2份課件配套教學(xué)資源，其中PPT共12頁， 歡迎下載使用。

【最新版】高中數(shù)學(xué)（新湘教版）習(xí)題+同步課件培優(yōu)課　最值與對(duì)稱問題：

這是一份【最新版】高中數(shù)學(xué)（新湘教版）習(xí)題+同步課件培優(yōu)課　最值與對(duì)稱問題，文件包含培優(yōu)課最值與對(duì)稱問題pptx、培優(yōu)課最值與對(duì)稱問題DOCX等2份課件配套教學(xué)資源，其中PPT共18頁， 歡迎下載使用。

【最新版】高中數(shù)學(xué)（新蘇教版）習(xí)題+同步課件培優(yōu)課　圓錐曲線的熱點(diǎn)問題——最值、范圍、證明問題：

這是一份【最新版】高中數(shù)學(xué)（新蘇教版）習(xí)題+同步課件培優(yōu)課　圓錐曲線的熱點(diǎn)問題——最值、范圍、證明問題，文件包含培優(yōu)課圓錐曲線的熱點(diǎn)問題最值范圍證明問題pptx、培優(yōu)課圓錐曲線的熱點(diǎn)問題最值范圍證明問題doc等2份課件配套教學(xué)資源，其中PPT共16頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)課件 更多

【最新版】高中數(shù)學(xué)（新人教B版）習(xí)題+同步課件培優(yōu)課　與圓有關(guān)的最值問題

【最新版】高中數(shù)學(xué)（新人教B版）習(xí)題+同步課件培優(yōu)課　與圓有關(guān)的最值問題
【最新版】高中數(shù)學(xué)（新人教A版）習(xí)題+同步課件培優(yōu)課　與圓有關(guān)的最值問題

【最新版】高中數(shù)學(xué)（新人教A版）習(xí)題+同步課件培優(yōu)課　與圓有關(guān)的最值問題
【最新版】高中數(shù)學(xué)（新北師大版）習(xí)題+同步課件培優(yōu)課　與圓有關(guān)的最值問題

【最新版】高中數(shù)學(xué)（新北師大版）習(xí)題+同步課件培優(yōu)課　與圓有關(guān)的最值問題
蘇教版 (2019)必修 第一冊(cè)7.4 三角函數(shù)應(yīng)用習(xí)題課件ppt

蘇教版 (2019)必修 第一冊(cè)7.4 三角函數(shù)應(yīng)用習(xí)題課件ppt
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)電子課本

本冊(cè)綜合

版本： 蘇教版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修第一冊(cè)

切換課文
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部