學習目標


1.了解三邊成比例、兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似判定定理的證明過程.


2.能夠運用這兩個判定定理解決簡單的證明和計算問題.





學習過程


一、自主學習


閱讀教材P32-34,自學“探究2”“探究3”“思考”與“例1”,掌握相似三角形判定定理1與判定定理2,完成下列自學提綱:


自學提綱1:任意畫△ABC和△A'B'C',使△A'B'C'的各邊長都是△ABC各邊長的k倍,△ABC∽△A'B'C'嗎?


a.操作:度量這兩個三角形的對應角,這兩個三角形的對應角 ,對應邊 .


b.猜想:在△ABC和△A'B'C'中,如果 ,那么△ABC∽△A'B'C'.


c.證明:如圖,在線段A'B'上截取A'D=AB,過點D作DE∥B'C',交A'C'于點E,則△A'DE∽△A'B'C'.∴ .又∵,A'D= ,


∴,


∴DE=BC,A'E=AC,


∴△A'DE △ABC.


∴△ABC∽△A'B'C'.





d.歸納:三邊 的兩個三角形相似.


e.推理格式:∵ ,∴△ABC∽△A'B'C'.


自學提綱2:利用刻度尺和量角器畫△ABC和△A'B'C',使∠A=∠A',=k.△ABC∽△A'B'C'嗎?


a.操作:量出BC和B'C',它們的比值等于k嗎?∠B=∠B',∠C=∠C'嗎?


b.改變∠A的大小,結(jié)果怎樣?改變k的值呢?


c.猜想:在△ABC和△A'B'C'中,如果,∠A=∠A', ,那么△ABC∽△A'B'C'.


d.證明:


e.兩邊 且夾角 的兩個三角形相似.


f.推理格式:∵ ,∠A=∠A',∴△ABC∽△A'B'C'.





自學提綱3:在△ABC與△A'B'C'中,如果,∠B=∠B',那么△ABC與△A'B'C'一定相似嗎?如果一定相似,給予證明;如果不一定相似,舉一反例(畫圖).


結(jié)論:如圖,在△ABD與△ABC中,BD=BC,= , 是公共角,顯然△ABD與△ABC .


二、合作探究


1.(1)教材P33例1的第(1)題中,三條邊成比例嗎?符合判定定理1的條件嗎?











(2)教材P33例1的第(2)題中,∠A與∠A'分別是兩條對應邊的夾角嗎?符合哪個判定定理的條件?











2.根據(jù)下列條件,判定△ABC與△A'B'C'是否相似,并說明理由.


(1)AB=10 cm,BC=8 cm,AC=16 cm,A'B'=16 cm,B'C'=12.8 cm,A'C'=25.6 cm.








(2)∠A=40°,AB=8 cm,AC=15 cm,∠A'=40°,A'B'=16 cm,A'C'=30 cm.








3.下圖中的兩個三角形是否相似?為什么?





評價作業(yè)


1.(6分)如圖所示,已知△MNP,則下列四個三角形中與△MNP相似的是( )





2.(6分)在△ABC中,BC=15 cm,CA=45 cm,AB=63 cm,另一個和它相似的三角形的最短邊長是5 cm,則最長邊長是( )


A.18 cm B.21 cm


C.24 cmD.19.5 cm


3.(6分)如圖所示,與左圖中的三角形相似的是( )





4.(6分)如果三角形的每條邊都擴大為原來的3倍,那么三角形的每個角( )


A.都擴大為原來的3倍


B.都擴大為原來的6倍


C.都擴大為原來的9倍


D.都與原來相等





5.(6分)如圖所示,四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于O,且將這個四邊形分成①②③④四個三角形,若OA∶OC=OB∶OD,則下列結(jié)論中一定正確的是( )


A.①與②相似


B.①與③相似


C.①與④相似


D.②與④相似


6.(8分)在△ABC和△A1B1C1中,∠A=∠A1,,可得出△ABC △A1B1C1,理由是 .


7.(8分)△ABC的三邊長分別為2,,△A1B1C1的兩邊長分別為1和,當△A1B1C1的第三邊長為 時,△ABC∽△A1B1C1.





8.(8分)如圖所示,D是∠ABC平分線上的一點,AB=15 cm,BD=12 cm,要使△ABD∽△DBC,則BC的長為 cm.





9.(10分)如圖所示,已知,∠BAD=20°,求∠CAE的大小.























10.(16分)如圖所示,點C,D在線段AB上,且△PCD是等邊三角形.


(1)當AC,CD,DB滿足怎樣的關(guān)系時,△ACP∽△PDB?











(2)當△ACP∽△PDB時,求∠APB的度數(shù).




















11.(20分)如圖所示,正方形ABCD的邊長為2,AE=EB,MN=1,線段MN的兩端分別在CB,CD上滑動,那么當CM為多少時,△ADE與△MNC相似?




















參考答案


學習過程


一、自主學習


自學提綱1:


a.相等 成比例


b.


c. AB ≌


d.成比例


e.


自學提綱2:


相似


a.等于 ∠B=∠B',∠C=∠C'


b.都不變


c.


d.如圖所示,在線段A'B'(或它的延長線上)截取A'D=AB,過點D作DE∥B'C',交A'C'(或它的延長線)于點E,則可得△A'DE∽△A'B'C'.


∴,


又,A'D=AB,


∴,


∴A'E=AC.


又∵∠A=∠A',


∴△A'DE≌△ABC,


∴△ABC∽△A'B'C'.





e.成比例 相等


f.


自學提綱3:


∠A 不相似


二、合作探究


1.(1)三條邊成比例 符合判定定理1的條件


(2)是兩條對應邊的夾角 符合“兩邊成比例且夾角相等”


2.(1)相似,三邊對應成比例.


(2)相似,兩邊成比例且夾角相等.


3.圖1相似,兩邊成比例且夾角相等;圖2不相似,三邊不成比例.


評價作業(yè)


1.C 2.B 3.B 4.D 5.B


6.∽ 兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似


7. 8.9.6


9.解:∵,∴△ABC∽△ADE,∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE=20°.


10.解:(1)∵△PCD是等邊三角形,∴PC=CD=PD,∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°,∴∠PCA=∠PDB=120°,∴當時,△ACP∽△PDB,即,∴當CD2=AC·DB時,△ACP∽△PDB.


(2)∵△PDB∽△ACP,∴∠BPD=∠A.∴∠APC+∠BPD=∠APC+∠A=∠PCD=60°,∴∠APB=∠APC+∠BPD+∠CPD=60°+60°=120°.


11.解:設CM的長為x.在Rt△MNC中,∵MN=1,∴NC=,①當Rt△AED∽Rt△CMN時,有,即,解得x=或x=-(不合題意,舍去),②當Rt△AED∽Rt△CNM時,有,即,解得x=或x=-(不合題意,舍去),綜上所述,CM=時,△AED與△MNC相似


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27.2.1 相似三角形的判定

版本： 人教版

年級： 九年級下冊

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