一、平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示：
空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示又是怎樣的呢？
一　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算
【探究】有了空間向量的坐標(biāo)表示，類比平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，我們就可得出空間向量 運(yùn)算的坐標(biāo)表示，還可以加以證明！
下面我們證明空間向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示．其他運(yùn)算的坐標(biāo)表示可以類似證明，請同學(xué)們自己完成．
由上述結(jié)論可知，空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示與平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示是完全一致的．
一個(gè)空間向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)．
例1 (1)已知a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，則(2a＋3b)·(a－b)＝_____.
解 易得2a＋3b＝(4,4,5)，a－b＝(－3,2,0)，
則(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.
∴a·b＝1＋0＋3＝4.
解 ①設(shè)B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6，－4,5).
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(9，－6,10).
③設(shè)P(x2，y2，z2)，
二　空間向量的平行、垂直及模、夾角
類似平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示，我們還可以得到：
(1)要證明a⊥b，就是證明a·b＝0；
(2)要證明a∥b，就是證明a＝λb(b≠0).
所以2a－b＝(3,2，－2)，
所以2a－b＝－2c，所以(2a－b)∥c.
所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4).又因?yàn)?ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.
解 如圖所示，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，
由題意，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，a,1)，
所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，
證 (1)設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G，連接EG.
所以四邊形AGEF為平行四邊形，所以AF∥EG
因?yàn)镋G?平面BDE，AF?平面BDE，所以AF∥平面BDE.
證 (2) 因?yàn)檎叫蜛BCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直，且CE⊥AC，
所以CE⊥平面ABCD. 如圖，以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.
又BE∩DE＝E，且BE?平面BDE，DE?平面BDE，所以CF⊥平面BDE.
三　空間兩點(diǎn)間的距離公式
這就是空間兩點(diǎn)間的距離公式．
將空間向量的運(yùn)算與向量的坐標(biāo)表示結(jié)合起來，不僅可以解決夾角和距離的計(jì)算問題，而且可以使一些問題的解決變得簡單．
【練2】 P(x, y, z)到A(3, 3, 1) , B(1, 0, 5)兩點(diǎn)距離相等, 求P 點(diǎn)的軌跡方程
思考？P點(diǎn)的軌跡是什么？
　四 向量的坐標(biāo)表示解決幾何問題
例8.若a=(-1, λ, -2),b=(2, -1, 1), a與b的夾角為120°, 則λ的值為　　　　.?
解：∵a=(-1, λ, -2), b=(2, -1, 1), a與b的夾角為120°,
解得λ= -1或λ=17.
解 (1) 以C為原點(diǎn)，以CA，CB，CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直 角坐標(biāo)系，如圖.
例9 如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是AA1， CB1的中點(diǎn). (1)求BM，BN的長. (2)求△BMN的面積.
證 (1)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，
【練3】如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1D，BD的中點(diǎn)， G在棱CD上，且CG＝ H為C1G的中點(diǎn). (1)求證：EF⊥B1C； (2)求FH的長；(3)求EF與C1G所成角的余弦值.
(1)向量的坐標(biāo)的運(yùn)算.
2.方法歸納：類比、轉(zhuǎn)化.
(1)由兩向量共線直接得到兩向量對應(yīng)坐標(biāo)的比相等.
(2)求異面直線所成的角時(shí)易忽略范圍；
（3）討論向量夾角忽略向量共線的情況.
(2)向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用.
課本P21-22 練習(xí) 1,2,3,4,5

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

1.3 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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