www.ks5u.com章末綜合測評(二)(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．下列四個數(shù)列中，既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是(　　)A．1，，，，…B．－1,2，－3,4，…C．－1，－，－，－，…D．1, ， ，…，【解析】　A為遞減數(shù)列，B為擺動數(shù)列，D為有窮數(shù)列．【答案】　C2．已知數(shù)列{an}是首項a1＝4，公比q≠1的等比數(shù)列，且4a1，a5，－2a3成等差數(shù)列，則公比q等于(　　)A.　　　B．－1　　　C．－2　　　D．2【解析】　由已知，2a5＝4a1－2a3，即2a1q4＝4a1－2a1q2，所以q4＋q2－2＝0，解得q2＝1，因為q≠1，所以q＝－1.【答案】　B3．某種細胞開始有2個，1小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分裂成6個并死去1個，3小時后分裂成10個并死去1個，…，按此規(guī)律進行下去，6小時后細胞存活的個數(shù)是(　　)A．33個  B．65個  C．66個  D．129個【解析】　設(shè)開始的細胞數(shù)和每小時后的細胞數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為{an}．則即＝2.∴an－1＝1·2n－1 ，an＝2n－1＋1，a7＝65.【答案】　B4．等比數(shù)列{an}的通項為an＝2·3n－1，現(xiàn)把每相鄰兩項之間都插入兩個數(shù)，構(gòu)成一個新的數(shù)列 {bn}，那么162是新數(shù)列{bn}的(　　)A．第5項  B．第12項C．第13項  D．第6項【解析】　162是數(shù)列{an}的第5項，則它是新數(shù)列{bn}的第5＋(5－1)×2＝13項．【答案】　C5．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an－1(a≠0)，則{an}(　　)A．一定是等差數(shù)列B．一定是等比數(shù)列C．或者是等差數(shù)列，或者是等比數(shù)列D．既不可能是等差數(shù)列，也不可能是等比數(shù)列【解析】　∵Sn＝an－1(a≠0)，∴an＝即an＝當(dāng)a＝1時，an＝0，數(shù)列{an}是一個常數(shù)列，也是等差數(shù)列；當(dāng)a≠1時，數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列．【答案】　C6．等差數(shù)列{an}的公差不為零，首項a1＝1，a2是a1和a5的等比中項，則數(shù)列的前10項之和是(　　)A．90  B．100  C．145  D．190【解析】　設(shè)公差為d，∴(1＋d)2＝1×(1＋4d)，∵d≠0，∴d＝2，從而S10＝100.【答案】　B7．記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S2＝4，S4＝20，則該數(shù)列的公差d＝(　　)A．2  B．3  C．6  D．7【解析】　S4－S2＝a3＋a4＝20－4＝16，∴a3＋a4－S2＝(a3－a1)＋(a4－a2)＝4d＝16－4＝12，∴d＝3.【答案】　B8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，anan＋1＝2n，則＝(　　)A．2  B．4  C．5  D.【解析】　依題意得＝＝2，即＝2，數(shù)列a1，a3，a5，a7，…是一個以5為首項，2為公比的等比數(shù)列，因此＝4.【答案】　B9．在數(shù)列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，則a101的值為(　　)A．49  B．50  C．51  D．52【解析】　∵2an＋1－2an＝1，∴an＋1－an＝，∴數(shù)列{an}是首項a1＝2，公差d＝的等差數(shù)列，∴a101＝2＋(101－1)＝52.【答案】　D10．我們把1,3,6,10,15，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因為這些數(shù)目的點可以排成一個正三角形，如圖1所示：圖1則第七個三角形數(shù)是(　　)A．27  B．28  C．29  D．30【解析】　法一　∵a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，a5＝15，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，∴a6－a5＝6，a6＝21，a7－a6＝7，a7＝28.法二　由圖可知第n個三角形數(shù)為，∴a7＝＝28.【答案】　B11．?dāng)?shù)列{an}滿足遞推公式an＝3an－1＋3n－1(n≥2)，又a1＝5，則使得為等差數(shù)列的實數(shù)λ＝(　　)A．2  B．5  C．－  D.【解析】　a1＝5，a2＝23，a3＝95，令bn＝，則b1＝，b2＝，b3＝，∵b1＋b3＝2b2，∴λ＝－.【答案】　C12．在等差數(shù)列{an}中，a10<0，a11>0，且a11>|a10|，則{an}的前n項和Sn中最大的負數(shù)為(　　)A．S17  B．S18  C．S19  D．S20【解析】　∵a10<0，a11>0，且a11>|a10|，∴a11＋a10>0.S20＝＝10·(a11＋a10)>0.S19＝＝·2a10<0.【答案】　C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)13．在等差數(shù)列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，則數(shù)列{an＋bn}的前100項的和為________．【解析】　由已知得{an＋bn}為等差數(shù)列，故其前100項的和為S100＝＝50×(25＋75＋100)＝10 000.【答案】　10 00014．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)，則a5＝________. 【導(dǎo)學(xué)號：05920082】【解析】　由an＝an－1＋n(n≥2)，得an－an－1＝n，則a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，把各式相加，得a5－a1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a5＝14＋a1＝14＋1＝15.【答案】　1515．首項為－24的等差數(shù)列從第10項起開始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是________．【解析】　設(shè)a1＝－24，公差為d，∴a10＝－24＋9d>0且a9＝－24＋8d≤0，∴<d≤3.【答案】　16．已知公差不為零的正項等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，lg a1，lg a2，lg a4也成等差數(shù)列，若a5＝10，則S5＝________.【解析】　設(shè){an}的公差為d，則d≠0.由lg a1，lg a2，lg a4也成等差數(shù)列，得2lg a2＝lg a1＋lg a4，∴a＝a1a4，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，d2＝a1d.又d≠0，故d＝a1，a5＝5a1＝10，d＝a1＝2，S5＝5a1＋×d＝30.【答案】　30三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)在等差數(shù)列{an}中，a1＋a3＝8，且a4為a2和a9的等比中項，求數(shù)列{an}的首項、公差及前n項和．【解】　設(shè)該數(shù)列的公差為d，前n項和為Sn.由已知可得2a1＋2d＝8，(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)，所以a1＋d＝4，d(d－3a1)＝0，解得a1＝4，d＝0或a1＝1，d＝3，即數(shù)列{an}的首項為4，公差為0，或首項為1，公差為3.所以數(shù)列的前n項和Sn＝4n或Sn＝.18．(本小題滿分12分)(2016·唐山模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)求證：數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列．【解】　(1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)·Sn＋2n(n∈N*)，∴當(dāng)n＝1時，a1＝2×1＝2；當(dāng)n＝2時，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；當(dāng)n＝3時，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.(2)證明：∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①∴當(dāng)n≥2時，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)，②①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2，∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2.∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)．∵S1＋2＝4≠0.∴Sn－1＋2≠0，∴＝2.即{Sn＋2}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列．19．(本小題滿分12分)(2015·北京高考)已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.(1)求{an}的通項公式；(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b2＝a3，b3＝a7，問：b6與數(shù)列{an}的第幾項相等？【解】　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因為a4－a3＝2，所以d＝2.又因為a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4.所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n＝1,2，…)．(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q.因為b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，所以q＝2，b1＝4.所以b6＝4×26－1＝128.由128＝2n＋2得n＝63，所以b6與數(shù)列{an}的第63項相等．20．(本小題滿分12分)已知首項都是1的兩個數(shù)列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)，滿足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0. 【導(dǎo)學(xué)號：05920083】(1)令cn＝，求數(shù)列{cn}的通項公式；(2)若bn＝3n－1，求數(shù)列{an}的前n項和Sn.【解】　(1)因為anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)，所以－＝2，即cn＋1－cn＝2.所以數(shù)列{cn}是以首項c1＝1，公差d＝2的等差數(shù)列，故cn＝2n－1.(2)由bn＝3n－1知an＝cnbn＝(2n－1)3n－1，于是數(shù)列{an}的前n項和Sn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1，3Sn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n.相減得－2Sn＝1＋2×(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝－2－(2n－2)3n，所以Sn＝(n－1)3n＋1.21．(本小題滿分12分)(2015·四川高考)設(shè)數(shù)列{an}(n＝1,2,3，…)的前n項和Sn滿足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)記數(shù)列的前n項和為Tn，求使得|Tn－1|<成立的n的最小值．【解】　(1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)，所以q＝2.從而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.又因為a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2.所以數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．故an＝2n.(2)由(1)得＝，所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.由|Tn－1|<，得<，即2n>1 000.因為29＝512<1 000<1 024＝210，所以n≥10.于是使|Tn－1|<成立的n的最小值為10.22．(本小題滿分12分)在等差數(shù)列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1與a4的等比中項．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝a，記Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn，求Tn.【解】　(1)由題意知(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即(a1＋2)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝2，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n.(2)由題意知bn＝a＝n(n＋1)，所以Tn＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn·(n＋1)．因為bn＋1－bn＝2(n＋1)，可得當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－bn－1＋bn)＝4＋8＋12＋…＋2n＝＝，當(dāng)n為奇數(shù)時，Tn＝Tn－1＋(－bn)＝－n(n＋1)＝－.所以Tn＝

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