1.通過對“杠桿原理”等實際問題與反比例函數關系的探究,使學生體會數學建模思想和學以致用的數學理念,并能從函數的觀點來解決一些實際問題. (重點)2.掌握反比例函數在其他學科中的運用,體驗學科的整合思想. (重點、難點)
給我一個支點,我可以把地球撬動! ---阿基米德
公元前3世紀,古希臘科學家阿基米德發(fā)現:若杠桿上的兩物體與支點的距離與其重量成反比,則杠桿平衡. 后來人們把它歸納為“杠桿原理”. 通俗地說,杠桿原理為:
阻力×阻力臂=動力×動力臂
例1.小偉欲用撬棍撬動一塊大石頭,已知阻力和阻力臂分別為1200N和0.5m.(1)動力F與動力臂l有怎樣的函數關系?當動力臂為1.5m時,撬動石頭至少需要多大的力?(2)若想使動力F不超過題(1)中所用力的一半,則動力臂l至少要加長多少?
解:根據“杠桿原理”,得Fl=1200×0.5,所以F關于l的函數解析式為
  當l=1.5m時,
因此撬動石頭至少需要400N的力.
例1.小偉欲用撬棍撬動一塊大石頭,已知阻力和阻力臂分別為1200N和0.5m.(2)若想使動力F不超過題(1)中所用力的一半,則動力臂l至少要加長多少?
解:對于函數 ,F隨l的增大而減小.因此,只要求出F=200N時對應的l的值,就能確定動力臂l至少應加長的量.
當F=400×0.5=200N時,
對于函數 ,當l>0時,l越大,F越小. 因此,若想用力不超過400N 的一半,則動力臂至少要加長1.5m.
用反比例函數的知識解釋:在我們使用撬棍時,為什么動力臂越長就越省力.
某同學設計了如下杠桿平衡實驗:如圖,取一根長65cm的質地,均勻木桿,用細繩綁在木桿的中點O處并將其吊起來,在中點的左側,距離中點20cm處掛一個重9N的物體,在中點的右側,用一個彈簧測力計向下拉,使木桿保持平衡(動力×動力臂=阻力×阻力臂),改變彈簧測力計與中點O的距離L(單位:cm),觀察彈簧測力計的示數F(單位:N). 通過實驗,得到下表數據:
例2.某??萍夹〗M進行野外考察,利用鋪墊木板的方式通過一片爛泥濕地. 當人和木板對濕地的壓力一定時,隨著木板面積S(m2)的變化,人和木板對地面的壓強p(Pa)也隨之變化變化. 如果人和木板對濕地地面的壓力合計為 600N,那么(1)用含S的代數式表示p,p是S的反比例函數嗎?為什么?
p是S的反比例函數,因為給定一個S的值,對應的就有唯一的一個p值和它對應,根據函數定義,則p是S的反比例函數.
(2)當木板面積為0.2m2時,壓強是多少?
解:當S=0.2m2時,故當木板面積為0.2m2時,壓強是3000Pa.
(3) 如果要求壓強不超過6000Pa,木板面積至少要多大?
電學知識告訴我們,用電器的功率P(單位:W)、兩端的電壓U(單位:V)及用電器的電阻R(單位:Ω)有如下關系:PR=U2. ?這個關系也可寫為P=_____,或R=_____.
例3.一個用電器的電阻是可調節(jié)的,其范圍為110--220Ω.已知電壓為220V,這個用電器的電路圖如圖所示.(1)功率P與電阻R有怎樣的函數關系?(2)這個用電器功率的范圍是多少?
解:(1)根據電學知識,當U=220時,得
例3.一個用電器的電阻是可調節(jié)的,其范圍為110--220Ω.已知電壓為220V,這個用電器的電路圖如圖所示.(2)這個用電器功率的范圍是多少?
(2)根據反比例函數的性質可知,電阻越大,功率越小.把電阻的最小值R=110代入①式,得到功率的最大值 (W)把電阻的最大值R=220代入①式,得到功率的最小值 (W)因此用電器功率的范圍為220--440W.
結合例3,想一想為什么收音機的音量、某些臺燈的亮度以及電風扇的轉速可以調節(jié).
收音機的音量、臺燈的亮度以及電風扇的轉速由用電器的功率決定.
5.某氣球內充滿一定質量的氣體,當溫度不變時,氣球內氣體的氣壓p(kPa)是氣體體積V(m3)的反比例函數,其圖象如圖所示.(1)求這個函數的表達式及寫出變量V的取值范圍;(2)當氣體體積為1m3時,氣壓是多少?(3)當氣球內的氣壓大于128kPa時,氣球將爆炸,為了安全考慮,氣體的體積應不小于多少?
6.在某一電路中,保持電壓U(V)不變,電流I(A)是電阻R(?)的反比例函數,如圖是某電路電流、電阻的關系圖,其圖象經過點A(4,9). (1)求I與R的函數表達式;(2)當電阻為3?時,求電流大??;(3)如圖該電路的限制電流不能超過10A,那么該電路的可變電阻控制在什么范圍?

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26.2 實際問題與反比例函數

版本: 人教版(2024)

年級: 九年級下冊

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