午練18　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1.下列函數(shù)中，在(0，＋∞)上為增函數(shù)的是(　　)A.y＝sin x  B.y＝xexC.y＝x3－x  D.y＝ln x－x答案　B解析　B中，y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴y＝xex在(0，＋∞)上為增函數(shù).對于選項A，C，D，都存在x0>0，使y′|x＝x0<0的情況.2.(多選)已知定義在R上的函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是(　　)A.f(b)>f(a)  B.f(d)>f(e)C.f(a)>f(d)  D.f(c)>f(e)答案　ABD解析　由題圖可得，當(dāng)x∈(－∞，c)∪(e，＋∞)時，f′(x)>0，當(dāng)x∈(c，e)時，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，c)，(e，＋∞)上是增函數(shù)，在(c，e)上是減函數(shù)，所以f(b)>f(a)，f(d)>f(e)，f(c)>f(e).3.已知f(x)＝，則(　　)A.f(2)>f(e)>f(3) B.f(3)>f(e)>f(2)C.f(3)>f(2)>f(e) D.f(e)>f(3)>f(2)答案　D解析　f(x)的定義域是(0，＋∞)，∵f′(x)＝，∴x∈(0，e)時，f′(x)>0，x∈(e，＋∞)時，f′(x)<0，又2<e<3，∴f(2)<f(e)，f(3)<f(e)，又f(2)＝＝，f(3)＝＝，則f(e)>f(3)>f(2).4.已知a，b∈(0，e)，且a<b，則下列式子中一定正確的是(　　)A.aln b<bln a  B.aln b>bln aC.aln a>bln a  D.aln a<bln b答案　B解析　設(shè)f(x)＝(x>0)，則f′(x)＝.當(dāng)x∈(0，e)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.又0<a<b<e，所以f(a)<f(b)，即<，所以bln a<aln b，A不正確，B正確；設(shè)g(x)＝xln x(x>0)，則g′(x)＝1＋ln x.當(dāng)x∈時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，∴C，D均不一定正確.5.已知函數(shù)y＝xf′(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象可能是(　　)答案　C解析　由函數(shù)y＝xf′(x)的圖象可知：當(dāng)x<－1時，xf′(x)<0，則f′(x)>0，此時f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)－1<x<0時，xf′(x)>0，則f′(x)<0，此時f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)0<x<1時，xf′(x)<0，則f′(x)<0，此時f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時，xf′(x)>0，則f′(x)>0，此時f(x)單調(diào)遞增.故選C.6.若函數(shù)y＝x2－2bx＋6在(2，8)內(nèi)是增函數(shù)，則實數(shù)b的取值范圍是________.答案　(－∞，2]解析　由題意得y′＝2x－2b≥0在(2，8)內(nèi)恒成立，即b≤x在(2，8)內(nèi)恒成立，所以b≤2.7.函數(shù)f(x)＝x＋2cos x，x∈(0，π)的單調(diào)遞減區(qū)間是________.答案　解析　由f′(x)＝1－2sin x<0，得sin x>，又x∈(0，π)，∴x∈，故答案為.8.若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是減函數(shù)，則實數(shù)b的取值范圍是________.答案　(－∞，－1]解析　∵f(x)在(－1，＋∞)上為減函數(shù)，∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立.∵f′(x)＝－x＋，∴－x＋≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立.設(shè)g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，則當(dāng)x>－1時，g(x)>－1，∴b≤－1.9.若函數(shù)h(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在(1，4)上不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍為________.答案　解析　因為h(x)在(1，4)上不單調(diào)，所以h′(x)＝－ax－2＝0在(1，4)上有解，即a＝－＝－1在x∈(1，4)上有解.令t＝，則t∈，－1＝(t－1)2－1.令m(t)＝(t－1)2－1，t∈，則－1<m(t)<－.所以實數(shù)a的取值范圍是.10.已知函數(shù)f(x)＝－x＋aln x(a>0).討論f(x)的單調(diào)性.解　f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝－－1＋＝－.(1)若0<a≤2，則f′(x)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2，x＝1時f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù).(2)若a>2，則f′(x)＝0得，x＝或x＝.當(dāng)x∈∪時，f′(x)<0；當(dāng)x∈時，f′(x)>0，所以f(x)在，上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).綜上，當(dāng)0<a≤2時，f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)；當(dāng)a>2時，f(x)在，上是減函數(shù)，在上是增函數(shù). 

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