1.經(jīng)歷平行四邊形對角線性質(zhì)的推導過程，進一步提高邏輯推理能力.
2.利用平行四邊形對角線性質(zhì)解決問題，提高學生解決問題的能力.
∠A＝∠C，∠B＝∠D
∠A＋∠B＝180°，∠ A+ ∠ D=180°
2.一位飽經(jīng)滄桑的老人，經(jīng)過一輩子的辛勤勞動，到晚年的時候，終于擁有了一塊平行四邊形的土地，由于年邁體弱，他決定把這塊土地分給他的四個孩子，他是這樣分的：
當四個孩子看到時，爭論不休，都認為自己分的地少，同學們，你認為老人這樣分合理嗎?為什么?
思考：我們知道平行四邊形的邊角這兩個基本要素的性質(zhì)，那么平行四邊形的對角線又具有怎樣的性質(zhì)呢?
如圖，在平行四邊形ABCD中，連接AC,BD,并設它們相交于點O.
OA與OC,OB與OD有什么關(guān)系?
OA=OC,OB=OD
上節(jié)課我們知道了平行四邊形是中心對稱圖形，所以我們猜想平行四邊形的對角線互相平分.
拿出手中的平行四邊形紙片，測量出四條線段的長度，驗證你的猜想是否正確?
已知：如圖， ABCD的兩條對角線AC與BD相交于點O.求證：OA=OC，OB=OD.
證明:∵ 四邊形ABCD是平行四邊形 ∴ AB=CD AB//DC ∴ ∠BAO=∠DCO ∠ABO=∠CDO ∴ △AOB≌△COD ∴ OA=OC,OB=OD.
對角線：平行四邊形的對角線互相平分
1. △ABO≌ △CDO， △AOD ≌ △COB， △ ABD ≌ △CDB， △ ABC ≌ △CDA ；2. △AOB、 △AOD、 △DOC、 △COB的面積相等，且都等于平行四邊形面積的四分之一.
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DO=BO（平行四邊形的對角線互相平分）， AD∥BC（平行四邊形的定義）.∴∠ODE=∠OBF，∵ ∠DOE=∠BOF.∴△DOE≌△BOF.∴OE=OF.
請判斷下列圖中，OE=OF還成立么？為什么？
過平行四邊形的對角線交點作直線與平行四邊形的一組對邊或?qū)叺难娱L線相交，得到的對應線段總相等，且這條直線二等分平行四邊形的面積．
∠A＝∠C,∠B＝∠D
1. 平行四邊形具有而一般四邊形不具有的特征是（　　 ） A.不穩(wěn)定性B.對角線互相平分C.內(nèi)角的為360度D.外角和為360度
2．如圖，?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，則BD的長是()A．8B．9C．10D．11
3.如圖,?ABCD的對角線AC,BD相交于點O,已知BC=8,BD=12,AC=6,則△OBC的周長為(　　)A.13　 B.17 C.20 D.26
4. 如圖,?ABCD的對角線相交于點O,且AD≠CD,過點O作OM⊥AC,交AD于點M.如果△CDM的周長為8,那么?ABCD的周長是　　.
5．如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)在AC上，且AF＝CE.求證：BE＝DF.
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，OD＝OB.∵AF＝CE，∴OE＝OF.在△BEO和△DFO中，∴△BEO≌△DFO，∴BE＝DF.
6. 如圖，已知?ABCD與?EBFD的頂點A，E，F(xiàn)，C在一條直線上，求證：AE＝CF.
證明：如圖，連接BD交AC于點O.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC(平行四邊形的對角線互相平分)．∵四邊形EBFD是平行四邊形，∴OE＝OF(平行四邊形的對角線互相平分)，∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF(等式的性質(zhì))．
6．如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，EO⊥AC.
(1)若△ABE的周長為10 cm，求平行四邊形ABCD的周長；(2)若∠DAB＝108°，AE平分∠BAC，求∠ACB的度數(shù)．
解：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC.∵OE⊥AC，∴AE＝CE.∴△ABE的周長＝AB＋AE＋BE＝AB＋CE＋BE＝AB＋AC＝10 (cm)，∴平行四邊形ABCD的周長＝2×(AB＋AC)＝2×10＝20 (cm)．
(2)∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE.
∵AE＝CE，∴∠CAE＝∠ACB.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD，∴∠DAB＝∠BAE＋∠CAE＋∠CAD＝3∠CAD＝108°，∴∠ACB＝∠CAD＝36°.

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1 平行四邊形的性質(zhì)

版本： 北師大版

年級： 八年級下冊

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