你吃過(guò)拉面嗎？你知道在做拉面的過(guò)程中滲透著數(shù)學(xué)知識(shí)嗎？
（1）體積為20cm3的面團(tuán)做成拉面，面條的總長(zhǎng)度y（單位：cm）與面條粗細(xì)（橫截面積）s（單位：cm2）有怎樣的函數(shù)關(guān)系？
（2）某家面館的師傅手藝精湛，他拉的面條粗1mm2，面條總長(zhǎng)是多少？
1. 靈活運(yùn)用反比例函數(shù)的意義和性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題.
2. 能從實(shí)際問(wèn)題中尋找變量之間的關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問(wèn)題.
3. 能夠根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定自變量的取值范圍.
例1 市煤氣公司要在地下修建一個(gè)容積為104 m3的圓柱形煤氣儲(chǔ)存室.(1) 儲(chǔ)存室的底面積 S （單位：m2 ）與其深度 d （單位：m ）有怎樣的函數(shù)關(guān)系?
解：根據(jù)圓柱體的體積公式，得 Sd =104，
∴ S 關(guān)于d 的函數(shù)解析式為
利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題
利用反比例函數(shù)解答幾何圖形問(wèn)題
(2) 公司決定把儲(chǔ)存室的底面積 S 定為 500 m2，施工隊(duì)施工時(shí)應(yīng)該向地下掘進(jìn)多深?
解得 d = 20 （m） .如果把儲(chǔ)存室的底面積定為 500 m2，施工時(shí)應(yīng)向地下掘進(jìn) 20 m 深.
(3) 當(dāng)施工隊(duì)按 (2) 中的計(jì)劃掘進(jìn)到地下 15 m 時(shí)，公司臨時(shí)改變計(jì)劃，把儲(chǔ)存室的深度改為 15 m. 相應(yīng)地，儲(chǔ)存室的底面積應(yīng)改為多少 (結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)?
解得 S≈666.67(m2).
當(dāng)儲(chǔ)存室的深度為15 m 時(shí)，底面積應(yīng)改為 666.67 m2.
第（1）問(wèn)的解題思路是什么？第（2）問(wèn)和第（3）問(wèn)與過(guò)去所學(xué)的解分式方程和求代數(shù)式的值的問(wèn)題有何聯(lián)系？
方法點(diǎn)撥：第（1）問(wèn)首先要弄清此題中各數(shù)量間的關(guān)系，然后根據(jù)圓柱的體積公式：圓柱的體積＝底面積×高，由題意知S是函數(shù)，d是自變量，改寫后所得的函數(shù)關(guān)系式是反比例函數(shù)的形式.第（2）問(wèn)實(shí)際上是已知函數(shù)S的值，求自變量d的取值，第（3）問(wèn)則是與第（2）問(wèn)相反．
我們學(xué)習(xí)過(guò)反比例函數(shù)，例如，當(dāng)矩形面積一定時(shí)，長(zhǎng)a是寬b的反比例函數(shù)，其函數(shù)關(guān)系式可以寫為 （s為常數(shù)，s≠0）． 請(qǐng)你仿照上例另舉一個(gè)在日常生活、生產(chǎn)或?qū)W習(xí)中具有反比例函數(shù)關(guān)系的量的實(shí)例，并寫出它的函數(shù)關(guān)系式． 實(shí)例： ； 函數(shù)關(guān)系式： ．
如圖，某玻璃器皿制造公司要制造一種容積為1L (1L＝1dm3)的圓錐形漏斗．（1）漏斗口的面積 S (單位：dm2)與漏斗的深 d (單位：dm) 有怎樣的函數(shù)關(guān)系?
（2）如果漏斗的深為10 cm，那么漏斗口的面積為多少 dm2？
解：10cm=1dm，把 d =1 代入解析式，得 S =3.所以漏斗口的面積為 3 dm2.
(3) 如果漏斗口的面積為60 cm2，則漏斗的深為多少?
解：60 cm2 = 0.6 dm2，把 S =0.6 代入解析式，得 d =5. 所以漏斗的深為 5 dm.
例2 碼頭工人每天往一艘輪船上裝載30噸貨物，裝載完畢恰好用了8天時(shí)間.(1) 輪船到達(dá)目的地后開始卸貨，平均卸貨速度v (單位：噸/天)與卸貨天數(shù) t 之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系?
解：設(shè)輪船上的貨物總量為 k 噸，根據(jù)已知條件得k =30×8=240， 所以 v 關(guān)于 t 的函數(shù)解析式為
利用反比例函數(shù)解答運(yùn)輸問(wèn)題
分析：根據(jù)“平均裝貨速度×裝貨天數(shù)=貨物的總量”，可以求出輪船裝載貨物的總量；再根據(jù)“平均卸貨速度=貨物的總量÷卸貨天數(shù)”，得到v 關(guān)于t 的函數(shù)解析式.
(2) 由于遇到緊急情況，要求船上的貨物不超過(guò)5天卸載完畢，那么平均每天至少要卸載多少噸?
從結(jié)果可以看出，如果全部貨物恰好用 5 天卸載完，則平均每天卸載 48 噸.而觀察求得的反比例函數(shù)的解析式可知，t 越小，v 越大.這樣若貨物不超過(guò) 5 天卸載完，則平均每天至少要卸載 48 噸.
【討論】題目中蘊(yùn)含的等量關(guān)系是什么？我們知道“至少”對(duì)應(yīng)于不等號(hào)“≥”，那么需要用不等式來(lái)解決第（2）問(wèn)嗎？
方法點(diǎn)撥：此題類似應(yīng)用題中的“工程問(wèn)題”，關(guān)系式為工作總量＝工作速度×工作時(shí)間，題目中貨物總量是不變的，兩個(gè)變量分別是速度v和時(shí)間t，因此具有反比關(guān)系．第（2）問(wèn)涉及了反比例函數(shù)的增減性，即當(dāng)自變量t取最大值時(shí)，函數(shù)值v取最小值．
學(xué)校鍋爐旁建有一個(gè)儲(chǔ)煤庫(kù)，開學(xué)時(shí)購(gòu)進(jìn)一批煤，現(xiàn)在知道：按每天用煤0.6噸計(jì)算，一學(xué)期（按150天計(jì)算）剛好用完.若每天的耗煤量為x噸，那么這批煤能維持y天.（1）則y與x之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？（2）畫出函數(shù)圖象；（3）若每天節(jié)約0.1噸，則這批煤能維持多少天？
解：（1）煤的總量為：0.6×150=90（噸）， ∵x?y=90，∴ ．（2）函數(shù)的圖象為：（3）∵每天節(jié)約0.1噸煤，∴每天的用煤量為0.6-0.1=0.5（噸）， ∴ （天），∴這批煤能維持180天．
例3 一司機(jī)駕駛汽車從甲地去乙地，他以 80千米/時(shí)的平均速度用 6 小時(shí)到達(dá)乙地. （1） 甲、乙兩地相距多少千米？
解：80×6=480 （千米）答：甲、乙兩地相距 480 千米.
（2）當(dāng)他按原路勻速返回時(shí)，汽車的速度 v 與時(shí)間 t 有怎樣的函數(shù)關(guān)系？
解：由題意得 vt =480，
利用反比例函數(shù)解答行程問(wèn)題
A、B兩城市相距720千米，一列火車從A城去B城.（1） 火車的速度 v （千米/時(shí)） 和行駛的時(shí)間 t （時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系是 ．（2） 若到達(dá)目的地后，按原路勻速返回，并要求 在 3 小時(shí)內(nèi)回到 A 城，則返回的速度不能低于 ．
已知一艘輪船上裝有100噸貨物，輪船到達(dá)目的地后開始卸貨．設(shè)平均卸貨速度為v（單位：噸/小時(shí)），卸完這批貨物所需的時(shí)間為t（單位：小時(shí)）．（1）求 v 關(guān)于 t 的函數(shù)表達(dá)式．（2）若要求不超過(guò)5小時(shí)卸完船上的這批貨物，那么平均每小時(shí)至少要卸貨多少噸？
解：（1）由題意可得：100=vt，則 ；（2）∵不超過(guò)5小時(shí)卸完船上的這批貨物，∴t≤5，則 ，答：平均每小時(shí)至少要卸貨20噸．
2. 體積為 20 cm3 的圓柱體，圓柱體的高為 y (單位：cm） 與圓柱的底面積 S (單位：cm2） 的函數(shù)關(guān)系 ，若圓柱的底面面積為 10 mm2，則圓柱的高是 cm.
劉東家離工作單位的距離為7200 米，他每天騎自行車上班時(shí)的速度為 v 米/分，所需時(shí)間為 t 分鐘．(1) 速度 v 與時(shí)間 t 之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？
(2) 若劉東到單位用 30 分鐘，那么他騎車的平均速度是多少？
解：把 t =30代入函數(shù)的解析式，得：答：他騎車的平均速度是 240 米/分.
(3) 如果劉東騎車的速度最快為 300 米/分，那他至少需要幾分鐘到達(dá)單位?
解：把 v =300 代入函數(shù)解析式得： 解得：t =24．答：他至少需要 24 分鐘到達(dá)單位．
在某村河治理工程施工過(guò)程中，某工程隊(duì)接受一項(xiàng)開挖水渠的工程，所需天數(shù) y（天）與每天完成的工程量 x（ m/天） 的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示（1）請(qǐng)根據(jù)題意，求 y 與 x 之間的函數(shù)表達(dá)式；
(2) 若該工程隊(duì)有 2 臺(tái)挖掘機(jī)，每臺(tái)挖掘機(jī)每天能夠開挖水渠 15 m，問(wèn)該工程隊(duì)需用多少天才能完成此項(xiàng)任務(wù)？
解：由圖象可知共需開挖水渠 24×50=1200 (m)， 2 臺(tái)挖掘機(jī)需要 1200÷(2×15)=40 (天).
(3) 如果為了防汛工作的緊急需要，必須在一個(gè)月內(nèi) (按 30 天計(jì)算)完成任務(wù)，那么每天至少要完成多少 m？
解：1200÷30=40 (m)， 故每天至少要完成40 m．
實(shí)際問(wèn)題中的反比例函數(shù)
過(guò)程：分析實(shí)際情境→建立函數(shù)模型→明確數(shù)學(xué)問(wèn)題
注意：實(shí)際問(wèn)題中的兩個(gè)變量往往都只能取非負(fù)值；作實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)圖象時(shí)，橫、縱坐標(biāo)的單位長(zhǎng)度不一定相同.

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26.2 實(shí)際問(wèn)題與反比例函數(shù)

版本： 人教版（2024）

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