題型一：手拉手模型


“手拉手”數(shù)學(xué)模型：

















⑴ ⑵ ⑶








如圖，等邊三角形與等邊三角形共點(diǎn)于，連接、，


求證：=并求出的度數(shù).


∵△ABE、△AFC是等邊三角形


∴AE=AB，AC=AF，


∴


即


∴


∴=





又∵


∴


∴


典題精練


如圖，正方形BAFE與正方形ACGD共點(diǎn)于，連接、，求證：=并求出的度數(shù).


同引例，先證明


∴BD=FC，


∵


∴








如圖，已知點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，、是等邊三角形．


⑴ 求證：.


⑵ 將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)落在上，請(qǐng)你對(duì)照原題圖在圖中畫出符合要求的圖形；


⑶ 在⑵得到的圖形中，結(jié)論“”是否還成立，若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；


⑷ 在⑵所得的圖形中，設(shè)的延長(zhǎng)線交于，試判斷的形狀，并證明你的結(jié)論．























這是一個(gè)固定后運(yùn)動(dòng)變化的探索題，且在一定的條件下，探究原結(jié)論的存在性（不變性）；


需要畫圖分析、判斷、猜想、推理論證．


⑴ ∵、是等邊三角形


∴，





∴


在和中





∴（SAS）


∴


⑵ 將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)如圖：


⑶ 在⑵的情況，結(jié)論仍然成立．


證明：∵，，．


∴（SAS），∴．


⑷ 如圖，延長(zhǎng)交于，則為等邊三角形．


證明：∵．


∴是等邊三角形．








題型二：雙垂直＋角平分線





在中，，于D，BF平分交AD于E，交AC于F.


求證：AE=AF.








，














是的角平分線














如圖，已知中，，于，的角平分線交于，交于，交于．


求證：．





要證，一般想到證明這兩條線段所在的三角形全等，由圖形可知，不存在直接全等三角形，因此要想到添加輔助線構(gòu)造全等三角形．


作于


∵，


∴（角平分線定理）


又∵


∴


∵，


∴


∴


∴


又∵，


∴


∴（AAS）


∴，


∴，


∴


∴





題型三：半角模型


典題精練


已知：正方形中，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交線段于點(diǎn).求證.





延長(zhǎng)到使


∵四邊形ABCD是正方形


∴AD=AB


在和





∴


∴AM=AE


∵ ∴


∴


在和中





∴


∴MN=EN


∴DE+DN=BM+DN=MN





如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是線段BC、CD上的點(diǎn)，且BE+FD=EF. 求證：.








延長(zhǎng)FD到H，使DH=BE，


易證，


再證














在等邊三角形的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為三角形ABC外一點(diǎn)，且,,BD=DC. 探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．





圖1 圖2





⑴如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ；


⑵如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想⑴問(wèn)的結(jié)論還成立嗎？寫


出你的猜想并加以證明.





⑴如圖1， BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系


BM+NC=MN．


⑵猜想：結(jié)論仍然成立．


證明：如圖，延長(zhǎng)AC至E，使CE=BM，連接DE．


BD=CD且．．


又△ABC是等邊三角形，


∴．


在與中：





(SAS) ．


DM=DE,





在MDN與EDN中：





(SAS)








典型的旋轉(zhuǎn)全等構(gòu)圖：“手拉手”全等模型探究；


【探究一】“手拉手”模型基本構(gòu)圖；


如圖1，若與旋轉(zhuǎn)全等，則必有與為兩個(gè)頂角相等的等腰三角形（即相似的等腰三角形）；


反之，如圖2，若有兩個(gè)頂角相等的等腰三角形與共頂角頂點(diǎn)，則必有與旋轉(zhuǎn)全等；而圖2正是“手拉手”模型的基本構(gòu)圖；





【探究二】將探究一中的普通等腰三角形換成特殊的圖形，例如等邊三角形、等腰直角三角形、正方形，然后再探究結(jié)論如何變化；





如圖3、圖4、圖5，當(dāng)兩個(gè)等邊三角形、等腰直角三角形、正方形共頂點(diǎn)時(shí)，與仍然旋轉(zhuǎn)全等，并且有兩個(gè)共同的結(jié)論；


結(jié)論1：≌；；


結(jié)論2：與所夾銳角等于兩個(gè)等腰三角形的頂角；（倒角方法如下圖6、圖7、圖8的八字模型）





【探究三】將探究二中的特殊圖形旋轉(zhuǎn)后結(jié)論是否仍然成立；


如下圖9、圖10、圖11易得探究二中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立；





【探究四】深化探究二中圖3的結(jié)論；


如圖12，可得


結(jié)論1：≌；；


結(jié)論2：；


結(jié)論3：如圖12、圖13、圖14，可得三對(duì)三角形全等（≌；≌；≌）





結(jié)論4：如圖15，連接，可得為等邊三角形；（由結(jié)論3可得）





結(jié)論5：；（由結(jié)論4可得）


結(jié)論6：連接，可得平分；（如圖16，分別作、，與分別是全等三角形與對(duì)應(yīng)邊和上的高，故相等）














題型一 手拉手模型 鞏固練習(xí)


如圖，DA⊥AB，EA⊥AC，AD=AB，AE=AC，則下列正確


的是（ ）


A. B.


C. D.


D





如圖，正五邊形ABDEF與正五邊形ACMHG共點(diǎn)于，連接、，則線段BG、CF具有什么樣的數(shù)量關(guān)系并求出的度數(shù)．


先證


可得BG=CF，


∵


∴








題型二 雙垂+角平分線模型 鞏固練習(xí)


已知AD平分，，垂足為E，,


垂足為F，且DB=DC，則EB與FC的關(guān)系（ ）


A. 相等 B. EBFC D.以上都不對(duì)


A





題型三 半角模型 鞏固練習(xí)





如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以


D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則△AMN的周長(zhǎng)為 ．


6























如圖，在四邊形中，，


，、分別是邊、延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且


，求證：


























證明：在上截取，使，連接．


∵，，


∴．


∵，


∴．


∴，．


∴．


∴．


∵，


∴．


∴


∵，∴．








思維拓展


如圖，為線段上一點(diǎn)，分別以、為邊在同側(cè)作等邊和等邊，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：．























本題中，與是等邊三角形，因此，，


，因?yàn)椤?、在同一條直線上，故．這樣可以得到，，故可以得到，則，，所以，故．


∵和是等邊三角形（已知）


∴，（等邊三角形的各邊都相等）


（等邊三角形的每個(gè)角都等于）


∵


∴，．


在和中，


∴（SAS）


∴（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）


在和中，


∴（ASA）


∴（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）


∴（等邊對(duì)等角）


∵（三角形內(nèi)角和定理）


∴．


∴（等量代換）


∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）





條件：正方形，在延長(zhǎng)線上，在延長(zhǎng)線上，．


結(jié)論：⑴ ；⑵ .

















⑴在CD上取一點(diǎn)Q，使DQ=BM


先證


可得AM=AQ


再證


∴MN=NQ


∴


⑵可證△ANH≌△AND，


∴AH=AD=AB





如圖，在中，銳角的平分線交對(duì)邊于，又交斜邊的高于，過(guò)引，交于，請(qǐng)問(wèn)與相等嗎？理由是什么？





相等．理由如下：


如圖，過(guò)作于


∵平分，∴


∵，


∴，


∴


∵，


∴


∴


∵平分，，


∴，


∴，∵


∴，


∴


∴（AAS）


∴


∴


∴．





如圖，△ABD為等腰直角三角形，，


求證：以、、為邊的三角形是直角三角形.














過(guò)B作BD的垂線并取BQ=ND，連接AQ、QM


先證


再證


∴以、、為邊的三角形是直角三角形.














課后測(cè)試


如圖，等腰直角△ADB與等腰直角△AEC共點(diǎn)于，連接、，則線段BE、CD具有什么樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系


先證明


∴BE=CD，再類似例1倒角即可得到BE⊥CD




















如圖，△ABD為等腰直角三角形，，


求證：以、、為邊的三角形是直角三角形.


過(guò)B作BD的垂線并取BQ=ND，連接AQ、QM


先證


再證


∴以、、為邊的三角形是直角三角形.





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