1．(多選)下列運算中正確的是( )
A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′
B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,x2)))′＝eq \f(（sin x）′－（x2）′,x2)
D．(cs x·sin x)′＝(cs x)′sin x＋cs x(sin x)′
解析：選AD A項中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正確；
B項中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故錯誤；
C項中，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,x2)))′＝eq \f(（sin x）′x2－sin x（x2）′,（x2）2)，故錯誤；
D項中，(cs x·sin x)′＝(cs x)′sin x＋cs x(sin x)′，故正確．
2．函數(shù)f(x)＝excs x的圖象在點(0，f(0))處的切線的傾斜角為( )
A．0 B.eq \f(π,4)
C．1 D.eq \f(π,2)
解析：選B 對函數(shù)求導(dǎo)得f′(x)＝ex(cs x－sin x)，∴f′(0)＝1，∴函數(shù)f(x)＝excs x的圖象在點(0，f(0))處的切線的傾斜角為eq \f(π,4).
3．設(shè)f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，則x0等于( )
A．e2 B．e
C.eq \f(ln 2,2) D．ln 2
解析：選B ∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1(x>0)，由f′(x0)＝2，得ln x0＋1＝2，即ln x0＝1，解得x0＝e.
4．函數(shù)f(x)＝eq \f(x2,x＋3)的導(dǎo)數(shù)是( )
A.eq \f(x2＋6x,（x＋3）2) B.eq \f(x2＋6x,x＋3)
C.eq \f(－2x,（x＋3）2) D.eq \f(3x2＋6x,（x＋3）2)
解析：選A f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,x＋3)))′＝eq \f(（x2）′（x＋3）－x2（x＋3）′,（x＋3）2)＝eq \f(2x（x＋3）－x2,（x＋3）2)＝eq \f(x2＋6x,（x＋3）2).
5．設(shè)曲線f(x)＝ax－ln(x＋1)在點(0，0)處的切線方程為y＝2x，則a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：選D f′(x)＝a－eq \f(1,x＋1)，由題意得f′(0)＝2，
即a－1＝2，所以a＝3.
6．已知函數(shù)f(x)＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))·cs x＋sin x，則f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝________，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝________．
解析：∵f′(x)＝－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))sin x＋cs x，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(2),2)，
得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(2)－1.
∴f(x)＝(eq \r(2)－1)cs x＋sin x.
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝1.
答案：eq \r(2)－1 1
7．已知f(x)＝eq \f(ex,x)，則f′(1)＝________，若f′(x0)＋f(x0)＝0，則x0＝________．
解析：因為f′(x)＝eq \f(（ex）′x－ex（x）′,x2)＝eq \f(ex（x－1）,x2)(x≠0)．
所以f′(1)＝0.
由f′(x0)＋f(x0)＝0，得eq \f(e\a\vs4\al(x0)（x0－1）,xeq \\al(2,0))＋eq \f(e\a\vs4\al(x0),x0)＝0.
解得x0＝eq \f(1,2).
答案：0 eq \f(1,2)
8．已知函數(shù)f(x)＝ex·sin x，則f′(x)＝________，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程是________．
解析：∵f(x)＝ex·sin x，f′(x)＝ex(sin x＋cs x)，
f′(0)＝1，f(0)＝0，∴曲線y＝f(x)在點(0，0)處的切線方程為y－0＝1×(x－0)，即y＝x.
答案：ex(sin x＋cs x) y＝x
9．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)f(x)＝eq \r(x)－ln x；(2)f(x)＝(x2＋1)(x－1)；
(3)f(x)＝eq \f(x2,sin x)；(4)f(x)＝eq \f(x＋3,x2＋3).
解：(1)f′(x)＝(eq \r(x)－ln x)′
＝(eq \r(x))′－(ln x)′＝eq \f(1,2\r(x))－eq \f(1,x).
(2)f′(x)＝[(x2＋1)(x－1)]′
＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′
＝3x2－2x＋1.
(3)f′(x)＝eq \f(（x2）′·sin x－x2·（sin x）′,sin2x)
＝eq \f(2xsin x－x2cs x,sin2x).
(4)f′(x)＝eq \f(1·（x2＋3）－（x＋3）·2x,（x2＋3）2)
＝eq \f(－x2－6x＋3,（x2＋3）2).
10．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲線g(x)在x＝0處的切線方程．
解：(1)因為f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excs x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cs 0＋2×0－8＝－7，
又g(0)＝3，
所以曲線g(x)在x＝0處的切線方程為y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
[B級 綜合運用]
11．若函數(shù)f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，且f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f′(1)＝( )
A．24 B．－24
C．10 D．－10
解析：選A ∵f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)·(x－4)(x－5)，
∴f′(x)＝(x－1)′[(x－2)(x－3)(x－4)·(x－5)]＋(x－1)·[(x－2)(x－3)·(x－4)(x－5)]′
＝(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋(x－1)[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′，
∴f′(1)＝(1－2)×(1－3)×(1－4)×(1－5)＝24.故選A.
12．若f(x)＝x2－2x－4ln x，則f′(x)＞0的解集為( )
A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1，0)
解析：選C ∵f(x)＝x2－2x－4ln x，
∴f′(x)＝2x－2－eq \f(4,x)＞0，
整理得eq \f(（x＋1）（x－2）,x)＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，
又∵f(x)的定義域為(0，＋∞)，∴x＞2.
13．曲線y＝eq \f(x,2x－1)在點(1，1)處的切線為l，則l上的點到圓x2＋y2＋4x＋3＝0上的點的最近距離是________．
解析：y′＝－eq \f(1,（2x－1）2)，則k＝－1，∴切線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圓心(－2，0)到直線的距離d＝2eq \r(2)，圓的半徑r＝1，∴所求最近距離為2eq \r(2)－1.
答案：2eq \r(2)－1
14．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－eq \f(b,x)，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值．
解：(1)由7x－4y－12＝0得y＝eq \f(7,4)x－3.
當x＝2時，y＝eq \f(1,2)，∴f(2)＝eq \f(1,2)，①
又f′(x)＝a＋eq \f(b,x2)，
∴f′(2)＝eq \f(7,4)，②
由①②得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a－\f(b,2)＝\f(1,2)，,a＋\f(b,4)＝\f(7,4).))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝3.))
故f(x)＝x－eq \f(3,x).
(2)證明：設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點，由y′＝1＋eq \f(3,x2)知曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為
y－y0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,xeq \\al(2,0))))(x－x0)，
即y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(3,x0)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,xeq \\al(2,0))))(x－x0)．
令x＝0得y＝－eq \f(6,x0)，從而得切線與直線x＝0的交點坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(6,x0))).
令y＝x得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點坐標為(2x0，2x0)．
所以點P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(6,x0)))|2x0|＝6.
故曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為定值，此定值為6.
[C級 拓展探究]
15．已知拋物線C1：y＝x2＋2x和C2：y＝－x2＋a，如果直線l同時是C1和C2的切線，稱l是C1和C2的公切線，則a取什么值時，C1和C2有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程．
解：函數(shù)y＝x2＋2x的導(dǎo)數(shù)y′＝2x＋2，曲線C1在點P(x1，xeq \\al(2,1)＋2x1)處的切線方程是y－(xeq \\al(2,1)＋2x1)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－xeq \\al(2,1).①
函數(shù)y＝－x2＋a的導(dǎo)數(shù)y′＝－2x，曲線C2在點Q(x2，－xeq \\al(2,2)＋a)處的切線方程是y－(－xeq \\al(2,2)＋a)＝－2x2(x－x2)，
即y＝－2x2x＋xeq \\al(2,2)＋a.②
如果直線l是過P和Q的公切線，則①式和②式都是l的方程，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋1＝－x2，,－xeq \\al(2,1)＝xeq \\al(2,2)＋a，))
消去x2得方程：2xeq \\al(2,1)＋2x1＋1＋a＝0.
當判別式Δ＝4－4×2(1＋a)＝0，即a＝－eq \f(1,2)時，解得x1＝x2＝－eq \f(1,2)，此時點P與點Q重合．
即當a＝－eq \f(1,2)時，C1與C2有且只有一條公切線，且公切線方程為y＝x－eq \f(1,4).

相關(guān)試卷

蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊5.2 導(dǎo)數(shù)的運算課后作業(yè)題：

這是一份蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊5.2 導(dǎo)數(shù)的運算課后作業(yè)題，共9頁。試卷主要包含了下列求導(dǎo)運算正確的是，已知函數(shù)f=x,則f'=，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，已知函數(shù)f=x3+x-2等內(nèi)容，歡迎下載使用。

湘教版（2019）選擇性必修 第二冊第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用課后作業(yè)題：

這是一份湘教版（2019）選擇性必修 第二冊第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用課后作業(yè)題，共4頁。試卷主要包含了))∴a＝b＝1等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高中蘇教版 (2019)5.2 導(dǎo)數(shù)的運算同步訓(xùn)練題：

這是一份高中蘇教版 (2019)5.2 導(dǎo)數(shù)的運算同步訓(xùn)練題，共4頁。試卷主要包含了 記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則， 曲線在點處的切線的傾斜角為， 設(shè)函數(shù)，若，則， 已知，則， 已知函數(shù),若,則， 已知函數(shù),則， 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)， 已知，為非零常數(shù)，函數(shù)，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊5.2 導(dǎo)數(shù)的運算課時作業(yè)

高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊5.2 導(dǎo)數(shù)的運算課時作業(yè)
高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊3.1 橢圓課后測評

高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊3.1 橢圓課后測評
高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用課后作業(yè)題

高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用課后作業(yè)題
高中第4章 數(shù)列4.1 數(shù)列鞏固練習

高中第4章 數(shù)列4.1 數(shù)列鞏固練習
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊電子課本

5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

版本： 蘇教版 (2019)

年級： 選擇性必修第一冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部