5.2　導數(shù)的運算5.2.1　基本初等函數(shù)的導數(shù)課標要求　1.能根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的導數(shù).2.會使用導數(shù)公式解決問題.素養(yǎng)要求　在利用導數(shù)的定義求基本初等函數(shù)的導數(shù)及利用導數(shù)公式解決問題的過程中，發(fā)展學生的數(shù)學運算素養(yǎng).一、常見函數(shù)的導數(shù)1.思考　如何求f(x)＝kx＋b的導數(shù)？提示　因為＝＝＝k，所以 ＝k，故f′(x)＝k.由導數(shù)幾何意義，對于y＝kx＋b，可看成是某質點做勻速直線運動的模型，其在任意一點的瞬時速度不變，故在每一點的導數(shù)均為該直線的斜率.2.填空　(1)若f(x)＝kx＋b(k，b為常數(shù))，則f′(x)＝k，即(kx＋b)′＝k；(2)若f(x)＝C(常數(shù))，則f′(x)＝0，即C′＝0；(3)若f(x)＝x，則f′(x)＝1，即x′＝1；(4)若f(x)＝x2，則f′(x)＝2x，即(x2)′＝2x；(5)若f(x)＝x3，則f′(x)＝3x2，即(x3)′＝3x2；(6)若f(x)＝，則f′(x)＝－，即′＝－；(7)若f(x)＝，則f′(x)＝，即()′＝.溫馨提醒　(1)在以后求導數(shù)時，可直接應用上述常見函數(shù)的導數(shù)，不必再用定義去求導.(2)熟記這些公式，注意不要將y＝的導數(shù)錯記為y′＝，也不要將y＝的導數(shù)錯記為y′＝.3.做一做　已知f(x)＝x2，則f′(3)等于(　　)A.0  B.2xC.6  D.9答案　C解析　∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.二、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式1.填空　(1)(xα)′＝αxα－1(α為常數(shù))；(2)(ax)′＝axln__a(a>0且a≠1)；(3)(logax)′＝logae＝(a>0且a≠1)；(4)(ex)′＝ex；(5)(ln x)′＝；(6)(sin x)′＝cos__x；(7)(cos x)′＝－sin__x.溫馨提醒　(1)對基本初等函數(shù)的求導公式的理解：不要求根據(jù)導數(shù)定義推導這七個基本初等函數(shù)的求導公式，只要求能夠利用它們求簡單函數(shù)的導數(shù).(2)對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式中，公式(ln x)′＝，(ex)′＝ex很好記憶，但公式(logax)′＝，(ax)′＝axln a的記憶比較難，特別是ln a的位置易記錯.2.做一做　若f(x)＝sin x，則f′＝(　　)A.－  B.－C.  D.答案　D解析　f′(x)＝cos x，f′＝cos＝.題型一　利用導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)例1 求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝sin ；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝；(5)y＝log3x.解　(1)y′＝0；(2)y′＝ln ＝－ln 2；(3)y′＝(x－)′＝－x－＝－；(4)y′＝()′＝(x)′＝x－＝；(5)y′＝(log3x)′＝.思維升華　求簡單函數(shù)的導函數(shù)的基本方法：(1)用導數(shù)的定義求導，但運算比較繁瑣；(2)用導數(shù)公式求導，可以簡化運算過程，降低運算難度.解題時根據(jù)所給問題的特征，將題中函數(shù)的結構進行調整，再選擇合適的求導公式.訓練1 求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝x13；(2)y＝；(3)y＝sin x；(4)y＝.解　(1)y′＝(x13)′＝13x13－1＝13x12；(2)y′＝()′＝(x)′＝x－1＝x－＝；(3)y′＝(sin x)′＝cos x；(4)y′＝′＝(x－)′＝－x－－1＝－x－＝－.題型二　利用導數(shù)公式解決切線問題角度1　求切線的方程例2 曲線y＝在點處的切線方程是(　　)A.y＝4x  B.y＝－4x＋4C.y＝4x＋4  D.y＝2x－4答案　B解析　∵y′＝′＝－x－2，∴k＝y′|x＝＝－＝－4，∴切線方程為y－2＝－4，即y＝－4x＋4.角度2　求參數(shù)值例3 已知y＝kx是曲線y＝ln x的一條切線，則k＝________.答案　解析　設切點坐標為(x0，y0)，由題意得y′|x＝x0＝＝k，又y0＝kx0，而且y0＝ln x0，從而可得x0＝e，y0＝1，則k＝.角度3　曲線上的點到直線的最小距離問題例4 設P是曲線y＝ex上任意一點，求點P到直線y＝x的最小距離.解　如圖，設l是與直線y＝x平行，且與曲線y＝ex相切的直線，則切點到直線y＝x的距離最小.設直線l與曲線y＝ex相切于點P(x0，y0).因為y′＝ex，所以ex0＝1，所以x0＝0.代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0，1).所以點P到直線y＝x的最小距離為＝.思維升華　利用導數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種情況(1)若已知點是切點，則在該點處的切線斜率就是該點處的導數(shù).(2)如果已知點不是切點，則應先設出切點，再借助兩點連線的斜率公式進行求解.訓練2 (1)求曲線y＝在點B(1，1)處的切線方程；(2)求曲線y＝ln x的斜率等于4的切線方程.解　(1)設所求切線的斜率為k.∵y′＝()′＝x－，∴k＝y′|x＝1＝，∴曲線y＝在點B(1，1)處的切線方程為y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.(2)設切點坐標為(x0，y0).∵y′＝，曲線y＝ln x在點(x0，y0)處的切線的斜率等于4，∴y′|x＝x0＝＝4，得x0＝，∴y0＝－ln 4，∴切點為，∴所求切線方程為y＋ln 4＝4，即4x－y－1－ln 4＝0.題型三　導數(shù)公式的實際應用例5 某城市近10年間房價年均上漲率為10%，房價p(單位：萬元)與時間t(單位：年)有如下函數(shù)關系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5個年頭，房價上漲的速度大約是多少(精確0.01萬元/年)？(參考數(shù)據(jù)：1.15≈1.611，ln 1.1≈0.095)解　由題意得p′(t)＝1.1tln 1.1，所以p′(5)＝1.15ln 1.1≈1.611×0.095≈0.15(萬元/年)，所以在第5個年頭，該市房價上漲的速度大約是0.15萬元/年.思維升華　由導數(shù)的定義可知，導數(shù)是瞬時變化率，所以求某個量在某一時刻的變化速度，就是求相關函數(shù)在某點處的導數(shù).訓練3 從時刻t＝0開始的t(s)內，通過某導體的電量(單位：庫侖)可以由公式q＝cos t表示.求第5秒和第7秒時的電流強度(單位：安).解　由q＝cos t得q′＝－sin t，所以q′(5)＝－sin 5，q′(7)＝－sin 7，即第5秒、第7秒時的電流強度分別是－sin 5安、－sin 7安.[課堂小結]1.熟記基本初等函數(shù)的求導公式2.掌握1種方法利用公式求導時，一般遵循“先化簡，再求導”的原則.3.注意1個易錯點混淆指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)與冪函數(shù)y＝xα(α為常數(shù))的求導公式而致錯.一、基礎達標1.函數(shù)y＝3x在x＝2處的導數(shù)為(　　)A.9  B.6C.9ln 3  D.6ln 3答案　C解析　y′＝(3x)′＝3xln 3，故所求導數(shù)為9ln 3.2.(多選)下列結論中，正確的是(　　)A.若y＝，則y′＝－B.若y＝，則y′＝C.若y＝，則y′＝－2x－3D.若f(x)＝3x，則f′(1)＝3答案　ACD解析　由(xα)′＝αxα－1知，選項A，y＝＝x－3，則y′＝－3x－4＝－；選項B，y＝＝x，則y′＝x－≠；選項C，y＝＝x－2，則y′＝－2x－3；選項D，由f(x)＝3x知f′(x)＝3，∴f′(1)＝3.∴選項A，C，D正確.3.若函數(shù)f(x)＝cos x，則f′＋f的值為(　　)A.0  B.－1  C.1  D.2答案　A解析　f′(x)＝－sin x，所以f′＋f＝－sin＋cos＝0.4.曲線f(x)＝x3的斜率等于1的切線有(　　)A.1條  B.2條C.3條  D.不確定答案　B解析　f′(x)＝3x2，設切點為(x0，y0)，則3x＝1，得x0＝±，即在點和點處有斜率為1的切線.所以有2條切線.5.(多選)以下運算正確的是(　　)A.′＝ B.(cos x)′＝－sin xC.(2x)′＝2xln 2 D.(lg x)′＝－答案　BC解析　對于A，′＝－，所以A不正確；對于B，因為(cos x)′＝－sin x，故B正確；對于C，因為(2x)′＝2xln 2，所以C正確；對于D，因為(lg x)′＝，所以D不正確.6.若曲線y＝ln x在x＝a處的切線傾斜角為，則a＝______.答案　1解析　y′＝，∴y′|x＝a＝＝1.∴a＝1.7.若y＝10x，則y′|x＝1＝________.答案　10ln 10解析　y′＝10xln 10，∴y′|x＝1＝10ln 10.8.設f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，則f2 022(x)＝________.答案?。?/span>sin x解析　由已知得，f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…，依次類推可得，函數(shù)呈周期變化，且周期為4，則f2 022(x)＝f2(x)＝－sin x.9.求下列函數(shù)的導數(shù).(1)y＝－2sin ；(2)y＝log2 x2－log2 x.解　(1)∵y＝－2sin ＝2sin ＝2sin cos ＝sin x，∴y′＝(sin x)′＝cos x.(2)∵y＝log2 x2－log2 x＝log2 x，∴y′＝(log2 x)′＝.10.若曲線y＝x－在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為18，求實數(shù)a的值.解　∵y＝x－，∴y′＝－x－，∴曲線在點(a，a－)處的切線斜率k＝－a－，∴切線方程為y－a－＝－a－(x－a).令x＝0，得y＝a－；令y＝0，得x＝3a，∴該切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為S＝×3a·a－＝a＝18，∴a＝64.二、能力提升11.已知函數(shù)y＝x2(x>0)的圖象在點(ak，a)處的切線與x軸交點的橫坐標為ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，則a1＋a3＋a5的值是(　　)A.18  B.21  C.24  D.27答案　B解析　∵y′＝2x，∴y＝x2(x>0)的圖象在點(ak，a)處的切線方程為y－a＝2ak(x－ak).又該切線與x軸的交點為(ak＋1，0)，∴ak＋1＝ak，即數(shù)列{ak}是首項a1＝16，公比q＝的等比數(shù)列，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.12.如圖所示，水波的半徑以1 m/s的速度向外擴張，當半徑為5 m時，這水波面的圓面積的瞬時膨脹率是________m2/s.答案　10π解析　因為水波的半徑以v＝1 m/s的速度向外擴張，水波面的圓面積S＝πr2＝π(vt)2＝πt2.所以利用瞬時變化率，可求水波面的圓面積在時刻t0時的瞬時膨脹率S′|t＝t0＝2πt0.當半徑為5 m時，t＝5 s，所以S′|t＝5＝2π×5＝10π，即半徑為5 m時，這水波面的圓面積的瞬時膨脹率是10π m2/s.13.已知點A，B(2，1)，函數(shù)f(x)＝log2x.(1)過坐標原點O作曲線y＝f(x)的切線，求切線方程；(2)在曲線y＝f(x)上是否存在點P，使得過點P的切線與直線AB平行？若存在，求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由.解　(1)設切點為(m，log2m)(m>0).因為f(x)＝log2x，所以f′(x)＝.由題意可得＝，解得m＝e，所以切線方程為y－log2e＝(x－e)，即y＝x.(2)過點A，B(2，1)的直線的斜率為kAB＝.假設存在點P，使得過點P的切線與直線AB平行.設P(n，log2n)，≤n≤2，則有＝，得n＝.又＝ln <ln 2<ln e＝1，所以<<，所以在曲線y＝f(x)上存在點P，使得過點P的切線與直線AB平行，且點P的橫坐標為.三、創(chuàng)新拓展14.已知P為曲線y＝ln x上的一動點，Q為直線y＝x＋1上的一動點，則當P的坐標為________時，PQ最小，此時最小值為________.答案　(1，0)　解析　如圖，當直線l與曲線y＝ln x相切且與直線y＝x＋1平行時，切點到直線y＝x＋1的距離即為PQ的最小值.易知(ln x)′＝，令＝1，得x＝1，故此時點P的坐標為(1，0)，所以PQ的最小值為＝. 

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5.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用

版本： 蘇教版 (2019)

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