1.能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)在給定閉區(qū)間上的最大值、最小值.2.體會導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值、最大(小)值的關(guān)系.
通過解決函數(shù)的最大(小)值問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和直觀想象素養(yǎng).
問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識探究
互動合作研析題型關(guān)鍵能力提升
拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材 必備知識探究
1.思考　如圖是函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象，顯然f(x1)，f(x3)，f(x5)為極大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)為極小值.你能找到函數(shù)的最大值M和最小值m嗎？
提示　最大值M＝f(x3)＝f(b)分別在x＝x3及x＝b處取得，最小值m＝f(x4)在x＝x4處取得.顯然函數(shù)的最值是函數(shù)的整體性質(zhì)，且要求函數(shù)是連續(xù)不斷的.最值不同于極值，如果有最大(小)值，則唯一存在.
2.填空　(1)如果在函數(shù)定義域I內(nèi)存在x0，使得對任意的x∈I，總有f(x)____ f(x0)，那么稱f(x0)為函數(shù)f(x)在定義域上的最大值.(2)如果在函數(shù)定義域I內(nèi)存在x0，使得對任意的x∈I，總有f(x)____ f(x0)，那么稱f(x0)為函數(shù)f(x)在定義域上的最小值.函數(shù)的最大(小)值是相對函數(shù)定義域整體而言的，如果存在最大(小)值，那么函數(shù)的最大(小)值______.
溫馨提醒　(1)函數(shù)的極值不一定是最值，需要將極值和區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，或者考查函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.(2)如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互動合作研析題型 關(guān)鍵能力提升
例1 求下列各函數(shù)的最值. (1)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]；
解　f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1，1]內(nèi)恒大于0，∴f(x)在[－1，1]上為增函數(shù).故當(dāng)x＝－1時，f(x)min＝－12；當(dāng)x＝1時，f(x)max＝2.
(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0，2π].
求可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值的步驟(1)求f(x)在區(qū)間(a，b)上的極值；(2)將第一步中求得的極值與f(a)，f(b)比較，得到f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值.
訓(xùn)練1 求下列函數(shù)的最值： (1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，4]；
解　f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表
∴當(dāng)x＝4時，f(x)取最大值35.當(dāng)x＝－2時，f(x)取最小值－37.
(2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a為正實數(shù).
當(dāng)x∈[0，a]時，f′(x)＜0恒成立，所以f(x)在[0，a]上是減函數(shù).故當(dāng)x＝a時，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea；當(dāng)x＝0時，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0.
例2 已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2－a2x.求函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上的最小值.
題型二　含參數(shù)的函數(shù)的最值問題
①當(dāng)a>0時，f(x)在[0，a)上是減函數(shù)，在[a，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(x)min＝f(a)＝－a3.②當(dāng)a＝0時，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(x)min＝f(0)＝0.
遷移 當(dāng)a>0時，求函數(shù)f(x)＝x3－ax2－a2x在[－a，2a]上的最值.
含參數(shù)的函數(shù)最值問題的兩類情況(1)能根據(jù)條件求出參數(shù)，從而化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題.(2)對于不能求出參數(shù)值的問題，則要對參數(shù)進行討論，其實質(zhì)是討論導(dǎo)函數(shù)大于0、等于0、小于0三種情況.若導(dǎo)函數(shù)恒不等于0，則函數(shù)在已知區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，最值在端點處取得；若導(dǎo)函數(shù)可能等于0，則求出極值點后求極值，再與端點值比較后確定最值.
訓(xùn)練2 已知a∈R，函數(shù)f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在區(qū)間[0，2]上的最大值.
題型三　由函數(shù)的最值求參數(shù)問題
例3 已知函數(shù)f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]時，f(x)的最大值為3，最小值為－29，求a，b的值.
解　由題設(shè)知a≠0，否則f(x)＝b為常數(shù)，與題設(shè)矛盾.f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，x∈[－1，2].令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).(1)當(dāng)a>0時，當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
由表可知，當(dāng)x＝0時，f(x)取得最大值.∴f(0)＝3，即b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3－2；由f′(x)－3，∴t＋1>－2.①當(dāng)－3

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5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

版本： 蘇教版 (2019)

年級： 選擇性必修第一冊

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