初中數(shù)學人教版八年級上冊12.3 角的平分線的性質(zhì)教案

這是一份初中數(shù)學人教版八年級上冊12.3 角的平分線的性質(zhì)教案，共6頁。

項目
設(shè)計內(nèi)容
說明
課題
12.3角的平分線的性質(zhì)（第一課時）
教科書第48——49頁相關(guān)內(nèi)容
教學目標
1、經(jīng)歷探索、猜想、證明的過程，進一步發(fā)展學生的推理證明意識和能力.
2、能夠利用三角形全等，證明角平分線的性質(zhì).
3、會用尺規(guī)作已知角的平分線.
4、能對角平分線性質(zhì)進行簡單的推理，解決一些實際問題.
重點
領(lǐng)會角的平分線的性質(zhì)定理．
難點
證明以文字命題形式給出的角的平分線的性質(zhì)定理及角的平分線的性質(zhì)定理的實際應(yīng)用．
使用多媒體
多媒體課件
教學過程
教師活動
學生活動
說明或
設(shè)計意圖
復
習
舊
知
，
導
入
新
課
1．什么是角的平分線？
學生回答時用課件演示.
2．什么又叫“點到直線距離”呢？
教師畫圖說明.如右圖（１）
3．前面我們一學習了用尺規(guī)作圖畫出一個角的平分線，你還記得嗎？
師示范作圖.
畫法：（１）以Ｏ為圓心，適當長為半徑作弧，交ＯＡ于點Ｍ，交ＯＢ于點Ｎ．
（２）分別以Ｍ，Ｎ為圓心．大于1/2ＭＮ的長為半徑作弧．兩弧在∠ＡＯＢ的內(nèi)部交于點Ｃ．
（３）作射線ＯＣ．
射線ＯＣ即為所求．
想一想：為什么OC是角平分線呢？
這節(jié)課我們就來探究這個問題.
出示課題并板書課題.
1.思考問題，舉手回答問題.
一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。
2.從直線外一點到這條直線的垂線段叫做點到直線的距離.
3.回顧作圖方法并自己作圖.
A
Ｍ
Ｎ
Ｂ
Ｃ
圖（１）
問
題
激
趣
，
合
作
探
究
1．為什么OC是角平分線呢？
師出示圖（２）及提示：
已知：OM=ON，MC=NC．
求證：OC平分∠AOB．
A
Ｍ
Ｎ
Ｂ
Ｃ
圖（２）
２．拿出紙，與學生一起折紙，探究角的平分線的性質(zhì)．（圖見課件）提問：
將∠ AOB對折,再折出一個直角三角形(使第一條折痕為斜邊),然后展開,觀察兩次折疊形成的三條折痕,你能得出什么結(jié)論?
引導：可以看一看,第一條折痕是∠AOB的平分線是OC,第二次折疊形成的兩條折痕PD,PE是角的平分線上一點到∠AOB兩邊的距離,這兩個距離相等嗎？
3．怎么證明我們的猜想呢？
教給學生分析方法：先明確命題的已知和求證;再根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學符號表示已知和求證；經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程．
P
A
O
B
C
E
D
1
2
圖（３）
４．小結(jié)證明幾何命題的一般步驟：
（1）明確命題的已知和求證;
（2）根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學符號表示已知和求證；
（3）經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。
５．這個結(jié)論就是角平分線的性質(zhì)定理：
角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。
（１）定理應(yīng)用應(yīng)具備哪些條件？
（２）定理有什么作用？
（３）怎樣用數(shù)學語言表達定理？
師板書：如上圖（３）
∵OP 是∠AOB 的平分線,
PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，
∴PD=PE（在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。）
1．前后桌同學討論．并試著給出證明．
證明：連接CM、CN
在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB
２．和老師一起折紙，思考問題，通過折紙操作得出結(jié)論：
猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。
即PD＝PE
３．按老師的方法寫出證明過程．
已知：如左圖（３），OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E．
求證： PD=PE
證明：∵OC平分∠ AOB （已知）,
∴ ∠1= ∠2（角平分線的定義）．
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知），
∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定義）．
在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO（已證）
∠1= ∠2 （已證）
OP=OP （公共邊）
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的對應(yīng)邊相等．）
4.齊讀并結(jié)合上面的做法記住這個步驟．
５．（１）定理應(yīng)用應(yīng)具備的條件：①角的平分線；②點在該平分線上；③垂直距離.
（２）定理的作用：證明線段相等。
（３）抄寫數(shù)學語言．
例
題
講
解
，
鞏
固
提
升
１．判斷：
⑴∵ 如右圖（4），AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = CD ，( 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。) ( )
⑵∵ 如右圖（5）， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ BD = CD ，(在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等. ) ( )
⑶∵ AD平分∠BAC,
DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ BD = CD ，(在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等. ) ( )
圖（７）
２．如上圖（７），DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別是E，F(xiàn)， DE =DF，∠EDB= 60°，則 ∠EBF= 度，BE= 。
3 如右圖（８），在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么線段BE是△ABC的 ，AE+DE= 。
４．例1、如下圖（９）在△OAB中，OE是它的角平分線，且EA=EB，EC、ED分別垂直O(jiān)A，OB，垂足為C，D.
求證：AC=BD.
O
A
B
E
C
D
圖（９）
分析：要證AC=BD，它們分別在哪兩個三角形中？要證哪些三角形全等？怎么證？它們已具備哪些條件？
５．課本P51第2題： 如上圖（１０），在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF； 求證：CF=EB
巡視，指導有困難的同學．集體講評．
1.先獨立思考，個別回答．
圖（4）
圖（5）
圖（6）
２．獨立思考，搶答．
３．獨立思考，搶答．
圖（８）
４．學生先觀察，再理清思路，嘗試寫出證明過程．（過程略）
A
C
D
E
B
F
圖（１０）
５．看課本P51第2題的圖自己解題．
課 堂 小 結(jié)
1．這節(jié)課你有什么收獲和體會？
2．這節(jié)課我們學習了哪些知識要點？
３．怎樣用數(shù)學語言表達角的平分線的性質(zhì)定理？
４．你還有哪些困惑？
知識要點：
(1) “作已知角的平分線”的尺規(guī)作圖法；
(2) 角的平分線的性質(zhì)： 111角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。
.幾何語言：∵ OC是∠AOB的平分線, 又 PD⊥OA,PE⊥OB
∴ PD=PE (角的平分線上的點
到角的兩邊距離相等).
布
置作業(yè)
1.課本P50練習第1題.
2.教科書習題12.3第4、5題．
3.選用作業(yè)設(shè)計.
板
書
設(shè)
計
12.3角的平分線的性質(zhì)（第一課時）
角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。（如下圖）
∵OP 是∠AOB 的平分線,
PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，
P
A
O
B
C
E
D
1
2
∴PD=PE（在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。）
例１； 練習：

作
業(yè)
設(shè)
計
１．在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90 °，BD是角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DE與DC相等嗎？為什么？
2．如圖,OC是∠AOB的平分線,點P在OC上,PD ⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D、E,PD=4cm,則PE=__________cm.
A
D
O
B
E
P
C
A
B
C
D
E

第１題圖 第２題圖
3.已知(如下圖)BD⊥AM于點D，CE⊥AN于點E，BD、CE交點F，CF=BF，求證：點F在∠A的平分線上.
E
D
C
B
A
第３題圖 第４題圖
4．在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，BC＝7，
DE＝3．求BD的長。
教
學
反
思