中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)復(fù)習(xí)《幾何模型》初中數(shù)學(xué)最值問題經(jīng)典100題（2份打包，原卷版+教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.解延長BC至點 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，如圖4.1所示，
∴AC垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴AC平分 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形.
∵點P為AC上一點，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 、P、D在同一直線上時，如圖4.2所示， SKIPIF 1 < 0 取得最小值.
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案是C.

思路點撥:
這是典型的“將軍飲馬”型線段和最值問題，利用對稱法將動線段構(gòu)造至動點P所在直線的兩側(cè)；根據(jù)“兩點之間線段最短”找到最小值位置，利用勾股定理進行計算即可.
拓展若點D為邊AB上任意一定點，則依舊可以根據(jù)勾股定理和60°特殊角計算 SKIPIF 1 < 0 的長度；若點D是邊AB上的一動點，則 SKIPIF 1 < 0 將變?yōu)橐粭l動線段，利用“垂線段最短”可確定最值位置還是在中點處.
2.如圖3.2所示，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，動點P滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則點P到AB兩點距離之和PA+PB的最小值為 .
2.解令點P到AB的距離為d.
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴點P為到AB距離為2的直線 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上的點.
直線 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于AB對稱，因此選其中一條進行計算.
作點B關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 的對稱點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，如圖4.3所示，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng)A、P、 SKIPIF 1 < 0 三點共線時取得最小值，如圖4.4所示.
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 .
思路點撥:
這是典型的“將軍飲馬”型線段和最值問題.根據(jù)題目中中給出的面積關(guān)系，可判斷點P的運動軌跡為直線（或稱為“隱線”）；利用軸對稱的性質(zhì)，構(gòu)造對稱點 SKIPIF 1 < 0 ，再運用線段公理獲得不等式；根據(jù)勾股定理計算最值 SKIPIF 1 < 0 .
3.如圖3.3所示，在矩形ABCD中，AD=3，點E為邊AB上一點，AE=1，平面內(nèi)動點P滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 .
3.解令點P到AB的距離為d.
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴點P在到AB距離為2的直線 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上，如圖4.5所示.
作點E關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 的對稱點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 并延長交直線 SKIPIF 1 < 0 于點P，連接EP，如圖4.6所示，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
當(dāng)點P在直線 SKIPIF 1 < 0 上時， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng)D、 SKIPIF 1 < 0 、P三點共線時取得最大值 SKIPIF 1 < 0 .
當(dāng)點P在直線 SKIPIF 1 < 0 上時， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng)D、E、P三點共線時取得最大值，如圖4.7所示.
在Rt△ADE中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴當(dāng)點P為DE的延長線與直線 SKIPIF 1 < 0 的交點時有最大值 SKIPIF 1 < 0 .
思路點撥:
解法如題2，需要找出滿足條件的點P所在的“隱線”，這里兩條直線均要考慮（因為圖形不對稱）.由于兩邊之差小于第三邊，在共線時取得最大值，故遵循“同側(cè)點直接延長，異側(cè)點需對稱后再延長”的規(guī)律，分別計算最大值并進行大小比較.
特別說明筆者認(rèn)為這里的最大值只能取一個值.改編此題的目的是讓大家不要忽略矩形外的“隱線”，畢竟題中敘述點P時用的是“平面內(nèi)”，而非“矩形內(nèi)”.
4.已知 SKIPIF 1 < 0 ，則y的最小值為 .
4.解原式 SKIPIF 1 < 0 .
建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則AB在x軸的兩側(cè)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)A、P、B三點共線時，y值最小，∴ SKIPIF 1 < 0 .
思路點撥:
若將式子看作函數(shù)，對于初中生來說解題難度較大.若換個角度，將每一個根式都看作是兩點間的距離（距離公式是平面直角坐標(biāo)系中的勾股定理），則將問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的幾何最值模型——兩點之間線段最短.
5.已知 SKIPIF 1 < 0 ，則y的最大值為 .
5.解原式 SKIPIF 1 < 0 .
建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)A、P、B三點共線，即點P在AB延長線上時y值最大，∴ SKIPIF 1 < 0 .
思路點撥:
閱讀題目時需觀察清楚“＋”或“－”，切不可盲目下筆.本題與題4形式相似，解法相近，但是又有所不同.將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的兩條線段的差；利用三邊關(guān)系中的兩邊之差小于第三邊，共線時取等找到最大值.
6．如圖3.4所示，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4 SKIPIF 1 < 0 ，點D是邊AB上一動點，連接CD，以AD為直徑的圓交CD于點E，則線段BE長度的最小值為．
解：連接AE，取AC得中點F，連接EF，如圖4．8所示
∵AD是圓的直徑
∴∠AED＝90°
∴∠AEC＝90°
∴EF＝ SKIPIF 1 < 0 AC＝2
∴點E的軌跡為以點F為圓心的圓?。▓A的定義）
∴BE≥BF－EF
當(dāng)且僅當(dāng)B、E、F三點共線時等號成立，如圖4．9所示
在Rt△ABF中，AF＝2，AB＝4
∴BF＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝BF－EF＝2 SKIPIF 1 < 0 －2
思路點撥
閱讀題目時要找到三條關(guān)鍵信息：點E為圓周上一點，AD所對的圓周角是90°，∠DEC是平角，連接AE后就找到了定弦定角（或斜邊上的中線），若一個角的度數(shù)和其所對的一條線段均為定值，則這個角的頂點的軌跡為圓（根據(jù)題目需求判斷是否需要考慮兩側(cè)）．因此判斷出點E的軌跡是圓（不是完整的圓，受限于點D的運動范圍）．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，知B、E、F三點共線時BE取得最小值．
7．如圖3.5所示，正方形ABCD的邊長是4，點E是邊AB上一動點，連接CE，過點B作BG⊥CE于點G，點P時邊AB上另一動點，則PD＋PG的最小值為．
解：取BC得中點F，連接GF，作點D關(guān)于AB的對稱點D′，連接D′P、D′A，如圖4.10所示．
∴DP＝D′P
∵∠BGC＝90°，點F為BC的中點
∴GF＝ SKIPIF 1 < 0 BC＝2
∵PD＋PG＝PD′＋PG≥D′G
又D′G＋GF≥D′F
∴PD＋PG＋GF≥D′F－GF
如圖4．11所示，當(dāng)且僅當(dāng)D′、P、G、F四點共線時取得最小值．
根據(jù)勾股定理得D′F＝ SKIPIF 1 < 0 ＝2 SKIPIF 1 < 0
∴PD＋PG的最小值為2 SKIPIF 1 < 0 －2
思路點撥
不難發(fā)現(xiàn)∠BGC＝90°是個定角，因此點G的軌跡為以BC為直徑的圓（部分），可以通過斜邊上的中線構(gòu)造長度不變的動線段，再利用三邊關(guān)系求解．
8．如圖3.6所示，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，點E、F分別為邊AD、DC上的點，且EF＝2，點G為EF的中點，點P為邊BC上一動點，則PA＋PG的最小值為．
解：作點A關(guān)于BC的對稱點A′，連接A′B、A′P、DG，如圖4.12所示
∴PA′＝PA
∴PA＋PG＝PA′＋PG
∵∠ADC＝90°，EF＝2
∴DG＝ SKIPIF 1 < 0 EF＝1
∵PA′＋PG＋DG≥A′D
∴PA′＋PG≥A′D－DG
如圖4．13所示，當(dāng)且僅當(dāng)A′、P、G、D四點共線時等號成立
根據(jù)勾股定理得
A′D＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝5
∴PA＋PG的最小值為4．
思路點撥
與題7的已知條件是相似的，解法幾乎一致，抓住核心條件，線段EF始終不變，線段EF所對的角為直角，因此斜邊上的中線DG始終不變，從而判斷出點G的軌跡圖形為圓．利用軸對稱的性質(zhì)將線段和最小值問題轉(zhuǎn)化為點到動點的距離最小值問題，再根據(jù)圓外一點到圓周上一點的距離最值求解．
9．在平面直角坐標(biāo)系中，A(3，0)，B(a，2)，C(0，m)，D(n，0)，且m2＋n2＝4，若點E為CD的中點，則AB＋BE的最小值為（）
A．3B．4C．5D．25
解：∵C(0，m)，D(n，0)，m2＋n2＝4，
∴CD2＝4，
∴CD＝2
在Rt△COD中，點E為CD的中點
∴OE＝1，即點E在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上．
作圖4．14，連接OE，過點A作直線y＝2的對稱點A′，連接A′B、A′O
∴A′(3，4)
∴AB＋BE＝A′B＋BE＝A′B＋BE＋EO－EO≥A′O－EO
如圖4.15所示，當(dāng)且僅當(dāng)A′、B、E、O四點共線時等號成立．
根據(jù)勾股定理得A′O＝ SKIPIF 1 < 0 ＝5
∴AB＋BE的最小值為4
思路點撥
根據(jù)兩點之間的距離公式m2＋n2＝CD2，得到CD的長度；由已知條件判斷出OE為斜邊上的中線，OE＝ SKIPIF 1 < 0 CD（定值）；根據(jù)圓的定義可知點E的軌跡是以坐標(biāo)原點為圓心、 SKIPIF 1 < 0 CD為半徑的圓；利用對稱的性質(zhì)將線段和的最值問題轉(zhuǎn)化為圓外一點到圓周上一點的距離最值問題．
10．如圖3.7所示，AB＝3，AC＝2，以BC為邊向上構(gòu)造等邊三角形BCD，則AD的取值范圍為．
解：以AB為邊向上作等邊△ABE，連接DE，如圖4．16所示
∴AB＝BE，CB＝BD，∠ABC＝∠EBD＝60°－∠CBE
在△ABC和△EBD中
SKIPIF 1 < 0
∴△ABC≌△EBD(SAS)
∴DE＝AC＝2
∴點D的軌跡是以點E為圓心，2為半徑的圓．
∴AE－ED≤AD≤AE＋ED
如圖4．17和圖4．18所示，當(dāng)且僅當(dāng)A、E、D三點共線時取得最值
∴1≤AD≤5
思路點撥
這樣理解AB＝3，AC＝2這個條件：固定一邊AB，∠CAB可以自由變化，因此點C的軌跡是以點A為圓心、2為半徑的圓．通過構(gòu)造全等圖形找出點D的運動軌跡．利用圓外一點到圓周上的距離最值來解決問題．
拓展本題的解法較多，對于“定點＋動點”的最值問題，探究動點的軌跡圖形時直接的方法．
11.如圖3.8所示，AB=3，AC=2，以BC為腰（點B為直角頂點）向上構(gòu)造等腰直角三角形BCD，則AD的取值范圍為；

解答：以AB為腰做等腰直角△ABE（∠ABE=90°），連接DE，如圖4.19所示，
∴AE=AB=3，∠ABC=∠EBD=90°－∠CBE，
在△ABC和△EBD中
∴△ABC≌△EBD（SAS）
∴ED=AC=2
∴點D的軌跡為以點E為圓心、2為半徑的圓
∴AE－ED≤AD≤AE＋ED
如圖4.20和圖4.21所示，當(dāng)且僅當(dāng)A，E，D三點共線時取得最值，
∴3－2≤AD≤3＋2
思路點撥：解題方法基本同上題，也是通過構(gòu)造全等圖形找出點D的運動軌跡上，再利用圓外一點到圓周上的距離最值來解決問題
12. 如圖3.9所示，AB=4，AC=2，以BC為底邊向上構(gòu)造等腰直角三角形BCD，則AD的取值范圍為，
解答：以AB為底邊構(gòu)造等腰直角△AEB（∠AEB=90°），連接DE，如圖4.22所示，
∴AE=AB=2，∠EBA=∠CBD=45°
∵
∴△ABC∽△EBD
∴DE=AC=
∴點D的軌跡為以點E為圓心、為半徑的圓
AE－ED≤AD≤AE＋ED
如圖4.23和圖4.24所示，當(dāng)A、E、D三點共線時取得最值
∴≤AD≤3
思路點撥：與前面兩題不同的是，由于旋轉(zhuǎn)中心不再是等腰三角形頂角的頂點，因此構(gòu)造全等圖形變成構(gòu)造相似圖形，從而找出點D的運動軌跡，最后根據(jù)圓外一點到圓周上的距離最值來解決問題
13. 如圖3.10所示，AB=4，AC=2，以BC為底邊向上構(gòu)造等腰直角三角形BCD，連接AD并延長至點P，使AD=PD，則PB的取值范圍為，
解答：以AB為底邊構(gòu)造等腰直角△AEB（∠AEB=90°），連接DE，如圖4.25所示，
∴AE=AB=2，∠EBA=∠CBD=45°
∵
∴△ABC∽△EBD
∴DE=AC=
∴點D的軌跡為以點E為圓心、為半徑的圓
延長AE至點Q，使AE=EQ，連接PQ、BQ，
∵AD=DP，∴DQ=2DE=2
如圖4.23和圖4.24所示，當(dāng)A、E、D三點共線時取得最值
∵BE垂直平分AQ，∴AB=BQ
∵∠QAB=45°，∴△ABQ為等腰直角三角形，∴BQ=AB=4
∴BQ－PQ≤PB≤BQ＋PQ
如圖4.26和圖4.27所示，當(dāng)B、P、Q三點共線時取得最值
∴4－2≤PB≤4＋2
思路點撥：注意到點P的產(chǎn)生與中點有關(guān)，點P的運動與點D“捆綁”在一起，故可通過構(gòu)造中位線來判斷點P的運動軌跡，再利用圓外一點到圓周上的距離最值來解決問題
14. 如圖3.11所示，正六邊形ABCDEF的邊長為2，兩頂點A、B分別在x軸和y軸上運動，則頂點D到坐標(biāo)原點O的距離的最大值和最小值的乘積為；
解答：取AB的中點G，連接DG、OG，如圖4.28所示，
∵∠AOB=∠xOy=90°，∴OG=AB=1，
連接DB、OD
∴△DCB為等腰三角形
∵∠C=120°，∴∠DBC=30°，DB=DC=2，
∴∠DBA=120°－30°=90°
在Rt△DGB，GB=1，∴DG=
∴DG－OG≤OD≤OG＋DG
當(dāng)且僅當(dāng)O、G、D三點共線時取得最值
D、G在點O同側(cè)時取得最大值，在點O異側(cè)時取最小值，如圖4.29所示，
∴－1≤OD≤＋1
∴OD的最大值和最小值乘積為=12
思路點撥：這個是“墻角”型問題，類似于梯子在墻角滑動，將墻角變?yōu)槠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，這樣移動的范圍能擴大到負(fù)方向；利用“墻角”產(chǎn)生的直角，以及AB邊長不變的特點，作出AB的中點G，利用斜邊上的中線OG和位置固定的兩點D、G來構(gòu)造兩條大小不變、位置變化的線段OG、DG；利用兩邊之和與兩邊之差得到OD的最大值和最小值；
另辟蹊徑：利用相對運動的知識，我們假設(shè)正六邊形是不變的，坐標(biāo)系可以繞著正六邊形運動；利用∠AOB=90°，AB=2，判斷出點O的運動軌跡為一個圓，如圖4.30所示，
利用圓外一點到圓周上的距離最值解得OD的最大值和最小值；讀者可以自行計算驗證
15. 如圖3.12所示，AB=4，點O為AB的中點，⊙O的半徑為1，點P是⊙O上一動點，△PBC是以PB為直角邊的等腰直角三角形（點P、B、C按逆時針方向排列），則AC的取值范圍為；

解答：如圖4.31所示，以O(shè)B為腰向上構(gòu)造等腰直角△OBQ，連接OP、CQ、AQ；
在等腰直角△OBQ和等腰直角△BPC中，，∠QBO=45°，
∴∠CBQ=45°－∠QBP=∠PBO，∴△CBQ∽△PBO
∴，∴CQ=
∴點C在以點Q為圓心，為半徑的圓上，
∵OQ=OB=OA=2，∠QOB=90°
∴AQ==2
∴AQ－QC≤AC≤AQ＋QC
如圖4.32和圖4.33所示，當(dāng)且僅當(dāng)A、C、Q三點共線時取得最值，
∴≤AC≤3
思路點撥：由于△PBC形狀固定，兩個動點P、C到點B的距離之比始終不變，這是比較典型的位似旋轉(zhuǎn)，也可理解為點P、C“捆綁”旋轉(zhuǎn)；旋轉(zhuǎn)過程中，點C的軌跡與點P的軌跡圖形相似，相似比為:1；利用相似找出動點C軌跡的圓心，AC的最值即定點A到定圓上一動點的距離的最值
16.如圖3.13所示，⊙O的半徑為3，Rt△ABC的頂點A、B在⊙O上，∠B＝90°，點C在⊙O內(nèi)，且tanA＝ SKIPIF 1 < 0 .當(dāng)點A在圓上運動時，OC的最小值為( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
答案：連接OB，過點B向下作BD⊥OB，取BD＝ SKIPIF 1 < 0 OB，連接AD，如圖4.34所示.
∵∠CBA＝∠OBD＝90°，∴∠OBC＝90°－∠OBA＝∠DBA.
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，∴△OCB∽△DAB，∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 .
∵AD≥OD－OA＝ SKIPIF 1 < 0 －OA＝2，當(dāng)且僅當(dāng)O、A、D三點共線時取得最值，
∴OC＝ SKIPIF 1 < 0 AD≥ SKIPIF 1 < 0 ×2＝ SKIPIF 1 < 0 .
思路點撥
又是比較典型的位似旋轉(zhuǎn)問題，我們利用相似的性質(zhì)將OC的最值問題轉(zhuǎn)化為AD的最值問題.通過旋轉(zhuǎn)型相似構(gòu)造Rt△OBD，其中∠OBD＝90°，∠ODB＝∠CAB，因此點D為定點.另外，由△OCB∽△DAB得到OC和AD之間的固定比例，從而可利用AD的最值求解OC的最值.AD的最值即為圓外一點到圓周上一點的距離最值.
另辟蹊徑根據(jù)直徑所對的圓周角為90°，找到直徑AD，而∠ACD＝180°－∠ACB為定值，因此由定弦定角得出點C的軌跡為圓弧，可根據(jù)圖4.35所示計算OC的最小值.
17.如圖3.14所示，在平面直角坐標(biāo)系中，Q(3，4)，點P是以Q為圓心、2為半徑的⊙Q上一動點，A(1，0)，B(－1，0)，連接PA、PB，則PA2＋PB2的最小值是___________.
答案：連接OP、QP、OQ，如圖4.36所示.設(shè)P(x，y).
根據(jù)兩點距離公式得
∴PA2＝(x－1)2＋y2，PB2＝(x＋1)2＋y2，
∴PA2＋PB2＝2x2＋2y2＋2＝2(x2＋y2)＋2.
∴OP＝ SKIPIF 1 < 0 ，∴OP2＝x2＋y2，∴PA2＋PB2＝2OP2＋2，
要求PA2＋PB2的最小值，即求OP2的最小值，也就是求OP的最小值，∴OP≥OQ－PQ，
如圖4.37所示，當(dāng)且僅當(dāng)O、P、Q三點共線時取得最值，
∴OP＝5－2＝3，∴PA2＋PB2＝2OP2＋2≥2×32＋2＝20.
思路點撥
根據(jù)PA2＋PB2這樣的形式，產(chǎn)生兩個聯(lián)想，一是勾股定理，二是坐標(biāo)公式.要使用勾股定理，就得把PA和PB構(gòu)造為兩條直角邊，在題圖中難以實現(xiàn)，所以轉(zhuǎn)而利用坐標(biāo)公式表達(dá)，我們便發(fā)現(xiàn)PA2＋PB2與OP2的聯(lián)系，而OP的最小值即圓外一點到圓周上一點的距離最小值.
弦外之音我們會發(fā)現(xiàn)，雖然點P在動，但OP始終是△ABP邊AB上的中線，且AB是個定值，我們可以直接利用中線長公式得到PA2＋PB2＝2OP2＋ SKIPIF 1 < 0 ，接下來的計算和上面是一致的.公式的應(yīng)用有助于對思路的拓展，因此學(xué)有余力的同學(xué)可以自行推導(dǎo)中線長公式(僅用勾股定理即可).
18.如圖3.15所示，兩塊三角尺的直角頂點靠在一起，BC＝3，EF＝2，G為DE上一動點.將三角尺DEF繞直角頂點F旋轉(zhuǎn)一周，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，B、G兩點的最小距離為___________.
答案：在Rt△DEF中，CE＝2，∠CDE＝30°，∴DF＝2 SKIPIF 1 < 0 ，DE＝4.
如圖4.38所示，當(dāng)點G與點D重合時，CGmax＝DF＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)CG⊥DE時，CGmin＝h＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ≤CG≤2 SKIPIF 1 < 0 .
當(dāng)CG＝3時，以C為圓心、CG為半徑的圓恰好經(jīng)過點B.
在△DEF旋轉(zhuǎn)的過程中，點G會經(jīng)過點B.
因此，當(dāng)BG恰好重合時，BG取得最小值為0.
思路點撥
這是個“特別”的題，點G是DE上一動點，因此在轉(zhuǎn)動的過程中，點G的軌跡不是線而是面，這個面的形狀為以點C為圓心、分別以CGmin和CGmax為半徑的同心圓環(huán)，點B也在這個“面軌跡”中，因此BG的最小值為0.
19.如圖3.16所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2 SKIPIF 1 < 0 ，△ADC與△ABC關(guān)于AC對稱，點E、F分別是邊DC、BC上的任意一點，且DE＝CF，BE、DF相交于點P，則CP的最小值為( )
A.1 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D.2
答案：連接BD，如圖4.39所示.
∵△ADC與△ABC關(guān)于AC對稱，∠ACB＝30°，∴BC＝CD，∠BCD＝60°，
∴△BDC是等邊三角形，∴BD＝CD，∠BDC＝∠BCD＝60°.
在△BDE和△DCF中，BD＝CD，∠BDC＝∠BCD，DE＝CF，
∴△BDE≌△DCF(SAS)，∴∠BED＝∠DFC.
∵∠BED＋∠PEC＝180°，∴∠PEC＋∠DFC＝180°，
∴∠DCF＋∠EPF＝∠DCF＋∠BPD＝180°.
∵∠DCF＝60°，∴∠BPD＝120°.
∵點P在運動中保持∠BPD＝120°，
∴點P的運動路徑為以A為圓心、AB為半徑的120°的弧.
當(dāng)C、P、A三點共線時，CP能取到最小值，如圖4.40所示，
∴CP≥AC－AP＝2，即線段CP的最小值為2.
思路點撥
需要熟悉等邊三角形中的常見全等圖形.因為點P在運動中保持∠BPD＝120°，BD又是定長，所以點P的路徑是一段以點A為圓心的弧，于是將CP的最小值轉(zhuǎn)化為圓外一點到圓上一點的距離最小值.
20.如圖3.17所示，sinO＝ SKIPIF 1 < 0 ，長度為2的線段DE在射線OA上滑動，點C在射線OB上，且OC＝5，則△CDE周長的最小值為___________.
答案：過點C作CC'∥DE且CC'＝DE，連接C'E，如圖4.41所示，
∴四邊形CC'ED為平行四邊形，∴C'E＝CD.
作點C關(guān)于OA的對稱點C″，連接C″E、C″D、C″C，∴CE＝C″E，
∴CD＋CE＝C'E＋CE＝C'E＋C'″E≥C'C"，
當(dāng)且僅當(dāng)C'、E、C"三點共線時取得最值，如圖4.42所示.
∵CC"關(guān)于OA對稱，∴OA垂直平分CC"，
∴CC"＝2CF＝2OC·sinO＝6.
在Rt△CC'C"中，C'C"＝ SKIPIF 1 < 0 ＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴△CDE周長的最小值為2 SKIPIF 1 < 0 ＋2.
思路點撥
因為DE為定值，所以△CDE周長的最小值問題轉(zhuǎn)變?yōu)镃D＋CE的最小值問題.似“飲馬”非“飲馬”，注意觀察，這是一定兩動問題.利用平移將動線段DE“壓縮”為一個動點；軸對稱后根據(jù)兩點之間線段最短找到最小值線段，再根據(jù)勾股定理計算即可解決問題.
21、如圖3.18所示，在矩形ABCD中，AB=6，MN在邊AB上運動，MN=3，AP=2，BQ=5，則PM+MN+NQ的最小值是______________。

解：作 SKIPIF 1 < 0 ，作點 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于直線AB的對稱點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于點H，如圖4.43所示， SKIPIF 1 < 0 四邊形MNQQ’為平行四邊形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，如圖4.44所示，當(dāng)P、M、 SKIPIF 1 < 0 三點共線時， SKIPIF 1 < 0 取得最小值。 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于AB對稱， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，AH=BQ=5， SKIPIF 1 < 0 PH=AP+AH=2+5=7。在Rt△PH SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 =3， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 PM+MN+NQ的最小值為3+ SKIPIF 1 < 0 。

思路點撥：作 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，作點 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于AB的對稱點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)P、M、 SKIPIF 1 < 0 三點共線時，PM+MN+NQ的值最小。作 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 即可解決問題。
22、如圖3.19所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=900，AB=6，D為AB的中點，E為CD上的點，且CE=2DE，PQ為AB上的動線段，PQ=1，F(xiàn)為AC上的動點，連接EQ、FP，則EQ+FP的最小值為__________。

解：過點E作EE’∥PQ，取EE’=PQ=1，作點E’關(guān)于AB的對稱點E’’，連接E’P、E’’P，如圖4.45所示， SKIPIF 1 < 0 四邊形EE’PQ為平行四邊形，E’P=E’’P， SKIPIF 1 < 0 E’P=EQ， SKIPIF 1 < 0 EQ+FP=E’P+FP=E’’P+FP SKIPIF 1 < 0 E’’F，如圖4.46所示，當(dāng)且僅當(dāng)E’’、P、F三點共線且E’’F⊥AC時取到最小值。當(dāng)E’’F⊥AC時，設(shè)E’E’’與AD的交點為G，E’’F與AD的交點為H，如圖4.47所示。 SKIPIF 1 < 0 E’與E’’關(guān)于AB對稱， SKIPIF 1 < 0 E’’G=E’G=ED=1， SKIPIF 1 < 0 AG=2， SKIPIF 1 < 0 ∠A=450， SKIPIF 1 < 0 ∠FHA=∠E’’HG=450， SKIPIF 1 < 0 HG=E’’G=1， SKIPIF 1 < 0 AH=AG－HG=1。在等腰直角△AFH和△HGE’’中，AH=1，HG=1， SKIPIF 1 < 0 FH= SKIPIF 1 < 0 ，E’’H= SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 E’’F=E’’H+FH= SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 當(dāng)E’’F⊥AC時，E’’F取得最小值為 SKIPIF 1 < 0 。

思路點撥：作EE’∥PQ，取EE’=PQ，構(gòu)造平行四邊形，將EQ+FP的長度轉(zhuǎn)化為E’P＋FP的長度來找最小值。作對稱點，構(gòu)造“將軍飲馬”模型，再利用“垂線段最短”求出最小值。與題21類似，本題也要將線段PQ“壓縮”為一個點，屬于平移后求垂線段長度的問題。
23、如圖3.20所示，在正方形ABCD中，AB=4，E、F分別為AB、AD的中點，MN和PQ分別是邊BC、CD上的線段，MN=PQ=1，依次連接EM、NP、QF、EF，則六邊形EMNPQF周長的最小值為____________。

解：分別過點E、F作BC、CD的平行線，截取EE’=FF’=MN=PQ，作點E’關(guān)于BC的對稱點E’’，點F’關(guān)于CD的對稱點F’’，連接E’N、E’’N、F’P、F’’P，如圖4.48所示， SKIPIF 1 < 0 四邊形EE’NM和四邊形FF’PQ為平行四邊形， SKIPIF 1 < 0 EM=E’N，F(xiàn)Q=F’P。 SKIPIF 1 < 0 點E’、E’’關(guān)于BC對稱，N為BC上的點， SKIPIF 1 < 0 E’N=E’’N。同理，F(xiàn)’P=F’’P。六邊形EMNPQF的周長=EM+MN+NP+PQ+FQ+EF，其中MN、PQ、EF為定值，要求周長最小值即求EM+NP+FQ的最小值。 SKIPIF 1 < 0 EM+NP+FQ=E’’N+NP+F’’P SKIPIF 1 < 0 E’’F’’，如圖4.49所示，當(dāng)E’’、N、P、F’’四點共線時取到最小值。建立如圖4.50所示的坐標(biāo)系，由題意得點E的坐標(biāo)為（0，2）， SKIPIF 1 < 0 E’（1，2）， SKIPIF 1 < 0 E’’（1，－2）。同理可得F’’（6，3）， SKIPIF 1 < 0 E’’F’’= SKIPIF 1 < 0 。 SKIPIF 1 < 0 AE=AF=2， SKIPIF 1 < 0 EF= SKIPIF 1 < 0 AE= SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 六邊形EMNPQF的周長最小值為 SKIPIF 1 < 0 ＋2。

思路點撥：本題中有兩條定線段平移，那我們就仿照上兩題的方法平移兩次即可。分別構(gòu)造平行四邊形EE’NM和平行四邊形FF’PQ，將六邊形EMNPQF的周長最小值問題轉(zhuǎn)化為E’’N+NP+F’’P的最小值問題（屬于“郵差送信”問題），依舊作出對稱點，根據(jù)兩點之間線段最短求出最小值。這里求解最小值時用到了平面直角坐標(biāo)系，這是“偷懶”的一種計算方法，相當(dāng)于在平面直角坐標(biāo)系的背景下應(yīng)用勾股定理，亦可根據(jù)勾股定理求解E’F’。與題21，題22相比，本題是兩次平移后的“兩點之間距離”問題。
24、如圖3.21所示，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E、F分別為AD、BC上的動點，且EF⊥AC，連接AF、CE，則AF+CE的最小值為_____________。

解：過點C作CG∥EF，且CG=EF，連接FG、AG，如圖4.51所示， SKIPIF 1 < 0 四邊形ECGF為平行四邊形， SKIPIF 1 < 0 EC=FG。在圖4.52中，過點B作BH∥EF， SKIPIF 1 < 0 四邊形BFEH為平行四邊形， SKIPIF 1 < 0 EF=BH。 SKIPIF 1 < 0 EF⊥AC， SKIPIF 1 < 0 △ABC∽△HAB， SKIPIF 1 < 0 BH：AC=EF:AC=AB:BC。綜上所述，CG⊥AC且CG=EF= SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 G為定點， SKIPIF 1 < 0 AF＋CE=AF＋FG SKIPIF 1 < 0 AG，如圖4.53所示，當(dāng)A、F、G三點共線時取到最小值。在矩形ABCD中，AB=2，BC=4， SKIPIF 1 < 0 AC= SKIPIF 1 < 0 ，在Rt△ACG中，AG= SKIPIF 1 < 0 。

思路點撥：本題要求兩條線段和的最小值，而對分開的兩線段不易判斷最值的問題，所以需要將它們合并起來，可采用的方法是全等轉(zhuǎn)換，我們這里使用的是平移變換。將線段CE平移至以點F和另一個固定點G為端點的線段位置，即可根據(jù)兩點之間線段最短解決最小值問題。
25、如圖3.22所示，在?ABCD中，AD=7，AB= SKIPIF 1 < 0 ，∠B=600，E是邊BC上任意一點，沿AE剪開，將△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四邊形AEFD，則四邊形AEFD周長的最小值為____________。

解：如圖4.54所示，將△ABE平移， SKIPIF 1 < 0 △ABE≌△DCF， SKIPIF 1 < 0 AE=DF，BE=CF。在?ABCD中，AD=BC， SKIPIF 1 < 0 AD=EF， SKIPIF 1 < 0 四邊形AEFD的周長=2AD＋2AE=14＋2AE。如圖4.55所示，當(dāng)AE⊥BC時，AE取得最小值。在Rt△ABC中，∠B=600， SKIPIF 1 < 0 AE=AB. SKIPIF 1 < 0 =3， SKIPIF 1 < 0 四邊形AEFD周長的最小值=14＋6=20。

思路點撥：四邊形AEFD依舊是一個平行四邊形，周長等于2（AD＋AE），故將四邊形AEFD周長的最小值問題轉(zhuǎn)化為AE的最小值問題。根據(jù)“點到直線，垂線段最短”即可解決問題。
26.如圖1所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，點D、E分別是AB、AC的中點，點G、F在BC邊上（均不與端點重合），DG∥EF.將△BDG繞點D順時針旋轉(zhuǎn)180°，將△CEF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)180°，拼成四邊形MGFN，則四邊形MGFN周長l的取值范圍是________.
圖1
26.解：由題意得△BGD≌△AMD，
∴∠M＝∠DGB，
∴AM/∥BG，
∴四邊形MGFN為平行四邊形，
∴l(xiāng)＝2（GF＋GM）.
∵GF＝MN＝BG＋CF＝BC－GF，
∴GF＝ SKIPIF 1 < 0 BC＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵GM＝2DG，
.∴當(dāng)DG取得最小值時，四邊形MGFN的周長最小；同理，當(dāng)DG取得最大值時，四邊形MGFN周長最大.
如圖1和圖2所示，當(dāng)DG⊥BC時，DG取得最小值；若點G與點B重合，則DG取得最大值.

圖1 圖2
當(dāng)DG⊥BC時，
∵∠B是公共角，
∴△BDG∽△BCA，
∴BD∶BC＝DG∶AC，
∴DG＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ≤DG＜2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ≤l＜13
思路點撥：四邊形MGFN為平行四邊形，而GF為定值，所以將周長的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為線段DG（EF）的取值范圍問題，當(dāng)DG⊥BC時DG取得最小值；由于點G、F與端點均不重合，因此最大值取不到.
27.如圖1所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB.若CD＝3，則S△ABC的最小值為_______.
圖1
27.解：取AB的中點E，連接CE，如圖1所示，
圖1
∴CE＝ SKIPIF 1 < 0 AB.
∵CD⊥AB，.
∴CE≥CD，
∴AB≥2CD＝6，
當(dāng)且僅當(dāng)D為AB的中點時取到最小值，∴S△ABC的最小值為9.
思路點撥
CD為定值，則當(dāng)AB最小時，S△ABC取得最小值.根據(jù)“斜邊上的中線等于斜邊的一半”和“垂線段最短”，找到當(dāng)D為AB的中點時，AB取得最小值為2CD.直角三角形中斜邊上的中線是一個比較容易被忽略的知識點，尤其是在需要主動去構(gòu)造的時候.
28.如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點O為圓心、2為半徑畫⊙O，P是⊙O上一動點且點P在第一象限內(nèi)，過點P作⊙O的切線與x軸相交于點B，與y軸相交于點A，則線段AB的最小值是________.
圖1
28.解：取AB的中點Q，連接OP、OQ，如圖1所示，
圖1
∴OQ＝ SKIPIF 1 < 0 AB.
∵OP≤OQ，
∴ SKIPIF 1 < 0 AB≥OP，
∴AB≥4，
即AB的最小值為4，此時△AOB為等腰直角三角形.
思路點撥
要求AB的最小值，只需取AB的中點，求出斜邊上的中線的最小值，根據(jù)“垂線段最短”，AB的最小值在OP與斜邊上的中線重合時取到.
29.如圖1所示，在矩形ABCD中，BC＝8，AB＝6，經(jīng)過點B和點D的兩個動圓均與AC相切，且與AB、BC、AD、DC分別交于點G、H、E、F，則EF＋GH的最小值是______.
圖1
29.解：設(shè)切點為N，連接OD、ON，作出AC邊上的高DM，如圖1所示.
圖1
∵∠ADC＝90°，
∴EF為⊙O的直徑，AC＝ SKIPIF 1 < 0 ＝10，
∴EF＝OD＋ON≥DM，
當(dāng)且僅當(dāng)切點為點M時EF取到最小值，
∴EFmin＝DM＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝4.8.
∵矩形為中心對稱圖形，
同理，GHmin＝EFmin＝4.8，
∴(EF＋GH)min＝9.6.
恩路點撥
雖然目標(biāo)式是EF＋GH的組合形式，但是觀察后發(fā)現(xiàn)兩個線段可獨立求解最值.由于矩形為中心對稱圖形，因此EF和GH的最小值顯然是相等的，于是將問題轉(zhuǎn)化為求EF的最小值，注意到EF是圓的直徑，根據(jù)“垂線段最短”，可知圓的最短直徑是△ACD斜邊上的高線.
30.如圖1所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.點D、E分別為AC、BC邊上的動點，且DE＝3，以DE為直徑作⊙O，交AB于M、N，則MN的最大值為_______.
圖1
30.解：過點O作OG⊥AB，連接ON、CO，如圖1所示，
圖1
∴ON＝r＝ SKIPIF 1 < 0 DE＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴GN＝GM＝ SKIPIF 1 < 0 MN.
在Rt△OGN中，GN2＝ON2－OG2，其中ON為定值，故當(dāng)OG取最小值時，GN取得最大值，即MN取得最大值.
過點C作CH⊥AB.
在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5.
∵S△ABC＝ SKIPIF 1 < 0 AC·BC＝ SKIPIF 1 < 0 CH·AB，
∴CH＝ SKIPIF 1 < 0 ≤CO＋OG，
∴OG≥ SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ,
∴GNmax＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴MNmax＝2GNmax＝ SKIPIF 1 < 0 .
思路點撥
DE為定值，即⊙O的半徑為定值，故當(dāng)弦MN上的垂徑最短時，MN取得最大值，根據(jù)“垂線段最短”找出OG最短時垂足的位置.
31.如圖3.28所示，在 SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上的動點，將點 SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 逆時針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則線段 SKIPIF 1 < 0 的最小值為。
解：如圖4.62所示，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
在△ SKIPIF 1 < 0 和△ SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0
∴△ SKIPIF 1 < 0 ≌△ SKIPIF 1 < 0 (AAS)
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即點 SKIPIF 1 < 0 與點 SKIPIF 1 < 0 重合時， SKIPIF 1 < 0 ，
∴線段 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0
32.如圖3.29所示，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上一點， SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，四邊形 SKIPIF 1 < 0 為正方形， SKIPIF 1 < 0 為射線 SKIPIF 1 < 0 上一動點，連接 SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 順時針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 。若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為。
解：連接 SKIPIF 1 < 0 ，如圖4.64所示
在正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 。
由題意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
在△ SKIPIF 1 < 0 和△ SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0
∴△ SKIPIF 1 < 0 ≌△ SKIPIF 1 < 0 (SAS)
∴ SKIPIF 1 < 0
如圖4.65所示，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 取得最小值
在 SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0
33.已知梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 。若 SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 上任意一點，延長 SKIPIF 1 < 0 到點 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，再以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為邊作□ SKIPIF 1 < 0 ，如圖3.30所示，則對角線 SKIPIF 1 < 0 的最小值為。
解：如圖4.66所示
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴△ SKIPIF 1 < 0 ∽△ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的四等分點（定點）
如圖4.67所示，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 取得最小值， SKIPIF 1 < 0 也取得最小值
如圖4.68所示，過點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別作 SKIPIF 1 < 0 的垂線段，垂足分別為點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 四等分點
∴ SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 四等分點
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0
34.如圖3.31所示，在△ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 是射線 SKIPIF 1 < 0 上的一個動點， SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 是射線 SKIPIF 1 < 0 上的一個動點。則 SKIPIF 1 < 0 長度的最小值是。
解：如圖4.69所示，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 最小
同理，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 最小
由于 SKIPIF 1 < 0 為定值， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 同時取得最小值
在 SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0
35.如圖3.32所示，直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸、 SKIPIF 1 < 0 軸分別交于點 SKIPIF 1 < 0 和點 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 的中點，點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上的動點。當(dāng) SKIPIF 1 < 0 最小時，點 SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為。
解：作點 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 軸的對稱點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，如圖4.70所示
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
如圖4.71所示，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點共線且 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 取得最小值
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴△ SKIPIF 1 < 0 ∽△ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵直線 SKIPIF 1 < 0 與坐標(biāo)軸交于點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 軸對稱
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴當(dāng) SKIPIF 1 < 0 最小時， SKIPIF 1 < 0
36.在平面直角坐標(biāo)系中，原點O到直線y=kx-2k+4的最大距離為（）
A.2 B.3 C.3+ SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
36.解 y=kx-2k+4→y=k（x-2）+4.
當(dāng)x=2時，y=4，故無論k為何值，直線必過（2，4）.
如圖4.72所示，過點O無論作直線 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的垂線段，垂足分別為A、B、C，其中點A為定點（2，4）.
在Rt△ABO中，OA＞OB.
同理，OA＞OC.
當(dāng)且僅當(dāng)OA⊥l時，點O到直線l的距離最大，最大值即OA= SKIPIF 1 < 0 =2 SKIPIF 1 < 0 .
思路點撥
題中直線雖然是動直線，但是只含有一個參數(shù)k，進行化簡后，可以找到一定點（2，4）不受k的影響.根據(jù)“直角三角形中斜邊大于直角邊”，所求最大距離為原點到定點的距離.
弦外之音動直線過定點和動點定軌跡的問題其實偏向高中的解析幾何，卻又在初中經(jīng)常出現(xiàn)，注意下面兩種形式的點和直線：如A（2m-1，-3m+4），動點A經(jīng)過直線y=- SKIPIF 1 < 0 x+ SKIPIF 1 < 0 ；又如直線l：y=2kx-3k+1,經(jīng)過定點（ SKIPIF 1 < 0 ，1）.要學(xué)會觀察題目中這些“動中有靜”的信息，才能快速找到解題的思路.
37.如圖3.33所示，在直角坐標(biāo)系中，O（0，0），A（7，0），B（5，2），C（0，2），一條動直線l分別與BC、OA交于點E、F，且將四邊形OABC分為面積相等的兩部分，則點C到動直線l的距離的最大值為__________.
37.知識儲備過梯形中位線中點的直線（經(jīng)過梯形的上底和下底）將梯形分為面積相等的兩個梯形.
證：如圖4.73所示，在梯形ABCD中，E、F分別為AD、BC的中點，連接AF交DC的延長線于點G.
∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠G，∠B=∠FCG.
在△ABF和△GCF中，
SKIPIF 1 < 0
∴△ABF≌△GCF（AAS），
∴AB=CG，AF=GF.
∵E為AD的中點，
∴EF∥DG，
∴EF= SKIPIF 1 < 0 DG= SKIPIF 1 < 0 （CD+CG）= SKIPIF 1 < 0 （AB+CD），
即梯形的中位線等于 SKIPIF 1 < 0 （上底+下底）.
如圖4.74所示，O為EF的中點，PQ經(jīng)過點O分別與上底、下底交于點P、Q，過點O作MN⊥CD，
∴四邊形APQD和四邊形BPQC也是梯形.
∵ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 （AP+DQ）·MN=EO·MN，
SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 （BP+CQ）·MN=FO·MN，
又O為EF的中點，
∴EO=FO， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
∴經(jīng)過點O的直線平分梯形ABCD的面積.
解取OC和AB的中點G、H，連接GH，取GH的中點M，如圖4.75所示，
∴G（0，1），H（6，1），
∴M（3，1）.
當(dāng)直線l經(jīng)過點M時，梯形面積被平分.
當(dāng)CM⊥EF時，點C到EF的距離最大，
∴CM= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .
思路點撥
需要一定的知識儲備：平分梯形面積的直線必過梯形中位線的中點.得到梯形中位線的中點坐標(biāo)后，題目要求的定點C到動直線l距離的最大值，可以參照題36中的思路來計算.
38.如圖3.34所示，E是正方形ABCD中邊BC上的一點，以BE為邊在正方形ABCD外作正方形BEFG（A、B、G三點在同一直線上），連接AF，M為AF的中點，AB=4，則EM的最小值為________.
38.解：連接BD，延長FE與BD相交于點N，連接AN，如圖4.76所示，
∴BD平分∠ABC，
∴∠NBE=∠DBA=45°.
在正方形BEFG中，∠BEF=90°，
∴∠BEN=90°，
∴△BEN為等腰直角三角形，
∴BE=NE=EF
∵M為AF的中點.
∴EM= SKIPIF 1 < 0 AN.
如圖4.77所示，當(dāng)AN⊥BD時，AN取得最小值，此時EM也取得最小值.
在Rt△ABN中，∠DBA=45°，AB=4，
∴AN=2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴EM= SKIPIF 1 < 0 AN= SKIPIF 1 < 0 ×2 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .
思路點撥
M為AF的中點，而點E、M均為動點，不易求出EM的最小值，因此我們要借助轉(zhuǎn)化思想；以中點為著眼點，延長FE至點N，將EM構(gòu)造為中位線；由于點N的運動軌跡為BD，根據(jù)“垂線段最短”即可求出AN的最小值.
39.如圖3.35所示，在菱形ABCD中，tan∠DAB= SKIPIF 1 < 0 ，E為BC上一點，以BE為邊向外作菱形BEFG（A、B、G三點在同一直線上），取AF得中點M，連接EM，AB=5，則EM的最小值為________.
39.解：連接BD，延長FE交BD于點N，連接AN，如圖4.78所示.
在菱形ABCD和菱形BEFG中，CD∥AB∥EF，CD=BC，
∴∠CDB=∠CBD=∠ENB，
∴NE=BE=EF.
∵M為AF的中點，
∴EM= SKIPIF 1 < 0 AN.
如圖4.79所示，當(dāng)AN⊥BD時，AN取得最小值，同時EM也取得最小值.
在△ABD中，過點D作DH⊥AB，如圖4.80所示.
在Rt△ADH中，tan∠DAB= SKIPIF 1 < 0 ，AD=5.
∴DH=4，AH=3，
∴BD= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 =2 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 AN·BD= SKIPIF 1 < 0 DH·AB，
∴AN=2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴EM的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
思路點撥
依舊將EM構(gòu)造成中位線，利用AN的最小值來解的EM的最小值；找到點N的直線軌跡后根據(jù)“垂線段最短”求AN的最小值.可以利用面積法計算AN長度.
40.如圖3.36所示，在△ABC中，∠A=60°（∠B＜∠C），E、F分別是AB、AC上的動點，以EF為邊向下作等邊三角形DEF，△DEF的中心為點P，連接CO.已知AC=4，則CO的最小值
40.知識儲備原型 OC為∠AOB的平分線，D為OC上一點，點E、F分別為OA、OB上的點，如圖4.81所示.
（1）若DE=DF（OE＜OF），求證：∠AOB+∠EDF=180°.
（2）若∠AOB+∠EDF=180°,求證：DE=DF.

推論若已知∠AOB+∠EDF=180°，DE=DF，求證：D為角平分線上一點.
證：過點D作DM⊥OA，DN⊥OB，如圖4.82所示.
∵OC為∠AOB的平分線，
∴DM=DN.
在Rt△DME和Rt△DNF中，
SKIPIF 1 < 0
∴△DME≌△DNF（HL），
∴∠DEM=∠DFN.
∴∠DFN+∠DEO=180°，
∴在四邊形OEDF中，∠AOB+∠EDF=180°.
同理，對于（2）和推論，利用AAS判定三角形全等即可.
解：連接OE、OF、AO，如圖4.83所示.
∵點O是△DEF的中心，
∴OE=OF，OE平分∠FED，OF平分∠EFD，
∴∠OEF=∠OFE=30°，
∴∠EOF=120°，
∴∠EOF+∠BAC=180°.
根據(jù)角平分線模型可知AO平分∠BAC，即點O的軌跡為∠BAC的平分線，
∴∠CAO=30°.
如圖4.84所示，當(dāng)CO⊥AO時CO取得最小值.
在Rt△CAO中，
∴CO= SKIPIF 1 < 0 AC=2，
∴CO的最小值為2.
思路點撥
連接AO，構(gòu)成一個基本的角平分線模型，利用AAS易知AO為角平分線，因此點O的軌跡為∠BAC的平分線（部分）.以BC為邊向下作等邊三角形能得出AO的軌跡終點.根據(jù)“垂線段最短”得出CO的最小值.角平分線模型的相關(guān)應(yīng)用還是十分廣泛的，利用該模型可以快速解決問題.
41.如圖3.37所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，對角線AC、BD交于點O，E是線段BO上一動點，F(xiàn)是射線DC上一動點.若∠AEF＝120°，則線段EF的整數(shù)值有個.
答案：
解在菱形ABCD中，BD為對角線，
∴DE平分∠ADC，∠ABC＝∠ADC＝60°，AC⊥BD.
∵∠ADC＝60°，
∴∠ADC＋∠AEF＝180°.
根據(jù)題40中的知識儲備可得AE＝EF.
當(dāng)點E和點O重合時，AE取得最小值；當(dāng)點E與點B重合時，AE取得最大值.
在Rt△ABO中，AO＝ SKIPIF 1 < 0 AB＝2，
∴2≤AE≤4，
∴AE的整數(shù)值有2、3、4，
∴EF的整數(shù)值有2、3、4.
思路點撥
首先要明確一點，在初中階段遇到的整數(shù)解問題都可以理解成取值范圍問題，即最值問題，E、F兩點都在運動，所以我們需要將EF進行轉(zhuǎn)化.利用題40中的角平分線模型，易得AE＝EF，故只需求得AE的取值范圍，由垂線段得最小值，當(dāng)點E與點B重合時AE取最大值.
42.如圖3.38所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，點O為BC上的點，⊙O的半徑OC＝1，點D是AB邊上的動點，過點D作⊙O的一條切線DE(點E為切點)，則線段DE的最小值為( ).
A.3 SKIPIF 1 < 0 －1B. SKIPIF 1 < 0 －1C. SKIPIF 1 < 0 D.4
答案：
解如圖4.85所示，連接OE，OD.
在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC＝6.
∵DE為⊙O的切線，
∴∠DEO＝90°，
∴DE2＋OE2＝OD2.
∵OE＝1，
∴DE2＝OD2－1.
要使DE最小，只需OD最小即可.
如圖4.86所示，當(dāng)OD⊥AC時，OD取得最小值.
∵BC＝6，OC＝1，
∴BO＝5.
∵∠ODB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，
∴△BDO∽△BCA，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 .
∴OD＝4，
∴DE＝ SKIPIF 1 < 0 .
思路點撥
抓住切線的性質(zhì)，連接OE，注意到Rt△OED有一條直角邊OE為定值，根據(jù)勾股定理，當(dāng)斜邊OD取得最小值時DE取得最小值.于是將DE的最小值問題轉(zhuǎn)化為垂線段最短的問題.
43.如圖3.39所示，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，以點C為圓心、1為半徑作圓，P為AB上的動點，過點P作⊙C的切線，切點分別為Q、Q′，⊙C的另－條切線分別交PQ、PQ′于點M、N，則△PMN周長的最小值為 .
答案：
解連接CQ、CP，如圖4.87所示.
∵PQ、PQ′、MN分別與圓C相切，
∴PQ＝PQ′，
△PMN的周長＝PM＋MN＋PN＝PQ＋PQ′＝2PQ，
當(dāng)PQ取得最小值時，△PMN的周長也取到最小值.
在Rt△PCQ中，CQ＝1，
∴PQ2＝CP2－CQ2.
如圖4.88所示，當(dāng)CP⊥AB時，CP取得最小值，此時PQ最小，
在等腰Rt△ABC中，AC＝4，
∴CP＝2 SKIPIF 1 < 0 .
此時，在Rt△CPQ中，CP＝2 SKIPIF 1 < 0 ，CQ＝1，
∴PQ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴△PMN周長的最小值為2 SKIPIF 1 < 0 .
思路點撥
作為變式題，與題42相比，本題多了一步：利用切線長定理，判斷△PMN的周長等于兩倍的PQ長，于是將周長最小值問題轉(zhuǎn)化為PQ最小值問題.用題42中的方法求出PQ最小值即可，對于多動點的最值問題，通常需要利用轉(zhuǎn)化思想，將其轉(zhuǎn)化為點到點或點到線的最值問題.
44.如圖3.40所示，四邊形的兩條對角線AC、BD所成的銳角為45°，當(dāng)AC＋BD＝18時，四邊形ABCD的面積最大值是 .
答案：
解分別過點A、C作AE⊥BD，CF⊥BD，以EF、CF為邊構(gòu)造矩形EFCG，如圖4.89所示，
∴CF＝EG，BD∥CG.
∵S△ABD＝ SKIPIF 1 < 0 AE·BD，S△CBD＝ SKIPIF 1 < 0 CF·BD，
∴S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△CBD＝ SKIPIF 1 < 0 BD·(AE＋CF)＝ SKIPIF 1 < 0 BD·(AE＋EG)＝ SKIPIF 1 < 0 BD·AG.
∵AC和BD的夾角為45°，
∴∠ACG＝45°，
∴△ACG為等腰直角三角形，
∴AG＝ SKIPIF 1 < 0 AC，
∴S四邊形ABCD＝ SKIPIF 1 < 0 BD· SKIPIF 1 < 0 AC＝ SKIPIF 1 < 0 BD·(18－BD)＝－ SKIPIF 1 < 0 (BD－9)2＋ SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng)AC＝BD＝9時，四邊形ABCD的面積取得最大值 SKIPIF 1 < 0 .
思路點撥
普通四邊形的面積通常要轉(zhuǎn)化成三角形面積和的形式.對角線所夾的銳角為特殊角，要利用起來必須作高，給出的條件也為對角線之和，因此要利用對角線將四邊形的面積表示出來.最后利用配方法求出四邊形ABCD面積的最大值.
弦外之音我們可以用兩邊及其夾角的正弦值來表示一個三角形的面積：S＝ SKIPIF 1 < 0 absinα.這在高中屬于正弦定理的推廣，很容易從圖4.90中看個明白.四邊形也有類似這樣的計算公式，如在本題中推導(dǎo)的四邊形面積等于兩條對角線之積與夾角正弦值的乘積的一半.對角線互相垂直的四邊形面積為對角線乘積的一半就是這個結(jié)論的特殊形式.
45.如圖3.41所示，有兩個同心圓，半徑分別是2 SKIPIF 1 < 0 和4 SKIPIF 1 < 0 ，矩形ABCD的邊AB、CD分別為兩圓的弦，當(dāng)矩形ABCD的面積取最大值時，矩形ABCD的周長是 .
答案：
解作AB的垂直平分線EF，連接OA、OD，如圖4.91所示，
∴四過形AEFD為矩形，
∵AB為弦，
∴EF過圓心O，
∴S△AOD＝ SKIPIF 1 < 0 S矩形AEFD＝ SKIPIF 1 < 0 S矩形ABCD.
當(dāng)且僅當(dāng)AO⊥DO時，S△AOD取得最大值，
∴S△AOD＝ SKIPIF 1 < 0 AO·DO＝ SKIPIF 1 < 0 ×2 SKIPIF 1 < 0 ×4 SKIPIF 1 < 0 ＝12 SKIPIF 1 < 0 ，
AD＝ SKIPIF 1 < 0 ＝6 SKIPIF 1 < 0 .
∵S矩形ABCD＝AB·AD＝4S△AOD＝48 SKIPIF 1 < 0 ，
∴AB＝8，
此時矩形ABCD的周長為16＋12 SKIPIF 1 < 0 .
思路點撥
利用面積法將問題從矩形轉(zhuǎn)移到由兩條半徑構(gòu)成的三角形.顯然，△AOD的面積為矩形的 SKIPIF 1 < 0 .當(dāng)長度固定的OA與OD夾角為90°時△AOD的面積取得最值.利用面積公式和勾股定理求出此時矩形ABCD的邊長.
最值
46．如圖3．42所示，在扇形AOB中，OA＝12，∠O＝90°，C、D分別為OA、OB上的點，其中OC＝6，OD＝2BD，M為弧AB上的動點，連接CM、DM，則四邊形OCMD的面積最大值為．
解連接OM、CD，如圖4．92所示．
不妨設(shè)OM和CD的夾角為 SKIPIF 1 < 0 ．
在Rt△OCD中，OD＝ SKIPIF 1 < 0 OB＝8，OC＝6，
∴CD＝ SKIPIF 1 < 0 ＝10．
利用題44中的結(jié)論，S四邊形OCMD＝ SKIPIF 1 < 0 OM·CD·sin SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ＝90°時，S四邊形OCMD＝ SKIPIF 1 < 0 OM·CD＝60．
∴在點M運動的過程中，當(dāng)OM⊥CD時，S四邊形OCMD 取得最大值60．
思路點撥
連接四邊形OCMD的兩條對角線CD和OM，這兩條對角線的長度是定值，因此調(diào)整OM和CD的夾角 SKIPIF 1 < 0 就能使四邊形的面積發(fā)生變化．當(dāng)夾角 SKIPIF 1 < 0 等于90°時，四邊形OCMD的面積取到最大值．
47．如圖3．43所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P是三角形內(nèi)(包括邊)的一點，點P到AB、BC、AC邊的距離分別為d1、d2、d3，則d1＋d2＋d3的最大值和最小值分別為和，并說明分別取得最值時點P的位置．
圖3．43
解在Rt△ABC中，S△ABC＝ SKIPIF 1 < 0 AC·BC＝6．
∵d1、d2、d3分別為點P到AB、BC、AC的距離，
∴S△ABC＝ SKIPIF 1 < 0 d1·AB＋ SKIPIF 1 < 0 d?·BC＋ SKIPIF 1 < 0 d3·AC，
∴5d1＋4d2＋3d3＝12．
∵3(d1＋d2＋d3)≤5d1＋4d2＋3d3≤5(d1＋d2＋d3)，
當(dāng)d1＝d2＝0時左邊取等號，當(dāng)d2＝d3＝0時右邊取等號，
∴ SKIPIF 1 < 0 ≤d1＋d2＋d3≤4，
當(dāng)且僅當(dāng)點P與點C重合時取得最小值，點P與點B重合時取得最大值．
思路點撥
很多題目看似無從下手，這時我們就尋求代數(shù)方法，讓最值問題能反映在一個具體的表達(dá)式上．利用面積法可以得出d1、d2、d3的等量關(guān)系；利用合理的放縮找到d1＋d2＋d3的取值范圍；找到不等式取等的臨界位置。
48．如圖3．44所示，把邊長是3的正方形等分成9個小正方形，在有陰影的小正方形內(nèi)(包括邊界)分別取點B、C，與已知格點A(每個小正方形的頂點叫做格點)構(gòu)成三角形，則△ABC的最大面積是，請在圖中畫出面積最大時的△ABC的圖形．
圖3．44 備用圖
解先把點B固定在點A的同一水平線，點C向上移動，如圖4．93所示．
在△ABC中，底邊不變，高逐漸變大，△ABC的面積增大．
再將點C固定在最上方，點B向左移動，如圖4．94所示．
在△ABC中，高不變，底邊逐漸變大，△ABC的面積也在變大．
當(dāng)點C在最上方，點B在最左端(陰影部分的左上角)時，△ABC的面積取得最大值，最大值為2．

圖4．93 圖4．94
思路點撥
對于這道題目，我們采用的是對應(yīng)多變量的“控制變量法”，即分別改變點B、C的位置來探究△ABC面積的變化規(guī)律．對于多變量問題，這是我們常用的分析方法．
49．如圖3．45所示，∠AOB＝90°，GM為∠AOB內(nèi)(含兩邊)的兩點，且GM＝2，OM＝4，GM/∥OA．若r為△OMG的內(nèi)切圓半徑，則r的最大值為．
圖3．45
解延長GM至點 SKIPIF 1 < 0 ，如圖4．95所示．
∵∠AOB＝90°，GM∥OA，
∴O SKIPIF 1 < 0 ⊥GM．
在Rt△O SKIPIF 1 < 0 G中，OG2＝O SKIPIF 1 < 0 2＋G SKIPIF 1 < 0 2＝O SKIPIF 1 < 0 2＋(GM＋M SKIPIF 1 < 0 )2
＝O SKIPIF 1 < 0 2＋GM2＋M SKIPIF 1 < 0 2＋2GM·M SKIPIF 1 < 0 ．
在Rt△OM SKIPIF 1 < 0 中，OM2＝O SKIPIF 1 < 0 2＋M SKIPIF 1 < 0 2，
∴OG2＝OM2＋GM2＋2GM·M SKIPIF 1 < 0 ≥OM2＋GM2．
如圖4．96所示，當(dāng)點M在射線OB上，即點M、 SKIPIF 1 < 0 重合時，OG取得最小值，S△OMG取得最大值．
∵OG＝ SKIPIF 1 < 0 ＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
S△OMG＝ SKIPIF 1 < 0 OM·GM＝4≥ SKIPIF 1 < 0 O SKIPIF 1 < 0 ·GM，
此時r取到最大值，r＝ SKIPIF 1 < 0 ＝3－ SKIPIF 1 < 0 ．

圖4．95 圖4．96
思路點撥
首先要熟悉一般三角形內(nèi)切圓的半徑計算公式，即r＝ SKIPIF 1 < 0 ．本題中，△OMG的面積和周長都在變化．我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)GM向OB靠近時，∠OMG度數(shù)逐漸變小(鈍角→直角)，此時面積逐漸增大，而周長逐漸減?。虼?，當(dāng)∠OMG＝90°時，周長最小，面積最大，故此時內(nèi)切圓的半徑也達(dá)到最大值．依舊是雙變量，經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，OM向OB越靠近，周長和面積的變化趨勢都越利于內(nèi)切圓半徑的增大，因此找到臨界情況即可．
50．在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形AOBC的位置如圖3．46所示，∠OAC＝90°，AC//OB，OA＝4，AC＝5，OB＝6．M、N分別在線段AC、BC上運動，當(dāng)△MON的面積達(dá)到最大時，△MON周長最小，則此時點M的坐標(biāo)為．
圖3．46
解如圖4．97所示，過點M作M SKIPIF 1 < 0 ∥OA，交ON于點 SKIPIF 1 < 0 ，過點N作N SKIPIF 1 < 0 ∥OB，分別交OA、M SKIPIF 1 < 0 '于點 SKIPIF 1 < 0 、G．
S△MON＝S△OM SKIPIF 1 < 0 ＋S△NM SKIPIF 1 < 0
＝ SKIPIF 1 < 0 M SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 G＋ SKIPIF 1 < 0 M SKIPIF 1 < 0 ．NG
＝ SKIPIF 1 < 0 M SKIPIF 1 < 0 ·N SKIPIF 1 < 0 ．
∵M SKIPIF 1 < 0 ≤OA，N SKIPIF 1 < 0 ≤OB，
當(dāng)點N與點B重合時，ON取得最大值OB，此時S△MON＝ SKIPIF 1 < 0 OA·OB．
設(shè)點O關(guān)于AC的對稱點為O'，連接O'B，交AC于點M，如圖4．98所示．
此時△MON的面積最大，周長最短．
利用對稱的性質(zhì)得O'(0，8)，
∴直線O'B的解析式為y＝－ SKIPIF 1 < 0 x＋8，
當(dāng)y＝4時，x＝3，即M(3，4)．

圖4．97 圖4．98
思路點撥
在平面直角坐標(biāo)系中，對于這樣“不規(guī)則”的三角形(即底和高不與坐標(biāo)系平行或垂直)，我們可以采取“水平寬鉛垂高”的方法來分析面積的變化情況；在點M固定、點N向下移動的過程中，水平寬(O、N兩點間的水平距離)變大，鉛垂高(點M到ON的距離)變大，所以當(dāng)點N與點B重合時，面積取到最大值．再利用“將軍飲馬”模型作圖來確定△MON周長最小時點M的位置．最后可由O'B所在直線的解析式求得點M的橫坐標(biāo)，或者利用平行線分線段成比例定理求得AM的長度．
51.如圖3.47所示，直線l與半徑為4的⊙O相切于點A，P是⊙O上的一個動點（不與點A重合），過點P作PB⊥1，垂足為B，連接PA.設(shè)PA=x，PB=y，則x-y的最大值是_________________.
圖3.47
解：連接OA，作OC⊥PA于點C，如圖4.99所示，
∴∠0CA=90°=∠ABP，AC=PC= SKIPIF 1 < 0 PA= SKIPIF 1 < 0 .
∵直線l是⊙O的切線，∴OA⊥l，∠OAB=90°，
∴OA∥PB，∴∠OAC=∠P，∴△OAC∽△APB，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴原式= SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)x=4時，x-y取到最大值2.
圖4.99
思路點拔
將線段差表示為x-y，是命題人提示我們往代數(shù)（函數(shù)）的方向思考.利用切線的性質(zhì)，連接半徑，根據(jù)平行線的性質(zhì)找到等角∠OAP=∠P；有了弦和半徑，就會想到作垂徑或者連接直徑構(gòu)造直角三角形；利用相似比得到PA和PB的關(guān)系，通過換元將x-y變?yōu)橹缓粋€字母的代數(shù)式，再利用配方法求出最值.
拓展我們發(fā)現(xiàn)，其實此題中代數(shù)式x、y前面的系數(shù)可以為任意數(shù).我們利用配方法計算最值時，一定要注意x（AP為弦，應(yīng)小于等于直徑）的取值范圍為0＜x≤8.
52.如圖3.48所示，已知半徑為2的⊙O與直線l相切于點A，點P是直徑AB左側(cè)半圓上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為C，PC與⊙O交于點D，連接PA、PB，設(shè)PC的長為x（2＜x＜4），則當(dāng)x=____________時， SKIPIF 1 < 0 的值最大，最大值是_______________.
圖3.48
解: 過點O作OE⊥PD，垂足為E，如圖4.100所示.
∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE=ED.
又∠CEO=∠ECA=∠0AC=90°， ∴四邊形OACE為矩形，
∴CE=OA=2.
又PC=x，∴PE=ED=PC-CE=x-2，
∴PD=2(x-2)，
∴CD=PC-PD=x-2(x-2)=4-x，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴當(dāng)x=3時， SKIPIF 1 < 0 的值最大，最大值是2.
圖4.100
思路點拔
面對一些特殊形式的線段組合，我們需要將其轉(zhuǎn)化成一般形式.注意到題中將PC的長設(shè)為x，再將PD用x表示出來，利用二次函數(shù)最值的求法來解決問題.
53.如圖3.49所示，在面積為7的梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=4，P為邊AD上不與點A、D重合的一動點，Q是邊BC上的任意一點，連接AQ、DQ，過點P作PE/DQ交AQ于點E，作PF∥AQ交DQ于點F.則△PEF面積的最大值是________________.
圖3.49
解: 如圖4.101所示，設(shè)PD=x， SKIPIF 1 < 0 ，梯形ABCD的高為h.
∵AD=3，BC=4，梯形ABCD面積為7， ∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴h=2， SKIPIF 1 < 0 .
∵PE∥DQ， ∴∠PEF=∠OFE， ∠EPF=∠PFD.
又PF∥AQ， ∴∠PFD=∠EOF， ∴∠EPF=∠EOF.
∵EF=FE， ∴△PEF≌△OFE(AAS).
∵PE/∥DQ， ∴△AEP∽△AQD，同理，△DPF∽△DAQ，
∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴△PEF面積的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .
圖4.101
思路點拔
對于三角形面積的最值問題，首先要觀察三角形中是否有固定的邊長，如果有，那么可以轉(zhuǎn)化為單線段的最值問題；如果沒有，那么我們的思路應(yīng)該轉(zhuǎn)向函數(shù)，利用好平行條件，根據(jù)面積比等于相似比的平方求出面積的函數(shù)表達(dá)式.
54.如圖3.50所示，已知邊長為4的正方形CDEF截去一角成為五邊形ABCDE，其中AF=2，BF=1.在AB上的一點P，使得矩形PNDM有最大面積，則矩形PNDM面積的最大值是( )
A.8 B.12 C. SKIPIF 1 < 0 D.14
圖3.50
解: 延長NP交EF于點G，如圖4.102所示.
設(shè)PG=x，則PN=4-x.
∵PG//BF， ∴△APG∽△ABF，
∴ SKIPIF 1 < 0 , ∴AG=2x，
∴MP=EG=EA+AG=2+2x，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵-2＜0，PG=x≤BF=1，
∴拋物線開口向下，當(dāng)x=1時，函數(shù)有最大值為12.
圖4.102
思路點拔
依舊是面積問題，嘗試用函數(shù)來表示矩形面積；利用二次函數(shù)性質(zhì)求出最值.
注意構(gòu)造函數(shù)后自變量x的取值范圍，千萬不要把結(jié)果直接寫成等.
55.如圖3.51所示，AB為半圓的直徑，點O為圓心，AB=8.若P為AB反向延長線上的一個動點（不與點A重合），過點P作半圓的切線，切點為C，過點B作BD⊥PC交PC的延長線于點D，則AC+BD的最大值為________________.
圖3.51
解: 連接BC，如圖4.103所示.
設(shè)AC=x，根據(jù)題意知 SKIPIF 1 < 0 (由于點P在圓的左側(cè)).
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
又PC切⊙O于點C，∴∠BAC=∠BCD，
∴Rt△ABC∽Rt△CBD，∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)x=4時，AC+BD取得最大值10.
圖4.103
思路點拔
若我們在應(yīng)用幾何性質(zhì)解題時束手無策，不妨轉(zhuǎn)變思路試試代數(shù)(函數(shù))的方法，將要求的目標(biāo)式子用某個變量表示出來，進而轉(zhuǎn)化為代數(shù)(函數(shù))問題來求解.
56.如圖3.52所示，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AB=20，點D、F從點A出發(fā)，分別沿AC、AB運動，點D的速度為每秒 SKIPIF 1 < 0 個單位長度，點F的速度為每秒1個單位長度，過點D作DE//AB，交CB于點E，M為DE的中點，連接MF，則當(dāng)t為_______時，MF取得最小值，最小值為_______.
56.解取AB的中點N，連接CM、CN，如圖4.104所示.
由題意得△DCE為等腰直角三角形，
∴CM⊥DE，CN⊥AB.
∵DE//AB，
∴C、N、M三點共線，
∴CM= SKIPIF 1 < 0 CD，CN= SKIPIF 1 < 0 AB.
令A(yù)F=t，AD= SKIPIF 1 < 0 t，
∴FN=10-t，CD= SKIPIF 1 < 0 （10-t），
∴MN=t，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
當(dāng)t=5時， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，即MF取得最小值 SKIPIF 1 < 0 .
57.如圖3.53所示，已知在菱形ABCD中，∠C=60°，AB=4，E為CD邊上一動點，過點E作EF//BD交BC于點F，連接AE，AE的中點為G，連接FG，則FG的最小值為_________.
57.解連接AC交EF于點M，取EM的中點N，
連接GN，如圖4.105所示.
在菱形ABCD中，AC、BD互相垂直平分.
∵∠BCD=60°，
∴∠BDC=∠DBC=60°，
∴△BCD為等邊三角形.
∵G為AE的中點
∴GN//AM，GN= SKIPIF 1 < 0 AM.
∵EF//BD，
∴△CEF為等邊三角形，且EF⊥AC，GN⊥EF.
令CE=4a，EF=4a，則在等邊△CEF中，CM= SKIPIF 1 < 0 a，
FM=2a，MN=a，
∴AM= SKIPIF 1 < 0 ，GN= SKIPIF 1 < 0 a，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)a= SKIPIF 1 < 0 ，即E為CD的中點時，GF取得最小值3.
58.如圖3.54所示，已知AB=8，P為線段AB上的一個動點，分別以AP、PB為邊在AB的同側(cè)作菱形APCD和菱形PBFE，點P、C、E在一條直線上，∠DAP=60°.M、N分別是對角線AC、BE的中點.當(dāng)點P在線段AB上移動時，點M、N之間的距離最短為_______（結(jié)果保留根號）.
58.解連接PM、PN，如圖4.107所示.
∵四邊形APCD和四邊形PBFE是菱形，∠DAP=60°，
∴∠APC=120°，∠EPB=60°.
∵M、N分別是對角線AC、BE的中點，
∴PM平分∠APC，PN平分∠EPB，
PM⊥AC，PN⊥EB，
∴∠CPM= SKIPIF 1 < 0 ∠APC=60°，
∠EPN= SKIPIF 1 < 0 ∠EPB=30°，
∴∠MPN=60°+30°=90°.
設(shè)PA=2a，則PB=8-2a.
∴PM=a，PN= SKIPIF 1 < 0 （4-a），
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)a=3時， SKIPIF 1 < 0 有最小值，即MN有最小值，最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
59.如圖3.55所示，已知AB=6，P為AB上一動點，分別以PA、PB為邊在AB同側(cè)作Rt△APC和Rt△BPD（P、C、D三點共線），且使得AP：PC=BP：PD=3：4， SKIPIF 1 < 0 分別為△APC、△BPD的內(nèi)心，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為_________.
59.知識儲備如圖4.109所示，在Rt△GMN中，
兩條直角邊分別為3和4，I為內(nèi)心，求GI.
解在Rt△GMN中，GN=3，GM=4，
∴MN=5，
內(nèi)切圓的半徑= SKIPIF 1 < 0 .
∵點I為△GMN的內(nèi)心，
∴GI平分∠MGN，
∴GI= SKIPIF 1 < 0 ，
∴GN：GI=3： SKIPIF 1 < 0 .
解連接 SKIPIF 1 < 0 ，如圖4.110所示.
不妨設(shè)AP=3a，則BP=6-3a.
根據(jù)知識儲備， SKIPIF 1 < 0 .
∵點 SKIPIF 1 < 0 分別是△APC和△BPD的內(nèi)心，
∴ SKIPIF 1 < 0 平分∠APC， SKIPIF 1 < 0 平分∠BPD，
∴∠ SKIPIF 1 < 0 =45°，∠ SKIPIF 1 < 0 =45°，
∴∠ SKIPIF 1 < 0 =90°，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)a=1時， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值為2.
60.如圖3.56所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是邊長為8的正方形，M（8，m），N（n，8）分別是線段AB、BC上的兩個動點，且ON⊥MN，當(dāng)OM最小時，m+n=_______.
60.解由題意可得OC=OA=8，CN=n，BN=8-n，
AM=m，BM=8-m.
∵ON⊥MN，
∴∠ONC+∠MNB=90°.
∵∠B=90°，
∴∠MNB+∠NMB=90°，
∴∠ONC=∠NMB.
又∠B=∠OCB=90°，
∴∠OCN∽△NBM，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴BM= SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)n=4時，BM取得最大值2，此時m=6.
在Rt△OMA中， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)BM最大時，AM取得最小值，此時OM取得最小時，
∴m+n=10.
61.如圖3.57所示,在矩形ABCD中,AB=4, BC= SKIPIF 1 < 0 ,E為AD上的動點,連接BE,F為BE.上的動點,且滿足∠BAF=∠AEB,M為BC的中點，以MF為邊構(gòu)造等邊△MNF(M、N、F三點逆時針),則CN的最小值為____________.
解：分別取AB和AD的中點G、H,連接GF、GM、MH、NH、CH,如圖4.113所示，
∴BM= SKIPIF 1 < 0 , BG=2. 在矩形ABCD中, ∠ABC=90，∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴GM=2BG, ∠GMB=30°.∵AH=BM= SKIPIF 1 < 0 ,AD∥BC, ∴四邊形AHMB為平行四邊形. ∵∠ABC=90°，∴四邊形AHMB為矩形，∴∠GMH=60°,HM=4. ∵△MNF為等邊三角形，∴∠FMN=60°,FM=MN.在△GMF和△HMN中， SKIPIF 1 < 0 ，∴△GMF≌△HMN(SAS), ∴GF=HN. ∵∠BAF=∠AEB, ∴∠AFB=∠BAE=90°.在Rt△ ABF中,G為AB的中點，∴HN=GF= SKIPIF 1 < 0 AB, ∴CN≥CH-HN,
如圖4.114所示，當(dāng)且僅當(dāng)C、N、H三點共線時取到最小值.
在Rt △CHD中,CD=4,DH= SKIPIF 1 < 0 ,HN=2, ∴CN的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
思路點撥
兩套動點關(guān)聯(lián):點E關(guān)聯(lián)點F,點F關(guān)聯(lián)點N.我們需要關(guān)注的是點F(點F和點N直接關(guān)聯(lián)),由∠AFB=90°可知點F的軌跡為圓,因此由全等變換得到的點N軌跡也是圓.利用圓外一點到圓周上一點的距離最小值確定CN的最小值.
62.如圖3.58所示,在矩形ABCD中，AB= SKIPIF 1 < 0 ,BC=6,E、F分別是AD、BC上的動點,CF=2AE ,連接EF,以EF為邊向右構(gòu)造等邊△EFG ,則DG的最小值為____________.
解：連接AC交EF于點P,連接PG,延長CD至點Q,使DQ=CD,連接AQ、PQ、GQ,如圖4.115所示.
∵∠ADC=90°,CD= SKIPIF 1 < 0 ,AD=6, ∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴∠ACD=60°，∵CD=QD= SKIPIF 1 < 0 ,∴AD垂直平分CQ, ∴AC=AQ= SKIPIF 1 < 0 ,∴△ACQ為等邊三角形，∵AE∥CF, ∴△AEP∽△CFP. ∵CF=2AE, ∴CP=2AP, FP=2EP, ∴AP:AC=EP:EF=1:3, ∴AP= SKIPIF 1 < 0 .∵△EFG為等邊三角形，∴∠QAP=∠GEP=60°，∴△APQ∽△EPG, ∴AP:EP=PQ:PG,∠APQ=∠EPG. ∵∠APQ=∠APE+∠EPQ, ∴∠EPG=∠QPG+∠EPQ, ∴∠APE=∠QPG, ∴△AEP∽△QGP, ∴∠PAE=∠PQG=30°,∴點G的軌跡為直線(線段),當(dāng)DG⊥QG時，DG取得最小值
如圖4.116所示,當(dāng)GD上QG時,在等邊△ACQ中，取AC的中點H,連接QH,
∴QH平分∠AQC,QH⊥AC, ∴∠CQH=30°，∴∠PQH=∠DQG=30°-∠HQG, ∴△PQH∽△DQG .在Rt△ AHQ中,AQ= SKIPIF 1 < 0 ,∴AH= SKIPIF 1 < 0 ,QH=6, ∴PH= SKIPIF 1 < 0 ，∴PQ= SKIPIF 1 < 0 ,∵PQ:PH=QD:DG, ∴DG= SKIPIF 1 < 0 .∴DG的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
思路點拔
找到圖中的不動點,令其為旋轉(zhuǎn)中心,構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型相似三角形,確定動點的軌跡為直線,根據(jù)“垂線段最短”確定最小值的位置.此題相似三角形的構(gòu)造頗有難度,要注意利用角度去推導(dǎo)相似三角形,根據(jù)相似比進行計算.
63.如圖3.59所示,在Rt △ABC中,∠C=90°,AC=BC,D是邊AB上一點,AD=8,E是邊AC上一點,AE= SKIPIF 1 < 0 BD,F為邊BC上一點,且∠DFA=90°,則線段EF的最小值為___________.
解：取AD的中點G,連接FG,過點D作DN⊥AB交BC于點M,截取DN=AD,連接NF、ME、NG,如圖4.117所示.
∵AB=BC, ∠C=90°，∴B=45°,AB= SKIPIF 1 < 0 BC. ∴△BDM為等腰直角三角形，∴BM= SKIPIF 1 < 0 BD= SKIPIF 1 < 0 MD=AE, ∴CM=CE,∠CME=45°，∴ME∥AB, ∴ND⊥ME, ∴∠NMC=45°.在等腰直角△MCE中,ME= SKIPIF 1 < 0 CM= SKIPIF 1 < 0 (BC-BM)=AB-2BD=AD-BD. ∵AD=DN, BD=MD, ∴ME=MN.在△NFM和△EFM中， SKIPIF 1 < 0 ，∴△NFM≌△EFM(SAS),NF=EF. ∵∠DFA=90°,G為AD的中點，∴FG=DG= SKIPIF 1 < 0 AD=4.在Rt△ NDG中,DG=4,DN=AD=8, ∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴EF=NF≥NG - FG,
當(dāng)且僅當(dāng)G、F、N三點共線時取到最小值, ∴EF最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
思路點撥
EF為雙動點型動線段,因此需要將其轉(zhuǎn)化.注意AE和BD的特殊比例關(guān)系,找到BC邊上的特殊點M;利用等腰直角三角形的性質(zhì),將EF關(guān)于BC進行翻折,構(gòu)造全等三角形,將EF轉(zhuǎn)化為NF;構(gòu)造斜邊上的中線FG,利用圓外一定點到圓周上一點的距離最值求解EF最值.
64.如圖3.60所示,在矩形ABCD中,AB= m， BC=6.若AD_上存在點P,使∠BPC=60°,則m的取值范圍為___________.
解：以BC為邊向上構(gòu)造等邊三角形BCE,并作△BCE的外接圓,在優(yōu)弧BC.上取-一點P,作圓周角BPC,如圖4.118所示.
∵ E=60°，∴∠ BPC= 60°.
根據(jù)題意,點P在AD上，存在以下兩種情況:
如圖4.119所示，當(dāng)矩形ABCD內(nèi)接于圓時,點P與點A、D重合;
如圖4.120所示,當(dāng)矩形的邊AD與圓相切時,點P與點E重合.
(1)當(dāng)矩形ABCD內(nèi)接于圓時,連接AC, ∴∠ABC=90° , ∵Rt△ ABC中, ∠ BAC=∠E=60° ,BC= 6, ∴tan∠BAC=tan60°= SKIPIF 1 < 0 ,∴m= SKIPIF 1 < 0 .
(2)當(dāng)矩形ABCD的邊AD與圓相切時,取BC的中點F,連接EF,
∴EF⊥BC,BF=3.在Rt△BEF,BE=BC=6, ∴ SKIPIF 1 < 0 .∵∠A=∠ABC=∠EFB=90°, ∴ABFE為矩形, ∴AB=EF= SKIPIF 1 < 0 .當(dāng)m＜ SKIPIF 1 < 0 或m＞ SKIPIF 1 < 0 時，如圖4.121和圖4.122所示，AD上不存在點P滿足∠BPC=60°,

∴ SKIPIF 1 < 0 .
思路點撥
本題其實是一道作圖題，我們需要找到滿足∠BPC=60°的點P所有可能的位置,然后利用“點在AD上”這個條件來確定m的取值范圍.改變點P的位置而不改變∠BPC的大小,這讓我們想到了圓周角,通過兩種臨界情況就能確定m的最大值和最小值了.這種思想其實和“不等式組”非常相似.
65.如圖3.61所示,在等腰△ABC的兩腰AB、AC.上分別取點D和E,且AD=CE.已知BC=2,則DE的最小值為___________.
解：作平行四邊形ABCF,截取CG=AE,連接EG、DG,如圖4.123所示，
∴CG=AE=BD. ∵AB∥CF, ∴四邊形BDGC為平行四邊形，∴∠DAE=∠GCE,DG=BC=2.在△ADE和△CEG中， SKIPIF 1 < 0 ，∴△ADE≌△CEG(SAS), ∴DE=EG, ∴DE+EG=2DE≥DG=2,
當(dāng)且僅當(dāng)D、E、G三點共線時取到最小值, ∴DE的最小值為1.
思路點撥
利用相等的線段構(gòu)造全等三角形(或者將△ABC構(gòu)造成平行四邊形),利用三角形的三邊關(guān)系得到DE的取值范圍.
66．如圖3．62如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E、F分別是AC、CD上的動點，且AE＝CF，連接BE、BF，則BE＋BF的最小值為．
圖3．62
解在CD右側(cè)構(gòu)造∠DCG＝∠ACD，并截取CG＝CD，連接BG、FG，如圖4．124所示．
在矩形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴CG＝AB＝4，∠BAC＝∠ACD，
∴∠BAE＝∠GCF．
在△ABE 和△CGF中，
AE＝CF ∠BAE＝∠GCF AB＝CG
．∴△ABE∽△CGF(SAS)，
∴BE＝FG，
∴BE＋BF＝BF＋FG≥BG
如圖4．125所示，當(dāng)且僅當(dāng)B、F、G三點共線時取得最小值．
過點G作GH⊥BC交BC延長線于點H．
∵∠DCG＝∠ACD，
∴∠ACB＝∠GCH．
∵∠ABC＝∠H＝90°
∴△ABC∽△GHC
∴ SKIPIF 1 < 0
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3
∴AC＝5．
∴CH＝ SKIPIF 1 < 0 ，GH＝ SKIPIF 1 < 0
在Rt△BGH中，BH＝BC＋CH＝ SKIPIF 1 < 0 ，CH＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴BG＝ SKIPIF 1 < 0
∴BE＋BF的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ．

圖4．124 圖4．125
思路點撥
雖然兩邊之和大于第三邊，但第三邊EF是變量，且B、E、F三點不會共線．因此，我們要利用全等關(guān)系將BE或BF進行轉(zhuǎn)化，使動點位于兩定點之間，在三點共線時取將兩線段和的最小值．
構(gòu)造全等三角形的方法包括平移、翻折、旋轉(zhuǎn)或者連續(xù)多次變換等．
67．如圖3．63所示，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ABC＝60°，點E從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AC向點C運動，同時點F從點C出發(fā)，以2cm/s的速度沿射線CD運動（當(dāng)點E到達(dá)點C時兩動點同時停止運動），連接BF、DE，則動點運動的時間t為時，BF＋2DE取得最小值，最小值為．
圖3．63
解過點C作CG⊥BC，且取CG＝2BC，連接GF、BG，如圖4．126所示，
在菱形ABCD中，AC為對角線，
∴AC平分∠BCD，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，
∴∠DAE＝∠FCG＝30°，
∵點E、F同時出發(fā)，且點F的速度為點E的兩倍，
∴CF＝2AE，
∴AE：CF＝AD：CG＝1:2，
．∴△AED∽△CFG，
∴GF＝2DE，
∴BF＋2DE＝BF＋GF≥BG，
如圖4．127所示，當(dāng)且僅當(dāng)B、F、G三點共線時，BF＋GF取得最小值。
在Rt△BCG中，BC＝AB＝4cm，CG＝2BC＝8cm，
BG＝ SKIPIF 1 < 0 cm．
如圖4．128所示，點F為CD延長線與BG的交點，過點F作FH⊥BC
設(shè)FH為x
∵CG⊥BC，
∴CG∥FH，
易證△BHF∽△BCG，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴BH＝ SKIPIF 1 < 0 x
在Rt△FHC中，∠FCB＝60°，
∴CH＝ SKIPIF 1 < 0 x
∴ SKIPIF 1 < 0 x＋ SKIPIF 1 < 0 x＝4．
∴x＝16 SKIPIF 1 < 0 -24，
∴CF＝(32-16 SKIPIF 1 < 0 )÷2＝(16-8 SKIPIF 1 < 0 )s．
圖4．126 圖4．127 圖4．128
思路點撥
根據(jù)結(jié)論形式，構(gòu)造與2DE相等的線段．根據(jù)比例系數(shù)2，我們注意到點E、F的運動速度之比為1：2，等價于線段AE和CF之比為1：2，故借助相似三角形即可構(gòu)造2DE線段．根據(jù)“兩點之間線段最短”解決最值問題：根據(jù)取得最值時CF的長度可以算出兩動點的運動時間．
68．如圖3．64所示，BC＝ a，M為BC的中點，∠EMF＝120°，∠EMF繞點M進行旋轉(zhuǎn)，并始終保持∠EMF在BC的上方，在旋轉(zhuǎn)的過程中，點A、D分別在射線ME、MF上運動，連接AB、CD，若始終滿足AB＋CD＝b，則在該過程中，線段AD有最值（填“大”或“小”）．
圖3．64
解將△ABM 和△CDM分別沿著AM、DM翻折至△AB′M 和△C′DM，如圖4．129所示，
∴△ABM≌△AB'M，△CDM≌△C′DM，
∴AB＝AB'，CD＝C′D，BM＝CM＝B′M＝C′M，
∠AMB＝∠AMB'，∠CMD＝∠C′MD．
∵∠AMD＝120°
∴∠AMB＋∠CMD＝60°．
∴∠AMB'＋∠DMC′＝60°，
∴∠B'MC'＝∠AMD-(∠AMB'＋∠DMC′)＝60°，
∴△B'MC'為等邊三角形，
∴B'C′＝B′M＝ SKIPIF 1 < 0 BC＝ SKIPIF 1 < 0 a
∴AD≤AB'＋B'C'＋C′D＝ SKIPIF 1 < 0 a＋b，
即AD有最大值 SKIPIF 1 < 0 a＋b，當(dāng)且僅當(dāng)A、B'、C′、D四點共線時取到最值．
圖4．129
思路點撥
通過兩次翻折構(gòu)造兩組全等三角形，利用120°角和中點的特殊性，將題目中的已知線段和AD建立起聯(lián)系，最后根據(jù)“兩點之間線段最短”得到AD的最值．
69．如圖3．65所示，在矩形ABCD中，AB＝2 SKIPIF 1 < 0 ，BC＝6，P為矩形ABCD內(nèi)部的任意一點，則PA＋PB＋PC的最小值為．
圖3．65
解將△ABP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°至△AB'P'，如圖4．130所示，
∴△ABP≌△AB'P'，
∴．BP＝B'P'，∠PAP＝60°，AP＝AP'
∴△APP'是等邊三角形，
∴．PP′＝AP．
∴PA＋PB＋PC＝B'P'＋P′P＋PC≥B'C，
如圖4．131所示，當(dāng)且僅當(dāng)B'、P'、P、C四點共線時取到最值．
圖4．130 圖4．131
連接BB′，取AB的中點E，連接BE，過點B'作B′F⊥BC交BC反向延長線于點F，如圖4．132所示
∵AB＝AB'，∠B′AB＝60°，
∴△ABB′為等邊二角形．
∵E為AB的中點，
∴B′E⊥AB，∠EB'B＝30°，
在Rt△B'BE中，BB'＝AB＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴BE＝ SKIPIF 1 < 0 ，B'E＝3．
∵∠F＝∠ABF＝90°，
∴四邊形BEB′F為矩形，
∴B′F＝BE＝ SKIPIF 1 < 0 ，B′E＝BF＝3，
∴FC＝BC＋BF＝9．
在Rt△B'CF中，B'F＝ SKIPIF 1 < 0 ，F(xiàn)C＝9，
．B'C＝ SKIPIF 1 < 0 ．
圖4．132
思路點撥
這就是著名的“費馬點”問題。費馬點是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個項點距離之和最短的點．本題中，連接AC后，我們要找的就是△ABC的費馬點．將△ABP繞著點A旋轉(zhuǎn)60°，將PA＋PB＋PC的最小值轉(zhuǎn)化為B′P′＋PP’＋PC的最小值，然后根據(jù)“兩點之間線段最短”求出最小值。旋轉(zhuǎn)的目的是通過全等和等邊將線段和中的動線段排成“首尾相連”的形式，便于應(yīng)用線段公理解題．
70．如圖3．66如圖所示，在矩形ABCD的邊AD上有一動點F，在矩形ABCD內(nèi)有一點E，其中AB＝6，BC＝10，則EF＋EB＋EC的最小值為．
圖3．66
解將△BEC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°至△BE'C'，連接CC'、EE’，如圖4．133所示，
∴∠E′BE＝∠CBC'＝60°，△BEC≌△BE′C′，
∴BE＝BE′，BC＝BC′．
∴△BEE′ 和△BCC′均為等邊三角形，
∴EE'＝BE，
∴EB＋EC＋EF＝EE'＋CE'＋EF≥C′F，
如圖4．134所示，當(dāng)且僅當(dāng)C、E’、E、F四點共線且C'F⊥AD時取到最小值．
∵AD∥BC，
∴C'G⊥BC，
∴G為B的中點
在Rt△BC'G中，BC′＝BC＝10，BG＝5，
∴．C′G＝5 SKIPIF 1 < 0 ．
∵∠A＝∠AFG＝∠ABG＝90°，
∴四邊形ABGF為矩形，
∴GF＝AB＝6，
∴C'F＝C'G＋GF＝6＋5 SKIPIF 1 < 0 ，
∴EF＋EB＋EC的最小值為6＋5 SKIPIF 1 < 0 ．
圖
思路點撥
依舊是類似費馬點的問題，可以采取與題69相同的策略，通過構(gòu)造全等圖形，將EF＋EB＋EC的最小值轉(zhuǎn)化為EE'＋C'E'＋EF（F為動點）的最小值，最后根據(jù)“垂線段最短”解決問題．
71.如圖3.67所示，在正方形ABCD中，AB=4，E、F分別是正方形內(nèi)的兩點，∠AEB=∠CFD=120°，則AE＋BE＋EF＋CF＋DF的最小值為________________________.
知識儲備如圖4.135所示，在四邊形ABPC中，△ABC為等邊三角形，∠BPC=120°，
求證：AP=BP＋CP.
證：延長BP至點D，使PD=CP，如圖4.136所示.
∵∠BPC=120°，
∴∠CPD=60°，
∴△PCD為等邊三角形，
∴∠PCD=60°.
在等邊△ABC中，BC=AC，∠ACB=60°，
∴∠ACP=∠BCD=60°＋∠BCP.
在△ACP和△BCD中，
SKIPIF 1 < 0
∴△ACP≌△BCD（SAS），
∴AP=BD=BP＋PD=BP＋CP.
解：分別以AB、CD為邊向外作等邊△MAB和等邊△NCD，連接ME、NF，如圖4.137所示，
∴∠AMB=∠CND=60°.
∵∠AEB=∠DFC=120°，
根據(jù)知識儲備中的結(jié)論，AE＋BE=ME，DF＋CF=NF，
∴AE＋BE＋EF＋CF＋DF=ME＋EF＋NF≥MN，
如圖4.138所示，當(dāng)且僅當(dāng)M、E、F、N四點共線時取得最值.
連接MN，與AB、CD分別交于點P、Q.
在等邊△ABM和等邊△DCN中，AM=BM，CN=DN，則M為AB垂直平分線上的點，N為CD垂直平分線上的點.
∵AB∥CD，
∴MN垂直平分AB和CD，
∴MP⊥AB，NQ⊥CD，AP=BP，DQ=CQ.
在Rt△APM中，AM=AB=4，∠MAP=60°，
∴MP= SKIPIF 1 < 0 .
同理，NQ= SKIPIF 1 < 0 .
∵四邊形ADQP為矩形，
∴PQ=AD=4，
∴MN=MP＋PQ＋NQ=4＋ SKIPIF 1 < 0 ，
∴AE＋BE＋EF＋CF＋DF的最小值為4＋ SKIPIF 1 < 0 .
思路點撥：
利用等邊三角形共頂點的旋轉(zhuǎn)模型（或者稱截長補短模型）可以將五條線段之和轉(zhuǎn)換為首尾相連的三條線段之和，再根據(jù)“兩點之間線段最短”求出最小值.
知識儲備中的內(nèi)容是全等類常見題型，應(yīng)用較為廣泛.平時在做題的過程中，我們要學(xué)會積累，在處理此類比較復(fù)雜的題型時就可以迅速知道正確的思路.
72.如圖3.68所示，⊙A的半徑為2，l是⊙A的切線向下平移1個單位后所得的直線，點P是l上一動點，PC切⊙A于點C，以PC為邊作△PBC，∠PCB=90°，∠PBC=30°，線段PB的最小值為___________.
解：連接CA、AP，如圖4.139所示.
在Rt△BCP中，∠BPC=30°，
∴CP= SKIPIF 1 < 0 BP.
∵PC與⊙A相切，
∴CA⊥CP，
∴CP2=AP2－AC2=AP2－4.
如圖4.140所示，當(dāng)AP⊥l時，AP取得最小值，此時CP也取得最小值.
由題意知AP=2＋1=3，
∴CP= SKIPIF 1 < 0 ，
∴PB= SKIPIF 1 < 0 .
∴PB的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
思路點撥：
PB為雙動點線段，不易處理，可利用轉(zhuǎn)化思想化復(fù)雜為簡單.Rt△BCP中有30°特殊角，可知 SKIPIF 1 < 0 的比值為定值 SKIPIF 1 < 0 ，于是將PB的最小值問題轉(zhuǎn)化為CP的最小值問題.在Rt△ACP中，AC為定值，可利用勾股定理將CP的最小值問題轉(zhuǎn)化為AP的最小值問題，而AP的最小值就是常見的定點到定直線的最短距離.
73.如圖3.69所示，點D是△ABC中BC邊上的一個動點，點D關(guān)于AB、AC的對稱點分別是點E和點F，∠B=45°，∠C=75°，AB=8，則EF的最小值是____________________.
解：連接AD、AE、AF，如圖4.141所示.
∵點E、D關(guān)于AB對稱，
∴AE=AD，∠EAB=∠DAB.
同理，AF=AD，∠FAC=∠DAC.
在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=60°，
∴∠EAF=∠EAB＋∠FAC＋∠BAC=120°.
在等腰三角形AEF中，底角為30°，
∴EF= SKIPIF 1 < 0 AE= SKIPIF 1 < 0 AD.
如圖4.142所示，當(dāng)AD⊥BC時，AD取得最小值.
在Rt△ABD中，AB=8，∠B=45°，
∴△ABD為等腰直角三角形，
∴AD= SKIPIF 1 < 0 .
此時，EF= SKIPIF 1 < 0 .
∴EF的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
思路點撥：
關(guān)于雙動點線段的問題處理起來比較麻煩，可利用轉(zhuǎn)化思想，抓住軸對稱的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)等腰△AEF的頂角度數(shù)為∠BAC的兩倍，于是算出AE與EF的比例關(guān)系，進而得到AD與EF的比例關(guān)系.根據(jù)“垂線段最短”解得AD的最小值.思路推進時一定要抓住初始的動點D.
拓展：在解題的過程中我們發(fā)現(xiàn)，∠BAC的作用是得到AD與EF的比例關(guān)系，∠B和AB的作用是計算垂線段的長度，因此題目中可以將特殊角改為已知三角函數(shù)值的銳角，如∠A=45°，AB=5，csB= SKIPIF 1 < 0 ，其他信息不變，依舊可以用同樣的方法算出EF的最小值.
74.如圖3.70所示，∠BAC=60°，半徑為1的⊙O與∠BAC的兩邊相切，P為⊙O上一動點，以點P為圓心、PA長為半徑的⊙P與射線AB、AC分別交于D、E兩點，連接DE，則線段DE的最大值為（）
A.3 B.6 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
解：連接PD、PE、OP，如圖4.143所示.
∵∠BAC=60°，
∴∠EPD=120°.
∵PE=PD，
∴∠PED=∠PDF=30°，
∴DE= SKIPIF 1 < 0 PD.
∵PD=PA，
∴DE= SKIPIF 1 < 0 PA，
當(dāng)PA取得最大值時，DE也取得最大值.
設(shè)F、G為圓O與∠CAB的兩邊的切點，連接DF、OG、OA、OP.
∵圓O內(nèi)切于∠CAB，
∴OF⊥AB，OG⊥AC，OF=OG，
∴AO平分∠CAB，
∴∠OAB=30°.
在Rt△AOF中，OF=1，
∴AO=2，
∴PA≤AO＋OP=3，
如圖4.144所示，當(dāng)且僅當(dāng)A、O、P三點共線時，PA取得最大值3，
∴DE的最大值為3 SKIPIF 1 < 0 .
思路點撥：
根據(jù)含30°的等腰三角形三邊的比例關(guān)系，可將DE的最小值問題轉(zhuǎn)化為PD的最大值問題.PD（=PA）為圓P的半徑，因此只要求得PA的最大值即可，于是將原本的雙動點線段問題轉(zhuǎn)化成了定點到圓周上動點的距離最值問題.
75.如圖3.71所示，AD是△ABC的高，AD=BD=4，DC=2，E是AC上的動點，EF⊥AB于點F，EG⊥BC于點G，則FG的最小值是______________________.
解：連接BE，取BE的中點O，連接OF、OG，如圖4.145所示.
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠BFE=∠BGE=90°.
∵O為BE的中點，
∴FO=GO=BO=EO= SKIPIF 1 < 0 BE，
∴B、F、E、G四點共圓.
∵AD為△ABC的高，AD=BD，
∴∠ABD=45°，
∴∠FOG=90°.
在Rt△FOG中，OF=OG，
∴FG= SKIPIF 1 < 0 OF= SKIPIF 1 < 0 BE.
在Rt△ADC中，AD=4，DC=2，
∴AC= SKIPIF 1 < 0 .
如圖4.146所示，當(dāng)BE⊥AC時，BE取得最小值.
∵S△ABC= SKIPIF 1 < 0 AD·BC= SKIPIF 1 < 0 BE·AC，
∴BE= SKIPIF 1 < 0 ,
∴FG的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
思路點撥：
FG是雙動點線段，故需要利用轉(zhuǎn)化思想化復(fù)雜為簡單.兩個直角三角形共斜邊，四個頂點都在以斜邊的中點為圓心的圓上；等腰Rt△ABD的底角∠ABD為圓周角，所以弦FG所對的圓心角為90°，與直徑的比例為定值；當(dāng)直徑BE取得最小值時，F(xiàn)G也取得最小值，而BE的最小值即點到直線的垂線段長度.
76．如圖3.72所示，點C是⊙O上一動點，弦AB＝6，∠ACB＝120°．△ABC內(nèi)切圓半徑r的最大值為．
圖3.72
答案：解設(shè)△ABC的內(nèi)心為點I，連接AI、BI，如圖4.147所示．
∵點I為△ABC的內(nèi)心，
∴AI平分∠CAB，BI平分∠CBA．
∵∠ACB＝120°，
∴∠CAB＋∠CBA＝180－∠ACB＝60°，
∴∠IAB＋∠IBA＝ SKIPIF 1 < 0 (∠CAB＋∠CBA)＝30°，
∴∠AIB＝180－(∠IAB＋∠IBA)＝150°．
∵AB為定線段，∴點I的軌跡為一段圓?。?br>設(shè)該弧的圓心為點D，過點I作IE⊥AB，如圖4.148所示
∴IE為△ABC內(nèi)切圓的半徑，
∴r的最大值就是線段IE的最大值．
如圖4.149所示，當(dāng)O、I、E三點共線時，在弓形內(nèi)取得IE的最大值．
∵∠AIB＝150°，∴∠ADB＝2(180°－150°)＝60°，
∴△ABD為等邊三角形．
∵AE⊥AB，在Rt△AED中，AD＝AB＝6，
∴DE＝3 SKIPIF 1 < 0 ，
∴IE＝DI－DE＝6－3 SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ABC內(nèi)切圓半徑r的最大值為6－3 SKIPIF 1 < 0 ．
圖4.147 圖4.148 圖4.149
思路點撥
我們從題干中解讀出兩條關(guān)鍵的信息，一是三角形兩個內(nèi)角的平分線所形成的角與第三個角的數(shù)量關(guān)系，二是定弦、定角形成的圓軌跡.不難發(fā)現(xiàn)∠AIB為定角，AB為定線段，點I的軌跡便可以確定為一段圓弧，繼而找到弦AB的垂直平分線與 SKIPIF 1 < 0 的交點即為r最大時內(nèi)心I的位置，最后利用垂徑定理進行計算．
77．如圖3.73所示，在扇形AOB中，△AOB為等腰直角三角形，OA＝4，C是AB上一動點，過點C作CD∥OB交圓弧于點D，則CD的最大值為．
圖3.73
答案：解過點D作DE⊥AB，如圖4.150所示．
在等腰直角△AOB中，AO＝BO，∠O＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°．
∵CD∥OB，∴∠DCB＝45°．
∵DE⊥AB，∴∠DEC＝90°，
∴△CDE為等腰直角三角形，
∴CD＝ SKIPIF 1 < 0 DE．
如圖4.151所示，當(dāng)O、D、E三點共線時，DE取得最大值，此時CD也取得最大值．
∵OE⊥AB，∠OBE＝45°，
∴△OBE為等腰直角三角形，∴OE＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴DE＝OD－OE＝4－2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴DE的最大值為4－2 SKIPIF 1 < 0 ，∴CD的最大值為4 SKIPIF 1 < 0 －4．
圖4.150 圖4.151
思路點撥
本題依舊為雙動點問題，處理起來不夠便利，因此我們利用∠DCB＝45°，將CD的長度轉(zhuǎn)化為 SKIPIF 1 < 0 倍的點D到AB的距離.而在弓形中，點D到AB的距離最大值在點D為 SKIPIF 1 < 0 的中點時取到．
78．如圖3.74所示，在扇形AOB中，OA＝5，tan∠ABO＝ SKIPIF 1 < 0 ，C是AB上一動點，過點C作CD∥OB交圓弧于點D，則CD的最大值為．
圖3.74
答案：解當(dāng)點C與點A重合時，CD取得最大值．
過點O作OE⊥CD，與AB、AD分別交于點F、E，作OG⊥AB于點G，如圖4.152所示，
∴AB＝2BG，AD＝2AE．
在Rt△OBG中，OB＝OA＝5，
∵tan∠ABO＝ SKIPIF 1 < 0 ，∴BG＝2OG，
∴OG2＋BG2＝5OG2＝OB2，
∴OG＝ SKIPIF 1 < 0 ，∴AB＝2 SKIPIF 1 < 0 ．
在Rt△OBF中，OB＝5，
∴OF＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴BF＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴AF＝AB－BF＝ SKIPIF 1 < 0 ．
∵CD∥OB，∴∠BAD＝∠ABO．
在Rt△AEF中，tan∠BAD＝tan∠ABO＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴AE＝2EF，∴AE2＋EF2＝ SKIPIF 1 < 0 AE2＝AF2，
∴AE＝3，此時，CD的最大值為6．
圖4.152 圖4.153 圖4.154
思路點撥
與題77類似，取得最值的情況卻不相同，原因在于點的位置范圍不同.我們仿照題77求最值的方式作圖，如圖4.153所示.從圖形中我們發(fā)現(xiàn)，此時點C不在邊AB上，而在延長線上，不符合題意．
那么，臨界情況究竟是怎樣的呢？如圖4.154所示，當(dāng)O、D、E三點共線時，點C與點A也恰好重合，很容易判斷出此時△AOD為等邊三角形．
所以，當(dāng)∠AOB≤120°時，可通過在弓形內(nèi)找長度最大的“高線”解決問題；當(dāng)∠AOB≥120°時，可通過找點A、C重合的臨界情況解決問題．
79．如圖3.75所示，正方形ABCD的邊長為1，點P為邊BC上的任意一點(可與點B、C重合)，分別過點B、C、D作射線AP的垂線，垂足分別為B'、C'、D'，則BB'＋CC'＋DD'的取值范圍是．
圖3.75
答案：解連接AC、DP，如圖4.155所示．
∵正方形ABCD的邊長為1，∴S正方形ABCD＝1，
∴S△ADP＝ SKIPIF 1 < 0 S正方形ABCD＝ SKIPIF 1 < 0 ．
∵AB∥CD，S△ACP＝S△DCP，
∴S△ABP＋S△ACP＝S△ABC＝ SKIPIF 1 < 0 S正方ABCD＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴S△ADP＋S△ABP＋S△ACP＝1，
∴ SKIPIF 1 < 0 AP·BB'＋ SKIPIF 1 < 0 AP·CC'＋ SKIPIF 1 < 0 AP·DD'
＝ SKIPIF 1 < 0 AP(BB'＋CC'＋DD)＝1，
∴BB'＋CC'＋DD'＝ SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng)點P與點B重合時，AP有最小值1；當(dāng)點P與點C重合時，AP有最大值 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ≤BB'＋CC'＋DD'≤2．
圖4.155 圖4.156
思路點撥
題中出現(xiàn)多條垂線段時，應(yīng)該考慮面積法.利用面積法找到BB'＋CC'＋DD'和點P的關(guān)系．三條高線的公共底邊為AP，根據(jù)3個三角形的面積之和等于正方形的面積，得到底和高的反比關(guān)系式，因此求出AP的取值范圍便可確定BB'＋CC'＋DD'的取值范圍．
另辟蹊徑若將BB'＋CC'＋DD'當(dāng)作一個函數(shù)值，則自變量可以是因點P運動而產(chǎn)生的變量，如圖4.156中標(biāo)記的角度．令∠DAD'＝ SKIPIF 1 < 0 ，在點P運動的過程中，45°≤ SKIPIF 1 < 0 ≤90°．因為DD'＝AD·sin SKIPIF 1 < 0 ，BB'＝BP·sin SKIPIF 1 < 0 ，CC'＝CP·sin SKIPIF 1 < 0 ，所以BB'＋CC'＋DD'＝(AD＋BP＋CP)·sin SKIPIF 1 < 0 ＝2AD·sin SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ≤sin SKIPIF 1 < 0 ≤1，故得出 SKIPIF 1 < 0 ≤BB'＋CC'＋DD'≤2．
80．如圖3.76所示，AB＝2，以AB為直徑作半圓O，半圓O上有一動點P，則AP＋BP的最大值為．
圖3.76
答案：解將半圓補成完整的圓，取 SKIPIF 1 < 0 的中點Q(點P異側(cè))，連接PQ，過點Q作QC⊥PQ交PB的延長線于點C，連接AQ、BQ，如圖4.157所示．
∵Q為 SKIPIF 1 < 0 的中點，∴AQ＝BQ．
∵AB為⊙O的直徑，∴∠AQB＝90°，
∴∠QAB＝∠QBA＝45°，∴∠QPB＝45°．
∵QC⊥PQ，
∴∠AQP＝∠BQC＝90－∠PQB，∠C＝45°，
∴PQ＝QC．
在△APQ和△BCQ中，
SKIPIF 1 < 0
∴△APQ≌△BCQ(SAS)，
∴AP＝BC，
∴AP＋BP＝BC＋BP＝PC．
在等腰Rt△PQC中，PC＝ SKIPIF 1 < 0 PQ．
當(dāng)PQ為⊙O的直徑時，PQ取得最大值，此時AP＋BP也取得最大值．
AP＋BP＝ SKIPIF 1 < 0 AB＝2 SKIPIF 1 < 0 ，∴AP＋BP的最大值為2 SKIPIF 1 < 0 ．
圖4.157
思路點撥
這是一個簡約而不簡單的線段和最值問題.通過構(gòu)造全等圖形將線段和AP＋BP的最值問題轉(zhuǎn)化為圓內(nèi)的一條弦的最值問題．根據(jù)“圓中最長的弦是直徑”求出AP＋BP的最大值．
另辟蹊徑在幾何解析中巧妙地運用代數(shù)法．(AP＋BP)2＝AP2＋2AP·BP＋BP2＝AB2＋4S△ABP，表明要求AP＋BP的最大值，只需求S△ABP的最大值.當(dāng)點P運動至 SKIPIF 1 < 0 的中點時，邊AB上的高為半徑，此時△ABP的面積取得最大值，AP＋BP也取得最大值.
81.如圖3.77所示，已知∠XOY＝60°，點A在邊OX上，OA＝2，過點A作AC⊥OY于點C，以AC為一邊在∠XOY內(nèi)作等邊△ABC，點P是△ABC圍成的區(qū)域（包括各邊）內(nèi)的一點，過點P作PD∥OY交OX于點D，作PE∥OX交OY于點E.設(shè)OD＝a,OE＝b，則a＋2b的取值范圍是______________.
81.解過點P作PF∥AC交OX于點F，如圖4.158所示.
∵PD∥OY,PE∥OX，
∴四邊形OEPD為平行四邊形，
∴OE＝PD＝b.
∵AC⊥OY，∠XOY＝60°，
∴∠CAO＝90°－60°＝30°.
在Rt△AOC中，OA＝2，
∴AC＝ SKIPIF 1 < 0 .
∵PF∥AC,PD∥OY,AC⊥OY，
∴∠PDF＝∠XOY＝60°，PF⊥PD，
∴DF＝2PD＝2b，
∴a＋2b＝OD＋DF＝OF.
如圖4.159所示，當(dāng)點P在線段AC上時，a＋2b取得最小值.
如圖4.160所示，當(dāng)點P與點B重合時，a＋2b取得最大值.
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BAO＝∠CAO＋∠CAB＝90°.
∵BF∥AC，
∴∠BFA＝∠CAO＝30°.
在Rt△BAF中，AB＝AC＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴AF＝ SKIPIF 1 < 0 AB＝3，
∴OF＝OA＋AF＝5,
∴2≤a＋2b≤5.
思路點拔：
利用平行四邊形的性質(zhì)將2OE轉(zhuǎn)化為2PD，再利用60°角的余弦值將2PD轉(zhuǎn)化為DF，因此a＋2b等于OF的長度，顯然，當(dāng)點P在AC上時OF取得最小值，當(dāng)點P與B點重合時OF取得最大值.
82.如圖3.78所示，∠ACB＝60°，圓O內(nèi)切于∠ACB，半徑為2.P為圓O上一動點，過點P作PM、PN分別垂直于∠ACB的兩邊，垂足為M、N，則PM＋2PN的取值范圍為____.
82.解延長MP與CB交于點D，如圖4.161所示.
∵PM⊥AC,PN⊥CB，
∴∠PMC＝∠PNC＝90°.
∵∠ACB＝60°，
∴∠MPN＝360°－∠PMC－∠PNC－∠ACB＝120°,
∴∠DPN＝60°.
在Rt△PDN中，∠PDN＝30°，
∴PD＝2PN，
∴PM＋2PN＝PM＋PD＝MD.
在Rt△DMC中，MD＝ SKIPIF 1 < 0 CM，
∴PM＋2PN＝ SKIPIF 1 < 0 CM.
當(dāng)PM與圓相切時，CM取到最值.
設(shè)圓與∠ACB兩邊的切點分別為E、F，連接OE、OF,
（1）當(dāng)PM與圓相切在外側(cè)時，CM取得最大值，如圖4.162所示.
∵OE⊥AC,OF⊥CB,OE＝OF＝r，
∴CO平分∠ACB，
∴∠OCE＝30°
在Rt△COE中，OE＝2,
∵PM與圓相切，
∴OP⊥MD,
∴∠OPM＝∠OEM＝∠PME＝90°，
∴四邊形OPME為矩形.
∴OP＝EM＝2，
∴CM＝EM＋CE＝2＋2 SKIPIF 1 < 0
∴PM＋2PN的最大值為6＋2 SKIPIF 1 < 0
（2）當(dāng)PM與圓相切在內(nèi)側(cè)時，CM取得最小值如圖4.163所示.
同理，CM＝2 SKIPIF 1 < 0 －2，
∴PM＋2PN的最小值為6－2 SKIPIF 1 < 0
6－2 SKIPIF 1 < 0 ≤PM＋2PN≤6＋2 SKIPIF 1 < 0
思路點拔：
將MP延長，利用30°角的正弦值構(gòu)造2PN，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為一條線段的長度，繼續(xù)利用60°角的正切值將線段MD轉(zhuǎn)換成 SKIPIF 1 < 0 倍的CM長度，利用切線的性質(zhì)找出CM最大值和最小值的位置，進行長度計算即可.
83.如圖3.79所示，正方形ABCD的邊長為10，E為邊BC上一動點，將AE繞點E順
時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF,M為ED的中點，連接MF，則MF的最小值為___________.
83.解在AB上取一點H，使得tan∠BHE＝2（即令BE＝2BH），連接EH，延長BC到點G，使BC＝CG，延長EF至點N，使EF＝FN，連接DN，如圖4.164所示.
∵M為ED的中點,
∴MF＝ SKIPIF 1 < 0 DN
∵AE⊥EF，
∴∠AEB＋∠FEC＝90°.
∵∠AEB＋∠EAH＝90°，
∴∠EAH＝∠NEG
令BH＝a，則BE＝2a，
∴AH＝10－a,EG＝20－2a，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴△AHE∽△EGN，
∴∠AHE＝∠G.
∵點G為定點，∠G為定角，
∴點N的軌跡為從點G出發(fā)的射線.
如圖4.165所示，當(dāng)DN⊥GN時，DN取得最小值，此時MF也取得最小值.
將DN、CG分別延長交于點P，如圖4,166所示，
∵∠AHE＝∠NGC，
∴∠EHB＝∠NGP＝180°－∠AHE.
∵DN⊥GN，
∴∠DNG＝∠DCG＝90°，
∴∠CDN＝180°－∠NGC，
∴∠CDN＝∠EHB＝∠NGP，
∴tan∠CDN＝tan∠NGP＝tan∠EHB＝2.
∵CD＝CG＝10,
∴CP＝2CD＝20,
∴DP＝ SKIPIF 1 < 0 ＝10 SKIPIF 1 < 0 ，
∴GP＝CP－CG＝10.
在Rt△PMG中，NP＝2NG,
∴NP2＋NG2＝ SKIPIF 1 < 0 NP2＝GP2,
∴NP＝4 SKIPIF 1 < 0 ，
∴DN＝DP－NP＝6 SKIPIF 1 < 0 ,
∴MF的最小值為3 SKIPIF 1 < 0 .
思路點拔：
由于MF為雙動點線段，直接探究最值有困難，因此我們可以抓住點M為中點的條件，構(gòu)造中位線進行轉(zhuǎn)化，延長EF，將點F構(gòu)造成EN的中點，則MF為△DEN的中位線，于是只需求得DN的最小值，點D為定點，故構(gòu)造相似三角形探究點N運動的軌跡，最后根據(jù)“垂線段最短”解決最值問題.

84.如圖3.80所示，正方形ABCD中，E為BC上一動點，連接AE將AE順時針旋轉(zhuǎn)90°至EF，連接BF.若AB＝4，M為BF的中點，則CM的最小值為_________.
84.解在AB上截取BE＝BG，連接EG、CF，如圖4.167所示.
∵AG＝AB－ BG， CE＝ BC－BE，
在正方形ABCD中，AB＝BC，∠B＝90°，
∴AG＝CE.
由題意知∠AEF＝90°，AE＝EF，
∴∠AEB＋∠CEF＝90°
又∠BAE＋∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF.
在△AGE和△ECF中，
SKIPIF 1 < 0 .
∴△AGE≌△ECF（SAS），
∴∠ECF＝∠AGE.
∵BE＝ BG，
∴∠BGE＝∠GEB＝45°，
∴∠ECF＝∠AGE＝135°，
取BC的中點N，連接MN、CF，如圖4.168所示，
∵M為BF的中點，
∴MN∥CF，
∴∠MNB＝∠ECF＝135°，
∴∠MNC＝45°
如圖4.169所示，當(dāng)CM⊥MN時，CM取到最小值，
此時△NMC為等腰直角三角形.
在Rt△MCN中，CN＝ SKIPIF 1 < 0 BC＝2,
∴CM＝ SKIPIF 1 < 0 CN＝ SKIPIF 1 < 0 ,
∴CM的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
思路點拔：
通過構(gòu)造K形全等，我們判斷出點F的運動軌跡為線段.取BC的中點M，連接MN，易知MN與BC的夾角為定值，因此點M的運動軌跡也是線段（其實可視為點M跟隨點F運動而運動，因此它們的運動軌跡形狀相同），根據(jù)“垂線段最短”解得CM的最小值.
85.如圖3.81所示，在平面直角坐標(biāo)系中，A（－2,0），B（4,0），C（0，m），其中m＞0.連接BC，以BC為斜邊作直角三角形BCP，且tan∠PBC＝ SKIPIF 1 < 0 ，則AP的最小值為______,此時m的值為__________.
85.解取BC的中點G，連接OG、PG、OP，如圖4.170所示
∵∠BPC＝∠COB＝90°，G為斜邊BC的中點，
∴PG＝OG＝BG＝CG＝ SKIPIF 1 < 0 BC，
∴點B、C、P、O在以點G為圓心、OG為半徑的圓上，
∴在四邊形POBC中，∠PCB＋∠POB＝180°,
∴∠POA＝180°－∠POB＝∠PCB，
∴∠POA為定值，即點P的軌跡為直線.
如圖4.171所示，當(dāng)AP⊥OP時，AP取得最小值，
∴∠PAO＝90°－∠POA＝90°－∠PCB＝∠PBC，
∴tan∠PAO＝tan∠PBC＝ SKIPIF 1 < 0 ,
在Rt△AOP中，AO＝2，
∴AP2＋OP2＝ SKIPIF 1 < 0 AP2＝AO2，
AP＝ SKIPIF 1 < 0 ，
即AP的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
根據(jù)圖4.171計算m的值.
∵∠APO＝∠BPC＝90°，
∴∠APB＝∠OPC＝90°＋∠OPB.
∵AP:OP＝BP:CP＝2：1，
∴△APB∽△OPC，
∴AB:OC＝AP:OP＝2：1.
∵AB＝AO＋BO＝6,
∴OC＝3，
即當(dāng)AP取得最小值時，m＝3.
思路點拔：
解題時應(yīng)抓住題目條件中不變的角度去思考，我們注意到BC所對的直角有兩個，從而判斷出B、C、P、O四點共圓；根據(jù)“圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角”確定點P的軌跡是一條定直線；根據(jù)“垂線段最短”解決AP的最小值問題，再利用固定圖形中的相似三角形，求出此時m的值.
86．如圖3.82所示，點C的坐標(biāo)為（2，5），點A的坐標(biāo)為（7，0），⊙C的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，點B是在⊙C上一動點，OB+ SKIPIF 1 < 0 AB的最小值為．
答案：解連接AC、BC，在AC上取點E，使CE= SKIPIF 1 < 0 ，連接BE，如圖4.172所示．∵AC= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，BC= SKIPIF 1 < 0 ，∴BC2=CE·AC，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵∠BCE=∠ACB，∴△BCE∽△ACB，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴OB+ SKIPIF 1 < 0 AB=OB+BE≥OE．
如圖4.173所示，當(dāng)且僅當(dāng)O、B、E三點共線時，OB+ SKIPIF 1 < 0 AB取得最小值．
如圖4.174所示，過點E作EF⊥OA，垂足為F，∵直線AC的解析式為y=-x+7，∴∠CAO=45°，∴△AEF為等腰直角三角形，∵AE=AC-CE= SKIPIF 1 < 0 ．
在Rt△AEF中，EF=AF=4，∴OF=OA-AF=3，在Rt△OEF中，EF=4，OF=3，∴OE= SKIPIF 1 < 0 =5，即OB+ SKIPIF 1 < 0 AB的最小值為5．
【思路點撥】對于含系數(shù)的線段和問題，我們需要把兩條線段的系數(shù)化為1：1，即“消除”比例系數(shù)，轉(zhuǎn)化為常規(guī)的線段和a+b，我們可以借助相似圖形和三角函數(shù)進行轉(zhuǎn)化．一般規(guī)律：對于動點的圓軌跡，存在定長線段（半徑），可構(gòu)造相似圖形消除比例系數(shù)；對于動點的直線軌跡，存在定角度，可利用三角函數(shù)構(gòu)造線段消除比例系數(shù)（后期還有相關(guān)習(xí)題）．本題中我們需要構(gòu)造 SKIPIF 1 < 0 AB或 SKIPIF 1 < 0 OB．
87．如圖3.83所示，點C的坐標(biāo)為（2，5），點A的坐標(biāo)為（7，0），點B為x軸上的動點，那么CB+ SKIPIF 1 < 0 AB的最小值為．
答案：解構(gòu)造直線AD：y= SKIPIF 1 < 0 x- SKIPIF 1 < 0 ，過點B作BE⊥AD，過點C作CF⊥x軸交AD于點F，如圖4.175所示，當(dāng)x=0時，y= SKIPIF 1 < 0 ，∴D（0， SKIPIF 1 < 0 ），∴tan∠OAD= SKIPIF 1 < 0 ，在Rt△ABE中，tan∠BAE= SKIPIF 1 < 0 ，∴AE=2BE，∴BE2+AE2=5BE2=AB2，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴CB+ SKIPIF 1 < 0 AB=CB+BE≥CE．
如圖4.176所示，當(dāng)且僅當(dāng)C、B、E三點共線時取到最小值．∵FC⊥x軸，∴CF//OD，F(xiàn)（2， SKIPIF 1 < 0 ）∴∠ODA=∠CFE，∵CE⊥AD，∴∠CEF=∠AOD=90°，∴△ODA∽△EFC，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴CE= SKIPIF 1 < 0 ，即CB+ SKIPIF 1 < 0 AB的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ．
【思路點撥】本題的問題形式跟題86十分相似，依舊需要構(gòu)造線段 SKIPIF 1 < 0 AB，將線段前的系數(shù)統(tǒng)一為1：1，本題中可以利用三角函數(shù)構(gòu)造線段，根據(jù)“垂線段最短”找到最值的位置，再根據(jù)相似比計算最小值．
88．如圖3.84所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（-1，0），B（0， SKIPIF 1 < 0 ），C是線段OB上的動點，則3AC+BC的最小值為，此時點C的坐標(biāo)為．
答案：解取D（1，0），連接BD，過點C作CE⊥BD，如圖4.177所示，在Rt△BOD中，OB= SKIPIF 1 < 0 ，OD=1，∴BD= SKIPIF 1 < 0 =3，∴sin∠OBD= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，∴AC+ SKIPIF 1 < 0 BC=AC+CE≥AE．
如圖4.178所示，當(dāng)AE⊥BD時，AC+CE取得最小值．∵AE⊥BD，∴∠EAD+∠BDO=90°，∴∠OBD=∠EAD，∴sin∠EAD= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，∵AD=OA+OD=2，∴AE= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，∵3AC+BC=3(AC+ SKIPIF 1 < 0 BC)，∴3AC+BC的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ．在Rt△AOC中，OA=1，sin∠CAO= SKIPIF 1 < 0 ，∴AC=3OC，∴AC2-OC2=8OC2=OA2，∴OC= SKIPIF 1 < 0 ，即當(dāng)3AC+BC取得最小值時，點C的坐標(biāo)為（0， SKIPIF 1 < 0 ）．
【思路點撥】我們將所求表達(dá)式中的系數(shù)3提出來，構(gòu)造成3(AC+ SKIPIF 1 < 0 BC)，然后利用三角函數(shù)將線段 SKIPIF 1 < 0 BC構(gòu)造出來，根據(jù)“垂線段最短”找出最值的位置，最后利用相似比或三角函數(shù)進行計算．
89．如圖3.85所示，在正方形ABCD中，AB=2，E是BC的中點，CD上有一動點M，連接EM、BM，將△BEM沿著BM翻折得到△BFM，連接DF、CF，則DF+ SKIPIF 1 < 0 CF的最小值為．
答案：解取BE的中點G，連接FG，如圖4.179所示，由題意知△BFM≌△BEM，∴BF=BE=1，∵G為BE的中點，∴BG= SKIPIF 1 < 0 BF，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵∠FBG=∠CBF，∴△BFG∽△BCF，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴DF+ SKIPIF 1 < 0 CF=DF+FG≥DG．
如圖4.180所示，當(dāng)且僅當(dāng)D、F、G三點共線時取得最小值，在Rt△DGC中，CD=2，CG=BC-BG= SKIPIF 1 < 0 ，∴DG= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，∴DF+ SKIPIF 1 < 0 CF的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ．
【思路點撥】利用相似的性質(zhì)構(gòu)造出長度為 SKIPIF 1 < 0 CF的線段，然后根據(jù)“兩點之間線段最短”求出最小值．
【弦外之音】這就是近近幾年某些地區(qū)考試中比較熱門的阿波羅尼斯圈（簡稱阿氏圓）．題中點F的軌跡是以點B為圓心的圓（四分之一圓弧），而點F在運動的過程中，保持到兩定點G、C的距離之比為定值，這其實就是阿波羅尼斯圓的定義：到兩定點距離之比為定值k（k>0且k≠1）的點的軌跡圖形為圓，這也是本題和題86解題思路的靈感來源．
90．如圖3.86所示，正方形ABCD的邊長是4，點E、F分別在BC、CD上，∠EAF=45°，則△EAF的面積最小值為．
答案：知識儲備在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的兩點，且∠EAF=45°．
求證：△AEF邊EF上的高為定值．
證延長CB至點G，使BG=DF，連接AG，作AM⊥EF，如圖4.181所示．在△ABG和△ADF中， SKIPIF 1 < 0 ，∴△ABG≌△ADF(SAS)，∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，∵∠DAF+∠BAF=90°，∴∠BAG+∠BAF=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，在△AEF和△AEG中， SKIPIF 1 < 0 ，∴△AEF≌△AEG(SAS)，∴∠AEB=∠AEM，∵AB⊥BE，AM⊥EF，∴AB=AM，即△AEF邊EF上的高為定值．
解取△AEF的外心O，連接OA、OE、OF，過點O作ON⊥EF，如圖4.182所示，∵∠EAF=45°，∴∠EOF=90°，∵OE=OF，∴△OEF為等腰直角三角形，不妨設(shè)外接圓的半徑為r，則EF= SKIPIF 1 < 0 r．OA+ON≥AM，即r+ SKIPIF 1 < 0 r≥4，當(dāng)且僅當(dāng)點M、N重合時取到最小值，∴EF≥8 SKIPIF 1 < 0 -8，∵AM=4為定值，∴S△EAF= SKIPIF 1 < 0 EF·AM≥16 SKIPIF 1 < 0 -16，即△AEF的面積最小值為16 SKIPIF 1 < 0 -16，當(dāng)且僅當(dāng)△AEF為等腰三角形時取到．
【思路點撥】本題屬于半角模型，解法同題90，利用△AEF的高不變，構(gòu)造△AEF的外接圓，再根據(jù)“垂線段最短”和EF與半徑之間的固定比例，解得EF的最小值，從而得出△AEF的面積最小值．
另辟蹊徑（1）利用基本不等式也可求得EF的最小值，如圖4.183所示，設(shè)BE=x，DF=y，利用勾股定理有(4-x)2+(4-y)2=(x+y)2，整理得 SKIPIF 1 < 0 ．所以，EF=x+y=x+ SKIPIF 1 < 0 =x+4+ SKIPIF 1 < 0 -8≥ SKIPIF 1 < 0 -8，當(dāng)x+4= SKIPIF 1 < 0 ，即x= SKIPIF 1 < 0 -4時，EF取得最值．
（2）還可以構(gòu)造一元二次方程求EF的最小值，EF=x+y=x+ SKIPIF 1 < 0 =x+4+ SKIPIF 1 < 0 -8≥ SKIPIF 1 < 0 -8，令x+4+ SKIPIF 1 < 0 -8=k，則(x+4)2- (8+k)(x+4)+32=0，已知(x+4)有解，則△=(8+k)2-128≥0，得k≥ SKIPIF 1 < 0 -8．
91．如圖3．87所示，△ABC是邊長為4的等邊三角形，將三角板的30°角的頂點與點A重合，三角板30°角的兩邊分別與BC交于D、E兩點，則DE長度的最小值是．
91．解作△ADE的外接圓，圓心為點O，連接OA、OD、OE，分別過點A、O作BC的垂線，垂足分別為N、M，如圖4．184所示
∵∠DAE=30°，
∴∠DOE=60°．
∵OE=OD，
∴△OED為等邊三角形．
設(shè)圓O的半徑為r，
∵DE=r．
∴OM⊥DE，
∵M為DE的中點，
∴OM= SKIPIF 1 < 0 ．
∵AN⊥BC，
∴N為BC的中點，
∴AN= SKIPIF 1 < 0 ．
∵OA+OM=r+ SKIPIF 1 < 0 r≥AN
∴r≥8 SKIPIF 1 < 0 -12，
即DE的最小值為8 SKIPIF 1 < 0 -12．
思路點拔
本題也屬于半角模型．繼續(xù)利用外接圓求出DE和半徑的比例關(guān)系；根據(jù)“垂線段最短”解得半徑的取值范圍，繼而得到DE的取值范圍．
順帶一提，當(dāng)點D與點B重合（或點E與點C重合）時，DE取得最大值為2．
92．如圖3．88所示，∠AOB=60°，點C在∠AOB內(nèi)且OC=3，以點C為圓心、1為半徑作圓，點P、Q分別是射線OA、OB上異于點O的動點，點M在圓C上運動．若圓C和∠AOB兩邊都沒有交點，則MP+MQ+PQ的最小值為．
92．解連接OM，作點M關(guān)于OB、OA的對稱點M'、M"，連接PM"、QM'、M'M"，如圖4．185所示，
∴MQ=M'Q，∠MOB=∠M'OB，OM=OM'．
同理，MP=M'P，∠MOA=∠M'OA，OM=OM"，
∴MP+MQ+PQ=M"P+PQ+M'Q≥M'M"．
∵∠AOB=60°，
∴∠M'OM'=∠AOB+∠M'OB+∠M"OA=120°．
∵OM=OM'=OM"，
∴M'M"= SKIPIF 1 < 0 OM．
如圖4．186所示，當(dāng)O、M、C三點共線時（點M在OC之間），OM取得最小值為OC-CM=2，
∴MP+MQ+PQ的最小值為2 SKIPIF 1 < 0 ．
思路點拔
作出點M關(guān)于OB、OA的對稱點M’、M"，根據(jù)“兩點之間線段最短”，當(dāng)M'、M"、P、Q四點共線時，MP+MQ+PQ取得最小值；根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，此時M'M"= SKIPIF 1 < 0 OM，所以要求OM的最小值，即圓外一點到圓周上一點的距離最小值．
93．如圖3．89所示，在△ABC中，∠C=90°，點D是邊BC上一動點，過點B作BE⊥AD交AD的延長線于點E．若AC=6，BC=8，則烤的最大值為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
93．解如圖4．187所示，過點E作EF⊥BC于點F
∵∠C=90°，
∴AC∥EF，
∴△ACD∽△EFD，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵AE⊥BE，
∴A、B、E、C四點共圓．
設(shè)AB的中點為O，連接OE、OF．
當(dāng)OE⊥BC時，EF有最大值，如圖4．188所示．
∵OE⊥BC，EF⊥BC，
∴EF、OE重合．
∵AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∴OE=5．
∵OE⊥BC，
∴BF= SKIPIF 1 < 0 BC=4，
∴OF=3，
∴EF=2，
∴ SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 。
思路點拔
觀察出A、B、E、C四點共圓是關(guān)鍵；通過構(gòu)造相似三角形將線段比進行轉(zhuǎn)化，最后轉(zhuǎn)化為單線段的最值問題．
94．如圖3．90所示，點A是直線y=－x上的動點，點B是x軸上的動點．若AB=2，則△AOB的面積最大值為．
94．解如圖4．189所示，作△AOB的外接圓OC，連接CB、CA、CO，過點C作CD⊥AB于點D．
由題意可得∠AOB=45°，
∵∠ACB=90°，
∴DC= SKIPIF 1 < 0 AB=1，CO=AC=BC= SKIPIF 1 < 0 ．
如圖4．190所示，當(dāng)O、C、D三點共線時，OD取得最大值為OC+CD= SKIPIF 1 < 0 +1，此時OD⊥AB，
∴S△AOB = SKIPIF 1 < 0 AB×OD= SKIPIF 1 < 0 ×2（ SKIPIF 1 < 0 +1)= SKIPIF 1 < 0 +1，即△AOB的面積最大值為 SKIPIF 1 < 0 +1．
同理，當(dāng)點A在第二象限內(nèi)，點B在x軸負(fù)半軸上時，△AOB的面積最大值也為 SKIPIF 1 < 0 +1．
思路點拔
這是一個比較典型的“滑動問題”，AB在直線y=-x和x軸之間滑動．其實換一個角度，這個問題就容易理解了：如圖4．191所示，△AOB的一邊AB為固定長度，所對的∠AOB=135°或45°，求此時邊AB上高的最大值．可以利用點O的軌跡為圓（定弦定角）找出△AOB的高最大值的位置，即AB不動、坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動的相對運動思想．
95．如圖3．91所示，線段AB的端點坐標(biāo)分別為A（-6，0），B（0，2），點C從（0，4）出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿直線y=4向左平移，同時線段AB也沿x軸的正方向以每秒2個單位長度的速度平移，則經(jīng)過 s，△ABC的周長最?。?br>95．解不妨假設(shè)AB靜止，點C以每秒3個單位向左運動．
作點A關(guān)于y=4的對稱點A'（-6，8)，連接A'C、A'B，如圖4．192所示，
∴AC=A'C，
∴AC+BC=A'C+BC≥A'B，
如圖4．193所示，當(dāng)A'、B、C三點共線時，AC+BC取得最小值．
∵直線A'B的解析式為y=-x+2，
當(dāng)y=4時，點C的坐標(biāo)為（-2，4），
∴t= SKIPIF 1 < 0
思路點拔
本題可利用相對運動的思想．AB和點C都在運動且同時運動，這時我們可以將這一反向運動理解為：AB不動，點C以AB的運動速度與自身的速度之和為“新速度”向左運動．那么只需點C運動到直線A'B（點A’為點A關(guān)于y=4的對稱點）上即可使AC+BC取得最小值．利用相對運動的思想是為了減少變量的個數(shù)，而不改變題目的本質(zhì)．
96．在△ABC中，若O為邊BC的中點，則必有AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2．依據(jù)以上結(jié)論，解決如下問題：如圖3.92所示，矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，點P在以DE為直徑的半圓上運動，則PF2＋PG2的最小值為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．34 D．10

解：連接DE、GF的中點M、N，連接PN、PM，如圖4.194所示．
∴四邊形DGNM也是矩形，∴GN＝DM＝2．
根據(jù)題給結(jié)論，PF2＋PG2＝2PN2＋2GN2，故要求PF2＋PG2的最小值，只需求PN的最小值即可．
∵PM＋PN≥MN，∴PN≥MN－PM＝1．
如圖4.195所示，當(dāng)且僅當(dāng)P、N、M三點共線時取到最小值，此時PF2＋PG2＝10．
思路點撥
本題利用中線長公式將的最值問題轉(zhuǎn)化為單線段的最值問題．設(shè)點M為DE的中點，點N為GF的中點，連接MN，則MN、PM的長度是定值，利用三角形的三邊關(guān)系可得出PN的最小值，再根據(jù)結(jié)論PF2＋PG2＝2PN2＋2GN2即可求出最小值．
97．如圖3.93所示，圓O的半徑為3，A為圓內(nèi)點，OA＝2，B、C為圓O上不同的兩點，AB⊥AC，則BC的最大值為．

知識儲備在△ABC中，D為BC的中點，連接AD．求證：AB2＋AC2＝2AD2＋2BD2．
證：作AE⊥BC，如圖4.196所示．
在Rt△ABE中，AB2＝AE2＋BE2．在Rt△ACE中，AC2＝AE2＋CE2．在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2．
∵D為BC的中點，∴BD＝CD．
∴2AD2＝2AE2＋2DE2，BE2＋CE2＝(BD＋DE)2＋(CD－DE)2＝BD2＋CD2＋2DE2，
∴AB2＋AC2＝2AE2＋BE2＋CE2＝2AD2＋BD2＋CD2＝2AD2＋2BD2．
解：分別取BC的中點D和OA的中點E，連接DE、AD、OD、OC，如圖4.197所示．∴OD⊥BC．
在Rt△OBD中，OD2＝OB2－ SKIPIF 1 < 0 ．
∵AB⊥AC，D為BC中點，∴AD＝ SKIPIF 1 < 0 BC．
∵E為OA中點，根據(jù)中線長公式，2DE2＝OD2＋AD2－2AE2，
∴DE＝ SKIPIF 1 < 0 ，∴點D在以點E為圓心、DE為半徑的圓上．
∵AD≤AE＋DE，如圖4.198所示，當(dāng)且僅當(dāng)A、E、D三點共線時取得最大值，∴BC的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ．
思路點撥
此題難度較大，我們要注意使用96題中出現(xiàn)的中線長公式，計算出DE為定值，確定點D軌跡為圓；根據(jù)定點到圓周上動點的距離最大值解得AD的最大值，從而得到BC的最大值．
弦外之音隨著這幾年高中（或競賽）知識以知識應(yīng)用的形式進入中考，如中線長公式，我們要有選擇性地進行課外拓展．
如本題，我們也可利用勾股定理中的一些結(jié)論“另辟蹊徑”．
有這樣的結(jié)論：平面上一點到矩形對角頂點的距離的平方和相等，如圖4.199所示．利用這一結(jié)論可構(gòu)造矩形ADBC，如圖4.200所示，計算出OD為定值，即點D的軌跡也是以點O為圓心的圓，AD的最大值即BC的最大值．

98．有10個數(shù)據(jù)，x1，x2，…，x10，已知它們的和為2018，當(dāng)代數(shù)式(x－x1)2＋(x－x2)2＋…＋(x－x10)2取得最小值時，x的值為．
解：令x＝x1＝x2＝…＝x10＝201.8，則(x－x1)2＋(x－x2)2＋…＋(x－x10)2＝0．
思路點撥
初一的學(xué)生可以這樣思考：幾個非負(fù)數(shù)的和最小值為0，當(dāng)且僅當(dāng)每個非負(fù)數(shù)均為0，即x＝x1＝x2＝…＝x10時取得最小值．初三的學(xué)生可以這樣想：這個式子十分熟悉，類似于統(tǒng)計中我們學(xué)到的方差公式，利用方差的定義可知，當(dāng)數(shù)據(jù)毫無波動時，方差能取得最小值．
99．若10個正整數(shù)(各不相同)的和為2018，將這10個數(shù)從小到大排列，則第5個數(shù)的最大值為．
解：不妨設(shè)這10個數(shù)的大小順序為x1＜x2＜…＜x10．
由題意得x1＋x2＋…＋x10＝2018，x1＋x2＋x3＋x4≥1＋2＝3＋4＝10，∴x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10≤2008．
∵x6≥x5＋1，x7≥x5＋2，…，x10≥x5＋5，∴6x5＋15≤x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10≤2008，
∴x5≤ SKIPIF 1 < 0 ，∴x5≤332，∴第5個數(shù)的最大值為332．
不妨驗證，當(dāng)x5取333時，10個數(shù)之和至少為2023．
思路點撥
第5個數(shù)最大時前4個數(shù)之和必須最小，后5個數(shù)之和也必須最?。鶕?jù)此思路設(shè)這10個數(shù)，列出不等式求整數(shù)解即可．
100．若10個正整數(shù)的和為24，令這10個數(shù)的平方和的最大值為a，平方和的最小值為b，則a＋b＝．
解：不妨設(shè)這10個整數(shù)為x1，x2，…，x10，則
x12＋x22＋…＋x102＝(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2＋2(x1＋x2＋…＋x10)－10
＝(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2＋38，
其中，(x1－1)＋(x2－1)＋…＋(x10－1)＝14，(x1－1)，(x2－1)，…，(x10－1)均為非負(fù)數(shù)．
最大值情況：
142＝[(x1－1)＋(x2－1)＋…＋(x10－1)]2
＝(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2＋2(x1－1)(x2－1)＋…
≥(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2，
∴x12＋x22＋…＋x102≤142＋38＝234＝a．
最小值情況：
對于自然數(shù)n≥0，有n2≥n，
∴(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2≥(x1－1)＋(x2－1)＋…＋(x10－1)＝14，
∴x12＋x22＋…＋x102≤14＋38＝52＝b．
∴a＋b＝286．
思路點撥
根據(jù)完全平方公式的化簡變形推導(dǎo)n個數(shù)的平方和取得最值得情況：取得最大值時有9個1和1個15；取得最小值時有4個2和6個3．注意觀察n個數(shù)的平方和取得最大值和最小值的情況，可以導(dǎo)出此類問題的一般情形：n個數(shù)中，n－1個數(shù)為1時取得最大值；n個數(shù)之間不同的數(shù)差為1時取得最小值，當(dāng)然此時不同的數(shù)應(yīng)盡量?。?br>

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