?18.2.1 矩形（基礎(chǔ)篇）（專項(xiàng)練習(xí)）
一、單選題
1．如圖，矩形OABC的邊OA長(zhǎng)為2，邊AB長(zhǎng)為1，OA在數(shù)軸上，以原點(diǎn)O為圓心，對(duì)角線OB的長(zhǎng)為半徑畫弧，交正半軸于一點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)是（ ）

A．2.5 B．2 C． D．
2．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，若∠EAC=2∠CAD，則∠BAE的度數(shù)為( )

A．20° B．22.5° C．27.5° D．30°
3．矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，∠AOD=120°，AO=3，則BC的長(zhǎng)度是（　　　）
A．3 B． C． D．6
4．如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作，，分別交AB、CD、AD、BC于E、F、G、H，連接PB．若，．則圖中陰影部分的面積為（ ）


A．4 B．8 C．12 D．24
5．如圖，矩形ABCD中，AB＝2BC，點(diǎn)E在CD上，AE＝AB，則∠ABE的度數(shù)為（　　）

A．60° B．70° C．72° D．75°
6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形是矩形，點(diǎn)，，，則這個(gè)矩形的面積為（ ）
A． B．
C． D．
7．如圖，長(zhǎng)方形OABC中，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)C在x軸上．，．點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在邊OC上，將長(zhǎng)方形沿直線DE折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)O重合．則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ）

A． B． C． D．
8．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為（ ）

A． B．3 C．4 D．5
9．下列測(cè)量方案中，能確定四邊形門框?yàn)榫匦蔚氖牵? ）
A．測(cè)量對(duì)角線是否互相平分 B．測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否分別相等
C．測(cè)量對(duì)角線是否相等 D．測(cè)量對(duì)角線交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是否都相等
10．如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接EB，EC，DB，添加一個(gè)條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是（　?。?br />
A．AB=BE B．DE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE
11．如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，依次連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)所得到的四邊形為（ ）

A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
12．如圖，在中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，且，則的度數(shù)為（ ）

A． B． C． D．
13．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，點(diǎn)M在邊CD上，若AM平分∠DMB，則DM的長(zhǎng)是（　?。?br />
A． B． C．﹣ D．2﹣
14．在如圖矩形紙片上作隨機(jī)扎針實(shí)驗(yàn)，過對(duì)角線交點(diǎn)，則針頭扎在陰影區(qū)域的概率為（ ）

A． B． C． D．


二、填空題
15．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是AO、AD的中點(diǎn)，若AB＝6cm，BC＝8cm，則EF＝_____cm．

16．如圖，矩形ABCD中，AC的垂直平分線MN與AB交于點(diǎn)E，連接CE．若∠CAD＝70°，則∠DCE＝_____°．

17．已知矩形一條對(duì)角線長(zhǎng)8cm，兩條對(duì)角線的一個(gè)交角是60°，則矩形較短的邊長(zhǎng)為 _____cm．
18．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于O，EF過點(diǎn)O分別交AB，CD于E，F(xiàn)，已知AB＝8cm，AD＝5cm，那么圖中陰影部分面積為_____cm2．

19．如圖，在矩形ABCD中，BE交AD于點(diǎn)E且平分∠ABC，對(duì)角線BD平分∠EBC，則的值為____．

20．如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），則對(duì)角線AC的長(zhǎng)等于____．

21．如圖，在矩形中，，，將矩形翻折，使得點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)，則______

22．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的________．
符號(hào)語言：
Rt△ABC中，
∵∠ABC＝90°，OA＝OC，
∴BO＝AC．

23．如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作，分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接PB，PD．若，．則圖中陰影部分的面積為______．

24．中，延長(zhǎng)至D使得，延長(zhǎng)至E使得，當(dāng)滿足條件____________時(shí)，四邊形是矩形．
25．四邊形中，E、F、G、H分別是邊的中點(diǎn)，作四邊形．若，，，則四邊形的面積是________．
26．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，DE平分∠ADC．若∠AOB＝60°，則∠COE的大小為____ ．

27．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N，連接MN，則線段MN的最小值為_________________．

28．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，過點(diǎn)A作∠DAC的角平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，取AH的中點(diǎn)P，連接BP，則S△ABP＝___．


三、解答題
29．如圖，矩形中，是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）當(dāng)平分時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

30． “三等分一個(gè)任意角”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名問題．今天人們已經(jīng)知道，僅用圓規(guī)和直尺是不可能作出的．有人曾利用如圖所示的圖形進(jìn)行探索，其中ABCD是長(zhǎng)方形，F(xiàn)是DA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，G是CF上一點(diǎn)，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．請(qǐng)寫出∠ECB和∠ACB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

31．在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，點(diǎn)E是邊CD上的一點(diǎn)，將△AED沿AE所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處．
（1）如圖1，若點(diǎn)F落在對(duì)角線AC上，且∠BAC＝54°，則∠DAE的度數(shù)為________°．
（2）如圖2，若點(diǎn)F落在邊BC上，且AB＝CD=6，AD＝BC=10，求CE的長(zhǎng)．
（3）如圖3，若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，AF的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)G，且AB＝CD=6，AD＝BC=10，求CG的長(zhǎng)．





















參考答案
1．D
【分析】利用矩形的性質(zhì)，求證明，進(jìn)而在中利用勾股定理求出的長(zhǎng)度，弧長(zhǎng)就是的長(zhǎng)度，利用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，求出弧與數(shù)軸交點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)即可．
解：四邊形OABC是矩形，
，
在中，由勾股定理可知：，
，
弧長(zhǎng)為，故在數(shù)軸上表示的數(shù)為，
故選：．
【點(diǎn)撥】本題主要是考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理解三角形以及數(shù)軸上的點(diǎn)的表示，熟練利用矩形性質(zhì)，得到直角三角形，然后通過勾股定理求邊長(zhǎng)，是解決該類問題的關(guān)鍵．
2．B
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可證明，再由三角形外角性質(zhì)可證明出，即得出，根據(jù)題意即可知是等腰直角三角形，得出，從而求出，最后即可求出的大?。?br /> 【詳解】
∵四邊形ABCD是矩形，
∴．
∵，即，
∴，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
故選：B．
【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．
3．C
【分析】畫出圖形，由條件可求得△AOB為等邊三角形，則可求得AC的長(zhǎng)，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的長(zhǎng)．
【詳解】
解：如下圖所示：

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴OA=AB=2，
∴AC=2OA=4，
∴BC2=AC2-AB2=36-9=27，
∴BC=．
故選：D．
【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵．
4．C
【分析】連接PD，根據(jù)，，推出四邊形AEPG、四邊形BEPH、四邊形PFCH、四邊形DFPG都是矩形，得到，由矩形的性質(zhì)求出答案．
【詳解】
解：連接PD，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴， ，
∵，，
∴四邊形AEPG、四邊形BEPH、四邊形PFCH、四邊形DFPG都是矩形，
∴，GP=，
∴，
∴，
故選：C．

【點(diǎn)撥】此題考查矩形的判定及性質(zhì)，熟記矩形的判定定理并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
5．D
【分析】根據(jù)已知和矩形性質(zhì)可得∠D=90°，AD=BC，CD∥AB，進(jìn)而證得∠BAE=∠AED=30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，AD=BC，CD∥AB，
∵AB=2BC，AE=AB，
∴AE=2AD，
∴∠AED=30°，
∵CD∥AB，
∴∠BAE=∠AED=30°，又AE=AB，
∴∠ABE=（180°－∠BAE）÷2=（180°－30°）÷2=75°，
故選：D．
【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．
6．A
【分析】在平面直角坐標(biāo)系中畫出三個(gè)已知點(diǎn)的位置，然后根據(jù)矩形性質(zhì)求得、的長(zhǎng)，最后即可求解面積．
【詳解】
在平面直角坐標(biāo)系中作出三個(gè)點(diǎn)，如下圖所示，
，
根據(jù)矩形的性質(zhì)得到點(diǎn)的位置，
∴，，
∴，
故選A．
【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，和平面直角坐標(biāo)系，關(guān)鍵是在平面直角坐標(biāo)系中畫出已知點(diǎn)的位置．
7．C
【分析】設(shè)AD=x，在Rt△OAD中，據(jù)勾股定理列方程求出x，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【詳解】
解：設(shè)AD=x，由折疊的性質(zhì)可知，OD=BD=8-x，
在Rt△OAD中，
∵OA2+AD2=OD2，
∴42+x2=(8-x)2，
∴x=3，
∴D，
故選C．
【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，以及折疊的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．
8．A
【分析】根據(jù)勾股定理和直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，，
，
點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，
，
故選：A．
【點(diǎn)撥】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊邊上的中線，解題的關(guān)鍵是正確的理解題意．
9．D
【分析】由平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】
解：A、∵對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，
∴對(duì)角線互相平分且相等的四邊形才是矩形，
∴選項(xiàng)A不符合題意；
B、∵兩組對(duì)邊分別相等是平行四邊形，
∴選項(xiàng)B不符合題意；
C、∵對(duì)角線互相平分且相等的四邊形才是矩形，
∴對(duì)角線相等的四邊形不是矩形，
∴選項(xiàng)C不符合題意；
D、∵對(duì)角線交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，
∴對(duì)角線互相平分且相等，
∵對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形，
∴選項(xiàng)D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是熟記矩形的判定定理．
10．B
【分析】先證明四邊形BCED為平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定進(jìn)行解答．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
又∵AD=DE，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴四邊形BCED為平行四邊形，
A、∵AB=BE，DE=AD，
∴BD⊥AE，
∴□DBCE為矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、∵DE⊥DC，
∴∠EDB=90°+∠CDB＞90°，
∴四邊形DBCE不能為矩形，故本選項(xiàng)符合題意；
C、∵∠ADB=90°，
∴∠EDB=90°，
∴□DBCE為矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、∵CE⊥DE，
∴∠CED=90°，
∴□DBCE為矩形，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定等知識(shí)，判定四邊形BCED為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
11．C
【分析】首先根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，得EF∥BD，GH∥BD，EH∥AC，F(xiàn)G∥AC，則易得四邊形EMON是平行四邊形，四邊形EFGH是平行四邊形，又由AC⊥BD，證得∠MEN＝∠MON＝90°，即可得平行四邊形EFGH是矩形．
【詳解】
解：∵E、F、G、H是四邊形各邊的中點(diǎn)，
∴EF∥BD，GH∥BD，EH∥AC，F(xiàn)G∥AC，
∴EH∥FG，EF∥GH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴∠MEN＝∠MON＝90°，
∴平行四邊形EFGH是矩形．
故選C．

【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定，矩形的判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.
12．A
【分析】根據(jù)矩形的判定得到四邊形是矩形，由矩形的性質(zhì)求出，代入求出即可．
【詳解】
解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴
故選：A．
【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，能根據(jù)矩形的性質(zhì)求出的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．
13．D
【分析】根據(jù)題意由矩形的性質(zhì)得出CD=AB=2，AB∥CD，BC=AD=1，∠C=90°，由平行線的性質(zhì)得出∠BAM=∠AMD，再由角平分線證出∠BAM=∠AMB，得出MB=AB=2，由勾股定理求出CM，即可得出DM的長(zhǎng)．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，AB∥CD，BC=AD=1，∠C=90°，
∴∠BAM=∠AMD，
∵AM平分∠DMB，
∴∠AMD=∠AMB，
∴∠BAM=∠AMB，
∴BM=AB=2，
∴CM=，
∴DM=CD-CM=2-.
故選：D．
【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)和等腰三角形的判定以及平行線的性質(zhì)和勾股定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明MB=AB是解決問題的關(guān)鍵．
14．B
【分析】由矩形的性質(zhì)可證明，再結(jié)合矩形對(duì)角線所分的四個(gè)三角形面積相等，即可解題．
【詳解】
解：在矩形中，
對(duì)角線把矩形分成面積相等的四部分，


在與中，




，
∴針頭扎在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為，
故選：B.
【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)、幾何概率等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
15．##
【分析】根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)矩形性質(zhì)得出∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，求出BD、OD，根據(jù)三角形中位線求出即可．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，
∵AB=6cm，BC=8cm，
∴由勾股定理得：（cm），
∴DO=5cm，
∵點(diǎn)E、F分別是AO、AD的中點(diǎn)，
∴EF=OD=2.5cm，
故答案為：2.5．
【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，勾股定理，三角形中位線的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是求出OD長(zhǎng)及證明EF=OD．
16．40
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EC=EA，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠DCA=∠EAC=20°，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．
【詳解】
解：∵M(jìn)N是AC的垂直平分線，
∴EC=EA，
∴∠ECA=∠EAC，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠D=90°，
∴∠DCA=∠EAC=90°-70°=20°，
∴∠DCE=∠DCA+∠ECA=20°+20°=40°，
故答案為：40．
【點(diǎn)撥】本題考查的是矩形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
17．4
【分析】如下圖所示：∠AOD=∠BOC=60°，即：∠COD=120°＞∠AOD=60°，AD是該矩形較短的一邊，根據(jù)矩形的性質(zhì)：矩形的對(duì)角線相等且互相平分，所以有OA=OD=OC=OB=×8=4cm，又因?yàn)椤螦OD=∠BOC=60°，所以AD=OA=0D=4cm．
【詳解】
解：如圖所示：

矩形ABCD，對(duì)角線AC=BD=8cm，∠AOD=∠BOC=60°
∵四邊形ABCD是矩形
∴OA=OD=OC=OB=×8=4cm，
又∵∠AOD=∠BOC=60°
∴OA=OD=AD=4cm
∵∠COD=120°＞∠AOD=60°
∴AD＜DC
所以，該矩形較短的一邊長(zhǎng)為4cm．
故答案為4．
【點(diǎn)撥】本題主要考查矩形的性質(zhì)：矩形的對(duì)角線相等且互相平分，且矩形對(duì)角線相交所的角中“大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊”．
18．10
【分析】利用矩形性質(zhì)，求證，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)為的面積，最后利用中線平分三角形的面積，求出的面積，即可得到陰影部分的面積．
【詳解】
解：四邊形為矩形，
，，，
，
在與中，

，
陰影部分的面積最后轉(zhuǎn)化為了的面積，
中，，
平分，
陰影部分的面積：，
故答案為：10．
【點(diǎn)撥】本題主要是考查了矩形的性質(zhì)以全等三角形的判定與性質(zhì)以及中線平分三角形面積，熟練利用矩形性質(zhì)，證明三角形全等，將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為其他圖形的面積，這是解決本題的關(guān)鍵．

19．
【分析】先證明是等腰直角三角形，再證明可得結(jié)論．
【詳解】
解：矩形，
，，
，
平分，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，關(guān)鍵是證明是等腰直角三角形解答．
20．5
【分析】連接OB，利用勾股定理求出OB的長(zhǎng)，即為AC的長(zhǎng)．
【詳解】
如圖，連接OB，
∵B的坐標(biāo)為（4，3），
∴
∵四邊形OABC是矩形
∴AC=OB=5
故答案為：5．

【點(diǎn)撥】此題主要考查求矩形對(duì)角線的長(zhǎng)，解題的關(guān)鍵是熟知矩形對(duì)角線相等．
21．
【分析】在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，可得DE=3，CE=CD-DE=2，設(shè)FC=x，則EF=BC-FC=4-x，在Rt△ECF中，EF2=EC2+FC2，可得（4-x）2=22+x2，解方程即可．
【詳解】
解∵△ABF≌△AEF，
∴AE=AB=5，
在矩形ABCD中，AD=BC=4，
在Rt△ADE中，
AD2+DE2=AE2，
∴DE=3，CE=CD-DE=2，
設(shè)FC=x，則EF=BC-FC=4-x，
在Rt△ECF中，
EF2=EC2+FC2，
即（4-x）2=22+x2，
8x=12，
x=，
∴FC=．
故此答案為．
【點(diǎn)撥】本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．
22．一半
【解析】
23．10
【分析】想辦法證明S△PEB=S△PFD解答即可．
【詳解】
作PM⊥AD于M，交BC于N．

則有四邊形AEPM，四邊形DFPM，四邊形CFPN，四邊形BEPN都是矩形，
∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，
∴S△DFP=S△PBE=×2×5=5，
∴S陰=5+5=10，
故答案為10．
【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明S△PEB=S△PFD．
24．
【分析】根據(jù)題意作出圖形，結(jié)合矩形的判定定理即可求得．
【詳解】
如圖，中，延長(zhǎng)至D使得，延長(zhǎng)至E使得，


當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形
，

故答案為：
【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)與判定定理，掌握矩形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．
25．
【分析】根據(jù)三角形的中位線定理，可得到 ， ，從而得到四邊形 是平行四邊形，再由，可得到四邊形 是矩形，從而四邊形的面積是，即可求解．
【詳解】
解：如圖，

∵E、F、G、H分別是邊的中點(diǎn)，
∴ 是 的中位線， 是 的中位線，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴四邊形 是平行四邊形，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴四邊形 是矩形，
∵，，
∴四邊形的面積是 ．
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形的中位線定理，矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形的中位線定理，矩形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
26．75°
【分析】根據(jù)四邊形ABCD為矩形,利用矩形的對(duì)角線互相平分且相等,得到OA=OB=OC=OD,又∠AOB=60°,可得三角形AOB與三角形COD都為等邊三角形,進(jìn)而求出∠ACB為30°,由DE為直角的角平分線,得到∠EDC=45°,可得三角形DEC為等腰直角三角形,即CD=EC,而CD=OC,等量代換可得EC=OC,即三角形OEC為等腰三角形,由頂角∠ACB為30°即可求出底角∠COE的度數(shù).
【詳解】
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AO=CO=BO=OD,（矩形的對(duì)角線相等且互相平分）
∵∠AOB=60°,
∴∠COD=60°,（對(duì)頂角相等）
∴△AOB和△COD為等邊三角形,（有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形）,?
∴∠BAC=60°,CD=OC,
則∠ACB=30°,（直角三角形兩銳角互余）?
∵DE平分∠ADC,
∴∠EDC=45°,
可得△DCE為等腰直角三角形,
∴CD=EC,
∴EC=OC,（等量代換）?
∴∠COE=∠CEO,
∴∠COE=75°（三角形內(nèi)角和是180°）.
故答案為75°.
【點(diǎn)撥】解決本題的關(guān)鍵是得到所求角所在的三角形的形狀及相應(yīng)的角的度數(shù).
27．##
【分析】由勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再證明四邊形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根據(jù)垂線段最短和三角形面積即可解決問題．
【詳解】
解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四邊形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD的值最小，
此時(shí)，△ABC的面積＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝，
∴MN的最小值為；
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形面積、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
28．8
【分析】由勾股定理可得AC＝5，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可證∠H＝∠CAH＝∠DAH，即AC＝CH＝5，則可求S△ABH的值，由P是中點(diǎn)，可得S△ABP的值．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴ADBC，∠ABC＝90°，
∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝5，
∵AH平分∠DAC，
∴∠DAH＝∠CAH，
∵ADBC，
∴∠DAH＝∠H，
∴∠H＝∠CAH，
∴AC＝CH＝5，
∵BH＝BC+CH，
∴BH＝8，
∵S△ABH＝AB×BH＝×4×8＝16，
∵P是AH的中點(diǎn)
∴S△ABP＝S△ABH＝8；
故答案為：8．
【點(diǎn)撥】此題主要考查矩形的性質(zhì)與判定綜合，解題的關(guān)鍵是矩形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用．
29．（1）證明見解析；（2），證明見解析
【分析】（1）由題意可得，，進(jìn)而可說明四邊形是平行四邊形；
（2）平分，，，進(jìn)而可得到與的數(shù)量關(guān)系．
【詳解】
解：（1）證明：∵四邊形是矩形
∴，
∴
∵是的中點(diǎn)
∴
在和中

∴
∴
又∵
∴四邊形是平行四邊形．
（2）解：
證明：∵平分
∴
∴
∵
∴．
【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵與難點(diǎn)是靈活綜合運(yùn)用幾何圖形的性質(zhì)．
30．∠ACB＝3∠ECB，見解析．
【分析】由矩形的對(duì)邊平行可得∠F=∠ECB，由外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠AGC=2∠F，那么∠ECB＝∠F，所以∠ACB=3∠ECB．
【詳解】
解：∠ACB=3∠ECB．
理由如下：在△AGF中，∠AGC＝∠F+∠GAF＝2∠F．
∵∠ACG＝∠AGC，
∴∠ACG＝2∠F．
∵AD//BC，
∴∠ECB＝∠F．
∴∠ACB＝∠ACG+∠BCE＝3∠F．
故∠ACB＝3∠ECB．
【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：矩形的對(duì)邊平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．
31．（1）18；（2）CE的長(zhǎng)為；（3）CG的長(zhǎng)為．
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得∠DAC=36°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠DAE=18°；
（2）根據(jù) 矩形性質(zhì)得∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，根據(jù)折疊的性質(zhì)得AF＝AD＝10，EF＝ED，根據(jù)勾股定理得BF=8，則CF=2，設(shè)CE＝x，則EF＝ED＝6﹣x，根據(jù)勾股定理得，解得：，即CE的長(zhǎng)為；
（3）連接EG，，由題意得DE＝CE，由折疊的性質(zhì)得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，F(xiàn)E＝DE，則∠EFG＝∠C=90°，由HL得Rt△CEG≌Rt△FEG，則CG＝FG，設(shè)CG＝FG＝y(tǒng)，則AG＝10+y，BG＝10﹣y，在Rt△ABG中，由勾股定理得，解得，即CG的長(zhǎng)為．
【詳解】
解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∴∠DAC=90°-∠BAC=90°-54°=36°，
∵△AED沿AE所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，
∴∠DAE=∠EAC=∠DAC=×36°=18°，
故答案為：18；
（2）∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，
∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，
由折疊的性質(zhì)得：AF＝AD＝10，EF＝ED，
∴，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，
設(shè)CE＝x，則EF＝ED＝6﹣x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：
，


解得：，
即CE的長(zhǎng)為；
（3）解：如圖所示，連接EG，

∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，
∴DE＝CE，
由折疊的性質(zhì)得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，F(xiàn)E＝DE，
∴∠EFG＝∠C=90°，
在Rt△CEG和Rt△FEG中，
，
∴Rt△CEG≌Rt△FEG（HL），
∴CG＝FG，
設(shè)CG＝FG＝y(tǒng)，則AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：
，

解得：，
即CG的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)．

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