1. 你能舉出一些實(shí)際生活中軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)用的例子嗎？
衣架，房梁，風(fēng)箏，飛機(jī).
2. 成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形有哪些特點(diǎn)？“軸對(duì)稱(chēng)圖形”與“成軸對(duì)稱(chēng)”有何區(qū)別？
成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形沿對(duì)稱(chēng)軸折疊能夠完全重合，
軸對(duì)稱(chēng)圖形是指單一圖形，成軸對(duì)稱(chēng)是指兩個(gè)圖形.
3. 在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩個(gè)圖形關(guān)于x軸或y軸對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系？
關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)； 關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù).
4. 利用等腰三角形的軸對(duì)稱(chēng)性，我們發(fā)現(xiàn)了它的哪些性質(zhì)？你能通過(guò)全等三角形的知識(shí)進(jìn)行證明嗎？
性質(zhì)一：等腰三角形的兩個(gè)底角相等.性質(zhì)二：等腰三角形“三線合一”.
5. 等腰三角形和等邊三角形之間有什么聯(lián)系和區(qū)別？等邊三角形有哪些特殊的性質(zhì)？
等邊三角形是特殊的等腰三角形. 等邊三角形三條邊相等，三個(gè)角相等且都為60°， 等邊三角形每條邊上都具有“三線合一”.
6. 在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，通常利用軸對(duì)稱(chēng)、平移等變換變“折線”為同一直線上.
　　例1　判斷下列說(shuō)法是否正確，如不正確，請(qǐng)說(shuō)明原因． （1）兩個(gè)全等三角形一定關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)； （2）等腰三角形一邊上的高、中線及這邊對(duì)角的平分線重合； （3）點(diǎn)（3，1）與點(diǎn)（-3，1）關(guān)于y 軸對(duì)稱(chēng)； （4）三角形中30°的角所對(duì)的邊等于斜邊的一半．
例2：小華在鏡中看到身后墻上的鐘，鐘面上指針顯示的時(shí)刻為8:45，那么此時(shí)的實(shí)際時(shí)間是多少？
解：此時(shí)的實(shí)際時(shí)間是3：15.
例3　如圖，是由三個(gè)小正方形組成的圖形，請(qǐng)你在圖中補(bǔ)畫(huà)一個(gè)小正方形，使補(bǔ)畫(huà)后的圖形為軸對(duì)稱(chēng)圖形．
例4 在△ABC中，AB = AC，在AB上取一點(diǎn)E，在AC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，使BE = CF，EF交BC于G，求證：EG = FG.
證明：如圖作FD∥BE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D. 則∠B =∠D.
∵AB = AC，∴∠B =∠ACB.又∠ACB =∠FCD，∴∠D =∠FCD，
∴FC = FD，又BE = CF，∴BE = DF.在△BEG和△DFG中， ∠BGE=∠DGF， ∠B =∠D， BE = DF，∴△BEG≌△DFG（AAS）.∴EG = FG.
　　例5　已知：如圖，△ABC 是等邊三角形，BD 是AC 邊上的高，延長(zhǎng)BC 到E，使CE = CD，過(guò)點(diǎn)D 作DF ⊥BE于F．求證：（1）BD = DE；
證明：∵ △ABC 是等邊三角形，∴∠ABC =∠ACB = 60°．∵BD⊥AC，
又　 CE = CD，∴　∠CED = ∠CDE，
∴　∠DBC = ∠CED，∴　BD = DE．
求證：（2）BF = EF；
證明： 在△BDE 中，BD = DE，DF⊥BE，∴　BF = EF．
求證：（3）請(qǐng)猜想FC 與BF 間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
猜想：BF = 3FC．證明：∵ 在Rt△CDF 中， ∠ACB = 60°，∴　∠CDF = 30°．∴　CD = 2FC．
又在Rt△BDC 中，∠DBC = 30°，∴　BC =2DC = 4FC，即BF = 3FC．
例6 如圖，點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB、AC所在的直線的距離相等，且OB=OC.
（1）如圖1，若點(diǎn)O在邊BC上，求證AB=AC；（2）如圖2，若點(diǎn)O在△ABC內(nèi)部，求證AB=AC；（3）若點(diǎn)O在△ABC外部，AB=AC成立嗎？請(qǐng)畫(huà)圖表示.
（1）證明：∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠BEO=∠CFO=90°.在Rt△BEO在Rt△CFO中， OB = OC， OE = OF，∴Rt△BEO≌Rt△CFO (HL).∴∠B=∠C. ∴AB=AC.
（2）證明：作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分別為E、F，則∠BEO =∠CFO=90°.在Rt△BEO和Rt△CFO中， OB = OC， OE = OF，∴Rt△BEO≌Rt△CFO(HL).∴∠ABO =∠ACO.連接AO，∵OE = OF，則AO是∠BAC的平分線，
∴∠BAO =∠CAO.在△ABO和△ACO中， ∠ABO =∠ACO， ∠BAO =∠CAO， AO = AO，∴△ABO≌△ACO (AAS).∴AB =AC.
（3）成立，如圖所示.
1.在軸對(duì)稱(chēng)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段被________垂直平分.
2.如圖，△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BD平分∠ABC，若AD=6cm，則AC= ___cm.
3.等腰三角形、角和圓都是軸對(duì)稱(chēng)圖形.
4.所有的直徑都是圓的對(duì)稱(chēng)軸.
5.在軸對(duì)稱(chēng)圖形中，對(duì)應(yīng)線段的延長(zhǎng)線不一定交在對(duì)稱(chēng)軸上.
6.等腰三角形只有一條對(duì)稱(chēng)軸.
三、畫(huà)出下列是軸對(duì)稱(chēng)圖形的所有對(duì)稱(chēng)軸.
四、如圖，∠A=60°，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD與CE相交于點(diǎn)H，HD=1，HE=2，試求BD和CE的長(zhǎng).
解：∵∠A = 60°， CE⊥AB，BD⊥AC， ∴∠ACE = 30°， ∠ABD = 30°. ∵HE = 2， ∴BH = 2HE = 4.
∵HD = 1，∴HC = 2HD = 2.∴BD = BH + HD = 5，CE = CH + HE = 4.
五、如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=30°，OP=10，點(diǎn)M、N分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，試通過(guò)作圖說(shuō)明△PMN周長(zhǎng)的最小值是多少？
解：如圖，分別作P點(diǎn)關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1，P2，連接P1P2與OA相交于點(diǎn)M，與OB相交于點(diǎn)N，則此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)最?。ㄈc(diǎn)共線）.
連接OP1，OP2，則∠P1OP2 = 2∠AOB = 60°，OP1 = OP = OP2，∴△OP1P2是等邊三角形，∴P1P2=OP1=OP=10，∴PM+MN+NP=P1M+MN+NP2=P1P2=10.即△PMN周長(zhǎng)的最小值為10.

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13.1.1 軸對(duì)稱(chēng)

版本： 人教版

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