【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1. 認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱、軸對(duì)稱圖形，理解軸對(duì)稱的基本性質(zhì)及它們的簡(jiǎn)單應(yīng)用；
2. 了解垂直平分線的概念，并掌握其性質(zhì)；
3. 了解等腰三角形、等邊三角形的有關(guān)概念，并掌握它們的性質(zhì)以及判定方法.
【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】
【要點(diǎn)梳理】
【高清課堂：389304 軸對(duì)稱復(fù)習(xí)，本章概述】
要點(diǎn)一、軸對(duì)稱
1.軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱
（1）軸對(duì)稱圖形
如果一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸.軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.
（2）軸對(duì)稱
定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的性質(zhì)：
①關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形形狀相同，大小相等，是全等形；
②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，則對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；
③兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么它們的交點(diǎn)在對(duì)稱軸上.
（3）軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的區(qū)別和聯(lián)系
區(qū)別: 軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，軸對(duì)稱圖形是指具有特殊形狀的一個(gè)圖形；軸對(duì)稱涉及兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱圖形是對(duì)一個(gè)圖形來(lái)說(shuō)的.聯(lián)系：如果把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條軸對(duì)稱；如果把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形．
2.線段的垂直平分線
線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.反過(guò)來(lái)，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.
要點(diǎn)二、作軸對(duì)稱圖形
1.作軸對(duì)稱圖形
（1）幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成，我們只要分別作出這些點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再連接這些點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形；
（2）對(duì)于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點(diǎn)（如線段端點(diǎn)）的對(duì)稱點(diǎn)，連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形.
2.用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱
點(diǎn)（,）關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（,－）；點(diǎn)（,）關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（－,）；點(diǎn)（,）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（－,－）.
要點(diǎn)三、等腰三角形
1.等腰三角形
（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性質(zhì)
①等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對(duì)等角”；
②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（即“等角對(duì)等 邊”）.
2.等邊三角形
（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.
（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60°.
（3）等邊三角形的判定：
①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；
②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；
③有一個(gè)角為 60°的等腰三角形是等邊三角形.
3.直角三角形的性質(zhì)定理：
在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.
【典型例題】
類型一、軸對(duì)稱的性質(zhì)與應(yīng)用
1、如圖，由四個(gè)小正方形組成的田字格中，△ABC的頂點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn)．在田字格上畫與△ABC成軸對(duì)稱的三角形，且頂點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn)，則這樣的三角形（不包含△ABC本身）共有（ ）
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
【思路點(diǎn)撥】分別以正方形的對(duì)角線和田字格的十字線為對(duì)稱軸，來(lái)找三角形.
【答案】C；
【解析】先把田字格圖標(biāo)上字母如圖，確定對(duì)稱軸找出符合條件的三角形，再計(jì)算個(gè)數(shù)．
△HEC與△ABC關(guān)于CD對(duì)稱；△FDB與△ABC關(guān)于BE對(duì)稱；△GED與△ABC關(guān)于HF對(duì)稱；關(guān)于AG對(duì)稱的是它本身．所以共3個(gè)．
【總結(jié)升華】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)；確定對(duì)稱軸然后找出成軸對(duì)稱的三角形是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式】如圖，△ABC的內(nèi)部有一點(diǎn)P，且D，E，F(xiàn)是P分別以AB，BC，AC為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)．若△ABC的內(nèi)角∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，則∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝（ ）
A.180° B.270° C.360° D.480°
【答案】C；
解：連接AP，BP，CP，
∵D，E，F(xiàn)是P分別以AB，BC，AC為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)
∴∠ADB＝∠APB，∠BEC＝∠BPC，∠CFA＝∠APC，
∴∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝∠APB＋∠BPC＋∠APC＝360°．
2、已知∠MON＝40°，P為∠MON內(nèi)一定點(diǎn)，OM上有一點(diǎn)A，ON上有一點(diǎn)B，當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，求∠APB的度數(shù).

【思路點(diǎn)撥】求周長(zhǎng)最小，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，找到P的對(duì)稱點(diǎn)來(lái)確定A、B的位置，角度的計(jì)算，可以通過(guò)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算.
【答案與解析】
解：分別作P關(guān)于OM、ON的對(duì)稱點(diǎn)，，連接交OM于A，ON于B.則△PAB為符合條件的三角形.
∵∠MON＝40°
∴∠＝140°.
∠＝∠PAB,∠＝∠PBA.
∴ (∠PAB＋∠PBA)＋∠APB＝140°
∴∠PAB＋∠PBA＋2∠APB＝280°
∵∠PAB＝∠＋∠, ∠PBA＝∠＋∠
∴∠＋∠＋∠＝180°
∴∠APB＝100°
【總結(jié)升華】將實(shí)際問(wèn)題抽象或轉(zhuǎn)化為幾何模型，將周長(zhǎng)的三條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，這樣取得周長(zhǎng)的最小值.
舉一反三：
【變式】（1）如圖1，直線同側(cè)有兩點(diǎn)A、B，在直線上求一點(diǎn)C，使它到A、B之和最?。ūＡ糇鲌D痕跡不寫作法）
（2）知識(shí)拓展：如圖2，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，試在OA、OB上分別找出兩點(diǎn)E、F，使△PEF周長(zhǎng)最短（保留作圖痕跡不寫作法）
（3）解決問(wèn)題：①如圖3，在五邊形ABCDE中，在BC，DE上分別找一點(diǎn)M，N，使得△AMN周長(zhǎng)最小（保留作圖痕跡不寫作法）
②若∠BAE=125°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，∠AMN+∠ANM的度數(shù)為 ．
【答案】解：（1）作A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)E，連接BE交直線MN于C，連接AC，BC，
則此時(shí)C點(diǎn)符合要求．
（2）作圖如下：
（3）①作圖如下：
②∵∠BAE=125°，
∴∠P+∠Q=180°﹣125°=55°，
∵∠AMN=∠P+∠PAM=2∠P，∠ANM=∠Q+∠QAN=2∠Q，
∴∠AMN+∠ANM=2（∠P+∠Q）=2×55°=110°．
3、在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知在y軸與直線x=3之間有一點(diǎn)M（a，3），如果該點(diǎn)關(guān)于直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)M的坐標(biāo)為（5，3），那么a的值為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意得出對(duì)稱點(diǎn)到直線x=3的距離為2，再利用對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出答案．
【答案】D；
【解析】解：∵該點(diǎn)關(guān)于直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)N的坐標(biāo)為（5，3），
∴對(duì)稱點(diǎn)到直線x=3的距離為2，
∵點(diǎn)M（a，3）到直線x=3的距離為2，
∴a=1
【總結(jié)升華】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，根據(jù)題意得出對(duì)稱點(diǎn)到直線x=3的距離是解題關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】如圖，若直線經(jīng)過(guò)第二、四象限，且平分坐標(biāo)軸的夾角，Rt△AOB與Rt△關(guān)于直線對(duì)稱，已知A（1，2），則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A.（－1，2） B.（1，－2） C.（－1，－2） D.（－2，－1）
【答案】D；
提示：因?yàn)镽t△AOB與Rt△關(guān)于直線對(duì)稱，所以通過(guò)作圖可知，的坐標(biāo)是（－2，－1）．
【高清課堂：389304 軸對(duì)稱復(fù)習(xí)：例10】
【變式2】如圖，ΔABC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為
（3，1），如果要使ΔABD與ΔABC全等，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【答案】
解：滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)有3個(gè)（4，－1）；（－1，－1）；（－1，3）.
類型二、等腰三角形的綜合應(yīng)用
4、如圖①，△ABC中．AB=AC，P為底邊BC上一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分別為E、F、H．易證PE+PF=CH．證明過(guò)程如下：

如圖①，連接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴=AB?PE，=AC?PF，=AB?CH．
又∵，
∴AB?PE+AC?PF=AB?CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．
（1）如圖②，P為BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)時(shí)，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面積為49，點(diǎn)P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF，當(dāng)PF=3時(shí)，則AB邊上的高CH=______.點(diǎn)P到AB邊的距離PE=________.
【答案】7；4或10；
【解析】
解：（1）如圖②，PE=PF+CH．證明如下：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴=AB?PE，=AC?PF，=AB?CH，
∵=+，
∴AB?PE=AC?PF+AB?CH，
又∵AB=AC，
∴PE=PF+CH；
（2）∵在△ACH中，∠A=30°，
∴AC=2CH．
∵=AB?CH，AB=AC，
∴×2CH?CH=49，
∴CH=7．
分兩種情況：
①P為底邊BC上一點(diǎn)，如圖①．
∵PE+PF=CH，
∴PE=CH-PF=7-3=4；
②P為BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)時(shí)，如圖②．
∵PE=PF+CH，
∴PE=3+7=10．
故答案為7；4或10．
【總結(jié)升華】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與三角形的面積，難度適中，運(yùn)用面積證明可使問(wèn)題簡(jiǎn)便，（2）中分情況討論是解題的關(guān)鍵．
5、已知，如圖，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°. 求的度數(shù)．
【答案與解析】
A
C
D
1
2
3
B
5
E
解：將沿AB翻折，得到，連結(jié)CE，
則，
∴∠1＝∠5＝12°.
∴60°
∵48°∴．
又∵∠2＝36°，72°，
∴
∴BE＝BC
∴為等邊三角形.
∴
又垂直平分BC．
∴AE平分．
∴30°
∴∠ADB＝30°
【總結(jié)升華】直接求很難，那就想想能不能通過(guò)翻折或旋轉(zhuǎn)構(gòu)造一個(gè)與全等的三角形，從而使其換個(gè)位置，看看會(huì)不會(huì)容易求．
舉一反三：
【變式】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D為形內(nèi)一點(diǎn)，且∠DAB＝∠DBA＝10°，
求∠ACD的度數(shù).
【答案】
解：作D關(guān)于BC中垂線的對(duì)稱點(diǎn)E，連結(jié)AE，EC，DE
∴△ABD≌△ACE
∴AD＝AE, ∠DAB＝∠EAC＝10°
∵∠BAC=80°，
∴∠DAE＝60°，△ADE為等邊三角形
∴∠AED＝60°
∵∠DAB＝∠DBA＝10°
∴AD＝BD＝DE＝EC
∴∠AEC＝160°，
∴∠DEC＝140°
∴∠DCE＝20°
∴∠ACD＝30°
類型三、等邊三角形的綜合應(yīng)用
6、已知，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，且ED=EC．
（1）【特殊情況，探索結(jié)論】
如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AE
DB（填“＞”、“＜”或“=”）．
（2）【特例啟發(fā)，解答題目】
如圖2，當(dāng)點(diǎn)E為AB邊上任意一點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論，AE DB（填“＞”、“＜”或“=”）；理由如下，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F．（請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程）．
（3）【拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題】
在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線CB的延長(zhǎng)線上，且ED=EC，若△ABC的邊長(zhǎng)為1，AE=2，求CD的長(zhǎng)（請(qǐng)你畫出相應(yīng)圖形，并直接寫出結(jié)果）．
【思路點(diǎn)撥】（1）由E為等邊三角形AB邊的中點(diǎn)，利用三線合一得到CE垂直于AB，且CE為角平分線，由ED=EC，利用等邊對(duì)等角及等腰三角形的性質(zhì)得到一對(duì)角相等，利用等角對(duì)等邊即可得證；
（2）AE=DB，理由如下，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，由三角形ABC為等邊三角形，得到三角形AEF為等邊三角形，進(jìn)而得到AE=EF=AF，BE=FC，再由ED=EC，以及等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形BDE與三角形EFC全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到DB=EF，等量代換即可得證；
（3）點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的長(zhǎng)即可．
【答案與解析】
解：（1）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，AE=DB；
（2）AE=DB，理由如下：
過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，
證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴△AEF為等邊三角形，
∴AE=EF，BE=CF，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∵∠DEB=60°﹣∠D，∠ECF=60°﹣∠ECD，
∴∠DEB=∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB=EF，
則AE=DB；
（3）點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示，同理可得△DBE≌△EFC，
∴DB=EF=2，BC=1，
則CD=BC+DB=3．
【總結(jié)升華】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．

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13.1.1 軸對(duì)稱

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