第5章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
第二課時 導(dǎo)數(shù)在實際中的應(yīng)用
課標(biāo)要求
能審清題意,正確建立函數(shù)關(guān)系式,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實際問題.
素養(yǎng)要求
1.通過分析實際生活問題,建立數(shù)學(xué)模型,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).2.通過利用導(dǎo)數(shù)解決問題,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).
問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識探究
內(nèi)容索引
互動合作研析題型關(guān)鍵能力提升
拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材 必備知識探究
1
1.思考 求實際問題的最大(小)值時,如何確定出函數(shù)的定義域? 提示 除使函數(shù)解析式有意義外,還要從問題的實際意義出發(fā),根據(jù)實際問題確定出函數(shù)的定義域.
2.填空 (1)導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用,如用料最省、利潤最大、效率最高等問題一般可以歸結(jié)為函數(shù)的______問題,從而可用導(dǎo)數(shù)來解決. (2)用導(dǎo)數(shù)解決實際生活問題的基本思路
最值
溫馨提醒 利用導(dǎo)數(shù)解優(yōu)化問題,往往歸結(jié)為函數(shù)的最大值或最小值問題,解題中要特別注意以下幾點:(1)當(dāng)問題涉及多個變量時,應(yīng)根據(jù)題意分析它們的關(guān)系,找出變量之間的關(guān)系式;(2)確定函數(shù)關(guān)系式中自變量的取值范圍;(3)所得的結(jié)果要符合問題的實際意義.
B
解得x=9或x=-9(舍去).當(dāng)0<x<9時,f′(x)>0,函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>9時,f′(x)<0,函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減.因此,當(dāng)x=9時,y=f(x)取最大值.故使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為9萬件.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互動合作研析題型 關(guān)鍵能力提升
2
例1 請你設(shè)計一個包裝盒,如圖,ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得A,B,C,D四個點重合于圖中的點P,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒,E,F(xiàn)在AB上,是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點,設(shè)AE=FB=x(cm).
題型一 面積、體積的最值問題
(1)某廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大,試問x應(yīng)取何值?
解 設(shè)包裝盒的高為h cm,底面邊長為a cm.
(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大,試問x應(yīng)取何值?并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.
由V′=0,得x=0(舍去)或x=20.當(dāng)x∈(0,20)時,V′>0;當(dāng)x∈(20,30)時,V′<0.所以當(dāng)x=20時,V取得極大值,也是最大值.
1.解決面積、體積最值問題的思路要正確引入變量,將面積或體積表示為變量的函數(shù),結(jié)合實際問題的意義,利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值.2.解決導(dǎo)數(shù)在實際應(yīng)用時應(yīng)注意的問題(1)列函數(shù)關(guān)系式時,注意實際問題中變量的取值范圍,即函數(shù)的定義域;(2)利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實際問題,當(dāng)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個點使f′(x)=0時,如果函數(shù)在這點有極大(小)值,那么不與端點值比較,也可以知道在這個點取得最大(小)值.
訓(xùn)練1 傳說中孫悟空的“如意金箍棒”是由“定海神針”變形得來的.假設(shè)定海神針在變形時永遠(yuǎn)保持為圓柱體,其底面半徑原為12 cm且以每秒1 cm等速率縮小,而長度以每秒20 cm等速率增長.已知定海神針的底面半徑只能從12 cm縮到4 cm,且在這段變形過程中,當(dāng)?shù)酌姘霃綖?0 cm時其體積最大.假設(shè)孫悟空將定海神針體積縮到最小時定形成金箍棒,則此時金箍棒的底面半徑為________cm.
4
解析 設(shè)原來定海神針的長度為a cm,t秒時定海神針的體積為V(t),則V(t)=π(12-t)2·(a+20t),其中0≤t≤8.所以V′(t)=[-2(12-t)·(a+20t)+(12-t)2·20]π.因為當(dāng)?shù)酌姘霃綖?0 cm時其體積最大,所以10=12-t,解得t=2,此時V′(2)=0,解得a=60,所以V(t)=π(12-t)2·(60+20t),其中0≤t≤8,V′(t)=60π(12-t)(2-t),當(dāng)t∈(0,2)時,V′(t)>0,當(dāng)t∈(2,8)時,V′(t)

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5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

版本: 蘇教版 (2019)

年級: 選擇性必修第一冊

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