高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)9.2 用樣本估計(jì)總體課時(shí)練習(xí)

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)9.2 用樣本估計(jì)總體課時(shí)練習(xí)，文件包含92用樣本估計(jì)總體解析版docx、92用樣本估計(jì)總體原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共88頁， 歡迎下載使用。
?9.2用樣本估計(jì)總體
【知識(shí)點(diǎn)】
1.頻率分布直方圖繪制步驟
①求極差，即一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差．
②決定組距與組數(shù)．組距與組數(shù)的確定沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)，一般數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)越多，所分組數(shù)越多．當(dāng)樣本容量不超過100時(shí)，常分成5～12組．為方便起見，一般取等長(zhǎng)組距，并且組距應(yīng)力求“取整”．
③將數(shù)據(jù)分組．
④列頻率分布表．計(jì)算各小組的頻率，第i組的頻率是.
⑤畫頻率分布直方圖．其中橫軸表示分組，縱軸表示.實(shí)際上就是頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的高度，它反映了各組樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)的疏密程度．
2. 頻率分布直方圖意義：各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，頻率分布直方圖以面積的形式反映數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組的頻率的大小，各小長(zhǎng)方形的面積的總和等于1.
3.總體取值規(guī)律的估計(jì)：我們可以用樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)的頻率分布估計(jì)總體的取值規(guī)律．
4.頻率分布直方圖的特征：當(dāng)頻率分布直方圖的組數(shù)少、組距大時(shí)，容易從中看出數(shù)據(jù)整體的分布特點(diǎn)，但由于無法看出每組內(nèi)的數(shù)據(jù)分布情況，損失了較多的原式數(shù)據(jù)信息；當(dāng)頻率分布直方圖的組數(shù)多、組距小時(shí)，保留了較多的原始數(shù)據(jù)信息，但由于小長(zhǎng)方形較多，有時(shí)圖形會(huì)變得非常不規(guī)則 ，不容易從中看出總體數(shù)據(jù)的分布特點(diǎn)．
5.常見的其他統(tǒng)計(jì)圖：條形圖、扇形圖、折線圖．
扇形圖主要用于直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例；
條形圖和直方圖主要用于直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率；
折線圖主要用于描述數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化趨勢(shì)．
6.各個(gè)統(tǒng)計(jì)圖特點(diǎn)
(1)不同的統(tǒng)計(jì)圖在表示數(shù)據(jù)上有不同的特點(diǎn)．如扇形圖主要用于直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例，條形圖和直方圖主要用于直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率，折線圖主要用于描述數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化趨勢(shì)．
(2)不同的統(tǒng)計(jì)圖適用的數(shù)據(jù)類型也不同．如條形圖適用于描述離散型的數(shù)據(jù)，直方圖適用于描述連續(xù)性數(shù)據(jù)．
7.第p百分位數(shù)的定義
一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值．
8.計(jì)算第p百分位數(shù)的步驟
第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．
第2步，計(jì)算i ＝n×p%.
第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
9.四分位數(shù)
常用的分位數(shù)有第25百分位數(shù)、第50百分位數(shù)、第75百分位數(shù)，這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)．其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等．
10．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)定義
(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．
(2)中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，處在中間位置(或中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
(3)平均數(shù)：如果n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)．
11.頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
①在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高矩形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
②中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等；
③平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．
12.方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義
一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的方差為(xi－)2＝－2，標(biāo)準(zhǔn)差為.
13.總體方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差的定義
如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數(shù)為，則稱S2＝(Yi－)2
為總體方差，S＝為總體標(biāo)準(zhǔn)差．如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k(k≤N)個(gè)，記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i＝1,2，…，k)，則總體方差為S2＝i(Yi－)2.
14.樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的定義
如果一個(gè)樣本中個(gè)體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數(shù)為，則稱s2＝(yi－)2
為樣本方差，s＝為樣本標(biāo)準(zhǔn)差．
15.方差、標(biāo)準(zhǔn)差特征
標(biāo)準(zhǔn)差、方差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。诳坍嫈?shù)據(jù)的分散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的．但在解決實(shí)際問題中，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差．

【典型例題】
題型一 頻率分布直方圖的繪制與應(yīng)用
例1．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）通過抽樣，我們獲得了100位居民某年的月平均用水量（單位：t），如下表：
3.1
2.5
2.0
2.0
1.5
1.0
1.6
1.8
1.9
1.6
3.4
2.6
2.2
2.2
1.5
1.2
0.2
0.4
0.3
0.4
3.2
2.7
2.3
2.1
1.6
1.2
3.7
1.5
0.5
3.8
3.3
2.8
2.3
2.2
1.7
1.3
3.6
1.7
0.6
4.1
3.2
2.9
2.4
2.3
1.8
1.4
3.5
1.9
0.8
4.3
3.0
2.9
2.4
2.4
1.9
1.3
1.4
1.8
0.7
2.0
2.5
2.8
2.3
2.3
1.8
1.3
1.3
1.6
0.9
2.3
2.6
2.7
2.4
2.1
1.7
1.4
1.2
1.5
0.5
2.4
2.5
2.6
2.3
2.1
1.6
1.0
1.0
1.7
0.8
2.4
2.8
2.5
2.2
2.0
1.5
1.0
1.2
1.8
0.6
2.2
試用頻率直方圖分析該地居民月平均用水量的分布情況.
【答案】答案見解析
【解析】
【分析】
根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算極差確定組距和組數(shù)，再得到頻率分布表，畫出頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖得到答案.
【詳解】
計(jì)算極差：；將組距取為，則，取組數(shù)為；
將數(shù)據(jù)分為：，
則得到頻率分布表：
分組
頻數(shù)
頻率

4
0.04

8
0.08

15
0.15

22
0.22

25
0.25

14
0.14

6
0.06

4
0.04

2
0.02
合計(jì)
100
1.00

畫出頻率分布直方圖：

根據(jù)頻率分布直方圖：
用水量在的居民最少；
多數(shù)居民的用水量在之間；
用水量在的居民最多.
解題技巧（繪制頻率分布直方圖的注意事項(xiàng)）
1．在列頻率分布表時(shí)，極差、組距、組數(shù)有如下關(guān)系：
(1)若為整數(shù)，則＝組數(shù)；
(2)若不為整數(shù)，則的整數(shù)部分＋1＝組數(shù)．
2．組距和組數(shù)的確定沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)，將數(shù)據(jù)分組時(shí)，組數(shù)力求合適，縱使數(shù)據(jù)的分布規(guī)律能較清楚地呈現(xiàn)出來，組數(shù)太多或太少，都會(huì)影響我們了解數(shù)據(jù)的分布情況，若樣本容量不超過100，按照數(shù)據(jù)的多少常分為5～12組，一般樣本容量越大，所分組數(shù)越多.
例2．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下面是某市9月26日和9月29日市區(qū)出現(xiàn)堵車的時(shí)刻，試列出這兩天的堵車時(shí)刻的頻率分布表和頻率直方圖，并分析該市每天大約在什么時(shí)間段是行車高峰期.
9月26日
8:01
8:02
9:30
9:31
9:51
10:24
10:51
11:21
15:52
16:30
17:29
17:30
18:04
18:22
9月29日
8:29
8:32
8:33
9:29
9:58
10:14
10:33
11:43
14:00
16:08
16:29
16:54
16:55
17:05
18:08
18:09

【答案】答案見解析
【解析】
【分析】
確定組距，由已知條件確定每組的頻數(shù)、頻率、頻率/組距可得頻率分布表，根據(jù)頻率分布表作出頻率直方圖即可.
【詳解】
根據(jù)已知數(shù)據(jù)可得頻率分布表如下：
分組
頻數(shù)
頻率
頻率/組距












































合計(jì)




作出頻率分布直方圖如圖所示：

由頻率分布直方圖可以看出大約每天的到與到是行車高峰期.
例3．（2021·全國·高一單元測(cè)試）某制造商生產(chǎn)一批直徑為40的乒乓球，現(xiàn)隨機(jī)抽樣檢查20個(gè)，測(cè)得每個(gè)球的直徑（單位：，保留兩位小數(shù)）如下：
40.03???40.00???39.98???40.00???39.99???40.00???39.98
40.01???39.98???39.99???40.00???39.99???39.95???40.01
40.02???39.98???40.00???39.99???40.00???39.96
（1）完成下面的頻率分布表，并畫出頻率分布直方圖；
分組
頻數(shù)
頻率












合計(jì)



（2）假定乒乓球的直徑誤差不超過0.02為合格品.若這批乒乓球的總數(shù)為10000，試根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果估計(jì)這批產(chǎn)品的合格個(gè)數(shù).
【答案】（1）頻率分布表見解析，頻率分布直方圖見解析；（2）8500.
【解析】
【分析】
(1) 根據(jù)所給的頻數(shù)和樣本容量，用頻數(shù)除以樣本容量做出每一組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的頻率,填入表中，畫出對(duì)應(yīng)的頻率分步直方圖和頻率分布折線圖.(2)計(jì)算抽樣產(chǎn)品在的個(gè)數(shù)，計(jì)算合格率，即可求出這批產(chǎn)品的合格只數(shù).
【詳解】
（1）頻率分布表如下：
分組
頻數(shù)
頻率

2
0.10

4
0.20

10
0.50

4
0.20
合計(jì)
20
1.00

頻率分布直方圖如圖.

（2）∵抽樣的20個(gè)產(chǎn)品中直徑（單位：）在范圍內(nèi)的有17個(gè)，
∴合格品頻率為.
∴.
故根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，可以估計(jì)這批產(chǎn)品的合格個(gè)數(shù)為8500.
題型二 頻率分布直方圖中的相關(guān)計(jì)算問題
例4．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測(cè)（文））為了了解某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品情況，從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為20的樣本，測(cè)量它們的尺寸（單位：），數(shù)據(jù)分為，，，，，，七組，其頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求上圖中的值；
(2)根據(jù)頻率分布直方圖，求200件樣本尺寸在內(nèi)的樣本數(shù)；
(3)記產(chǎn)品尺寸在內(nèi)為等品，每件可獲利5元；產(chǎn)品尺寸在內(nèi)為不合格品，每件虧損2元；其余的為合格品，每件可獲利3元.若該機(jī)器一個(gè)月共生產(chǎn)3000件產(chǎn)品.以樣本的頻率代替總體在各組的頻率，若單月利潤未能達(dá)到11000元，則需要對(duì)該工廠設(shè)備實(shí)施升級(jí)改造.試判斷是否需要對(duì)該工廠設(shè)備實(shí)施升級(jí)改造.
【答案】(1)；
(2)（件）；
(3)需要對(duì)該工廠設(shè)備實(shí)施升級(jí)改造.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)進(jìn)行求解即可；
（3）根據(jù)題意，結(jié)合頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求出單月利潤，最后比較大小即可.
(1)
因?yàn)椋?br /> 解得；
(2)
200件樣本中尺寸在內(nèi)的樣本數(shù)為（件）
(3)
由題意可得，這批產(chǎn)品中優(yōu)等品有（件），
這批產(chǎn)品中不合格品有件，
這批產(chǎn)品中合格品有（件），
元.
所以該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品一個(gè)月所獲得的利潤為10680元，
因?yàn)椋?br /> 所以需要對(duì)該工廠設(shè)備實(shí)施升級(jí)改造.
解題技巧 (計(jì)算規(guī)律)
1.因?yàn)樾￠L(zhǎng)方形的面積=組距×頻率組距=頻率,所以各小長(zhǎng)方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率.這樣,頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組內(nèi)的頻率大小.
2.在頻率分布直方圖中,各小長(zhǎng)方形的面積之和等于1.
3.頻數(shù)相應(yīng)的頻率=樣本量.
4.在頻率分布直方圖中,各長(zhǎng)方形的面積之比等于頻率之比,各長(zhǎng)方形的高度之比也等于頻率之比.　
例5．（2021·四川·成都市溫江區(qū)第二中學(xué)校高二期末（理））某商品公司隨機(jī)選取了 1000 名購物者在某年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)消費(fèi)金 額 （單位： 萬元）分成 6 組，制成如下圖所示的頻率分布直方圖：

(1)求 的值；
(2)在這些購物者中，求消費(fèi)金額在區(qū)間 內(nèi)的購物者的人數(shù)．
【答案】(1)
(2)600人
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，各小矩形的面積之和為，即可求出；
（2）先由頻率分布直方圖可求出消費(fèi)金額在區(qū)間內(nèi)的頻率，再根據(jù)頻數(shù)＝頻率樣本容量，即可得到購物者的人數(shù)．
(1)
由頻率分布直方圖及頻率和等于1可得：
，解得．
(2)
消費(fèi)金額在區(qū)間內(nèi)的頻率為，
所以消費(fèi)金額在區(qū)間內(nèi)的購物者的人數(shù)為人．
例6．（2021·四川省南充市李渡中學(xué)高二階段練習(xí)）對(duì)某校高一年級(jí)學(xué)生參加“社區(qū)志愿者”活動(dòng)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取名學(xué)生作為樣本，得到這名學(xué)生參加“社區(qū)志愿者”活動(dòng)的次數(shù)．據(jù)此作出頻數(shù)和頻率統(tǒng)計(jì)表及頻率分布直方圖如下：
分組
頻數(shù)
頻率

5
0.25

12





1
0.05
合計(jì)

1


（1）求出表中，及圖中的值；
（2）若該校高一學(xué)生有720人，試估計(jì)他們參加“社區(qū)志愿者”活動(dòng)的次數(shù)在內(nèi)的人數(shù).
【答案】（1）；（2）人.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)頻率分布表，利用頻率的關(guān)系，求出、、、以及的值；
（2）利用參加“社區(qū)志愿者”活動(dòng)的次數(shù)在，內(nèi)的頻率，求出對(duì)應(yīng)的頻數(shù).
【詳解】
解：（1）根據(jù)頻率分布表，得；
，
樣本容量為；
，
對(duì)應(yīng)的頻率為，
；
；
（2）參加“社區(qū)志愿者”活動(dòng)的次數(shù)在，內(nèi)的頻率為0.6，
估計(jì)參加“社區(qū)志愿者”活動(dòng)的次數(shù)在，內(nèi)的人數(shù)為
（人）.
題型三 對(duì)折線圖、扇形圖、條形圖的識(shí)讀
例7．（2020·北京·高二學(xué)業(yè)考試）年以前，北京市先后組織實(shí)施了多個(gè)階段的大氣污染防治行動(dòng)，針對(duì)燃煤?工業(yè)?揚(yáng)塵排放和機(jī)動(dòng)車排放等采取了數(shù)百項(xiàng)治理措施.2008年北京市首次探索區(qū)域聯(lián)防聯(lián)控，取得了良好效果.2013年北京市制定實(shí)施以防治細(xì)顆粒物為重點(diǎn)的《2013-2017年清潔空氣行動(dòng)計(jì)劃》，治理成效顯著.

上圖是2000年至2018年可吸入顆粒物?細(xì)顆粒物?二氧化氮?二氧化硫等主要污染物年日均值的折線圖.根據(jù)圖中信息，下列結(jié)論中正確的是（???????）
A．2013年到2018年，空氣中可吸入顆粒物的年日均值逐年下降
B．2013年到2018年，空氣中細(xì)顆粒物的年日均值逐年下降
C．2000年到2018年，空氣中二氧化氮的年日均值都低于40微克/立方米
D．2000年到2018年，空氣中二氧化硫的年日均值最低的年份是2008年
【答案】B
【解析】
觀察折線圖，確定數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，判斷各選項(xiàng)．
【詳解】
2014年空氣中可吸入顆粒物年日均值比2013年多，A錯(cuò)；
2013年到2018年，空氣中細(xì)顆粒物的年日均值逐年下降，B正確；
2007年（含2007年）之前空氣中二氧化氮的年日均值都高于40微克/立方米，C錯(cuò)；
2000年到2018年，空氣中二氧化硫的年日均值最低的年份是2018年，D錯(cuò)．
故選：B．
解題技巧（各類統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)）
條形統(tǒng)計(jì)圖反映各組數(shù)據(jù)的頻數(shù)或頻率；
扇形統(tǒng)計(jì)圖反映各組數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例；
折線統(tǒng)計(jì)圖反映數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化趨勢(shì)．
例8．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）為考查某校高二男生的體重，隨機(jī)抽取44名高二男生，實(shí)測(cè)體重?cái)?shù)據(jù)(單位：kg)如下：
57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48
將數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M，并畫出相應(yīng)的頻率分布直方圖和頻率分布折線圖．
【答案】見解析
【解析】
【分析】
分析數(shù)據(jù)的極差，選擇合適的組局，讓組數(shù)在5－8組左右為宜，作出頻率分布表，根據(jù)頻率分布表作出頻率分布直方圖﹒
【詳解】
數(shù)據(jù)的極差為：69-42=27，所以可以4為組距，將數(shù)據(jù)分為8組，列表如下：
分組
頻率累計(jì)
頻數(shù)
頻率
[41.5，45.5)

2
0.045 5
[45.5，49.5)

7
0.159 1
[49.5，53.5)

8
0.181 8
[53.5，57.5)

16
0.363 6
[57.5，61.5)

5
0.113 6
[61.5，65.5)

4
0.090 9
[65.5，69.5)

2
0.045 5

以此作出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖，如圖所示：
例9．（2021·全國·高一單元測(cè)試）共享單車入住泉州一周年以來，因其“綠色出行，低碳環(huán)?！钡睦砟疃鴤涫苋藗兊南矏郏荡酥苣曛H，某機(jī)構(gòu)為了了解共享單車使用者的年齡段，使用頻率、滿意度等三個(gè)方面的信息，在全市范圍內(nèi)發(fā)放份調(diào)查問卷，回收到有效問卷份，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取份，分別對(duì)使用者的年齡段、歲使用者的使用頻率、歲使用者的滿意度進(jìn)行匯總，得到如下三個(gè)表格：
表(一)
使用者年齡段
歲以下
歲～歲
歲～歲
歲以上
人數(shù)





表(二)
使用頻率
次/月
次/月
次/月
次/月
人數(shù)





表(三)
滿意度
非常滿意()
滿意()
一般()
不滿意()
人數(shù)





(1)依據(jù)上述表格完成下列三個(gè)統(tǒng)計(jì)圖形：



(2)某城區(qū)現(xiàn)有常住人口萬，請(qǐng)用樣本估計(jì)總體的思想，試估計(jì)年齡在歲～歲之間，每月使用共享單車在次的人數(shù).
【答案】（1）詳見解析；（2）萬人.
【解析】
（1）按照三個(gè)表格中的數(shù)據(jù)繪制圖形即可；
（2）先根據(jù)年齡在歲～歲之間的有人，占總抽取人數(shù)的一半，得某城區(qū)萬人口中年齡在歲～歲之間的約有 (萬人)；再根據(jù)年齡在歲～歲之間每月使用共享單車在次之間的有人，占總抽取人數(shù)的，得年齡在歲～歲之間，每月使用共享單車在次之間的約有(萬人).
【詳解】
(1)



(2)由表(一)可知：
年齡在歲～歲之間的有人，占總抽取人數(shù)的一半，用樣本估計(jì)總體的思想可知，某城區(qū)萬人口中年齡在歲～歲之間的約 (萬人)；
又年齡在歲～歲之間每月使用共享單車在次之間的有人，占總抽取人數(shù)的，用樣本估計(jì)總體的思想可知，城區(qū)年齡在歲～歲之間萬人中每月使用共享單車在次之間的約有(萬人)，
故年齡在歲～歲之間，每月使用共享單車在次之間的人數(shù)約為萬人.
【點(diǎn)睛】
本題考查閱讀理解能力和邏輯思維能力，考查頻率分布餅形圖、條形圖和折線圖，考查用樣本估計(jì)總體，屬于中檔題.
題型四 百分位數(shù)在具體數(shù)據(jù)中的應(yīng)用
例10．（2022·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)高三期末）某射擊運(yùn)動(dòng)員7次的訓(xùn)練成績(jī)分別為:86，88，90，89，88，87，85，則這7次成績(jī)的第80百分位數(shù)為（???????）
A．88.5 B．89 C．91 D．89.5
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)百分位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】
7次的訓(xùn)練成績(jī)從小到大排列為：85，86，87，88，88，89，90，
，所以第80百分位數(shù)為從小到大排列的數(shù)據(jù)中的第個(gè)數(shù)據(jù)，即89，
故選：B
解題技巧（計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟）
第1步,按從小到大排列原始數(shù)據(jù).
第2步,計(jì)算i=n×p%.
第3步,若i不是整數(shù),而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù);若i是整數(shù),則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).
例11．（2022·安徽省蚌埠第三中學(xué)高一開學(xué)考試）從某城市隨機(jī)抽取14臺(tái)自動(dòng)售貨機(jī)，對(duì)其銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下：8，8，10，12，22，23，20，23，32，34，31，34，42，43．則這14臺(tái)自動(dòng)售貨機(jī)的銷售額的50%，80%分位數(shù)分別是_______，__________．
【答案】???? 23???? 34
【解析】
【分析】
根據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算可得答案.
【詳解】
解：因?yàn)樵摻M數(shù)據(jù)從小到大排列為：8，8，10，12，20，22，23， 23，31，32，34， 34，42，43．
且，第7個(gè)與第8個(gè)數(shù)的平均值為，
所以這14臺(tái)自動(dòng)售貨機(jī)的銷售額的50%分位數(shù)為23；
又，所以這14臺(tái)自動(dòng)售貨機(jī)的銷售額的80%分位數(shù)分別是第12項(xiàng)數(shù)據(jù)，即34，
故答案為：23；34.
例12．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）下表為某市青少年（12~13歲）立定跳遠(yuǎn)體能達(dá)標(biāo)表（單位：cm）：
百分位數(shù)
5
10
20
30
40
50
60
70
75
80
85
90
95
男
12歲
127
136
147
155
162
169
175
182
186
190
195
201
211
13歲
139
149
161
169
177
184
191
198
202
207
212
219
229
女
12歲
109
117
128
135
141
147
153
159
163
167
171
177
186
13歲
110
119
129
137
143
149
155
161
165
169
173
179
188

(1)小蘭今年12歲就讀六年級(jí)，她立定跳遠(yuǎn)的距離是153cm，求她立定跳遠(yuǎn)的百分等級(jí).
(2)小蘭明年就讀初中時(shí)，她想要立定跳遠(yuǎn)的成績(jī)位于表中的位置，問她立定跳遠(yuǎn)至少要跳多少cm以上.
(3)若立定跳遠(yuǎn)的成績(jī)達(dá)到算是優(yōu)良，小軍今年13歲，他立定跳遠(yuǎn)的距離是200cm，請(qǐng)問他的立定跳遠(yuǎn)成績(jī)是不是優(yōu)良？
【答案】(1)
(2)cm以上.
(3)不是
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)得到女生立定跳遠(yuǎn)距離 cm對(duì)應(yīng)的百分位數(shù)為，即可求解；
（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可得到女生13歲立定跳遠(yuǎn)距離百分為數(shù)cm，即可求解；
所以她立定跳遠(yuǎn)至少要跳cm以上.
（3）由表格中的數(shù)據(jù)得到13歲男生立定跳遠(yuǎn)距離百分位數(shù)的值，比較即可得到結(jié)論.
(1)
解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，12歲的女生立定跳遠(yuǎn)距離cm對(duì)應(yīng)的百分位數(shù)為，
所以小蘭立定跳遠(yuǎn)的百分等級(jí).
(2)
解：小蘭明年13歲，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知：13歲立定跳遠(yuǎn)距離百分為數(shù)cm，
所以她立定跳遠(yuǎn)至少要跳cm以上.
(3)
由表格中的數(shù)據(jù)可知：13歲男生立定跳遠(yuǎn)距離百分位數(shù)cm，
因?yàn)?，所以他的立定跳遠(yuǎn)成績(jī)不是優(yōu)良.
題型五 百分位數(shù)在統(tǒng)計(jì)表或統(tǒng)計(jì)圖中的應(yīng)用
例13．（2022·遼寧丹東·高一期末）某地區(qū)想實(shí)行階梯電價(jià)，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)居民用電量信息如下：
分位數(shù)
50%分位數(shù)
70%分位數(shù)
80%分位數(shù)
90%分位數(shù)
用電量
160
176
215
230
如果要求約70%的居民用電在第一階梯內(nèi)，約20%的居民用電在第二階梯內(nèi)，可確定第二階梯電價(jià)的用電量范圍為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用百分位數(shù)的含義結(jié)合條件即得.
【詳解】
∵約70%的居民用電在第一階梯內(nèi)，約20%的居民用電在第二階梯內(nèi)，
∴由表中數(shù)據(jù)可得，第二階梯電價(jià)的用電量范圍為.
故選：C.
解題技巧 (頻率直方圖計(jì)算百分位數(shù)的規(guī)律)
求總體百分位數(shù)的估計(jì)，首先要從小到大排列數(shù)據(jù)，頻率直方圖看作數(shù)據(jù)均勻分布在直方圖上，然后計(jì)算出i＝n×p%，當(dāng)i不是整數(shù)要取整，頻率直方圖要計(jì)算出比例值．
例14．（2022·河南焦作·高一期末）某小學(xué)制訂了一份調(diào)查問卷，讓學(xué)生家長(zhǎng)對(duì)該校實(shí)行“雙減”的效果進(jìn)行評(píng)分，評(píng)分都在內(nèi)，將所有數(shù)據(jù)按，，，，，進(jìn)行分組，整理得到頻率分布直方圖如下，則這次調(diào)查數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)為___________.

【答案】80
【解析】
【分析】
利用百分位數(shù)的概念以及頻率分布直方圖求解..
【詳解】
因?yàn)榍?組數(shù)據(jù)的頻率之和為0.05+0.15+0.2+0.3=0.7，
所以70%分位數(shù)為80.
故答案為：80
例15．（2022·北京平谷·高二期末）某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)已知樣本中分?jǐn)?shù)在[40，50）的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)；
(2)試估計(jì)測(cè)評(píng)成績(jī)的75%分位數(shù)；
(3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例．
【答案】(1)20人
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)頻率分布直方圖先求出樣本中分?jǐn)?shù)在[40，90）的頻率，即可解出；
（2）先根據(jù)頻率分布直方圖判斷出75%分位數(shù)在[70，80）之間，即可根據(jù)分位數(shù)公式算出；
（3）根據(jù)頻率分布直方圖知分?jǐn)?shù)不小于70分的人數(shù)中男女各占30人，從而可知樣本中男生有60人，女生有40人，即可求出總體中男生和女生人數(shù)的比例．
(1)
由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在[50，90）的頻率為(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9，在樣本中分?jǐn)?shù)在[50，90）的人數(shù)為100×0.9=90(人)，在樣本中分?jǐn)?shù)在[40，90）的人數(shù)為95人，所以分?jǐn)?shù)在[40，90）的人數(shù)為400×0.95=380(人)，總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)為20人
(2)
測(cè)試成績(jī)從低到高排序，占人數(shù)75%的人分?jǐn)?shù)在[70，80）之間，所以估計(jì)測(cè)評(píng)成績(jī)的75%分位數(shù)為
(3)
由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)不小于70分的人數(shù)共有60人，由已知男女各占30人，從而樣本中男生有60人，女生有40人，故總體中男生與女生的比例為．
題型六 平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)在具體數(shù)據(jù)中的應(yīng)用
例16．（2021·山西·高一期末）一組數(shù)據(jù)共有7個(gè)整數(shù)，，2，2，2，10，5，4，且，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)中最大與最小數(shù)之和是該三數(shù)中間數(shù)字的兩倍，則第三四分位數(shù)是______.
【答案】5
【解析】
【分析】
根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的概念和已知條件，列式求解，注意分類討論，求得m的值，進(jìn)而得到已知得7個(gè)數(shù)，從小到大排列后，利用四舍五入法求得第三四分位數(shù).
【詳解】
平均數(shù)，眾數(shù)=2，當(dāng)時(shí)，中位數(shù)為4，
則有舍掉；
當(dāng)時(shí)，中位數(shù)為，則有.
該7個(gè)數(shù)從小到大排列是2，2，2，3，4，5，10，因?yàn)閿?shù)據(jù)個(gè)數(shù)為7，
而且，所以這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)為5.
解題技巧（眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的意義）
(1)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計(jì)算，不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息，平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的影響也越大．
(2)當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，其眾數(shù)往往更能反映問題，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)較大時(shí)，可用中位數(shù)描述其集中趨勢(shì)．
例17．（2021·河南·溫縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））為了增加學(xué)生的鍛煉機(jī)會(huì)，某中學(xué)決定每年舉辦一次足球和乒乓球比賽，據(jù)統(tǒng)計(jì)，近年來，參加足球比賽的學(xué)生人數(shù)分別為、、、、，它們的平均數(shù)為，已知這年，參加乒乓球比賽的學(xué)生人數(shù)分別為、、、、，它們的平均數(shù)為（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平均數(shù)公式可求得結(jié)果.
【詳解】
由已知可得，
由平均數(shù)公式可得
.
故選：A.
例18．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試，得分（十分制）情況如圖所示，試結(jié)合圖象分析得分的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)之間的大小關(guān)系．

【答案】平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)
【解析】
【分析】
求出中位數(shù)，平均數(shù)，眾數(shù)，比較大小即可.
【詳解】
由圖知
平均數(shù)為
眾數(shù)為5，
中位數(shù)為，
故平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù).
例19．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）某百貨公司連續(xù)40天的銷售額數(shù)據(jù)（單位：萬元）如下：
41???????25???????29???????47???????38???????34???????30???????38???????43???????40
46???????36???????45???????37???????37???????36???????45???????43???????33???????44
35???????28???????46???????34???????30???????37???????44???????26???????38???????44
42???????36???????37???????37???????49???????39???????42???????32???????36???????35
(1)根據(jù)上面的數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M，編制頻數(shù)分布表，并繪制頻率分布直方圖；
(2)在繪制的頻率分布直方圖上指出數(shù)據(jù)組的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)所在區(qū)域，并比較它們之間的大小；
(3)試估計(jì)該百貨公司一年（按365天計(jì)算）的銷售額.
【答案】(1)見解析
(2)中位數(shù)為37，眾數(shù)為37，平均數(shù)為，平均數(shù)最大，中位數(shù)和眾數(shù)相等，
(3)萬元
【解析】
【分析】
（1）首先找出該組數(shù)據(jù)的最大值和最小值，求出它們的差，然后決定組距和組數(shù)，找出分點(diǎn)后再列頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖，
（2）通過對(duì)中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)的計(jì)算進(jìn)行比較，
（3）用平均數(shù)乘以365可求得結(jié)果
(1)
這組數(shù)的最小值為25，最大值為49，其差為，取組距為5，將其分成5組，則分的組為，
銷售額的頻率分布表如下：
組段
頻數(shù)
頻率

4


6


15


9


6


銷售額的頻率分布直方圖如下：

(2)
將40個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列依次為
25，26，28，29，30，30，32，33，34，34，35，35，36，36，36，36，37，37，37，37，
37，38，38，38，39，40，41，42，42，43，43，44，44，44，45，45，46，46，47，49，
所以中位數(shù)為37，眾數(shù)為37，
平均數(shù)為，
中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)都在，其平均數(shù)最大，中位數(shù)和眾數(shù)相等
(3)
由（2）可知平均每天的銷售額為萬元，
所以該百貨公司一年的銷售額約為
萬元
題型七 在頻率分布直方圖中求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)
例20．（河南省新鄉(xiāng)市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文科）試題）《關(guān)于落實(shí)主體責(zé)任強(qiáng)化校園食品安全管理的指導(dǎo)意見》指出：非寄宿制中小學(xué)、幼兒園原則上不得在校內(nèi)設(shè)置食品小賣部、超市，已經(jīng)設(shè)置的要逐步退出．為了了解學(xué)生對(duì)校內(nèi)開設(shè)食品小賣部的意見，某校對(duì)名在校生天內(nèi)在該校食品小賣部消費(fèi)過的天數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將所得數(shù)據(jù)按照、、、、、分成組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結(jié)論不正確的是（???????）

A．該校學(xué)生每月在食品小賣部消費(fèi)過的天數(shù)不低于的學(xué)生比率估計(jì)為
B．該校學(xué)生每月在食品小賣部消費(fèi)過的天數(shù)低于的學(xué)生比率估計(jì)為
C．估計(jì)該校學(xué)生每月在食品小賣部消費(fèi)過的天數(shù)的平均值不低于
D．估計(jì)該校學(xué)生每月在食品小賣部消費(fèi)過的天數(shù)的中位數(shù)介于至之間
【答案】C
【解析】
【分析】
利用頻率、頻數(shù)與樣本容量之間的關(guān)系可判斷AB選項(xiàng)；利用頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)可判斷C選項(xiàng)；利用中位數(shù)的定義可判斷D選項(xiàng).
【詳解】
由圖可得，該校學(xué)生每月在食品小賣部消費(fèi)過的天數(shù)在內(nèi)的占比為，A正確；
該校學(xué)生每月在食品小賣部消費(fèi)過的天數(shù)在內(nèi)的占比為，B正確；
估計(jì)該校學(xué)生每月在食品小賣部消費(fèi)過的天數(shù)的平均值為
，C錯(cuò)；
該校學(xué)生每月在食品小賣部消費(fèi)過的天數(shù)在內(nèi)的占比為，
該校學(xué)生每月在食品小賣部消費(fèi)過的天數(shù)在的占比為，
所以該校學(xué)生每月在食品小賣部消費(fèi)過的天數(shù)的中位數(shù)介于至之間，D正確；
故選：C.
解題技巧 (知頻率分布直方圖中求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))
(1)眾數(shù)：頻率分布直方圖中，最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，把頻率分布直方圖劃分為左右兩個(gè)面積相等的部分的分界線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為中位數(shù)．
(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和．
例21．（2021·江西省信豐中學(xué)高二開學(xué)考試（理））某城市100戶居民的月平均用電量（單位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分組的頻率分布直方圖如圖示．

(1)求直方圖中x的值；
(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；
(3)在月平均用電量為[220，240），[240，260），[260，280）的三組用戶中，用分層抽樣的方法抽取10戶居民，則月平均用電量在[220，240）的用戶中應(yīng)抽取多少戶？
【答案】(1)x=0.0075
(2)眾數(shù)是230，中位數(shù)是224
(3)5戶
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所以小矩形面積和為1，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.
（2）根據(jù)頻率分布直方圖中眾數(shù)、中位數(shù)的求法，計(jì)算即可得答案.
（3）先求得[220，240），[240，260），[260，280）的三組用戶數(shù)，根據(jù)分層抽樣的概念，求得抽樣比，即可得答案.
(1)
由直方圖的性質(zhì)，可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1
解得：x=0.0075，所以直方圖中x的值是0.0075．
(2)
月平均用電量的眾數(shù)是=230．
因?yàn)椋?.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，所以月平均用電量的中位數(shù)在[220，240）內(nèi)，
設(shè)中位數(shù)為a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5
解得：a=224，所以月平均用電量的中位數(shù)是224．
(3)
月平均用電量為[220，240]的用戶有0.0125×20×100=25戶，
月平均用電量為[240，260）的用戶有0.0075×20×100=15戶，
月平均用電量為[260，280）的用戶有0.005×20×100=10戶，
所以抽取比例=，
所以月平均用電量在[220，240）的用戶中應(yīng)抽取戶．
例22．（2021·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心高一期末）為了讓學(xué)生了解環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某中學(xué)舉行了一次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，共有名學(xué)生參加了這次競(jìng)賽，為了了解本次競(jìng)賽的成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)(得分取正整數(shù)，滿分為分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，請(qǐng)你根據(jù)下面尚未完成的頻率分布表和頻率分布直方圖，解答下列問題：
組號(hào)
分組
頻數(shù)
頻率
1
[50，60)
4
0.08
2
[60，70)
8
0.16
3
[70，80)
10
0.20
4
[80，90)
16
0.32
5
[90，100]


合計(jì)






(1)填充頻率分布表中的空格；
(2)如圖，不具體計(jì)算，補(bǔ)全頻率分布直方圖；
(3)估計(jì)這名學(xué)生競(jìng)賽的平均成績(jī)(結(jié)果保留整數(shù)，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).
【答案】(1)四個(gè)空格應(yīng)分別填12，0.24，50，1；
(2)直方圖見解析；
(3)80分．
【解析】
【分析】
（1）：先求樣本量，就可求第5組的頻數(shù)與頻率，總頻數(shù)為樣本量，總頻率為；
（2）：根據(jù)各組的頻數(shù)比率即可確定要補(bǔ)全的長(zhǎng)方形的高；
（3）：根據(jù)直方圖中數(shù)據(jù)平均數(shù)公式即可求解．
(1)
＝50，即樣本量為50.
第5組的頻數(shù)為50－4－8－10－16＝12，從而第5組的頻率為＝0.24.
又各小組頻率之和為1，所以頻率分布表中的四個(gè)空格應(yīng)分別填12，0.24，50，1.
(2)
設(shè)第一個(gè)小長(zhǎng)方形的高為h1，第二個(gè)小長(zhǎng)方形的高為h2，第五個(gè)小長(zhǎng)方形的高為h5，
則＝＝，＝＝．
補(bǔ)全的頻率分布直方圖如圖所示：

(3)
50名學(xué)生競(jìng)賽的平均成績(jī)?yōu)?br /> ＝ (分)．
所以估計(jì)這900名學(xué)生競(jìng)賽的平均成績(jī)約為分．
題型八 標(biāo)準(zhǔn)差與方差的應(yīng)用
例23．（2022·廣西·模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為100，方差為10，則的平均數(shù)和方差分別為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)平均數(shù)和方差的公式計(jì)算出正確答案.
【詳解】
依題意，
所以，
.
故選：D
解題技巧（實(shí)際應(yīng)用中標(biāo)準(zhǔn)差、方差的意義）
在實(shí)際問題中，僅靠平均數(shù)不能完全反映問題，還要研究方差，方差描述了數(shù)據(jù)相對(duì)平均數(shù)的離散程度，在平均數(shù)相同的情況下，方差越大，離散程度越大，數(shù)據(jù)波動(dòng)性越大，穩(wěn)定性越差；方差越小，數(shù)據(jù)越集中，穩(wěn)定性越高．
例24．（2022·北京八中高三開學(xué)考試）已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，中位數(shù)為，極差為.由這組數(shù)據(jù)得到新數(shù)據(jù)，其中，則下列命題中錯(cuò)誤的是（???????）
A．新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 B．新數(shù)據(jù)的方差是
C．新數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 D．新數(shù)據(jù)的極差是
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)平均數(shù)、方差、中位數(shù)、極差的定義求解．
【詳解】
解：對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋孕聰?shù)據(jù)的平均數(shù)為，故選項(xiàng)A正確，
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以新?shù)據(jù)的方差為，故選項(xiàng)B正確，
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)閿?shù)據(jù)，，，的中位數(shù)為，所以新數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)數(shù)據(jù)，，，中最大，最?。ㄆ渲校?，，，則，所以新數(shù)據(jù)的極差是，故選項(xiàng)D正確，
故選：C．
例25．（2021·福建南平·高一期末）設(shè)樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，若數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)比標(biāo)準(zhǔn)差大，則的最小值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由平均數(shù)、方差公式結(jié)合題意得出，其中，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.
【詳解】
由已知條件可得，，
則數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，
方差為
，
由已知可得，所以，，其中，
，
故選：D.
題型九 用樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體
例26．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)（文））《中國制造2025》是中國實(shí)施制造強(qiáng)國戰(zhàn)略第一個(gè)十年的行動(dòng)綱領(lǐng)，制造業(yè)是國民經(jīng)濟(jì)的主體，是立國之本、興國之器、強(qiáng)國之基．發(fā)展制造業(yè)的基本方針為質(zhì)量為先，堅(jiān)持把質(zhì)量作為建設(shè)制造強(qiáng)國的生命線某電子產(chǎn)品制造企業(yè)為了提升生產(chǎn)效率，對(duì)現(xiàn)有的一條電子產(chǎn)品生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)升級(jí)改造，為了分析改造的效果，該企業(yè)質(zhì)檢人員從該條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000件，檢測(cè)產(chǎn)品的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，根據(jù)檢測(cè)數(shù)據(jù)得到下表(單位：件)．
質(zhì)量指標(biāo)值







產(chǎn)品
60
100
160
300
200
100
80

(1)估計(jì)這組樣本的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表)；
(2)設(shè)表示不大于x的最大整數(shù)，表示不小于x的最小整數(shù)，s精確到個(gè)位，，，，根據(jù)檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，技術(shù)升級(jí)改造后，若質(zhì)量指標(biāo)值有落在內(nèi)，則可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量初級(jí)穩(wěn)定；若有落在內(nèi)，則可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量穩(wěn)定，可認(rèn)為生產(chǎn)線技術(shù)改造成功．請(qǐng)問：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)，是否可以判定生產(chǎn)線的技術(shù)改造是成功的？
【答案】(1)61，241；
(2)可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量初級(jí)穩(wěn)定，但不能判定生產(chǎn)線技術(shù)改造成功.
【解析】
【分析】
(1)利用表格中的數(shù)據(jù)，根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式計(jì)算即可；
(2)根據(jù)題中公式，計(jì)算出區(qū)間并判段數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的概率，計(jì)算出區(qū)間并判段數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的概率，與題中條件比較即可得出結(jié)論.
(1)
由題，可知
．
．
(2)
由知，，
則，，
該抽樣數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻率約為；
又，，
該抽樣數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻率約為，
∴可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量初級(jí)穩(wěn)定，但不能判定生產(chǎn)線技術(shù)改造成功．
解題技巧 (用樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體注意事項(xiàng))
（1）標(biāo)準(zhǔn)差代表數(shù)據(jù)的離散程度，考慮數(shù)據(jù)范圍時(shí)需要加減標(biāo)準(zhǔn)差.
（2）計(jì)算樣本平均數(shù)、樣本方差直接利用公式，注意公式的變形和整體代換．

例27．（2022·廣西玉林·高二期末（理））有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶7次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：
甲???6???9???7???8???8???5???6
乙???a???3???9???8???9???6???4
經(jīng)計(jì)算可得甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員的平均成績(jī)是一樣的．
(1)求實(shí)數(shù)a的值；
(2)請(qǐng)通過計(jì)算，判斷甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員哪一位的成績(jī)更穩(wěn)定？
【答案】(1)10；
(2)甲的成績(jī)比乙更穩(wěn)定.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)甲乙成績(jī)求他們的平均成績(jī)，由平均成績(jī)相等列方程求參數(shù)a的值.
（2）由已知數(shù)據(jù)及（1）的結(jié)果，求甲乙的方差并比較大小，即可知哪位運(yùn)動(dòng)員成績(jī)更穩(wěn)定.
(1)
由題意，甲的平均成績(jī)?yōu)椋?br /> 乙的平均成績(jī)?yōu)椋?br /> 又甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員的平均成績(jī)是一樣的，有，解得，
故實(shí)數(shù)a為10；
(2)
甲的方差，
乙的方差，
由，知：甲的成績(jī)比乙更穩(wěn)定.
例28．（2022·寧夏·銀川一中高三階段練習(xí)（文））甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績(jī)中隨機(jī)抽取8次，記錄如下：
甲
82
81
79
78
95
88
93
84
乙
92
95
80
75
83
80
90
85

(1)求兩位學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均數(shù)和方差；
(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度考慮，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適？請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)，；，
(2)派甲參賽比較合適，理由見解析
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)按公式計(jì)算平均數(shù)和方差即可；
(2)甲和乙的平均數(shù)相等，方差越小，成績(jī)?cè)椒€(wěn)定﹒
(1)
，
，
，
，
(2)
，，結(jié)合(1)甲的成績(jī)較穩(wěn)定，派甲參賽比較合適．

【同步練習(xí)】
一、單選題
1．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））已知一個(gè)容量為的樣本數(shù)據(jù)的平均值為90，方差為10，若去掉其中5個(gè)為90的樣本數(shù)據(jù)，剩余樣本數(shù)據(jù)的平均值為，方差為，則下列結(jié)論正確的是（???????）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，其平均值不變，，再根據(jù)方差公式即可得答案.
【詳解】
由題意可知，個(gè)樣本數(shù)據(jù)之和為，
去掉5個(gè)相同的樣本數(shù)據(jù)90后，個(gè)樣本數(shù)據(jù)之和為，
所以，排除選項(xiàng)C；
因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中有5個(gè)相同的數(shù)據(jù)90，且，
不妨設(shè)去掉的5個(gè)相同的樣本數(shù)據(jù)90都排在最后，
則，
所以，即．
故選：A
2．（2022·云南·高三階段練習(xí)（理））為比較甲、乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行指標(biāo)測(cè)驗(yàn)，指標(biāo)值滿分為5分，分值高者為優(yōu)，根據(jù)測(cè)驗(yàn)情況繪制了如圖所示的六大數(shù)學(xué)素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖，則下面敘述錯(cuò)誤的是（???????）

A．甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙
B．乙的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)
C．甲的六大數(shù)學(xué)素養(yǎng)指標(biāo)值波動(dòng)性比乙小
D．甲、乙在數(shù)學(xué)建模上的差距比在直觀想象上的差距大
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)雷達(dá)圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證.
【詳解】
根據(jù)雷達(dá)圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析：
對(duì)于A：甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)指標(biāo)為5，乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)指標(biāo)為4.故A正確；
對(duì)于B：乙的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)指標(biāo)為5，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)指標(biāo)為3.故B正確；
對(duì)于C：甲的六大數(shù)學(xué)素養(yǎng)指標(biāo)值均為4或5，波動(dòng)較小. 乙的六大數(shù)學(xué)素養(yǎng)指標(biāo)值有3，4，5，故甲波動(dòng)較小.故C正確；
對(duì)于D：甲、乙在數(shù)學(xué)建模上的指標(biāo)差距為1，甲、乙在直觀想象上的指標(biāo)差距為2.故D錯(cuò)誤.
故選：D.
3．（2022·江蘇南京·高三開學(xué)考試）已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則另一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)、方差分別為（???????）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)平均數(shù)和方差的線性運(yùn)算性質(zhì)直接求得.
【詳解】
因?yàn)橐唤M數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，
所以另一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為，
方差為.
故選：D
4．（2022·天津·高三期末）某大品牌家電公司從其全部200名銷售員工中隨機(jī)抽出50名調(diào)查銷售情況，銷售額都在區(qū)間（單位：百萬元）內(nèi)，將其分成5組：，，，，，并整理得到如下的頻率分布直方圖，據(jù)此估計(jì)其全部銷售員工中銷售額在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為（???????）

A．16 B．22 C．64 D．88
【答案】C
【解析】
【分析】
先由各組的頻率和為1，求出，從而可求得區(qū)間的頻率，進(jìn)而可求出在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)
【詳解】
由題意得，，解得，
所以銷售額在區(qū)間內(nèi)的頻率為，
所以全部銷售員工中銷售額在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為，
故選：C
5．（2022·上海交大附中高三開學(xué)考試）在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間沒有發(fā)生規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)天，每天新增疑似病例不超過人”，根據(jù)過去天甲、乙、丙、丁四地新增病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是（???????）
A．甲地：總體均值為，總體方差為
B．乙地：總體均值為，中位數(shù)為
C．丙地：總體均值為，總體方差大于
D．丁地：中位數(shù)為，總體方差為
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平均數(shù)、中位數(shù)、方差的計(jì)算公式以及含義，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可.
【詳解】
對(duì)于A，假設(shè)至少有一天的疑似病例超過人，
此時(shí)方差，這與題設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立，故A正確；
對(duì)于B，平均數(shù)和中位數(shù)不能限制某一天的病例不超過人，故B不正確；
對(duì)于C，當(dāng)總體方差大于，不知道總體方差的具體數(shù)值，因此不能確定數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，中位數(shù)為，總體方差為，如，
平均數(shù)為，
方差，滿足題意，但是存在大于的數(shù)，故D錯(cuò)誤.
故選：A.
6．（2022·河南洛陽·二模（文））2021年秋季河南省在高一推行新教材，為此河南省某市教育部門組織高中教師在暑假期間進(jìn)行培訓(xùn)，培訓(xùn)后統(tǒng)一舉行測(cè)試．隨機(jī)抽取100名教師的測(cè)試成績(jī)（滿分100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布折線圖，則下列說法正確（???????）

A．這100名教師的測(cè)試成績(jī)的極差是20分
B．這100名教師的測(cè)試成績(jī)的眾數(shù)是90分
C．這100名教師的測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)是87.5分
D．這100名教師中測(cè)試成績(jī)不低于90分的人數(shù)占比超過50%
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)頻率分布折線圖及其樣本的數(shù)字特征即可解決.
【詳解】
這100名教師的測(cè)試成績(jī)的最高分和最低分都無法確定，則極差也不確定，選項(xiàng)不正確；
由圖可知，這100名教師的測(cè)試成績(jī)的眾數(shù)為分，選項(xiàng)不正確；
設(shè)這100名教師測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)為，則，
解得，選項(xiàng)正確；
這100名教師中測(cè)試分?jǐn)?shù)不低于90分的人數(shù)占100％=30％，選項(xiàng)不正確.
故選：.
7．（2022·北京豐臺(tái)·高三期末）為普及冬奧知識(shí)，某校在各班選拔部分學(xué)生進(jìn)行冬奧知識(shí)競(jìng)賽． 根據(jù)參賽學(xué)生的成績(jī)，得到如圖所示的頻率分布直方圖． 若要對(duì)40%成績(jī)較高的學(xué)生進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，則獲獎(jiǎng)學(xué)生的最低成績(jī)可能為（???????）

A．
B．
C．
D．95
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)頻率分布直方圖分別求出成績(jī)?cè)?，的頻率，進(jìn)而得解.
【詳解】
根據(jù)頻率分布直方圖可知，成績(jī)?cè)诘念l率為
成績(jī)?cè)诘念l率為，
又，所以40%成績(jī)較高的學(xué)生的分?jǐn)?shù)在之間，且最低分?jǐn)?shù)為
故選：C
8．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)（理））根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)，連續(xù)5天的日平均氣溫低于即為入冬，將連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是自然數(shù)）作為一組樣本，現(xiàn)有4組樣本①、②、③、④，依次計(jì)算得到結(jié)果如下：
①平均數(shù)；
②平均數(shù)且極差小于或等于3；
③平均數(shù)且標(biāo)準(zhǔn)差；
④眾數(shù)等于5且極差小于或等于4．
則4組樣本中一定符合入冬指標(biāo)的共有（???????）
A．1組 B．2組 C．3組 D．4組
【答案】B
【解析】
【分析】
舉反例否定①；反證法證明②符合要求；舉反例否定③；直接法證明④符合要求.
【詳解】
①舉反例：，，，，，其平均數(shù)．但不符合入冬指標(biāo)；
②假設(shè)有數(shù)據(jù)大于或等于10，由極差小于或等于3可知，
則此組數(shù)據(jù)中的最小值為，此時(shí)數(shù)據(jù)的平均數(shù)必然大于7，
與矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤.則此組數(shù)據(jù)全部小于10. 符合入冬指標(biāo)；
③舉反例：1，1，1，1，11，平均數(shù)，且標(biāo)準(zhǔn)差.但不符合入冬指標(biāo)；
④在眾數(shù)等于5且極差小于等于4時(shí)，則最大數(shù)不超過9.符合入冬指標(biāo).
故選：B．
二、多選題
9．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)高三階段練習(xí)）某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在一周生活方面的支出情況，抽出了一個(gè)容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在[50，60)元的學(xué)生有60人，則下列說法正確的是（???????）

A．樣本中支出在[50，60)元的頻率為0.03
B．n的值為200
C．樣本中支出不少于40元的人數(shù)為132
D．若該校有2 000名學(xué)生，則一定有800人支出在[50，60)元
【答案】BC
【解析】
【分析】
由小矩形的面積和為計(jì)算樣本中支出在[50，60)元的頻率判斷A，進(jìn)而根據(jù)比例關(guān)系計(jì)算n的值和樣本中支出不少于40元的人數(shù)判斷BC，并估計(jì)有2 000名學(xué)生時(shí)，支出在[50，60)元的人數(shù)判斷D.
【詳解】
解：樣本中支出在[50，60)元的頻率為，故A錯(cuò)誤；
樣本中支出不少于40元的人數(shù)為，故C正確；
，故n的值為200，故B正確；
若該校有2 000名學(xué)生，則可能有0.3×2 000＝600人支出在[50，60)元，故D錯(cuò)誤.
故選：BC
10．（2022·福建泉州·高三期末）某校高三1班48名物理方向的學(xué)生在一次質(zhì)量檢測(cè)中，語文成績(jī)、數(shù)學(xué)成績(jī)與六科總成績(jī)?cè)谌昙?jí)中的排名情況如下圖所示，“”表示的是該班甲、乙、丙三位同學(xué)對(duì)應(yīng)的點(diǎn).從這次考試的成績(jī)看，下列結(jié)論正確的是（???????）

A．該班六科總成績(jī)排名前6的同學(xué)語文成績(jī)比數(shù)學(xué)成績(jī)排名更好
B．在語文和數(shù)學(xué)兩個(gè)科目中，丙同學(xué)的成績(jī)名次更靠前的科目是語文
C．?dāng)?shù)學(xué)成績(jī)與六科總成績(jī)的相關(guān)性比語文成績(jī)與六科總成績(jī)的相關(guān)性更強(qiáng)
D．在甲、乙兩人中，其語文成績(jī)名次比其六科總成績(jī)名次靠前的學(xué)生是甲
【答案】BCD
【解析】
【分析】
結(jié)合圖形可分析出答案.
【詳解】
由圖可得，該班六科總成績(jī)排名前6的同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)比語文成績(jī)排名更好，故A錯(cuò)誤；
由右圖可得丙同學(xué)的總成績(jī)排在班上倒數(shù)第三名，其語文成績(jī)排在250到300名之間，
從左圖可得其數(shù)學(xué)成績(jī)排在400名左右，故B正確；
數(shù)學(xué)成績(jī)與六科總成績(jī)的相關(guān)性比語文成績(jī)與六科總成績(jī)的相關(guān)性更強(qiáng)，因?yàn)橛覉D的點(diǎn)的分布較左圖更分散，故C正確；
由左圖可得甲的總成績(jī)排在班上第7名，年級(jí)名次100多一點(diǎn)，
對(duì)應(yīng)到右圖可得，其語文成績(jī)排在年級(jí)近100名，故甲的語文成績(jī)名次比其六科總成績(jī)名次靠前，
由左圖可得甲的總成績(jī)排在班上第27名，年級(jí)名次接近250名，
對(duì)應(yīng)到右圖可得，其語文成績(jī)排在年級(jí)250名之后，故乙的語文成績(jī)名次比其六科總成績(jī)名次靠后，故D正確；
故選：BCD
11．（2022·湖南常德·高三期末）甲、乙、丙、丁四人各擲骰子5次（骰子每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)可能為1，2，3，4，5，6），并分別記錄每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，四人根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果對(duì)各自的試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別做了如下描述，可以判斷一定沒有出現(xiàn)6點(diǎn)的描述是（???????）
A．中位數(shù)為3，眾數(shù)為5 B．中位數(shù)為3，極差為3
C．中位數(shù)為1，平均數(shù)為2 D．平均數(shù)為3，方差為2
【答案】AD
【解析】
【分析】
根據(jù)數(shù)字特征的定義，依次對(duì)選項(xiàng)分析判斷即可
【詳解】
對(duì)于A，由于中位數(shù)為3，眾數(shù)為5，所以這5個(gè)數(shù)從小到大排列后，第3個(gè)數(shù)是3，則第4和5個(gè)為5，所以這5個(gè)數(shù)中一定沒有出現(xiàn)6，所以A正確，
對(duì)于B，由于中位數(shù)為3，極差為3，所以這5個(gè)數(shù)可以是3，3，3，4，6，所以B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，由于中位數(shù)為1，平均數(shù)為2，所以這5個(gè)數(shù)可以是1，1，1，1，6，所以C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，由平均數(shù)為3，方差為2，可得，，若有一個(gè)數(shù)為6，取，則，，所以，所以這4個(gè)數(shù)可以是4，3，3，3或2，3，3，3，與 矛盾，所以，所以這5個(gè)數(shù)一定沒有出現(xiàn)6點(diǎn)，所以D正確，
故選：AD
12．（2022·浙江嘉興·高二期末）為喚起學(xué)生愛護(hù)地球?保護(hù)家園的意識(shí)，加強(qiáng)對(duì)節(jié)能減排的宣傳，進(jìn)一步營造綠色和諧的校園環(huán)境，樹人中學(xué)決定舉辦環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽.現(xiàn)有甲?乙?丙?丁四個(gè)班級(jí)參加，每個(gè)班級(jí)各派10位同學(xué)參賽，每位同學(xué)需要回答10道題，每題回答正確得1分，回答錯(cuò)誤得0分.若規(guī)定總得分達(dá)到70分且沒有同學(xué)得分低于5分的班級(jí)為“優(yōu)勝班級(jí)”，則根據(jù)以下甲?乙?丙?丁各班參賽同學(xué)的得分?jǐn)?shù)據(jù)信息，能判斷該班一定為“優(yōu)勝班級(jí)”的是（???????）
A．甲班同學(xué)平均數(shù)為8，眾數(shù)為8 B．乙班同學(xué)平均數(shù)為8，方差為4
C．丙班同學(xué)平均數(shù)為7，極差為3 D．丁班同學(xué)平均數(shù)為7，標(biāo)準(zhǔn)差為0
【答案】CD
【解析】
【分析】
對(duì)于A，可舉例有得分低于5分的情況，判斷其是否能判斷該班一定為“優(yōu)勝班級(jí)”，同理可判斷B,對(duì)于C項(xiàng)，用反證法的思想來說明其可能，對(duì)于D，直接判斷得分情況，可以說明其可能性.
【詳解】
對(duì)于A，比如有一位同學(xué)得2分，三位同學(xué)得10分，其余六位同學(xué)都得8分，滿足平均數(shù)為8，眾數(shù)為8，但不滿足總得分達(dá)到70分且沒有同學(xué)得分低于5分，故A不能保證該班一定為“優(yōu)勝班級(jí)”；
對(duì)于B，10位同學(xué)的得分可能是：4,6,6,8,8,8,10,10,10,10，此時(shí)滿足平均數(shù)為8，方差為4
但不滿足總得分達(dá)到70分且沒有同學(xué)得分低于5分，故B不能保證該班一定為“優(yōu)勝班級(jí)”；
對(duì)于C，如果有同學(xué)得分低于5分，根據(jù)極差為3，那么就,會(huì)出現(xiàn)其他同學(xué)的得分不大于7，這樣平均分就低于7分，不符合丙班同學(xué)平均數(shù)為7，極差為3的條件，故這種情況下不會(huì)有得分低于5分的同學(xué)，滿足總得分達(dá)到70分且沒有同學(xué)得分低于5分，故C能保證該班一定為“優(yōu)勝班級(jí)”；
對(duì)于D, 丁班同學(xué)平均數(shù)為7，標(biāo)準(zhǔn)差為0,可知每位同學(xué)得分均為7分，故D能保證該班一定為“優(yōu)勝班級(jí)”，
故選：CD.
三、填空題
13．（2021·河北·石家莊市第十七中學(xué)高三期中）已知某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖1和圖2所示，為了進(jìn)一步跟蹤調(diào)查對(duì)戶型結(jié)構(gòu)滿意的戶主的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取位戶主，則在對(duì)三居室滿意的戶主中抽取的人數(shù)為__________．

【答案】15
【解析】
【分析】
計(jì)算出對(duì)戶型結(jié)構(gòu)滿意的戶主人數(shù)，再利用分層抽樣可求得結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)閷?duì)戶型結(jié)構(gòu)滿意的戶主人數(shù)為，
所以抽取的對(duì)三居室滿意的人數(shù)為．
故答案為：.
14．（2022·上海市控江中學(xué)高三開學(xué)考試）已知6個(gè)正整數(shù)，它們的平均數(shù)是5，中位數(shù)是4，唯一的眾數(shù)是3，則這6個(gè)數(shù)的方差的最大值為___________．
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)這6個(gè)數(shù)為，根據(jù)題意，分析可得，代入方差公式，計(jì)算即可得答案.
【詳解】
因?yàn)?個(gè)正整數(shù)，它們的平均數(shù)是5，中位數(shù)是4，唯一的眾數(shù)是3，
要使這個(gè)6個(gè)數(shù)方差最大，則數(shù)據(jù)波動(dòng)強(qiáng)，即極差最大，
所以最小值，
若6個(gè)數(shù)中有3個(gè)3，則設(shè)數(shù)據(jù)為，不滿足中位數(shù)是4，
則數(shù)據(jù)中只有2個(gè)3，所以設(shè)這6個(gè)數(shù)為，且，
又僅有一個(gè)眾數(shù)3，所以，且，
所以時(shí)，c最大，方差最大，此時(shí)，
所以方差為.
故答案為：
15．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）海水養(yǎng)殖場(chǎng)對(duì)某水產(chǎn)品的網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量進(jìn)行調(diào)查，收獲時(shí)隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各網(wǎng)箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）后制成頻率分布直方圖如圖所示．估計(jì)網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量數(shù)據(jù)的第61百分位數(shù)為______．

【答案】49.75##
【解析】
【分析】
由頻率分布直方圖算出前幾組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)頻率，當(dāng)頻率累計(jì)值到時(shí)，求出對(duì)應(yīng)橫坐標(biāo)值即可.
【詳解】
由題可知，組距在的概率為，在的概率為，在的概率為，在的概率為，在的概率為，
因?yàn)?，，故?dāng)頻率值累計(jì)為0.61時(shí)，對(duì)應(yīng)橫坐標(biāo)值為，
所以故計(jì)網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量數(shù)據(jù)的第61百分位數(shù)為49.75
故答案為：49.75
16．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）“幸福感指數(shù)”是指某個(gè)人主觀地評(píng)價(jià)他對(duì)自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標(biāo).常用區(qū)間，內(nèi)的一個(gè)數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高.甲?乙兩位同學(xué)分別隨機(jī)抽取10位本地市民調(diào)查他們的幸福感指數(shù)，甲得到十位市民的幸福感指數(shù)為5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，乙得到十位市民的幸福感指數(shù)的平均數(shù)為8.方差為2.2，則這20位市民幸福感指數(shù)的方差為___________
【答案】1.95
【解析】
【分析】
設(shè)乙得到的十位市民的幸福感指數(shù)分別為，，，，根據(jù)這10個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，方差為2.2，可得，再根據(jù)方差的公式可求20個(gè)數(shù)據(jù)的方差.
【詳解】
設(shè)乙得到的十位市民的幸福感指數(shù)分別為，，，，
甲得到的十位市民的幸福感指數(shù)分別為，，，，
由平均數(shù)為8，知，
所以這20位市民的幸福感指數(shù)之和為，平均數(shù)為.
由方差定義，乙所得數(shù)據(jù)的方差，
由于，解得，
因?yàn)榧椎玫绞皇忻竦男腋８兄笖?shù)為5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，
所以，
所以這20位市民的幸福感指數(shù)的方差為
.
故答案為：1.95
四、解答題
17．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）從某校500名12歲男孩中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為120的身高(單位：cm)樣本，具體數(shù)據(jù)如下表所示：
分組
[122,126)
[126,130)
[130,134)
[134,138)
[138,142)
人數(shù)
5
8
10
22
33
分組
[142,146)
[146,150)
[150,154)


人數(shù)
20
11
6
5


(1)列出頻率分布表；
(2)畫出頻率直方圖；
(3)畫出頻率折線圖；
(4)估計(jì)身高小于134cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比.
【答案】(1)頻率分布表見解析
(2)頻率直方圖見解析
(3)頻率折線圖見解析
(4)19%
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)列出頻率分布表；
(2)由頻率分布表畫出頻率分布直方圖；
(3)由頻率分布直方圖畫出頻率分布折線圖
(4)由頻率分布表可得身高小于134 cm的學(xué)生的頻率；
(1)
頻率分布表如下表所示：
分組
頻數(shù)
頻率

[122,126)
5
0.04
0.01
[126,130)
8
0.07
0.0175
[130,134)
10
0.08
0.02
[134,138)
22
0.18
0.045
[138,142)
33
0.28
0.07
[142,146)
20
0.17
0.0425
[146,150)
11
0.09
0.0225
[150,154)
6
0.05
0.0125
[154,158)
5
0.04
0.01
合計(jì)
120
1
0.25

(2)

(3)

(4)
由頻率分布表可知身高小于134cm的男孩出現(xiàn)的頻率為0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以身高小于134cm的人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的19%.
18．（2022·四川·瀘縣五中高二開學(xué)考試（理））某高校調(diào)查了本校n名大學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），由調(diào)查結(jié)果得到如下頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的是，樣本數(shù)據(jù)分組為：
自習(xí)時(shí)間（小時(shí)





學(xué)生人數(shù)
10
50
80
a
20


(1)分別求出的值；
(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校大學(xué)生自習(xí)時(shí)間的平均數(shù)與中位數(shù).
【答案】(1)，，
(2)平均數(shù)估計(jì)值為，中位數(shù)估計(jì)值為
【解析】
【分析】
（1）利用的頻率求得，從而求得，進(jìn)而求得.
（2）根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)和中位數(shù)的方法，求得平均數(shù)和中位數(shù).
(1)
由，解得，；
于是由，解得.
(2)
設(shè)該校大學(xué)生上自習(xí)的時(shí)間中位數(shù)估計(jì)值為x，則有：
，解得：.
∴ 該校大學(xué)生上自習(xí)時(shí)間的平均數(shù)估計(jì)值為：
.
19．（2021·廣東·湛江市第四中學(xué)高二期中）某市為了了解人們對(duì)“中國夢(mèng)”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有20人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這20人的平均年齡和第80百分位數(shù)；
(2)若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，求這20人中35~45歲所有人的年齡的方差.
【答案】(1)32.25，第80百分位數(shù)為37.5
(2)10
【解析】
【分析】
（1）直接根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)和百分位數(shù)；
（2）利用分層抽樣得第四組和第五組分別抽取人和人，進(jìn)而設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為，進(jìn)而根據(jù)方差公式，代入計(jì)算即可得答案.
(1)
設(shè)這20人的平均年齡為，則
.
設(shè)第80百分位數(shù)為，由，解得.
(2)
由頻率分布直方圖得各組人數(shù)之比為，
故各組中采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，第四組和第五組分別抽取人和人，
設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，
則，，，，
設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為.
則，，
因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10，
據(jù)此，可估計(jì)這人中年齡在35~45歲的所有人的年齡方差約為10.
20．（2021·廣東中山·高三期末）隨著社會(huì)的進(jìn)步、科技的發(fā)展，人民對(duì)自己生活的環(huán)境要求越來越高，尤其是居住環(huán)境的環(huán)保和綠化受到每一位市民的關(guān)注，因此，年月日，生活垃圾分類制度入法，提倡每位居民做好垃圾分類儲(chǔ)存、分類投放，方便工作人員依分類搬運(yùn)，提高垃圾的資源價(jià)值和經(jīng)濟(jì)價(jià)值，力爭(zhēng)物盡其用.某市環(huán)衛(wèi)局在、兩個(gè)小區(qū)分別隨機(jī)抽取戶，進(jìn)行生活垃圾分類調(diào)研工作，依據(jù)住戶情況對(duì)近期一周（天）進(jìn)行生活垃圾分類占用時(shí)間統(tǒng)計(jì)如下表：
住戶編號(hào)






小區(qū)（分鐘）






小區(qū)（分鐘）







（1）分別計(jì)算、小區(qū)每周進(jìn)行生活垃圾分類所用時(shí)間的平均值和方差；
（2）如果兩個(gè)小區(qū)住戶均按照戶計(jì)算，小區(qū)的垃圾也要按照垃圾分類搬運(yùn)，市環(huán)衛(wèi)局與兩個(gè)小區(qū)物業(yè)及住戶協(xié)商，初步實(shí)施下列方案：
①小區(qū)方案：號(hào)召住戶生活垃圾分類“從我做起”，為了利國利民，每位住戶至少需要一名工作人員進(jìn)行檢查和糾錯(cuò)生活垃圾分類，每位工作人員月工資按照元（按照天計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)）計(jì)算，則每位住戶每月至少需要承擔(dān)的生活垃圾分類費(fèi)是多少？
②小區(qū)方案：為了方便住戶，住戶只需要將垃圾堆放在垃圾點(diǎn)，物業(yè)讓專職人員進(jìn)行生活垃圾分類，一位專職工作人員對(duì)生活垃圾分類的效果相當(dāng)于位普通居民對(duì)生活垃圾分類效果，每位專職工作人員（每天工作小時(shí)）月工資按照元（按照天計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)）計(jì)算，則每位住戶每月至少需要承擔(dān)的生活垃圾分類費(fèi)是多少？
③市環(huán)衛(wèi)局與兩個(gè)小區(qū)物業(yè)及住戶協(xié)商分別試行一個(gè)月，根據(jù)實(shí)施情況，試分析哪個(gè)方案惠民力度大，值得進(jìn)行推廣？
【答案】（1）210分鐘，215分鐘；，；（2）①15元；②64元；③選擇方案推廣，有利于國民熱愛勞動(dòng)及素質(zhì)的提升.
【解析】
（1）利用表格中數(shù)值，代入平均值和方差計(jì)算即可；（2）①計(jì)算小區(qū)一月至少需要名工作人員的費(fèi)用和每位住戶每月需要承擔(dān)的費(fèi)用即可；②由一位專職工人一天的工作時(shí)間按照小時(shí)作為計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)，每月按照天作為計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)，一位專職工作人員對(duì)生活垃圾分類效果相當(dāng)于名普通居民對(duì)生活垃圾分類的效果，計(jì)算出小區(qū)一月需要專職工作人員數(shù)量即可；③根據(jù)以上的運(yùn)算，分析可以得出結(jié)論.
【詳解】
（1）（分鐘），
（分鐘），
，
；
（2）①按照方案，小區(qū)一月至少需要名工作人員進(jìn)行檢查和糾錯(cuò)生活垃圾分類，其費(fèi)用是元，
每位住戶每月需要承擔(dān)的生活垃圾分類費(fèi)為（元），
②由（1）知，小區(qū)平均每位住戶每周需要分鐘進(jìn)行垃圾分類，一月需要（分鐘），
小區(qū)一月平均需要分鐘的時(shí)間用于生活垃圾分類，
∵一位專職工人一天的工作時(shí)間按照小時(shí)作為計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)，每月按照天作為計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)，
一位專職工作人員對(duì)生活垃圾分類效果相當(dāng)于名普通居民對(duì)生活垃圾分類的效果，
∴小區(qū)一月需要專職工作人員至少（名），
則每位住戶每月需要承擔(dān)的生活垃圾分類費(fèi)為（元），
③根據(jù)上述計(jì)算可知，按照每位住戶每月需要承擔(dān)的生活垃圾分類費(fèi)來說，
選擇方案惠民力度大，但需要住戶平時(shí)做好生活垃圾分類事項(xiàng)；
如果對(duì)于高檔小區(qū)的居民來說，可以選擇方案，這只是方便個(gè)別高收入住戶，
綜上，選擇方案推廣，有利于國民熱愛勞動(dòng)及素質(zhì)的提升.
【點(diǎn)評(píng)】
本題文字較多，能夠正確分析題意、理解題意是解決問題的關(guān)鍵，所以提醒同學(xué)們?cè)趥淇歼^程中可以適當(dāng)?shù)淖鲆恍┹o助閱讀幫助提升此能力.
21．（2021·廣東佛山·高一期末）在一個(gè)文藝比賽中，10名專業(yè)評(píng)委和10名觀眾代表各組成一個(gè)評(píng)委小組．給參賽選手甲，乙打分如下：（用小組，小組代表兩個(gè)打分組）
小組：
甲：7.5???????7.5???????7.8???????7.8???????8.0???????8.0???????8.2???????8.3???????8.4???????9.5
乙：7.0???????7.8???????7.8???????7.8???????8.0???????8.0???????8.3???????8.3???????8.5???????8.5
小組：
甲：7.4???????7.5???????7.5???????7.6???????8.0???????8.0???????8.2???????8.9???????9.0???????9.0
乙：6.9???????7.5???????7.6???????7.8???????7.8???????8.0???????8.0???????8.5???????9.0???????9.9
（1）選擇一個(gè)可以度量打分相似性的量，并對(duì)每組評(píng)委的打分計(jì)算度量值，根據(jù)這個(gè)值判斷小組與小組那個(gè)更專業(yè)？
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，計(jì)算專業(yè)評(píng)委打分的參賽選手甲、乙的平均分；
（3）若用專業(yè)評(píng)委打分的數(shù)據(jù)．選手的最終得分為去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分之后．剩下8個(gè)評(píng)委評(píng)分的平均分．那么，這兩位選手的最后得分是多少？若直接用10位評(píng)委評(píng)分的平均數(shù)作為選手的得分，兩位選手的排名有變化嗎？你認(rèn)為哪種評(píng)分辦法更好？（只判斷不說明）．（以上計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù)）
【答案】（1）小組A更專業(yè)；（2）甲均分8.1，乙均分8；（3）甲均分8，乙均分8.06，兩位選手排名有變化，我認(rèn)為去掉一個(gè)最高分，一個(gè)最低分后更合理
【解析】
【分析】
（1）通過方差來判斷打分的專業(yè)性比較合理
（2）在（1）中計(jì)算方差時(shí)，需要先計(jì)算平均值，所以可以直接用（1）中的數(shù)據(jù)
（3）去掉最高分和最低分之后，重新計(jì)算均值即可
【詳解】
（1）小組A的打分中，
甲的均值

甲的方差

乙的均值

乙的方差

小組B的打分中，
甲的均值

甲的方差

乙的均值

乙的方差

由以上數(shù)據(jù)可得，在均值均差0.01的情況下，小組B的打分方差較大，所以，小組A的打分更專業(yè)
（2）由（1）可得：小組A為專業(yè)評(píng)委，所以：
選手甲的平均分
選手乙的平均分
（3）由專業(yè)評(píng)委的數(shù)據(jù)，去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分后，甲乙的均值分別為：


去掉一個(gè)最低分，一個(gè)最高分之后，乙的均值高于甲，按照10個(gè)數(shù)據(jù)計(jì)算時(shí)，甲的均值高于乙的均值，排名不同。
我認(rèn)為去掉一個(gè)最低分，一個(gè)最高分的評(píng)分方法更好
22．（2021·安徽省舒城中學(xué)高二階段練習(xí)）隨機(jī)抽取100名學(xué)生，測(cè)得他們的身高（單位：），按照區(qū)間，，，，分組，得到樣本身高的頻率分布直方圖如圖所示．

（1）求頻率分布直方圖中的值及身高在及以上的學(xué)生人數(shù)；
（2）估計(jì)該校100名生學(xué)身高的75％分位數(shù)．
（3）若一個(gè)總體劃分為兩層，通過按樣本量比例分配分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，；，，．記總的樣本平均數(shù)為，樣本方差為，證明：
①；
②．
【答案】（1）0.06???60人；（2）；（3）詳見解析.
【解析】
【分析】
（1）利用頻率分布直方圖中長(zhǎng)方形面積之和為1，易求出，進(jìn)而利用頻率分布直方圖可求身高在及以上的學(xué)生人數(shù)；
（2）可設(shè)該校100名生學(xué)身高的75％分位數(shù)，再利用頻率分布直方圖計(jì)算即得；
（3）利用樣本平均數(shù)，方差公式化簡(jiǎn)即證.
【詳解】
（1）由頻率分布直方圖可知，解得，
身高在及以上的學(xué)生人數(shù)（人）．
（2）的人數(shù)占比為％，
的人數(shù)占比為％，
所以該校100名生學(xué)身高的75％分位數(shù)落在，
設(shè)該校100名生學(xué)身高的75％分位數(shù)為，
則％，解得，
故該校100名生學(xué)身高的75％分位數(shù)為．
（3）由題得①；②

又
同理，
∴

.