題型一：等腰直角三角形模型


腰直角三角形數(shù)學(xué)模型思路：


⑴利用特殊邊特殊角證題（AC=BC或）.如圖1；


⑵常見輔助線為作高，利用三線合一的性質(zhì)解決問題.如圖2；


⑶補(bǔ)全為正方形.如圖3，4.




















圖1 圖2

















圖3 圖4





典題精練


已知：如圖所示，Rt△ABC中，AB=AC，，O為BC的中點(diǎn)，


⑴寫出點(diǎn)O到△ABC的三個頂點(diǎn)A、B、C 的距離的關(guān)系（不要


求證明）


⑵如果點(diǎn)M、N分別在線段AC、AB上移動，且在移動中保持


AN=CM.試判斷△OMN的形狀，并證明你的結(jié)論.


⑶如果點(diǎn)M、N分別在線段CA、AB的延長線上移動，且在移動中保持AN=CM，試判斷⑵中結(jié)論是否依然成立，如果是請給出證明．


⑴OA=OB=OC


⑵連接OA,


∵OA=OC AN=CM


∴△ANO≌△CMO


∴ON=OM


∴


∴


∴


∴△OMN是等腰直角三角形


⑶△ONM依然為等腰直角三角形，


證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，O為BC中點(diǎn)


∴∠BAO=∠OAC=∠ABC=∠ACB=45°，


∴AO=BO=OC，





∵在△ANO和△CMO中，





∴△ANO≌△CMO（SAS）


∴ON=OM，∠AON=∠COM，


又∵∠COM∠AOM=90°，


∴△OMN為等腰直角三角形．





兩個全等的含，角的三角板和三角板，如


圖所示放置，三點(diǎn)在一條直線上，連接，取的


中點(diǎn)，連接，．試判斷的形狀，并說明理由．

















【解析】是等腰直角三角形．


證明：連接．由題意，得





∴為等腰直角三角形.


∵，


∴．


∴，


∴≌．


∴．


又．


∴，


∴是等腰直角三角形．








已知：如圖，中，，，是的中


點(diǎn)，于，交于，連接．


求證：．











證法一：如圖，過點(diǎn)作于，交于．


∵，，


∴．


∵，∴．


∵，∴


∵，∴．


∴．


在和中，





∴．∴．


在和中，





∴．


∴．





證法二：如圖，作交的延長線于．


∵，∴，


∵，


∴，


∴．


在和中，





∴．


∴，


∵，∴．


在和中，





∴．∴


∴．





如圖，等腰直角中，，為內(nèi)部一點(diǎn)，滿足


，求證：．












































補(bǔ)全正方形，連接DP，


易證是等邊三角形，，，


∴，，∴，


∴．





【探究對象】等腰直角三角形添補(bǔ)成正方形的幾種常見題型


在解有關(guān)等腰直角三角形中的一些問題，若遇到不易解決或解法比較復(fù)雜時，可將等腰直角三角形引輔助線轉(zhuǎn)化成正方形，再利用正方形的一些性質(zhì)來解，常?？梢云鸬交y為易的效果，從而順利地求解。例4為求角度的應(yīng)用，其他應(yīng)用探究如下：





【探究一】證角等


【備選1】如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M為AC中點(diǎn)，連結(jié)BM，作AD⊥BM交BC于點(diǎn)D，連結(jié)DM，求證:∠AMB=∠CMD．





作等腰Rt△ABC關(guān)于BC對稱的等腰Rt△BFC，延長AD交CF于點(diǎn)N，


∵AN⊥BM，由正方形的性質(zhì)，可得AN=BM，


易證Rt△ABM ≌Rt△CAN，∴∠AMB=∠CND，CN=AM，


∵M(jìn)為AC中點(diǎn)，∴CM=CN，


∵∠1=∠2，可證得△CMD≌△CND，


∴∠CND=∠CMD，


∴∠AMB=∠CMD．





【探究二】判定三角形形狀


【備選2】如圖，Rt△ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC，AD=CE，AN⊥BD于點(diǎn)M，延長BD交NE的延長線于點(diǎn)F，試判定△DEF的形狀．








作等腰Rt△ABC關(guān)于BC對稱的等腰Rt△BHC，


可知四邊形ABHC為正方形，延長AN交HC于點(diǎn)K，


∵AK⊥BD，可知AK=BD，易證:Rt△ABD≌Rt△CAK，


∴∠ADB=∠CKN，CK=AD，


∵AD=EC，∴CK=CE，


易證△CKN≌△CEN，∴∠CKN=∠CEN，


易證∠EDF=∠DEF，∴△DEF為等腰三角形．





【探究三】利用等積變形求面積


【備選3】如圖，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC上一點(diǎn)，DE∥AC，DF∥AB，且BE=4，CF=3，求S矩形DFAE．





作等腰Rt△ABC關(guān)于BC的對稱的等腰Rt△GCB，


可知四邊形ABGC為正方形，分別延長FD、ED交BG、CG于點(diǎn)N、M，


可知DN=EB=4，DM=FC=3，


由正方形對稱性質(zhì)，


可知S矩形DFAE=S矩形DMGN=DM·DN=34=12．





【探究四】求線段長


【備選4】如圖，△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAC=45°，BD=3，CD=2，求AD的長．





【分析】此題若用面積公式結(jié)合勾股定理再列方程組求解是可以的，但解法太繁瑣，本題盡管已知條件不是等腰直角三角形，但∵∠BAC=45°，若分別以AB、AC為對稱軸作Rt△ADB的對稱直角三角形和Rt△ADC的對稱直角三角形，這樣就出現(xiàn)兩邊相等且夾角為90°的圖形，滿足等腰直角三角形的條件，然后再引輔助線使之轉(zhuǎn)化為正方形．


以AB為軸作Rt△ADB的對稱的Rt△AEB，再以AC為軸作Rt△ADC的對稱的Rt△AFC．


可知BE=BD=3，F(xiàn)C=CD=2，


延長EB、FC交點(diǎn)G，∵∠BAC=45°，


由對稱性，可得∠EAF=90°，且AE=AD=AF，


易證四邊形AFGE為正方形，且邊長等于AD，


設(shè)AD=x，則BG=x－3，CG=x－2，


在Rt△BCG中，由勾股定理，得，


解得x=6，即AD=6．





【探究五】求最小值


【備選5】如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M為AC的中點(diǎn)，P為斜邊AB上的動點(diǎn)，求PM+PC的最小值．





將原圖形通過引輔助線化歸為正方形，即作Rt△ACB關(guān)于AB對稱的Rt△ADB，可知四邊形ACBD為正方形，連接CD，可知點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)D，連接MD交AB于點(diǎn)P，連接CP，則PM+PC的值為最小，最小值為:PM+PC=DM=．








題型二：三垂直模型





常見三垂直模型








已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，⑴求證：AC⊥CE；


⑵若將△CDE沿CB方向平移得到①②③④等不同情形，，


其余條件不變，試判斷AC⊥C1E這一結(jié)論是否成立？若成立，給予證


明；若不成立，請說明理由.

















① ② ③ ④


⑴∵AB⊥BD，ED⊥BD


∴


在與中





∴（SAS）


∴


∵


∴,即AC⊥CE


⑵ 圖①②③④四種情形中，結(jié)論永遠(yuǎn)成立，證明方法與⑴完全類似，只要證明


∴


∵ ∴


∴AC⊥C1E





正方形中，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)在第一象限．求正方形邊長及頂點(diǎn)的坐標(biāo)．（計(jì)算應(yīng)用：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.）


























過點(diǎn)C作CG⊥x軸于G，過B作BE⊥y軸于E，并反向延長交CG于F


點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，


∴BE=8， AE=6，∴AB=10


∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC


∵


∴


∵


∴△AEB≌△BFC


∴CF=BE=8，BF=AE=6


∴CG=12 EF=14


∴C(14，12)，正方形的邊長為10


此題中三垂直模型：





如圖所示，在直角梯形中，，，，是的中點(diǎn)，．


⑴ 求證：；


⑵ 求證：是線段的垂直平分線；


⑶ 是等腰三角形嗎？請說明理由．





【解析】 = 1 \* GB2 ⑴∵，，


∴，∴，


∵，，


∴，∴．


= 2 \* GB2 ⑵∵是中點(diǎn)，∴


由⑴得：，∴


∵，∴，


∵，∴


由等腰三角形的性質(zhì)，得：


即是線段的垂直平分線．


= 3 \* GB2 ⑶是等腰三角形，


由⑵得：，由⑴得：


∴，∴是等腰三角形．














⑴如圖1，△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB、BC上的點(diǎn)，且BD=CE，連接AE、CD相交于點(diǎn)P．請你補(bǔ)全圖形，并直接寫出∠APD的度數(shù)= ；


⑵如圖2，Rt△ABC中，∠B=90°，M、N分別是AB、BC上的點(diǎn)，且AM=BC、BM=CN，連接AN、CM相交于點(diǎn)P．請你猜想∠APM= °，并寫出你的推理過程．


（2013平谷一模）


























⑴圖略，60°


⑵45°


證明：作AE⊥AB且.


可證≌


∴，


∵∴


∴


∴ 是等腰直角三角形,


又△AEC ≌△CAN（SAS）


∴


∴ EC∥AN.


∴





思維拓展





已知：如圖，中，AC=BC，，是上一點(diǎn)，AE⊥BD的延長線于E，并且，求證：BD平分.























延長AE交BC的延長線于F


∵BE⊥AF ，


∴


∴ 在△AFC和△BDC中，





∴△AFC△BDC（ASA）


∴AF=BD


又∵


∴


∴BE是AF的中垂線∴BA=BF


∴BD平分





已知，在正方形ABCD中，E在BD上，DG⊥CE于G，DG交AC于F.求證：OE=OF





∵ABCD是正方形


∴OD=OC


∵DG⊥CE ∴


∴ ∵


∴


∴ 在△DOF和△COE中，





∴△DOF≌△COE（ASA）


∴OE=OF





已知：如圖，中，，，是的中點(diǎn)，于．求證：


∵，，是的中點(diǎn)


∴AD=BD=CD， AD⊥BC


∴


∵


∴


∴


∴在△BDH和△ADF中，





∴△BDH≌△ADF（ASA）


∴DH=DF





如圖，已知矩形ABCD中，E是AD上的一點(diǎn)，F(xiàn)是AB上的一點(diǎn)，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周長為32cm，求AE的長．


在Rt△AEF和Rt△DEC中， ∵EF⊥CE， ∴∠FEC=90°，


∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，


∴∠AEF=∠ECD．


又∠FAE=∠EDC=90°．EF=EC


∴Rt△AEF≌Rt△DCE．


∴AE=CD．


∴AD=AE+4．


∵矩形ABCD的周長為32 cm，


∴2（AE+AE+4）=32．


解得AE=6 cm．











題型一 等腰直角三角形模型 鞏固練習(xí)


如圖，△ACB、△ECD均為等腰直角三角形，則圖中與△BDC全等的三角形為_________.


△AEC





如圖，已知中，，是的中點(diǎn)，，垂足為．，交的延長線于點(diǎn)．求證：．





∵，，


∴，


．


∵，


∴，


∴．


又∵，


∴．


∴．


∵是的中點(diǎn)，


∴，


即．





題型二 三垂直模型 鞏固練習(xí)





已知：如圖，四邊形ABCD是矩形（AD＞AB），點(diǎn)E在BC上，且AE =AD，DF⊥AE，垂足為F．請?zhí)角驞F與AB有何數(shù)量關(guān)系？寫出你所得到的結(jié)論并給予證明．


F


A


D


C


E


B





經(jīng)探求，結(jié)論是：DF = AB．


證明如下：


∵四邊形ABCD是矩形，


∴ ∠B = ， AD∥BC，


∴ ∠DAF = ∠AEB．


∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD = ，


∵ AE = AD ，


∴．


∴ AB = DF．





如圖，中，，，是上任意一點(diǎn)，


交延長線于，于．求證：











根據(jù)條件，、都與互余，


∴．


在和中，


，，


∴．


則，，


∴．





四邊形ABCD是正方形．


⑴如圖1，點(diǎn)G是BC邊上任意一點(diǎn)(不與B、C兩點(diǎn)重合)，連接AG，作BF⊥AG于點(diǎn)F，DE⊥AG于點(diǎn)E．求證：△ABF ≌△DAE；


⑵在⑴中，線段EF與AF、BF的等量關(guān)系是 (直接寫出結(jié)論即可，不需要證明)；


⑶如圖2，點(diǎn)G是CD邊上任意一點(diǎn)(不與C、D兩點(diǎn)重合)，連接AG，作BF⊥AG于點(diǎn)F，DE⊥AG于點(diǎn)E．那么圖中全等三角形是 ，線段EF與AF、BF的等量關(guān)系是 (直接寫出結(jié)論即可，不需要證明)．




















⑴在正方形ABCD中，AB=AD，


∴





∴


在△ABF和△DAE中





∴（AAS）


⑵


⑶△ABF≌△DAE








課后測試





問題：已知中，，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，且，．探究與度數(shù)的比值．


請你完成下列探究過程：


先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進(jìn)行分析并加以證明．


當(dāng)時，依問題中的條件補(bǔ)全右圖．


觀察圖形，與的數(shù)量關(guān)系為________；


當(dāng)推出時，可進(jìn)一步推出的度數(shù)為_______；


可得到與度數(shù)的比值為_________．


（2010北京中考）





相等； ；














已知：如圖，在△ABC中，于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AC上，CE=BC，過E點(diǎn)作AC的垂線，交CD的延長線于點(diǎn)F. 求證：AB=FC.





∵于點(diǎn)，，


∴．


∴．


又∵于點(diǎn)，


∴．


∴．


在和中，





∴．


∴．





如圖， Rt△ABC中，∠C=90°,，，一條線段PQ=AB，P，Q兩點(diǎn)分別在AC上和過A點(diǎn)且垂直于AC的射線AM上運(yùn)動. 當(dāng)△ABC和△APQ全等時,點(diǎn)Q到點(diǎn)A的距離為___________ .


5cm或10cm.





無用蠟垢


切澤布羅是紐約的一名藥劑師，1859年，他去賓州新發(fā)現(xiàn)的油田參觀。在油田里，他發(fā)現(xiàn)工人們在清理油桿上的蠟垢，他們看上去對這些東西非常厭煩。





他于是請教工人們這些蠟垢有什么用處。工人們說，這種東西除了治療“割傷”外，一無是處。切澤布羅聽了，靈機(jī)一動。他于是收集了一些蠟垢帶了回去。





后來，他從這些石油渣滓中提煉出一種油脂。為了檢驗(yàn)它是否真的有醫(yī)療效果，他把自己作為第一個試驗(yàn)對象。他有一個手腕正好受了傷，當(dāng)涂上藥膏后，傷很快就好了。





1870年，他建立了世界上第一座制造這種油膏的工廠，并把這種油膏命名為“凡士林”。





知道事物應(yīng)該是什么樣，說明你是聰明的人；知道事物實(shí)際是什么樣，說明你是有經(jīng)驗(yàn)的人；知道怎樣使事物變得更好，說明你是有才能的人。








今天我學(xué)到了





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12.1 全等三角形

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