?章末綜合檢測(cè)（八）
（時(shí)間：120分鐘，滿分：150分）
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.空間中有三條線段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是（　?。?br /> A.平行
B.異面
C.相交或平行
D.平行或異面或相交均有可能
解析：選D.

如圖可知AB，CD有相交，平行，異面三種情況，
故選D.
2.一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形（如圖所示），∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這個(gè)平面圖形的面積為（　?。?br />
A.＋　　　　　　　　 B.2＋
C.＋ D.＋
解析：選 B.將直觀圖 ABCD 還原后為直角梯形 A′BCD′，其中 A′B＝2AB＝2，BC＝1＋，
A′D′＝AD＝1.
所以平面圖形的面積 S＝×（1＋1＋）×2＝2＋.
3.對(duì)兩條不相交的空間直線a與b，必存在平面α，使得（　?。?br /> A.a?α，b?α B.a?α，b∥α
C.a⊥α，b⊥α D.a?α，b⊥α
解析：選B.因?yàn)橐阎獌蓷l不相交的空間直線a和b，所以可以在直線a上任取一點(diǎn)A，則A?b，過A作直線c∥b，則過直線a，c必存在平面α且使得a?α，b∥α.
4.正方體的表面積與其外接球的表面積的比為（　?。?br /> A.3∶π B.2∶π
C.1∶2π D.1∶3π
解析：選B.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則球的直徑為2R＝a，所以R＝a.正方體的表面積為6a2.球的表面積為4πR2＝4π·＝3πa2，所以它們的表面積之比為6a2∶3πa2＝2∶π.
5.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，棱錐A1-ABCD的體積與長(zhǎng)方體的體積的比值為（　?。?br />
A. B.
C. D.
解析：選C.設(shè)長(zhǎng)方體過同一頂點(diǎn)的棱長(zhǎng)分別為a，b，c，則長(zhǎng)方體的體積為V1＝abc，四棱錐A1-ABCD的體積為V2＝abc，所以棱錐A1-ABCD的體積與長(zhǎng)方體的體積的比值為.
6.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)Q是棱DD1上的動(dòng)點(diǎn)，則過A，Q，B1三點(diǎn)的截面圖形是（　　）
A.等邊三角形 B.矩形
C.等腰梯形 D.以上都有可能
解析：選D.當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D1重合時(shí)，截面圖形為等邊三角形AB1D1，如圖（1）；

當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，截面圖形為矩形AB1C1D，如圖（2）；當(dāng)點(diǎn)Q不與點(diǎn)D，D1重合時(shí)，令Q，R分別為DD1，C1D1的中點(diǎn)，則截面圖形為等腰梯形AQRB1，如圖（3）.故選D.
7.給出下列命題：
①過平面外一直線有且僅有一個(gè)平面和這個(gè)平面平行；
②如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的斜線，那么這兩個(gè)平面不可能垂直；
③若直角三角形ABC在平面α內(nèi)的射影仍是直角三角形，則平面ABC∥平面α.
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　?。?br /> A.0　　　　　　　　　　　　 B.1
C.2 D.3
解析：選A.對(duì)于①，平面外的直線有兩類，其一是與平面相交的直線，其二是與平面平行的直線，顯然①不正確；對(duì)于②，容易判斷②是錯(cuò)誤的；對(duì)于③，平面ABC與平面α也有可能相交，因此③不正確.故選A.
8.如圖，在三棱錐D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（　?。?br /> A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
解析：選C.因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC，又DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.又AC?平面ABC，AC?平面ADC，所以平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE.故選C.
9.若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是（　?。?br /> A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1與l4既不垂直也不平行
D.l1與l4的位置關(guān)系不確定
解析：選D.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，記l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此時(shí)l1∥l4，可以排除選項(xiàng)A和C.若l4＝DC1，也滿足條件，可以排除選項(xiàng)B.故選D.
10.在等腰Rt△A′BC中，A′B＝BC＝1，M為A′C的中點(diǎn)，沿BM把它折成二面角，折后A與C的距離為1，則二面角C-BM-A的大小為（　?。?br /> A.30°　　　　　　　 B.60°
C.90° D.120°
解析：選C.如圖所示，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得A′C＝.因?yàn)镸為A′C的中點(diǎn)，所以MC＝AM＝.且CM⊥BM，AM⊥BM，所以∠CMA為二面角C-BM-A的平面角.因?yàn)锳C＝1，MC＝AM＝，所以∠CMA＝90°.
11.如圖，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論正確的是（　?。?br /> A.PB⊥AD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.直線BC∥平面PAE
D.直線PD與平面ABC所成的角為45°
解析：選D.選項(xiàng)A，B，C顯然錯(cuò)誤.因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以∠PDA是直線PD與平面ABC所成的角.因?yàn)锳BCDEF是正六邊形，所以AD＝2AB.因?yàn)閠an∠PDA＝＝＝1，所以直線PD與平面ABC所成的角為45°.故選D.
12.已知四棱錐S-ABCD的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面內(nèi)，當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時(shí)，其表面積等于4＋4，則球O的體積等于（　　）
A.π B.π
C.π D.π
解析：選B.由題意可知四棱錐S-ABCD的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面內(nèi)，當(dāng)體積最大時(shí)，可以判定該棱錐為正四棱錐，底面在球大圓上，可知底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度的一半為球的半徑r，且四棱錐的高h(yuǎn)＝r，進(jìn)而可知此四棱錐的四個(gè)側(cè)面均是邊長(zhǎng)為r的正三角形，底面為邊長(zhǎng)為r的正方形，所以該四棱錐的表面積為S＝4×（r）2＋（r）2＝2r2＋2r2＝（2＋2）r2＝4＋4，因此r2＝2，r＝，所以球O的體積V＝πr3＝π×2＝，故選B.
二、填空題：本題共4小題，每小題5分.
13.如果用半徑R＝2的半圓形鐵皮卷成一個(gè)圓錐筒，那么這個(gè)圓錐筒的高是　　　　?。?
解析：設(shè)圓錐筒的底面半徑為r，則2πr＝πR＝2π，則r＝，所以圓錐筒的高h(yuǎn)＝＝＝3.
答案：3
14.已知a，b表示不同的直線，α，β，γ表示不重合的平面.
①若α∩β＝a，b?α，a⊥b，則α⊥β；
②若a?α，a垂直于β內(nèi)任意一條直線，則α⊥β；
③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，則a⊥b；
④若a⊥α，b⊥β，a∥b，則α∥β.
上述命題中，正確命題的序號(hào)是　　　?。?
解析：對(duì)①可舉反例，如圖，需b⊥β才能推出α⊥β；對(duì)③可舉反例說明，當(dāng)γ不與α，β的交線垂直時(shí)，即可知a，b不垂直；根據(jù)面面、線面垂直的定義與判定知②④正確.
答案：②④
15.已知直二面角α-l-β，A∈α，AC⊥l，C為垂足，B∈β，BD⊥l，D為垂足.若AB＝2，AC＝BD＝1，則D到平面ABC的距離為　　　　?。?
解析：如圖，作DE⊥BC于點(diǎn)E，由α-l-β為直二面角，AC⊥l，得AC⊥β，進(jìn)而AC⊥DE，又BC⊥DE，BC∩AC＝C，于是DE⊥平面ABC，故DE為D到平面ABC的距離.在Rt△BCD 中，利用等面積法得DE＝＝＝.
答案：
16.如圖，在棱長(zhǎng)均相等的正四棱錐P-ABCD中，O為底面正方形的中心，M，N分別為側(cè)棱PA，PB的中點(diǎn)，有下列結(jié)論：
①PC∥平面OMN；
②平面PCD∥平面OMN；
③OM⊥PA；
④直線PD與直線MN所成角的大小為90°.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是　　　　?。?
解析：連接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，結(jié)論①正確.同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，結(jié)論②正確.由于四棱錐的棱長(zhǎng)均相等，所以AB2＋BC2＝PA2＋PC2＝AC2，所以PC⊥PA，又PC∥OM，所以O(shè)M⊥PA，結(jié)論③正確.由于M，N分別為側(cè)棱PA，PB的中點(diǎn)，所以MN∥AB.又四邊形ABCD為正方形，所以AB∥CD，所以直線PD與直線MN所成的角即為直線PD與直線CD所成的角，即為∠PDC.又三角形PDC為等邊三角形，所以∠PDC＝60°，故④錯(cuò)誤.
答案：①②③
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.（本小題滿分10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PB＝PD.

（1）求證：BD⊥PC；
（2）若平面PBC與平面PAD的交線為l，求證：BC∥l.
證明：（1）連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接PO.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以BD⊥AC.
又因?yàn)镻B＝PD，O為BD的中點(diǎn)，
所以BD⊥PO.
因?yàn)镻O∩AC＝O，
所以BD⊥平面PAC，
因?yàn)镻C?平面PAC，
所以BD⊥PC.
（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以BC∥AD.
因?yàn)锽C?平面PAD，AD?平面PAD.
所以BC∥平面PAD.
又因?yàn)锽C?平面PBC，平面PBC與平面PAD的交線為l.
所以BC∥l.
18.（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC＝90°，E是AB的中點(diǎn)，M是CE的中點(diǎn)，N在PB上，且PB＝4PN.
（1）求證：平面PCE⊥平面PAB；
（2）求證：MN∥平面PAC.
證明：（1）因?yàn)锳B⊥平面PAC，所以AB⊥PC.
又∠APC＝90°，所以AP⊥PC，
又AB∩AP＝A，所以PC⊥平面PAB.
又PC?平面PCE，
所以平面PCE⊥平面PAB.
（2）取AE的中點(diǎn)Q，連接QN，QM，
在△AEC中，因?yàn)镸是CE的中點(diǎn)，所以QM∥AC.
又PB＝4PN，AB＝4AQ，
所以QN∥AP，
又QM∩QN＝Q，AC∩AP＝A，
所以平面QMN∥平面PAC.
又MN?平面QMN，
所以MN∥平面PAC.
19.（本小題滿分12分）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn).
（1）證明：BC1∥平面A1CD；
（2）設(shè)AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱錐C-A1DE的體積.
解：（1）證明：連接AC1交A1C于點(diǎn)F，連接DF，
則F為AC1的中點(diǎn).
又D是AB中點(diǎn)，則BC1∥DF.
因?yàn)镈F?平面A1CD，
BC1?平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
（2）因?yàn)锳BC-A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.
因?yàn)锳C＝CB，D為AB的中點(diǎn)，
所以CD⊥AB.
又AA1∩AB＝A，
所以CD⊥平面ABB1A1.
由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2得
∠ACB＝90°，CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3，
故A1D2＋DE2＝A1E2，
即DE⊥A1D.
所以V三棱錐C-A1DE＝××××＝1.
20.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，過A，D，N的平面交PC于點(diǎn)M.

求證：（1）EN∥平面PDC；
（2）BC⊥平面PEB；
（3）平面PBC⊥平面ADMN.
證明：（1）因?yàn)锳D∥BC，BC?平面PBC，
AD?平面PBC，
所以AD∥平面PBC.
又平面ADMN∩平面PBC＝MN，
所以AD∥MN.
又因?yàn)锳D∥BC，
所以MN∥BC.
又因?yàn)镹為PB的中點(diǎn)，
所以M為PC的中點(diǎn)，
所以MN＝BC.
因?yàn)镋為AD的中點(diǎn)，
DE＝AD＝BC＝MN，
所以DEMN，
所以四邊形DENM為平行四邊形，
所以EN∥DM.
又因?yàn)镋N?平面PDC，DM?平面PDC，
所以EN∥平面PDC.
（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠BAD＝60°，E為AD的中點(diǎn)，
所以BE⊥AD.
又因?yàn)镻E⊥AD，PE∩BE＝E，
所以AD⊥平面PEB.
因?yàn)锳D∥BC，
所以BC⊥平面PEB.
（3）由（2）知AD⊥PB.
又因?yàn)镻A＝AB，且N為PB的中點(diǎn)，
所以AN⊥PB.
因?yàn)锳D∩AN＝A，
所以PB⊥平面ADMN.
又因?yàn)镻B?平面PBC，
所以平面PBC⊥平面ADMN.
21.（本小題滿分12分）如圖（1），在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)，將△ABE沿BE折起到圖（2）中△A1BE的位置，得到四棱錐A1-BCDE.

（1）求證：CD⊥平面A1OC；
（2）當(dāng)平面A1BE⊥平面BCDE時(shí)，四棱錐A1-BCDE的體積為36，求a的值.
解：（1）證明：在題圖（1）中，因?yàn)锳B＝BC＝AD＝a，E是AD的中點(diǎn)，∠BAD＝90°，所以BE⊥AC，BC＝ED，
即在題圖（2）中，BE⊥A1O，BE⊥OC，從而BE⊥平面A1OC.
又BCED，所以四邊形BCDE是平行四邊形，
所以CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.
（2）由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，即A1O是四棱錐A1-BCDE的高.
由題圖（1），可知A1O＝AB＝a，平行四邊形BCDE的面積S＝BC·AB＝a2.
從而四棱錐A1-BCDE的體積V＝×S×A1O＝×a2×a＝a3.由a3＝36，得a＝6.
22.（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，M為棱AC的中點(diǎn).AB＝BC，AC＝2，AA1＝.

（1）求證：B1C∥平面A1BM；
（2）求證：AC1⊥平面A1BM；
（3）在棱BB1上是否存在點(diǎn)N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此時(shí)的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.
解：（1）證明：連接AB1交A1B于O，連接OM.如圖所示.
在△B1AC中，因?yàn)镸，O分別為AC，AB1的中點(diǎn)，
所以O(shè)M∥B1C.
又OM?平面A1BM，B1C?平面A1BM，
所以B1C∥平面A1BM.
（2）證明：因?yàn)閭?cè)棱AA1⊥底面ABC，BM?平面ABC，
所以AA1⊥BM.
因?yàn)镸為棱AC的中點(diǎn)，AB＝BC，
所以BM⊥AC.
又AA1∩AC＝A，
所以BM⊥平面ACC1A1，
所以BM⊥AC1.
因?yàn)镸為棱AC的中點(diǎn)，AC＝2，
所以AM＝1.
又AA1＝，
所以在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，
tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝，
所以∠AC1C＝∠A1MA，
所以∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，
所以A1M⊥AC1.
因?yàn)锽M∩A1M＝M，
所以AC1⊥平面A1BM.
（3）存在點(diǎn)N，且當(dāng)點(diǎn)N為BB1的中點(diǎn)，
即＝時(shí)，平面AC1N⊥平面AA1C1C.
設(shè)AC1的中點(diǎn)為D，連接DM，DN.如圖所示.
因?yàn)镈，M分別為AC1，AC的中點(diǎn)，
所以DM∥CC1，且DM＝CC1.
又N為BB1的中點(diǎn)，
所以DM∥BN，且DM＝BN，
所以四邊形DMBN是平行四邊形，
所以BM∥DN.
因?yàn)锽M⊥平面ACC1A1，
所以DN⊥平面ACC1A1.
又DN?平面AC1N，
所以平面AC1N⊥平面ACC1A1.

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