1.掌握平行四邊形對角線互相平分的性質. 2.能綜合運用平行四邊形的性質解決平行四邊形的有關計算問題和簡單的證明題.
重點：掌握平行四邊形對角線互相平分的性質.難點：能綜合運用平行四邊形的性質解決平行四邊形的有關計算問題和簡單的證明.
上節(jié)課我們學習的平行四邊形的性質分別是哪些？
解：平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是它的對稱中心、平行四邊形對邊相等,對角相等、平行四邊形的對邊平行.
問題：如圖,在?ABCD 中,連接 AC,BD,并設它們相交于點 O,OA 與 OC,OB 與 OD 有什么關系?你能證明發(fā)現(xiàn)的結論嗎?
【分析】我們可以猜想 OA=OC,OB=OD.與證明平行四邊形的對邊相等,對角相等的方法類似,可以通過三角形全等證明這個猜想.
解：猜想:OA=OC,OB=OD. 證明:∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形, ∴ AD∥BC,AD=BC, ∴ ∠1 =∠2,∠3 =∠4. ∴ △AOD≌△COB. ∴OA=OC,OD=OB.
【知識歸納】(1)平行四邊形的對角線互相平分. (2)△ABO≌△CDO, △AOD≌△COB, △ABD≌△CDB, △ABC≌△CDA; (3)△ABO、△AOD、△DOC、△COB 的面積相等,且都等于平行四邊形面積的四分之一.
例1 如圖,平行四邊形 ABCD 中,對角線 AC、BD 相交于點 O,AB⊥AC,AB=3,AD=5,求 BD 的長.
證明：∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形, ∴ BC=AD=5. ∵ AB⊥AC, ∴ △ABC 是直角三角形. ∴ AC= = = 4,AO= AC=2.∴ BO= = = . ∴ BD=2BO=2 .
例2 如圖,平行四邊形 ABCD 的對角線 AC 與 BD 相交于點 O,過點 O 的直線與 AD, BC 分別相交于點 E、F,求證:OE=OF.
證明：∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形, ∴ DO=BO,AD∥BC. ∴ ∠ODE=∠OBF. ∵ ∠DOE=∠BOF,∴ △DOE≌△BOF(ASA). ∴ OE=OF.
例3 如圖, ?ABCD 的對角線 AC 與 BD 相交于點O,∠ADB=90°,OA=6,OB=3.求 AD 和 AC 的長度.
解：∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形, ∴ OA=OC=6,OB=OD=3.∴ AC=2OA=12. 又∵ ∠ADB= 90°, ∴ AD= = = = 3 .
4.鞏固練習 完成教材課后同步練習

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1 平行四邊形的性質

版本： 北師大版

年級： 八年級下冊

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