數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊4.2 等差數(shù)列課文內(nèi)容ppt課件-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

第4章數(shù)列
第二課時(shí)　等差數(shù)列的性質(zhì)及實(shí)際應(yīng)用
課標(biāo)要求
1.能根據(jù)等差數(shù)列的定義推出等差數(shù)列的性質(zhì)，并能運(yùn)用這些性質(zhì)簡化運(yùn)算.2.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題.
素養(yǎng)要求
通過推導(dǎo)等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)；通過利用等差數(shù)列的相關(guān)公式解決實(shí)際應(yīng)用問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識探究
內(nèi)容索引
互動合作研析題型關(guān)鍵能力提升
拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識探究
1
一、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與函數(shù)的關(guān)系1.思考　觀察等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，你認(rèn)為它與我們熟悉的哪一類函數(shù)有關(guān)？提示　由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，故an是函數(shù)f(x)＝dx＋(a1－d)當(dāng)x＝n時(shí)的函數(shù)值，即an＝f(n)，點(diǎn)(n，an)則是函數(shù)f(x)＝dx＋(a1－d)圖象上的均勻分布的孤立的點(diǎn).
2.填空　等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d，當(dāng)d＝0時(shí)，an是一個固定常數(shù)；當(dāng)d≠0時(shí)，an相應(yīng)的函數(shù)是一次函數(shù)，點(diǎn)(n，an)分布在以d為斜率的直線上，是這條直線上的一列孤立的點(diǎn). 溫馨提醒　等差數(shù)列的圖象是一條直線上的一系列孤立的點(diǎn)，因此涉及等差數(shù)列中的項(xiàng)、過兩點(diǎn)的直線斜率及數(shù)列的單調(diào)性的問題，利用多點(diǎn)共線即可快速求解.
3.做一做　已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且an＝an2＋n(n∈N*)，則實(shí)數(shù)a＝________.
0
解析　∵{an}是等差數(shù)列，且an＝an2＋n，∴an是關(guān)于n的一次函數(shù)，∴a＝0.
二、等差數(shù)列的性質(zhì)1.思考　(1)如果一個數(shù)列的前有限項(xiàng)是等差數(shù)列，那么這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？提示　不一定，證明一個數(shù)列是等差數(shù)列，一定要體現(xiàn)出任意性.(2)在等差數(shù)列{an}中，a5＋a8＝3，a3＋a10等于多少？除了基本量法，有何簡單方法？提示　a5＋a8＝a1＋4d＋a1＋7d＝a1＋2d＋a1＋9d＝a3＋a10＝3.發(fā)現(xiàn)在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q，則有am＋an＝ap＋aq.
2.填空　(1)若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*). (2){an}是公差為d的等差數(shù)列，若正整數(shù)m，n，p，q滿足m＋n＝p＋q，則am＋an＝____________. ①特別地，當(dāng)m＋n＝2k(m，n，k∈N*)時(shí)，am＋an＝________. ②對有窮等差數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)的____，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. (3)從等差數(shù)列中，每隔一定的距離抽取一項(xiàng)，組成的數(shù)列仍為______數(shù)列.
ap＋aq
2ak
和
等差
(4)若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則①{c＋an}(c為任一常數(shù))是公差為____的等差數(shù)列；②{can}(c為任一常數(shù))是公差為______的等差數(shù)列；③{an＋an＋k}(k為常數(shù)，k∈N*)是公差為______的等差數(shù)列.(5)若{an}，{bn}分別是公差為d1，d2的等差數(shù)列，則數(shù)列{pan＋qbn}(p，q是常數(shù))是公差為________________的等差數(shù)列.(6)若{an}的公差為d，則d>0?{an}為______數(shù)列；d1，且n∈N*.( )
×
√
×
√
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互動合作研析題型關(guān)鍵能力提升
2
例1 已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且公差為d. (1)若a15＝8，a60＝20，求a105的值；
題型一　等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用
法三　∵{an}為等差數(shù)列，∴a15，a60，a105也成等差數(shù)列，則2a60＝a15＋a105，∴a105＝2×20－8＝32.
(2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d.
解　由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34，∴a2＋a5＝17.
等差數(shù)列運(yùn)算的兩條常用思路(1)根據(jù)已知條件，列出關(guān)于a1，d的方程(組)，確定a1，d，然后求其他量.(2)利用性質(zhì)巧解，觀察等差數(shù)列中項(xiàng)的序號，若滿足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，則am＋an＝ap＋aq＝2ar.
訓(xùn)練1 (1)在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a7＝________.
20
解析　3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a3＋a8)＝20.
(2)已知等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，則a3＋a6＋a9＝________.
27
解析　一　由性質(zhì)可知，數(shù)列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9是等差數(shù)列，所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，則a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27.法二　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＝3d＝－6，解得d＝－2，所以a3＋a6＋a9＝a2＋d＋a5＋d＋a8＋d＝(a2＋a5＋a8)＋3d＝27.
例2 已知四個數(shù)依次成等差數(shù)列且是遞增數(shù)列，四個數(shù)的平方和為94，首尾兩數(shù)之積比中間兩數(shù)之積少18，求此等差數(shù)列.
題型二　等差數(shù)列的設(shè)法與求解
遷移已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)之和為21，前三項(xiàng)之積為231，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
法二　由于數(shù)列{an}為等差數(shù)列，所以可設(shè)前三項(xiàng)分別為a－d，a，a＋d，
等差數(shù)列項(xiàng)的常見設(shè)法(1)通項(xiàng)法：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，即設(shè)an＝a1＋(n－1)d.(2)對稱項(xiàng)設(shè)法：當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，可設(shè)中間一項(xiàng)為a，再以公差為d向兩邊分別設(shè)項(xiàng)：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，可設(shè)中間兩項(xiàng)分別為a－d，a＋d，再以公差為2d向兩邊分別設(shè)項(xiàng)：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….對稱項(xiàng)設(shè)法的優(yōu)點(diǎn)是：若有n個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，利用對稱項(xiàng)設(shè)法設(shè)出這個數(shù)列，則其各項(xiàng)和為na.
訓(xùn)練2 已知四個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為26，中間兩項(xiàng)的積為40，求這四個數(shù).
D
題型三　等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
例3 數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一個問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二(除以3余2)，五五數(shù)之剩三(除以5余3)，問物幾何？”現(xiàn)將1到2 021共2 021個整數(shù)中，同時(shí)滿足“三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三”的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，則該數(shù)列共有(　　) A.132項(xiàng) B.133項(xiàng) C.134項(xiàng) D.135項(xiàng)
解析　被3除余2且被5除余3的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為8，公差為15的等差數(shù)列，記為{an}，則an＝8＋15(n－1)＝15n－7.
解決等差數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的步驟及注意點(diǎn)(1)解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的基本步驟：①審題，即仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意；②建模，即將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語言，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題；③判型，即判斷該數(shù)列是否為等差數(shù)列；④求解，即求出該問題的數(shù)學(xué)解；⑤還原，即將所求結(jié)果還原到實(shí)際問題中.(2)在利用數(shù)列方法解決實(shí)際問題時(shí)，一定要弄清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵問題.
訓(xùn)練3 假設(shè)某市2021年新建住房400萬平方米，預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積均比上一年增加50萬平方米，那么該市在________年新建住房的面積開始大于820萬平方米.
2030
課堂小結(jié)
1.牢記2個知識點(diǎn)(1)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.(2)等差數(shù)列的性質(zhì).2.掌握2種常用方法(1)等差數(shù)列的常見設(shè)法.(2)等差數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的步驟.3.注意1個易錯點(diǎn)解題時(shí)注意運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)的限制條件.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成
3
C
2.已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m為(　　) A.12 B.8 C.6 D.4
B
解析　由等差數(shù)列性質(zhì)得，a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
A
4.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中《均屬章》有如下問題：“今有五人分六錢，令前三人所得與后二人等，各人所得均增，問各得幾何？”其意思是：“已知A，B，C，D，E五個人分重量為6錢(‘錢’是古代的一種重量單位)的物品，A，B，C三人所得錢數(shù)之和與D，E二人所得錢數(shù)之和相同，且A，B，C，D，E每人所得錢數(shù)依次成遞增等差數(shù)列，問五個人各分得多少錢的物品？”在這個問題中，C分得物品的錢數(shù)是(　　)
C
5.(多選)已知等差數(shù)列{an}中，a1＝3，公差為d(d∈N*)，若2 021是該數(shù)列的一項(xiàng)，則公差d不可能是(　　 ) A.2 B.3 C.4 D. 5
BCD
4
7.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列.若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，且ak＝13，則k＝________.
18
9.已知三個數(shù)成單調(diào)遞增的等差數(shù)列，它們的和等于18，它們的平方和等于116，求這三個數(shù).
解　設(shè)這三個數(shù)分別為a－d，a，a＋d，且d>0.
∵d>0，∴a＝6，d＝2.∴這三個數(shù)是4，6，8.
A
12.若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，則ap＋q＝________.
0
解析　法一　設(shè){an}的公差為d，∵ap＝aq＋(p－q)d，∴q＝p＋(p－q)d，即q－p＝(p－q)d.∵p≠q，∴d＝－1.∴ap＋q＝ap＋(p＋q－p)d＝q＋q×(－1)＝0.
法二　∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，
如圖所示，由圖易知|OC|＝p＋q，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(p＋q，0)，故ap＋q＝0.
13.首項(xiàng)為a1，公差為d(d∈N*)的等差數(shù)列{an}滿足下列兩個條件： ①a3＋a5＋a7＝93； ②滿足an>100的n的最小值是15. 試求公差d和首項(xiàng)a1的值.
解　∵a3＋a5＋a7＝93，∴3a5＝93，∴a5＝31.∵an>100，即an＝a5＋(n－5)d>100，
14.設(shè)數(shù)列{an}(n＝1，2，…)是等差數(shù)列，且公差為d，若數(shù)列{an}中任意(不同)兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”. (1)若a1＝4，d＝2，求證：該數(shù)列是“封閉數(shù)列”；
證明　∵a1＝4，d＝2，∴an＝4＋(n－1)·2＝2n＋2.∴對任意的m，n∈N*，有am＋an＝(2m＋2)＋(2n＋2)＝2(m＋n＋1)＋2.∵m＋n＋1∈N*，令p＝m＋n＋1，則有ap＝2p＋2，它是該數(shù)列的項(xiàng).∴該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.
(2)試判斷通項(xiàng)為an＝2n－7(n∈N*)的數(shù)列是否為“封閉數(shù)列”，為什么？
解　∵an＝2n－7(n∈N*)，∴a1＝－5，a2＝－3.∴a1＋a2＝－8.令an＝a1＋a2＝－8，得2n－7＝－8，

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