滿分120分


姓名：___________班級：___________學(xué)號：___________


一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）


1．銳角三角函數(shù)tan30°的值是（ ）


A．1B．C．D．


2．已知在直角三角形中30°角所對的直角邊為2，則斜邊的長為（ ）


A．2B．4C．6D．8


3．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，且DC＝AC，則∠B的度數(shù)是（ ）





A．25°B．30°C．45°D．60°


4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，則BC的長是（ ）





A．6B．2C．2D．9


5．如圖，河壩橫斷面迎水坡AB的坡比為1：，壩高BC＝3m，則AB的長度為（ ）





A．6mB．3mC．9mD．6m


6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）





A．∠ACD＝∠BB．CD2＝AD?BD


C．AC?BC＝AB?CDD．BC2＝AD?AB


7．某款國產(chǎn)手機(jī)上有科學(xué)計(jì)算器，依次按鍵：，顯示的結(jié)果在哪兩個(gè)相鄰整數(shù)之間（ ）





A．2～3B．3～4C．4～5D．5～6


8．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，DE垂直平分AB，交AB于點(diǎn)E．若AC＝m，BC＝n，則△BDE的周長為（ ）





A．m+nB．2m+2nC．m+2nD．2m+n


9．一個(gè)等腰三角形的頂角是120°，底邊上的高是1cm，那么它的周長是（ ）


A．（2）cmB．2（2）cmC．cmD．2cm


10．如圖所示，從一熱氣球的探測器A點(diǎn)，看一棟高樓頂部B點(diǎn)的仰角為30°，看這棟高樓底部C點(diǎn)的俯角為60°，若熱氣球與高樓的水平距離為30m，則這棟高樓高度是（ ）





A．60mB．40mC．30mD．60m


二．填空題（共6小題，滿分24分，每小題4分）


11．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，則csA的值是 ．





12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，已知AB＝25，BC＝15，則BD＝ ．





13．計(jì)算：＝ ．


14．如圖，△ABP的頂點(diǎn)都在邊長為1的方格紙上，則sin∠ACB的值為 ．





15．如圖，為了了解山坡上兩棵樹間的水平距離，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)們測得該山坡的傾斜角α＝20°，兩樹間的坡面距離AB＝5m，則這兩棵樹的水平距離約為 m（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.342，cs20°≈0.940，tan20°≈0.364）．





16．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，點(diǎn)E為AC上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），連結(jié)EB，分別過點(diǎn)A、B作BE、AE的平行線交于點(diǎn)F，則EF的最小值為 ．





三．解答題（共8小題，滿分66分）


17．（7分）計(jì)算：2sin30°+cs60°﹣tan60°tan30°+cs245°﹣sin234°﹣cs234°


18．（7分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．





19．（7分）某高速公路建設(shè)中，需要確定隧道AB的長度．已知在離地面1800m高度C處的飛機(jī)上，測量人員測得正前方A，B兩點(diǎn)處的俯角分別為60°和45°（即∠DCA＝60°，∠DCB＝45°）．求隧道AB的長．（結(jié)果保留根號）





20．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，D為AB邊的中點(diǎn)，連接DC過D作DE⊥DC交AC于點(diǎn)E．


（1）求∠EDA的度數(shù)；


（2）如圖2，F(xiàn)為BC邊上一點(diǎn)，連接DF，過D作DG⊥DF交AC于點(diǎn)G，請判斷線段CF與EG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．





21．（8分）嘉琪在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：


sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．


據(jù)此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，設(shè)∠A＝α，有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．


（1）當(dāng)α＝30°時(shí)，驗(yàn)證sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立．


（2）請你對嘉琪的猜想進(jìn)行證明．


22．（9分）如圖，船A、B在東西方向的海岸線MN上，均收到已觸礁擱淺的船P的求救信號，已知船P在船A的北偏東60°方向上，在船B的北偏西37°方向上，AP＝30海里．


（1）求船P到海岸線MN的距離；


（2）若船A、船B分別以20海里/時(shí)、15海里/時(shí)的速度同時(shí)出發(fā)，勻速直線前往救援，試通過計(jì)算判斷哪艘船先到達(dá)船P處．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）





23．（10分）閱讀下列材料：


題目：如圖1，在△ABC中，已知∠A（∠A＜45°），∠C＝90°，AB＝1，請用sinA、csA表示sin2A．


解：如圖2，作AB邊上的中線CE，CD⊥AB于D，


則CE＝AB＝，∠CED＝2A，CD＝ACsinA，AC＝ABcsA＝csA


在Rt△CED中，sin2A＝sin∠CED＝＝2ACsinA＝2csAsinA


根據(jù)以上閱讀，請解決下列問題：


（1）如圖3，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，求sinA，sin2A的值；


（2）上面閱讀材料中，題目條件不變，請用sinA或csA表示cs2A．





24．（10分）在學(xué)習(xí)人教版九下《銳角三角函數(shù)》一章時(shí)，小明同學(xué)對一個(gè)角的三角函數(shù)值和它的倍角的三角函數(shù)值是否具有關(guān)系產(chǎn)生了濃厚的興趣，進(jìn)行了一般研究．


（1）初步嘗試：我們知道：tan60°＝ ，tan30°＝ ，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：tanA＝ 2tan（∠A）（填“＝”或“≠”）


（2）實(shí)踐探究：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan（∠A）的值；小明想構(gòu)造包含∠A的直角三角形，延長CA到D，使DA＝AB，連接BD，所以得∠D＝∠A，即轉(zhuǎn)化為求∠D的正切值，請按小明的思路進(jìn)行余下的求解：


（3）拓展延伸：如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝．


①tan2A＝ ；


②求tan3A的值．






































參考答案


一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）


1．解：tan30°＝．


故選：B．


2．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，


∴AB＝2BC＝2×2＝4，


故選：B．





3．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，


∴AD＝CD，


∵DC＝AC，


∴AD＝CD＝AC，


∴△ACD是等邊三角形，


∴∠A＝60°，


∴∠B＝180°﹣90°﹣60°＝30°，


故選：B．


4．解：過點(diǎn)C作CD⊥AB，交BA的延長線于點(diǎn)D，


∵∠BAC＝120°，


∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°，


∴∠ACD＝30°，


∴AD＝AC＝3，


∴BD＝AB+AD＝7，


由勾股定理得，CD＝＝3，


在Rt△BCD中，BC＝＝2，


故選：B．





5．解：∵迎水坡AB的坡比為1：，


∴＝，即＝，


解得，AC＝3，


由勾股定理得，AB＝＝6（m），


故選：A．


6．解：∵∠ACB＝90°，


∴∠ACD+∠BCD＝90°，


∵CD⊥AB，


∴∠B+∠BCD＝90°，


∴∠ACD＝∠B，A正確，不符合題意；


∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，


∴CD2＝AD?BD，B正確，不符合題意；


由三角形的面積公式得，?AC?BC＝AB?CD，


∴AC?BC＝AB?CD，C正確，不符合題意；


∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，


∴BC2＝BD?AB，D錯(cuò)誤，符合題意；


故選：D．


7．解：使用計(jì)算器計(jì)算得，


4sin60°≈3.464101615，


故選：B．


8．解：∵DE垂直平分AB，


∴AD＝BD，


∴∠B＝∠DAE，


∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，


∴CD＝DE，∠CAD＝∠BAD，


∴∠B＝∠CAD＝∠BAD，


∵∠B+∠CAD+∠BAD＝180°﹣∠C＝90°，


∴∠B＝30°，


∴AB＝2AC＝2m，


∴BE＝AE＝m，


∵BE＝m，BC＝n，


∴△BDE的周長為BE+DE+DB＝BE+CD+BD＝BC+BE＝m+n，


故選：A．


9．解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，


∴∠C＝30°，


∴AC＝2AD＝2，


∴CD＝，


則BC＝2，


∴三角形的周長為2+2+2＝2（2）cm，


故選：B．





10．解：過A作AD⊥BC，垂足為D


在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝30m，


∴BD＝AD?tan30°＝30×＝10（m），


在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝30m，


∴CD＝AD?tan60°＝30×＝30（m），


∴BC＝BD+CD＝10+30＝40（m），


即這棟高樓高度是40m．


故選：B．





二．填空題（共6小題，滿分24分，每小題4分）


11．解：在Rt△ABC中，csA＝＝，


故答案為：．


12．解：由射影定理得，BC2＝BD?AB，


∴BD＝＝9，


故答案為：9．


13．解：原式＝


＝


＝3+．


故答案為：3+．


14．解：過點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D．


由題圖知：AB＝2，BC＝＝2，


AC＝＝2．


∵S△ABC＝AB×CE＝AC×BD，


∴×2×2＝×2×BD，


∴BD＝．


在Rt△BCD中，


sin∠ACB＝＝


＝．


故答案為：．





15．解：過點(diǎn)A作水平面的平行線AH，作BH⊥AH于H，


由題意得，∠BAH＝α＝20°，


在Rt△BAH中，cs∠BAH＝，


∴AH＝AB?cs∠BAH≈5×≈4.7（m），


故答案為：4.7．





16．解：如圖，過點(diǎn)B作BH⊥AC于H．





在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝2，∠C＝30°，


∴AC＝2AB＝4，BC＝AB?cs30°＝2，


∵∠BHC＝90°，


∴BH＝BC＝，


∵BF∥AC，


∵當(dāng)EF⊥AC時(shí)，EF的值最小，最小值＝BH＝，


故答案為


三．解答題（共8小題，滿分66分）


17．解：原式＝


＝1﹣1


＝0．


18．解：由勾股定理得，AB＝＝＝13，


則sinA＝＝，csA＝＝，tanA＝＝．


19．解：由題意得∠CAO＝60°，∠CBO＝45°，


∵OA＝1800×tan30°＝1800×＝600，OB＝OC＝1800，


∴AB＝（1800﹣600）（m）．


答：隧道AB的長為（1800﹣600）m．


20．（1）解：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，


∴∠A＝30°，


∵D為AB邊的中點(diǎn)，


∴CD＝BD＝AD，


∴△BCD是等邊三角形，∠ACD＝∠A＝30°，


∵∠CDE＝90°，


∴∠CED＝60°，


∴∠EDA＝30°；


（2）解：如圖2，在Rt△CDE中，∠ACD＝30°，


∴tan30°＝，


∴＝，


∵∠FDG＝∠CDE＝90°，


∴∠FDC＝∠GDE，


∴∠FCD＝∠GED＝60°，


∴△FCD∽GED，


∴＝，


∴FC＝GE．








21．解：（1）當(dāng)α＝30°時(shí)，


sin2α+sin2（90°﹣α）


＝sin230°+sin260°


＝（）2+（）2


＝+


＝1；


（2）嘉琪的猜想成立，證明如下：


如圖，在△ABC中，∠C＝90°，





設(shè)∠A＝α，則∠B＝90°﹣α，


∴sin2α+sin2（90°﹣α）


＝（）2+（）2


＝


＝


＝1．


22．解：（1）如圖所示：過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E．


由題意得，∠PAE＝30°，AP＝30海里，


在Rt△APE中，PE＝APsin∠PAE＝APsin30°＝15海里；





（3）在Rt△PBE中，PE＝15海里，∠PBE＝53°，


則BP＝＝海里，


A船需要的時(shí)間為：＝1.5小時(shí)，B船需要的時(shí)間為：＝1.25小時(shí)，


∵1.5＞1.25，


∴B船先到達(dá)．





23．解：（1）如圖3中，在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝1，∠C＝90°，


∴AC＝＝2，


∴sinA＝＝，csA＝，


∴sin2A＝2csA?sinA＝





（2）如圖2中，cs2A＝cs∠CED＝＝＝2AC?csA﹣1＝2（csA）2﹣1．


24．解：（1）tan60°＝，tan30°＝，


發(fā)現(xiàn)結(jié)論：tanA≠2tan（∠A），


故答案為：，，≠；


（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，


∴AB＝＝，


延長CA至D，使得DA＝AB，


∴AD＝AB＝，


∴∠D＝∠ABD，


∴∠BAC＝2∠D，CD＝AD+AC＝2+，


∴tan（∠A）＝tan∠D＝＝＝﹣2；


（3）①作AB的垂直平分線交AC于E，連接BE．


則∠BEC＝2∠A，AE＝BE，


∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝．


∴BC＝1，AB＝


設(shè)AE＝x，則EC＝3﹣x


在Rt△EBC中，x2＝（3﹣x）2+1，


解得x＝，即AE＝BE＝，EC＝


∴tan2A＝tan∠BEC＝＝．


故答案為：．


②如圖，作BM交AC于點(diǎn)M，使∠MBE＝∠EBA，


則∠BMC＝∠A+∠MBA＝3∠A．


設(shè)EM＝y(tǒng)，則MC＝EC﹣EM＝﹣y


∵∠MBE＝∠EBA，


設(shè)點(diǎn)E到邊BM的距離為m，到邊AB的距離為n，


∴m＝n．


∴S△ABE＝AB?n，S△MBE＝BM?m，


∴，


∵（同高的兩三角形的面積的比等于底的比），


∴＝，即＝，


∴BM＝y(tǒng)


在Rt△MBC中，BM2＝CM2+BC2


即（y）2＝（﹣y）2+1，


整理，得117y2+120y﹣125＝0，


解得，y1＝，y2＝﹣（不合題意，舍去）


即EM＝，CM＝﹣＝．


∴tan3A＝tan∠BMC＝


＝＝．











題號
一
二
三
總分
得分

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