午練19　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值1.函數(shù)f(x)＝ln x－x在區(qū)間(0，e)上的極大值為(　　)A.－e  B.1－eC.－1  D.0答案　C解析　f(x)的定義域?yàn)?/span>(0，＋∞)，f′(x)＝－1.令f′(x)＝0，得x＝1.當(dāng)x∈(0，1)時，f′(x)>0，當(dāng)x∈(1，e)時，f′(x)<0，故f(x)在x＝1處取得極大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.2.函數(shù)y＝x－sin x，x∈的最大值是(　　)A.π－1  B.－1C.π  D.π＋1答案　C解析　因?yàn)?/span>y′＝1－cos x，當(dāng)x∈時，y′>0，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以y的最大值為ymax＝π－sin π＝π，故選C.3.某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元的價格購進(jìn)一批商品.若該商品的銷量Q(單位：件)與零售價P(單位：元/件)有如下關(guān)系：Q＝8 300－170P－P2，則最大毛利潤為(毛利潤＝銷售收入－進(jìn)貨支出)(　　)A.30元  B.60元C.28 000元  D.23 000元答案　D解析　設(shè)毛利潤為L(P).則L(P)＝PQ－20Q＝(8 300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11 700P－166 000，所以L′(P)＝－3P2－300P＋11 700.令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去).此時，L(30)＝23 000.根據(jù)實(shí)際問題的意義知，L(30)是最大值，即零售價定為每件30元時，最大毛利潤為23 000元.4.(多選)已知定義在R上的函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是(　　)A.f(a)>f(e)>f(d)B.函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，在[b，d]上單調(diào)遞減C.f(x)的極值點(diǎn)為c，eD.f(x)的極大值為f(c)答案　CD解析　由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系知，當(dāng)f′(x)>0時，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)f′(x)<0時，f(x)單調(diào)遞減.結(jié)合所給圖象知，x∈(a，c)時，f′(x)>0，∴f(x)在(a，c)上單調(diào)遞增；x∈(c，e)時，f′(x)<0，∴f(x)在(c，e)上單調(diào)遞減；x∈(e，＋∞)時，f′(x)>0，∴f(x)在(e，＋∞)上單調(diào)遞增.∴函數(shù)f(x)在x＝c處取得極大值，在x＝e處取得極小值，∴f(x)的極值點(diǎn)為c，e.故C，D正確，A，B錯誤.5.用邊長為120 cm的正方形鐵皮做一個無蓋水箱，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接成水箱，則水箱的最大容積為(　　)A.120 000 cm3  B.128 000 cm3C.150 000 cm3  D.158 000 cm3答案　B解析　設(shè)水箱底邊長為x cm，則水箱高h＝60－(cm)，水箱容積V＝V(x)＝x2h＝60x2－ (0<x<120).V′(x)＝120x－x2.令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝80.可判斷得x＝80 cm時，V取最大值為128 000 cm3.6.函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋k在區(qū)間[－4，4]上的最大值為10，則其最小值為________.答案　－71解析　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1).由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20，故f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.7.已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m∈[－1，1]，則f(m)的最小值為________.答案　－4解析　f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2處取得極值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a·2＝0，故a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)，可得f(x)在(－1，0)上單調(diào)遞減，在(0，1)上單調(diào)遞增，∴當(dāng)m∈[－1，1]時，f(m)min＝f(0)＝－4.8.已知函數(shù)f(x)＝＋a在(0，＋∞)上的最小值為2e，則實(shí)數(shù)a的值為________.答案　e解析　f′(x)＝，當(dāng)x>0時，令f′(x)>0，解得x>1，令f′(x)<0，解得0<x<1，故f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)min＝f(1)＝e＋a＝2e，解得a＝e.9.若函數(shù)f(x)＝x2ex－a恰有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.答案　解析　易知f(x)的定義域?yàn)?/span>R，f′(x)＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2)，x∈R.令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝－2，分析易知f(x)在(－2，0)上單調(diào)遞減，在(－∞，－2)和(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以0和－2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，函數(shù)的極小值為f(0)＝－a，極大值為f(－2)＝4e－2－a＝－a.函數(shù)f(x)＝x2ex－a恰有三個零點(diǎn)，則解得0<a<，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.10.已知函數(shù)f(x)＝ax＋ln x，其中a為常數(shù).(1)當(dāng)a＝－1時，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在區(qū)間(0，e]上的最大值為－3，求a的值.解　(1)易知f(x)的定義域?yàn)?/span>(0，＋∞)，當(dāng)a＝－1時，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋＝，令f′(x)＝0，得x＝1.當(dāng)0<x<1時，f′(x)>0；當(dāng)x>1時，f′(x)<0.∴f(x)在(0，1)上是增函數(shù)，在(1，＋∞)上是減函數(shù).∴f(x)max＝f(1)＝－1.∴當(dāng)a＝－1時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的最大值為－1.(2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈.①若a≥－，則f′(x)≥0，從而f(x)在(0，e]上是增函數(shù)，∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不合題意.②若a<－，令f′(x)>0得a＋>0，結(jié)合x∈(0，e]，解得0<x<－；令f′(x)<0得a＋<0，結(jié)合x∈(0，e]，解得－<x≤e.從而f(x)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，∴f(x)max＝f＝－1＋ln.令－1＋ln＝－3，得ln＝－2，即a＝－e2.∵－e2<－，∴a＝－e2為所求.故實(shí)數(shù)a的值為－e2.  

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