人教A版 (2019)必修第二冊10.1 隨機(jī)事件與概率導(dǎo)學(xué)案及答案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

古典概型新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.結(jié)合具體實例，理解古典概型數(shù)學(xué)抽象2.能計算古典概型中簡單隨機(jī)事件的概率數(shù)學(xué)運(yùn)算據(jù)《西墅記》所載，唐明皇與楊貴妃擲骰子戲娛，唐明皇的戰(zhàn)況不佳，只有讓六顆骰子中的兩顆骰子同時出現(xiàn)“四”才能轉(zhuǎn)敗為勝．于是唐明皇一面舉骰投擲，一面連呼“重四”．骰子停定，正好重四．唐明皇大悅，命令高力士將骰子的四點涂為紅色，紅色通常是不能亂用的．因此直到今天，骰子的幺、四兩面為紅色，其余四面都是黑色．[問題]　您能算出唐明皇轉(zhuǎn)敗為勝的概率是多少嗎？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知識點　古典概型1．事件的概率對隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．2．古典概型的定義試驗E具有如下共同特征：(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等．稱試驗E為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．3．古典概型的概率計算公式一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝＝，其中n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù)．若一次試驗的結(jié)果所包含的樣本點的個數(shù)是有限個，則該試驗還不能判斷是古典概型，還必須滿足每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等．　　　　 1．擲一枚不均勻的骰子，求出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)點的概率，這個概率模型還是古典概型嗎？提示：不是．因為骰子不均勻，所以每個樣本點出現(xiàn)的可能性不相等．2．若一次試驗的結(jié)果所包含的樣本點的個數(shù)是有限個，則該試驗是古典概型嗎？提示：不一定．還要看每個樣本點發(fā)生的可能性是否相同，若相同才是，否則不是．1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)任何一個事件都是一個樣本點．(　　)(2)古典概型中每一個樣本點出現(xiàn)的可能性相等．(　　)(3)古典概型中的任何兩個樣本點都是互斥的．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)√2．袋中裝有紅白球各一個，每次任取一個，有放回地抽取三次，所有的樣本點個數(shù)是________．解析：從裝有紅白兩球的袋中有放回的取出，所有取法有：共8個樣本點．答案：83．從1，2，3中任取兩個數(shù)字，設(shè)取出的數(shù)字含有2為事件A，則P(A)＝________．解析：從1，2，3中任取兩個數(shù)字，所有可能的結(jié)果有：(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3個，其中含有2的結(jié)果有2個，故P(A)＝.答案：古典概型的判斷　　[例1]　判斷下列概率模型中哪些是古典概型，為什么？(1)從區(qū)間[1，10]內(nèi)任意取出一個數(shù)，求取到1的概率；(2)從含有1的10個整數(shù)中任意取出一個數(shù)，求取到1的概率；(3)向一個正方形ABCD內(nèi)投擲一點P，求P恰好與A點重合的概率．[解]　根據(jù)古典概型的特征進(jìn)行考慮，(1)(3)中樣本點有無限多個，因此不屬于古典概型．(2)從含有1的10個整數(shù)中任取1個整數(shù)，其樣本點總數(shù)為10，是有限的，且每個數(shù)取到的可能性相等，故(2)為古典概型．判斷一個試驗是不是古典概型的步驟(1)明確試驗及其結(jié)果；(2)判斷所有結(jié)果(即樣本點)是否有限；(3)判斷有限個結(jié)果是否等可能出現(xiàn)，這需要有日常生活的經(jīng)驗．另外，題目中“完全相同”“任取”等是表述等可能的語言．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]某同學(xué)隨機(jī)地向一靶心進(jìn)行射擊，這一試驗的結(jié)果只有有限個：命中10環(huán)、命中9環(huán)、…、命中5環(huán)和不中環(huán)．你認(rèn)為這是古典概型嗎？為什么？解：不是古典概型，因為試驗的所有可能結(jié)果只有7個，而命中10環(huán)、命中9環(huán)、…、命中5環(huán)和不中環(huán)的出現(xiàn)不是等可能的，即不滿足古典概型的第二個條件. 古典概型的計算角度一　求“無序抽取”型古典概型的概率[例2]　在大小、質(zhì)地完全相同的6個球中，2個是紅球，4個是白球，若從中任意選取3個，則所選的3個球中至少有1個紅球的概率是多少？[解]　設(shè)白球標(biāo)號為1，2，3，4，紅球標(biāo)號為5，6，從6個球中任選3球的樣本空間Ω＝{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，2，6)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，3，6)，(1，4，5)，(1，4，6)，(1，5，6)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，3，6)，(2，4，5)，(2，4，6)，(2，5，6)，(3，4，5)，(3，4，6)，(3，5，6)，(4，5，6)}，共20個樣本點，用事件A表示“至少有1個紅球”，則A＝{(1，2，5)，(1，2，6)，(1，3，5)，(1，3，6)，(1，4，5)，(1，4，6)，(1，5，6)，(2，3，5)，(2，3，6)，(2，4，5)，(2，4，6)，(2，5，6)，(3，4，5)，(3，4，6)，(3，5，6)，(4，5，6)}，共包含16個樣本點．故所選3個球中至少有1個紅球的概率P(A)＝＝.角度二　求“有序不放回抽取”型古典概型的概率[例3]　三張卡片上分別寫有字母E，E，B，將三張卡片隨機(jī)排成一行，恰好排成BEE的概率為________．[解析]　記寫有E的兩張卡片分別為E1，E2，畫樹狀圖如下：故樣本空間Ω＝{E1E2B，E1BE2，E2E1B，E2BE1，BE1E2，BE2E1}，共6個樣本點，記事件A為“恰好排成BEE”，則A＝{BE1E2，BE2E1}，共包含2個樣本點，故P(A)＝＝.[答案]　角度三　求“有放回抽取”型古典概型的概率[例4]　一個盒子中裝有4個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1，2，3，4.(1)從盒子中不放回地隨機(jī)抽取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；(2)先從盒子中隨機(jī)取一個球，該球的編號為m，將球放回盒子中，然后再從盒子中隨機(jī)取一個球，該球的編號為n，求n<m＋2的概率．[解]　(1)從盒子中不放回地隨機(jī)抽取兩個球，其樣本空間Ω1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共包含6個樣本點，用A表示“取出的球的編號之和不大于4”，則A＝{(1,2)，(1,3)}，A包含的樣本點個數(shù)為2.因此所求事件的概率P(A)＝＝.(2)先從盒子中隨機(jī)取一個球，記下編號為m，放回后，再從盒子中隨機(jī)取一個球，記下編號為n，用數(shù)對(m，n)來表示取出的結(jié)果，則樣本空間Ω2＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共包含16個樣本點，用B表示“n≥m＋2”，故表示“n<m＋2”，則B＝{(1,3)，(1,4)，(2,4)}，共包含3個樣本點，所以包含的樣本點有13個，所以P()＝.求解古典概型的概率“四步”法[注意]　計算樣本點時要注意兩個區(qū)別(1)“無序”與“有序”的區(qū)別．“無序”指取出的元素沒有先后次序，常用“任取”表述，而“有序”指取出的元素有順序，常用“依次取出”表述；(2)“有放回”與“無放回”的區(qū)別．“有放回”取出的元素可以重復(fù)，而“無放回”取出的元素沒有重復(fù)．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]1．(2020·江蘇高考)將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)和為5的概率是________．解析：將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，向上的點數(shù)共有36種情況，其中點數(shù)和為5的情況有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4種，則所求概率為＝.答案：2．一個盒子中裝有1個黑球和2個白球，這3個球除顏色外完全相同．有放回地連續(xù)抽取2次，每次從中任意地取出1個球．計算下列事件的概率：(1)取出的兩個球都是白球；(2)第一次取出白球，第二次取出黑球；(3)取出的兩個球中至少有一個白球．解：把2個白球記為白1，白2.所有樣本點有：(黑，黑)，(黑，白1)，(黑，白2)，(白1，黑)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，黑)，(白2，白1)，(白2，白2)，共9個．(1)設(shè)“取出的兩個球都是白球”為事件A，則事件A包含的樣本點有(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，共4個．故取出的兩個球都是白球的概率P(A)＝.(2)設(shè)“第一次取出白球，第二次取出黑球”為事件B，則事件B包含的樣本點有(白1，黑)，(白2，黑)，共2個．故第一次取出白球，第二次取出黑球的概率P(B)＝.(3)設(shè)“取出的兩個球中至少有一個白球”為事件C，則C表示“取出的兩個球都是黑球”，C包含的樣本點只有1個，則C包含的樣本點有8個，故取出的兩個球中至少有一個白球的概率P(C)＝.古典概型與其他知識的交匯問題[例5]　某校從高一年級某次數(shù)學(xué)競賽的成績中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成績，分組為[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，統(tǒng)計后得到頻率分布直方圖如圖所示．(1)試估計這組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)(結(jié)果精確到0.1)；(2)年級決定在成績[70，100]中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人組成一個調(diào)研小組，對高一年級學(xué)生課外學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情況做一個調(diào)查，則在[70，80)，[80，90)，[90，100]這三組分別抽取了多少人？(3)現(xiàn)在要從(2)中抽取的6人中選出正、副2個小組長，求成績在[80，90)中至少有1人當(dāng)選為正、副小組長的概率．[解]　(1)由頻率分布直方圖得，眾數(shù)為＝65.成績在[50，70)內(nèi)的頻率為(0.005＋0.035)×10＝0.4，成績在[70，80)內(nèi)的頻率為0.03×10＝0.3，∴中位數(shù)為70＋×10≈73.3.(2)成績?yōu)閇70，80)，[80，90)，[90，100]這三組的頻率分別為0.3，0.2，0.1，∴[70，80)，[80，90)，[90，100]這三組抽取的人數(shù)分別為3，2，1.(3)由(2)知成績在[70，80)有3人，分別記為a，b，c；成績在[80，90)有2人，分別記為d，e；成績在[90，100]有1人，記為f.用x1，x2表示從[70，80)，[80，90)，[90，100]這三組中抽取的2人，則數(shù)組(x1，x2)表示這個試驗的一個樣本點．∴從抽取的6人中選出正、副2個小組長的樣本空間Ω＝{(a，b)，(b，a)，(a，c)，(c，a)，(a，d)，(d，a)，(a，e)，(e，a)，(a，f)，(f，a)，(b，c)，(c，b)，(b，d)，(d，b)，(b，e)，(e，b)，(b，f)，(f，b)，(c，d)，(d，c)，(c，e)，(e，c)，(c，f)，(f，c)，(d，e)，(e，d)，(d，f)，(f，d)，(e，f)，(f，e)}．設(shè)事件A＝“成績在[80，90)中至少有1人當(dāng)選為正、副小組長”，則事件A包含的樣本點有18個，∴成績在[80，90)中至少有1人當(dāng)選為正、副小組長的概率P(A)＝＝.古典概型綜合問題的求解步驟(1)分析所求概率事件的構(gòu)成，確定隨機(jī)試驗變量；(2)將事件轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的條件，寫出滿足條件的樣本點；(3)根據(jù)古典概型的概率公式求解．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]1．已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}．則A∩B＝B的概率是(　　)A.　　　　　　　　 B.C. D．1解析：選C　∵a∈A，b∈A，所以可列表如下：　　ba　　1231(1，1)(1，2)(1，3)2(2，1)(2，2)(2，3)3(3，1)(3，2)(3，3) 易知B中最多有兩個元素．∵A∩B＝B，∴B可能為?，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}．當(dāng)B＝?時，Δ＝a2－4b<0，滿足條件的(a，b)為(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(2，3)，(3，3)；當(dāng)B＝{1}時，滿足條件的(a，b)為(2，1)；當(dāng)B＝{2}，{3}時，沒有滿足條件的(a，b)；當(dāng)B＝{1，2}時，滿足條件的(a，b)為(3，2)；當(dāng)B＝{2，3}，{1，3}時，沒有滿足條件的(a，b)；故符合條件的(a，b)共有8種，∴P(A∩B＝B)＝.2．已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)＝ax2－bx＋1，設(shè)集合P＝{1，2，3}，Q＝{－1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個數(shù)a和b得到數(shù)組(a，b)．(1)列舉出數(shù)組(a，b)對應(yīng)的樣本空間，并求函數(shù)y＝f(x)有零點的概率；(2)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率．解：(1)樣本空間Ω＝{(1，－1)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，－1)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)}，共15個樣本點．函數(shù)y＝f(x)有零點等價于Δ＝b2－4a≥0，滿足條件的(a，b)有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6個樣本點．∴y＝f(x)有零點的概率P1＝＝.(2)∵a>0，函數(shù)y＝f(x)圖象對稱軸為直線x＝在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，∴有≤1，滿足條件的(a，b)有(1，－1)，(1，1)，(1，2)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，－1)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，共13個樣本點．∴y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率P2＝.1．某袋中有9個大小相同的球，其中有5個紅球，4個白球，現(xiàn)從中任意取出1個，則取出的球恰好是白球的概率為(　　)A. B.C. D．解析：選C　袋中有9個大小相同的球，從中任意取出1個，共有9種取法．取出的球恰好是白球，共有4種取法．故取出的球恰好是白球的概率為.故選C.2．《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，下圖是易經(jīng)八卦圖(含亁、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦)，每卦有三根線組成(“”表示一根陽線，“”表示一根陰線)，從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有三根陽線和三根陰線的概率為________．解析：記八卦分別為1，2，3，4，5，6，7，8，則從八卦中任取兩卦，可能情況有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(6，8)，(7，8)，共28種取法．若兩卦的六根線中恰有三根陽線和三根陰線，可按取得卦的陽、陰線的根數(shù)分類計算；當(dāng)有一卦陽、陰線的根數(shù)為3，0時，另一卦陽、陰線的根數(shù)為0，3，共有1種取法．當(dāng)有一卦陽、陰線的根數(shù)為2，1時，另一卦陽、陰線的根數(shù)為1，2，共有9種取法．所以兩卦的六根線中恰有三根陽線和三根陰線的取法有1＋9＝10(種)．則從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有三根陽線和三根陰線的概率為P＝＝.答案：3．某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工．根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的頻率；(3)從評分在[40，60)的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人的評分都在[40，50)的概率．解：(1)因為(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.(2)由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以估計該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的頻率為0.4.(3)受訪職工中評分在[50，60)的有50×0.006×10＝3(人)，記為A1，A2，A3；受訪職工中評分在[40，50)的有50×0.004×10＝2(人)，記為B1，B2.設(shè)x1，x2為從評分在[40，60)的受訪職工中隨機(jī)抽取的2人，則(x1，x2)表示一個樣本點，則“從評分在[40，60)的受訪職工中隨機(jī)抽取2人的樣本空間Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)}，共10種結(jié)果，設(shè)事件A＝“所抽取2人的評分都在[40，50)”，則A＝{(B1，B2)}，結(jié)果只有1種，故所求的概率P(A)＝.

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