矩形
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1. 理解矩形的概念.
2. 掌握矩形的性質(zhì)定理與判定定理.
3.運用矩形性質(zhì)定理與判定定理計算或證明有關(guān)的角和線段.
【要點梳理】
要點一、矩形的定義
有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.
要點詮釋：矩形定義的兩個要素：①是平行四邊形；②有一個角是直角.即矩形首先是一個平行四邊形，然后增加一個角是直角這個特殊條件.
要點二、矩形的性質(zhì)
矩形的性質(zhì)包括四個方面：
1.矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；
2.矩形的對角線相等；
3.矩形的四個角都是直角；
4.矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸.
要點詮釋：（1）矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對稱圖形.過中心的任意直線可將矩形分成完全全等的兩部分.
（2）矩形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（分別通過對邊中點的直線）.對稱軸的交點就是對角線的交點（即對稱中心）.
（3）矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，從而矩形的性質(zhì)可以歸結(jié)為從三個方面看：從邊看，矩形對邊平行且相等；從角看，矩形四個角都是直角；從對角線看，矩形的對角線互相平分且相等.
要點三、矩形的判定
矩形的判定有三種方法：
1.定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.
2.對角線相等的平行四邊形是矩形.
3.有三個角是直角的四邊形是矩形.
要點詮釋：在平行四邊形的前提下，加上“一個角是直角”或“對角線相等”都能判定平行四邊形是矩形.
要點四、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
要點詮釋：（1）直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是矩形性質(zhì)的推論.性質(zhì)的前提是直角三角形，對一般三角形不可使用.
（2）學(xué)過的直角三角形主要性質(zhì)有：①直角三角形兩銳角互余；②直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；③直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半.
（3）性質(zhì)可以用來解決有關(guān)線段倍分的問題.
【典型例題】
類型一、矩形的性質(zhì)
1、如圖，在矩形中，，于點F.
(1)求證：；
(2)連接，若，求的度數(shù).
舉一反三：
【變式】如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點，AE=CF，連接EF、BF，EF與對角線AC交于點O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．
（1）求證：OE=OF；
（2）求∠ACB的度數(shù)．
類型二、矩形的判定
2、如圖，在矩形ABCD中，BM⊥AC，DN⊥AC，M、N是垂足．
（1）求證：AN＝CM；
（2）如果AN＝MN＝2，求矩形ABCD的面積．
舉一反三：
【變式】如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，動點P從點A出發(fā)沿AD方向向點D以1cm/s的速度運動，動點Q從點C開始沿著CB方向向點B以3cm/s的速度運動．點P、Q分別從點A和點C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)端點時，另一點隨之停止運動．
（1）經(jīng)過多長時間，四邊形PQCD是平行四邊形？
（2）經(jīng)過多長時間，四邊形PQBA是矩形？
（3）經(jīng)過多長時間，當(dāng)PQ不平行于CD時，有PQ=CD．
類型三、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)
3如圖，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝45°，E、F分別是AC、BD的中點，若AC＝2．
（1）求證：EF⊥BD
（2）求EF的長．
【變式】如圖，四邊形ABCD中，，，E，F(xiàn)分別是BD、AC的中點，請你說明EF與AC的位置關(guān)系．
類型四、坐標(biāo)系中的矩形
4．如圖，四邊形ABCD是長方形，把△ACD沿AC折疊得到△ACD’，AD’與與BC交于點E，若AD=4，DC=3
（1）求證
（2）求BE的長
【變式】如圖，在長方形紙片ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，BC＝4，CD＝3，將此長方形紙片沿BD折疊，使點A落在點E處．DE與BC相交于點F．
（1）判斷△BDF的形狀，并說明理由；
（2）求DF的長．
類型五、坐標(biāo)系中的矩形
5.已知矩形0ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖所示，點0為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為(10，0)，點B的坐標(biāo)為(10，8)，點Q為線段AC上-點，其坐標(biāo)為(5，n).
(1)求直線AC的表達(dá)式
(2)如圖，若點P為坐標(biāo)軸上-動點，動點P沿折線AO→0C的路徑以每秒1個單位長度的速度運動，到達(dá)C處停止求Δ0PQ的面積S與點P的運動時間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式.
(3)若點P為坐標(biāo)平面內(nèi)任意-.點，是否存在這樣的點P，使以0，C，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.
矩形
一、單選題
1．矩形具有而一般平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（ ）
A．兩組對邊分別相等B．兩條對角線互相平分
C．兩條對角線互相垂直D．兩條對角線相等
2．如圖，矩形的兩條對角線相交于點，已知，，則矩形對角線的長為（ ）
A．B．C．D．
3．如圖，四邊形的對角線互相平分，若，則四邊形為（ ）
A．菱形B．矩形C．菱形或矩形D．無法判斷
4．已知線段，利用直尺和圓規(guī)作矩形．以下是甲乙兩位同學(xué)的作法：
對于兩人的作法，下列說法正確的是（ ）
A．兩人都對B．兩人都不對
C．甲對，乙不對D．甲不對，乙對
5．如圖，證明矩形的對角線相等，已知：四邊形是矩形．求證：．以下是排亂了的證明過程：①∴、．②∵③∵四邊形是矩形④∴⑤∴．證明步驟正確的順序是（ ）
A．③①②⑤④B．②①③⑤④C．③⑤②①④D．②⑤①③④
6．已知直角三角形的兩條直角邊分別是3和4，則它斜邊上的中線長為（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，在矩形中，對角線與相交于點，，垂足為點，，且，則的長為（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，在矩形中，對角線、相交于點O，若，，則=（ ）
A．18°B．36°C．27°D．54°
9．如圖，在矩形中，與交點于是的中點，已知，則的長為（ ）
A．10B．11C．12D．13
10．如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點D與點B重合，點C落在處，折痕為EF，若，，則的周長為（ ）
A．8B．6C．4D．3
11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點O是坐標(biāo)原點，點A、C的坐標(biāo)分別是，，點B在第一象限，則點B的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
12．如圖，點P是Rt△ABC中斜邊AC (不與A，C重合)上一動點，分別作PM⊥AB于點M，作PN⊥BC于點N，連接BP、MN，若AB=6，BC=8，當(dāng)點P在斜邊AC上運動時，則MN的最小值是( )
A．1.5B．2C．4.8D．2.4
13．如圖，將長方形紙片ABCD沿AE折疊，使點D恰好落在BC邊上點F處．若，，則EC的長為（ ）
A．2B．C．3D．
14．如圖，已知長方形中，，在邊上取一點，將折疊使點恰好落在邊上的點，的長是（ ）
A．3B．2.5C．D．2
二、填空題
15．如圖，四邊形中，，取中點，連接，，，則為______三角形．
16．如圖，在中，，點D為AB中點，若，則_________．
17．如圖，矩形ABCD中，點A坐標(biāo)是（﹣1，0），點C的坐標(biāo)是（2，4），則BD的長是____；
18．如圖，在中，是斜邊上的中線，若，則________．
19．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜邊AB中點，若∠B＝30°，AC＝2，則CD＝_____．
20．如圖，長方形ABCD中，，，點P是AB上一點，，點E是BC上一動點，連接PE，將沿PE折疊，使點B落在，連接，則的最小值是________．
21．如圖，在矩形中，，若點P在邊上，連結(jié)，是以為腰的等腰三角形，則的長為__________．
22．如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，∠AOB＝60°，AC＝6，則矩形ABCD的周長為 ______．

23．如圖，長方形ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在點C′處，BC′交AD于點E，若，，則△BED的周長為_____．
24．如圖，在矩形ABCD中，AD＝2．將∠A向內(nèi)翻折，點A落在BC上，記為，折痕為DE．若將∠B沿向內(nèi)翻折，點B恰好落在DE上，記為，則AB＝_______．

25．如圖，矩形全等于矩形，點C在上，連接，點H為的中點，若，，則的長為__________．
三、解答題
26．如圖，四邊形ABCD是長方形，把△ACD沿AC折疊得到△ACD’，AD’與與BC交于點E，若AD=4，DC=3
（1）求證
（2）求BE的長
如圖，已知是矩形的一條對角線，點在的延長線上，且．連接，與相交于點，與相交于點．
（1）依題意補全圖形；
（2）若，解答下列問題：
①判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；
②連接，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
28．如圖，在直角中，，點D是上一點，連接，把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到，連接交于點M．
（1）如圖1，若，求的長；
（2）如圖2，若，點N為上一點，，求證：；
（3）如圖3，若，點D為直線上一動點，直線與直線交于點M，
當(dāng)為等腰三角形時，請直接寫出此時的度數(shù)．
甲：1．以點為圓心，長為半徑畫??；
2．以點為圓心，長為半徑畫弧
3．兩弧在上方交于點，連接，則四邊形即為所求（如圖）．
乙：1．連接，作線段的垂直平分線，交于點；
2．連接并延長，在延長線上取一點，使，連接，則四邊形即為所求（如圖）．

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18.2.1 矩形

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