一、頻數(shù)與頻率1.將一批數(shù)據(jù)按要求分為若干個組,各組內(nèi)數(shù)據(jù)的個數(shù)叫做該組的頻數(shù).每組數(shù)據(jù)的頻數(shù)除以全體數(shù)據(jù)的個數(shù)的商叫做該組數(shù)據(jù)的頻率.頻率反映各個小組數(shù)據(jù)在樣本中所占比例的大小.2.做一做容量為100的樣本數(shù)據(jù)被分為6組,如表:第5組的頻率是(　　)答案:B解析:由表可知,第5組的頻數(shù)為100-14-17-18-20-15=16,∴第5組的頻率為 =0.16.故選B.
二、頻率分布表1.思考(1)我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一,城市缺水問題較為突出,某市政府為了節(jié)約生活用水,計劃在本市試行居民生活用水定額管理,即確定一個居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)a,用水量不超過a的部分按平價收費,超出a的部分按議價收費.如果希望大部分居民的日常生活不受影響,那么標(biāo)準(zhǔn)a定為多少比較合理呢?你認(rèn)為為了較為合理地確定出這個標(biāo)準(zhǔn)需要做哪些工作?提示a定為大部分居民的月均用水量比較合理.為了制定一個較為合理的標(biāo)準(zhǔn)a,必須先了解全市居民日常用水量的分布情況,比如月均用水量在哪個范圍的居民最多,他們占全市居民的百分比情況等.
(2)一般地,列出一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表可以分哪幾個步驟進行?提示第一步,求極差.第二步,決定組距與組數(shù).第三步,確定分組點,將數(shù)據(jù)分組.第四步,列頻率分布表.
(3)你能列出下列100個數(shù)據(jù)的頻率分布表嗎?100位居民的月均用水量(單位:t)
提示100位居民月均用水量的頻率分布表如表所示.
2.填空為了能直觀地顯示樣本的頻率分布情況,通常將樣本量、樣本中出現(xiàn)該事件的頻數(shù)以及計算所得的相應(yīng)頻率列在一張表中,這張表叫做頻率分布表.
三、頻率分布直方圖1.思考(1)為了將頻率分布表中的結(jié)果直觀形象地表現(xiàn)出來,常畫出頻率分布直方圖.畫圖時,應(yīng)以橫軸表示分組、縱軸表示各組頻率與組距的比值,以各個組距為底,以各頻率除以組距的商為高,畫成小長方形,這樣得到的直方圖就是頻率分布直方圖.(2)為了直觀反映樣本數(shù)據(jù)在各組中的分布情況,你能根據(jù)上面的頻率分布表畫出頻率分布直方圖嗎?提示頻率分布直方圖為:
(3)繪制頻率分布直方圖的步驟.
2.做一做(1)在樣本頻率分布直方圖中,某個小長方形的面積是其他小長方形的面積之和的14,已知樣本量是80,則該組的頻數(shù)為(　　)A.20B.16C.30D.35答案:B解析:設(shè)該組的頻數(shù)為x,則其他組的頻數(shù)之和為4x,由樣本量是80,得x+4x=80,解得x=16,即該組的頻數(shù)為16,故選B.
(2)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.①頻率分布直方圖中的縱軸表示頻率.(　　)②頻率分布直方圖中每個小長方形的面積等于相應(yīng)組的頻率.(　　)③頻率分布直方圖中所有小長方形的面積和等于1.(　　)答案:①×　②√?、邸?br/>四、第p百分位數(shù)1.思考現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)3.1,2.4,2.0,1.6,1.8.則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是多少?第50百分位數(shù)是多少?若數(shù)據(jù)變?yōu)?.1,2.4,2.0,1.6結(jié)論又如何?你能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律嗎?提示第一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2.0,第50百分位數(shù)2.0;第二組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2.2,第50百分位數(shù)為2.2.從以上過程可以歸納出一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)其實就是第50百分位數(shù).
2.填空一般地,一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值,且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.可以通過下面的步驟計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù):第1步,按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步,計算i=n×p%.第3步,若i不是整數(shù),而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù);若i是整數(shù),則第p百分位數(shù)為第i項與第(i+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).
3.做一做(1)數(shù)據(jù)1,3,8,5的中位數(shù)是　　　　　,第50百分位數(shù)是　　　　　,第75百分位數(shù)是　　　　　.?答案:4　4　6.5(2)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.①任何一組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)與中位數(shù)的值是相同的.(　　)②第25百分位數(shù)也可以稱為第一四分位數(shù)或上四分位數(shù).(　　)答案:①√?、凇?br/>頻率分布直方圖的繪制與應(yīng)用例1一個農(nóng)技站為了考察某種麥穗長的分布情況,在一塊試驗地里抽取了100個麥穗,量得長度如下(單位:cm):6.5　6.4　6.7　5.8　5.9　5.9　5.2　4.0　5.4　4.65.8　5.5　6.0　6.5　5.1　6.5　5.3　5.9　5.5　5.86.2　5.4　5.0　5.0　6.8　6.0　5.0　5.7　6.0　5.56.8　6.0　6.3　5.5　5.0　6.3　5.2　6.0　7.0　6.46.4　5.8　5.9　5.7　6.8　6.6　6.0　6.4　5.7　7.46.0　5.4　6.5　6.0　6.8　5.8　6.3　6.0　6.3　5.65.3　6.4　5.7　6.7　6.2　5.6　6.0　6.7　6.7　6.05.6　6.2　6.1　5.3　6.2　6.8　6.6　4.7　5.7　5.75.8　5.3　7.0　6.0　6.0　5.9　5.4　6.0　5.2　6.06.3　5.7　6.8　6.1　4.5　5.6　6.3　6.0　5.8　6.3
根據(jù)上面的數(shù)據(jù)列出頻率分布表、繪出頻率分布直方圖,并估計長度在[5.75,6.05)cm之間的麥穗在這批麥穗中所占的百分比.分析依據(jù)步驟畫出頻率分布直方圖;用樣本中的百分比(即頻率)來估計長度在[5.75,6.05)cm之間的麥穗在這批麥穗中所占的百分比.解:步驟是:(1)計算極差,7.4-4.0=3.4(cm).(2)決定組距與組數(shù).若取組距為0.3 cm,由于 ,需分成12組,組數(shù)合適.于是取定組距為0.3 cm,組數(shù)為12.(3)將數(shù)據(jù)分組.使分點比數(shù)據(jù)多一位小數(shù),并且把第1小組的起點稍微減小一點.則所分的12個小組可以是[3.95,4.25),[4.25,4.55),[4.55,4.85),…,[7.25,7.55].
(4)列頻率分布表.對各個小組作頻數(shù)累計,然后數(shù)頻數(shù),算頻率,列頻率分布表,如下表所示:
(5)畫頻率分布直方圖,如圖.從表中看到,樣本數(shù)據(jù)落在[5.75,6.05)之間的頻率是0.28,于是可以估計,在這塊地里,長度在[5.75,6.05)cm之間的麥穗約占28%.反思感悟 本題畫頻率分布直方圖時,小長方形的高易錯用該組的頻率的大小來表示.其原因是不清楚頻率分布直方圖縱軸的意義.由于畫頻率分布直方圖的步驟比較煩瑣,因此在實際操作的過程中要有足夠的耐心.
變式訓(xùn)練1為了檢測某種產(chǎn)品的質(zhì)量,抽取了一個容量為100的樣本,數(shù)據(jù)的分組情況與頻數(shù)如下:[10.75,10.85),3;[10.85,10.95),9;[10.95,11.05),13;[11.05,11.15),16;[11.15,11.25),26;[11.25,11.35),20;[11.35,11.45),7;[11.45,11.55),4;[11.55,11.65],2.(1)列出頻率分布表;(2)畫出頻率分布直方圖以及頻率分布折線圖;(3)根據(jù)上述圖表,估計數(shù)據(jù)落在[10.95,11.35)范圍內(nèi)的可能性是百分之幾;(4)估計數(shù)據(jù)小于11.20的可能性是百分之幾.
解:(1)頻率分布表如下:
(2)頻率分布直方圖及頻率分布折線圖如圖:(3)由上述圖表可知數(shù)據(jù)落在[10.95,11.35)范圍內(nèi)的頻率為0.13+0.16+0.26+0.20=0.75=75%,即數(shù)據(jù)落在[10.95,11.35)范圍內(nèi)的可能性是75%.(4)數(shù)據(jù)小于11.20的可能性即數(shù)據(jù)小于11.20的頻率,設(shè)為x,則(x-0.41)÷(11.20-11.15)=(0.67-0.41)÷(11.25-11.15),所以x-0.41=0.13,即x=0.54,從而估計數(shù)據(jù)小于11.20的可能性是54%.
對折線圖、扇形圖、條形圖的識讀例2某中學(xué)初中部共有120名教師,高中部共有150名教師,其性別比例如圖所示,則該校女教師的人數(shù)為(　　)A.128B.144C.174D.167分析根據(jù)女教師的百分比,分別計算初中部和高中部女教師的人數(shù)即可.
答案:B解析:初中部女教師有120×70%=84(人),高中部女教師有150×(1-60%)=150×40%=60(人),則女教師共有84+60=144(人).反思感悟 對于折線圖、扇形圖、條形圖一定要注意每種圖示的作用和含義,其次要看清所標(biāo)記數(shù)據(jù)和單位,最后要抓住各種圖示中所體現(xiàn)的信息“密碼”.
變式訓(xùn)練2調(diào)查機構(gòu)對某高科技行業(yè)進行調(diào)查統(tǒng)計,得到該行業(yè)從業(yè)者學(xué)歷分布扇形圖、從事該行業(yè)崗位分布條形圖,如圖所示.給出下列三種說法:①該高科技行業(yè)從業(yè)人員中學(xué)歷為博士的占一半以上;②該高科技行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的30%;③該高科技行業(yè)中從事運營崗位的人員主要是本科生.其中正確的個數(shù)為(　　)A.0個B.1個C.2個D.3個
答案:C解析:在①中,由該行業(yè)從業(yè)者學(xué)歷分布扇形圖知該高科技行業(yè)從業(yè)人員中學(xué)歷為博士的占55%,故①正確;在②中,由從事該行業(yè)崗位分布條形圖知該高科技行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)占39.6%,超過總?cè)藬?shù)的30%,故②正確;在③中,由題中的兩個圖無法得到從事運營崗位的人員主要是本科生,故③錯誤.故選C.
頻率分布直方圖中的相關(guān)計算問題例3在某次數(shù)學(xué)測驗后,將參加考試的500名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績制成頻率分布直方圖(如圖),則在該次測驗中成績不低于100分的學(xué)生人數(shù)是(　　)A.210B.205C.200 D.195分析由頻率分布直方圖先求出在該次測驗中成績不低于100分的學(xué)生的頻率,由此能求出在該次測驗中成績不低于100分的學(xué)生人數(shù).
答案:C解析:由頻率分布直方圖,得在該次測驗中成績不低于100分的學(xué)生的頻率為1-(0.012+0.018+0.030)×10=0.4,∴在該次測驗中成績不低于100分的學(xué)生人數(shù)為500×0.4=200.故選C.反思感悟 1.因為小長方形的面積=組距× =頻率,所以各小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率.這樣,頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率大小.2.在頻率分布直方圖中,各小長方形的面積之和等于1.4.在頻率分布直方圖中,各長方形的面積之比等于頻率之比,各長方形的高度之比也等于頻率之比.
延伸探究在例3中若將“不低于100分”改為“不高于120分”結(jié)論又如何?解:由圖可知成績不高于120分的頻率為1-0.006×10=1-0.06=0.94.∴滿足要求的學(xué)生人數(shù)為500×0.94=470(人).
變式訓(xùn)練3如圖所示是由總體的一個樣本繪制的頻率分布直方圖,且在[15,18)內(nèi)頻數(shù)為8.(1)求樣本在[15,18)內(nèi)的頻率;(2)求樣本量;(3)若在[12,15)內(nèi)的小矩形面積為0.06,求在[18,33)內(nèi)的頻數(shù).
解:由樣本頻率分布直方圖可知組距為3.(3)在[12,15)內(nèi)的小矩形面積為0.06,故樣本在[12,15)內(nèi)的頻率為0.06,故樣本在[15,33)內(nèi)的頻數(shù)為50×(1-0.06)=47.又因為在[15,18)內(nèi)的頻數(shù)為8,故在[18,33)內(nèi)的頻數(shù)為47-8=39.
總體百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用例4有一樣本的數(shù)據(jù)為3310,3355,3450,3480,3490,3520,3540,3550,3650,3730,3925,求這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)和第75百分位數(shù).解:(1)∵i=50%×11=5.5,∴第50百分位數(shù)是第6項的值3520.(2)∵i=0.75×11= =8.25,∴第75百分位數(shù)是第9項的值,即3650.所以第50百分位數(shù)和第75百分位數(shù)分別為3520,3650.
反思感悟 1.可以通過下面的步驟計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù):第1步,按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步,計算i=n×p%.第3步,若i不是整數(shù),而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù);若i是整數(shù),則第p百分位數(shù)為第i項與第(i+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).2.若題目與統(tǒng)計圖表相聯(lián)系,且各個數(shù)據(jù)信息不太清晰時,則要根據(jù)比例進行估算.
變式訓(xùn)練4為了了解一片經(jīng)濟林的生長情況,隨機抽測了其中60株樹木的底部周長(單位:cm),所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80,130]上,其頻率分布直方圖如圖所示,你能估計一下60株樹木的第50百分位數(shù)和第75百分位數(shù)嗎?
解:由題意知分別落在各區(qū)間上的頻數(shù)為在[80,90)上有60×0.15=9,在[90,100)上有60×0.25=15,在[100,110)上有60×0.3=18,在[110,120)上有60×0.2=12,在[120,130]上有60×0.1=6.從以上數(shù)據(jù)可知第50百分位數(shù)一定落在區(qū)間[100,110)上,綜上可知,第50百分位數(shù)和第75百分位數(shù)分別估計為103.3 cm,112.5 cm.
不能正確理解頻率分布直方圖中縱軸的意義致錯典例有同型號的汽車100輛,為了了解這種汽車的耗油情況,現(xiàn)從中隨機抽取10輛在同一條件下進行耗油1 L 所行駛路程的試驗,得到的數(shù)據(jù)(單位:km)頻率分布表如下:試畫出頻率分布直方圖.
錯解頻率分布直方圖如圖所示:
正解頻率分布直方圖如圖所示:
1.某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間(單位:小時),制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其中自習(xí)時間的范圍是[17.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根據(jù)直方圖,這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是(　　)A.56B.60C.120D.140答案:D解析:自習(xí)時間不少于22.5小時為后三組,其頻率和為(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7,故人數(shù)為200×0.7=140,選D.
2.某公司2018年在各個項目中總投資500萬元,如圖是幾類項目的投資占比情況,已知在1萬元以上的項目投資中,少于3萬元的項目投資占 ,那么不少于3萬元的項目投資共有(　　)A.56萬元B.65萬元 C.91萬元D.147萬元答案:B
3.對“小康縣”的經(jīng)濟評價標(biāo)準(zhǔn)如下:①年人均收入不小于7 000元;②年人均食品支出不大于收入的35%.某縣有40萬人,調(diào)查數(shù)據(jù)如下:
則該縣(　　)A.是小康縣B.達到標(biāo)準(zhǔn)①,未達到標(biāo)準(zhǔn)②,不是小康縣C.達到標(biāo)準(zhǔn)②,未達到標(biāo)準(zhǔn)①,不是小康縣D.兩個標(biāo)準(zhǔn)都未達到,不是小康縣
答案:B解析:由圖表可知全縣年人均收入為7 050>7 000,達到了標(biāo)準(zhǔn)①;全縣年人均食品支出為2 695,而年人均食品支出占收入的 ×100%≈38.2%>35%,未達到標(biāo)準(zhǔn)②,所以不是小康縣.故選B.
4.已知有8個樣本數(shù)據(jù)分別為4,7,8,11,13,15,20,22,則估計該組數(shù)據(jù)的總體的第三四分位數(shù)為　　　　　.?答案:17.5解析:第三四分位數(shù)也就是第75百分位數(shù),因此可得 =17.5.

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