華師大版初中數(shù)學九年級上冊第24章《解直角三角形》單元測試卷考試范圍：第24章；考試時間：120分鐘；總分：120分學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________第I卷（選擇題） 一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分）一根均勻的木棒所受重力，小亮以木棒的一端為支點，豎直向上將木棒的另一端緩慢拉到如圖所示的位置，保持不動，此時拉力為，若點為的中點，，分別垂直地面于點，，則根據(jù)杠桿平衡原理得拉力的大小為(    )
 A.  B.  C.  D. 據(jù)傳說，古希臘數(shù)學家、天文學家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構(gòu)成兩個相似三角形，來測量金字塔的高度．已知木桿長，它的影長為，測得為，則金字塔的高度是(    )
A.  B.  C.  D. 如圖，是一塊矩形場地，寬米，長米．若在其對角線，的延長線上取點，，，，擴建為新的矩形場地，左、右各增加了米，上、下各增加了米，則的值為(    )A.
B.
C.
D. 如圖，有一塊銳角三角形材料，邊，高，要把它加工成矩形零件，使其一邊在上，其余兩個頂點分別在，，且，則這個矩形零件的長為(    )
 A.  B.  C.  D. 如下圖所示，點是矩形的對角線的中點，點為的中點．若，，則的周長為_______．A.
B.
C.
D. 如圖，在菱形中，對角線、相交于點，為中點，，則線段的長為(    )A.
B.
C.
D. 如圖所示，在菱形中，交于點，于點，連接若，則的度數(shù)是(    )
A.  B.  C.  D. 如圖，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點、、、都在這些小正方形的頂點上，與相交于點，則的值為(    )A.
B.
C.
D. 如圖，在中，，，動點從點出發(fā)，沿以的速度勻速運動到點，過點作于點，圖是點運動時，的面積隨時間變化的關(guān)系圖象，則的長為(    )
A.  B.  C.  D. 如圖，已知的三個頂點均在格點上，則的值為(    )
A.  B.  C.  D. 在中，是斜邊，若，，則的長為(    )A.  B.  C.  D. 如圖，在菱形中，，對角線、相交于點，點在線段上，且，點是線段上的一個動點，則的最小值是(    )
A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題） 二、填空題（本大題共4小題，共12.0分）如圖，一塊三角形余料，它的邊，高現(xiàn)在要把它加工成如圖所示的兩個大小相同的正方形零件和，則正方形的邊長為______．
 如圖，?中，，于點，為的中點，連結(jié)、下列結(jié)論正確的是______把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上：
；
；
；
．如圖，在菱形中，對角線交于，且對角線，，點是邊的中點，則______．
 我們將等腰三角形腰長與底邊長的差的絕對值稱為該三角形的“邊長正度值”，若等腰三角形腰長為，“邊長正度值”為，那么這個等腰三角形底角的余弦值等于________． 三、解答題（本大題共9小題，共72.0分）如圖，一盞路燈點距地面，身高的小明從距離路燈的底部點的處，沿所在的直線行走到點處時，小明在路燈下的影子長度縮短了，求小明行走的距離．
周末，小華和小亮想用所學的數(shù)學知識測量家門前小河的寬．測量時，他們選擇了河對岸岸邊的一棵大樹，將其底部作為點，在他們所在的岸邊選擇了點，使得與河岸垂直，并在點豎起標桿，再在的延長線上選擇點，豎起標桿，使得點與點、共線．已知，測得，測量示意圖如圖所示．請根據(jù)相關(guān)測量信息，求河寬．
 
小穎、小華和小林想測量小區(qū)門口路燈的高度．如圖，相鄰的兩盞路燈、高度相等，某天晚上，小穎站在點處，此時她身后的影子的頂部剛好接觸到路燈的底部；小華站在點處，此時他身后影子的頂部剛好接觸到路燈的底部．這時，小林測得米，已知米，小穎身高米，小華身高米，、、、均與地面垂直．請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算路燈的高度．結(jié)果精確到米
如圖，在中，，是的中點，過點作交于點，過點作交的延長線于點，連接，．
求證：四邊形是菱形；
若，，求的長．
已知：如圖，在中，，，點、分別是邊、的中點，交的延長線于點．
求證：四邊形是菱形；
聯(lián)結(jié)，如果，求證：．
計算：．
化簡求值：；其中．如圖，已知矩形中，，，將沿對折到的位置，和交于點．
求證：≌；
求的值用含的式子表示．
小華同學將筆記本電腦水平放置在桌子上，當顯示屏的邊緣線與底板的邊緣線所在水平線的夾角為時，感覺最舒適如圖側(cè)面示意圖為圖；使用時為了散熱，他在底板下面墊入散熱架，如圖，點、、在同一直線上，，，．

求的長；
如圖，墊入散熱架后，要使顯示屏的邊緣線與水平線的夾角仍保持，求點到的距離．結(jié)果保留根號月日，一年一度的“風箏節(jié)”活動在市政廣場舉行，如圖，廣場上有一風箏，小江抓著風箏線的一端站在處，他從牽引端測得風箏的仰角為，同一時刻小蕓在附近一座距地面米高米的居民樓頂處測得風箏的仰角是，已知小江與居民樓的距離米，牽引端距地面高度米，根據(jù)以上條件計算風箏距地面的高度結(jié)果精確到米，根據(jù)以上條件計算風箏距地面的高度結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)：，，，．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，
，
又是的中點，
是的中點，即，
根據(jù)杠桿平衡原理，可得，
，
解得，
故選：．
依據(jù)，是的中點，即可得到是的中點，再根據(jù)杠桿平衡原理，可得，進而得出拉力的大?。?/span>
本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，以及杠桿平衡原理，熟練掌握相似三角形的判定方法和性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，解答時要了解：同一時刻物高和影長成正比．
在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似．
【解答】
解：，
，
又，
∽，
：：，
：：，
，
答：金字塔的高度是，
故選：．  3.【答案】 【解析】解：由題意得，，，
∽，∽，
，，
，
左、右各增加了米，上、下各增加了米，米，米．
，，
，
解得：，
故選：．
根據(jù)矩形和相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
本題考查了相似三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：設(shè)邊寬為，則長為，
四邊形為矩形，
，，
，
，
，
，
解得：，
，，
故選：．
設(shè)寬為，則長為，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比列出比例式，然后進行計算即可得解．
本題考查了相似三角形的應(yīng)用，主要利用了相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，熟記性質(zhì)并列出比例式是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查的是勾股定理，矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)以及三角形的中位線定理的有關(guān)知識，易知是中位線，則，在中，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理求得，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可求，從而求出周長．
【解答】
解：四邊形是矩形，，，
，，
點是矩形對角線的中點，點為的中點，
，，
在中，利用勾股定理求得，
在中，利用勾股定理求得，
．
周長為．  6.【答案】 【解析】解：四邊形為菱形，
，，，
在中，，
為中點，
．
故選：．
先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，，再利用勾股定理計算出，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到的長．
本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．
 7.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，解決這類問題的方法是四邊形轉(zhuǎn)化為三角形．根據(jù)直角三角形的斜邊中線性質(zhì)可得，根據(jù)菱形性質(zhì)可得，從而得到度數(shù)，再依據(jù)即可．
【解答】
解：四邊形是菱形，，
為中點，，
，
．
，
在中，，
．
．
故選C．  8.【答案】 【解析】【分析】
此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義以及正方形的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準確作出輔助線，注意轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．首先連接，由題意易得，∽，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，易得：：，即可得：：，在中，即可求得的值，繼而求得答案．
【解答】
解：如圖，連接，

四邊形是正方形，
，，，，
，
根據(jù)題意得：，
∽，
：：：，
：：，
，
在中，，
，
．
故選A．  9.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)及動點問題的函數(shù)圖象，認真讀懂函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵，首先根據(jù)函數(shù)的圖象可以看出的面積最大為，結(jié)合點的運動情況可知當點與點重合時為面積最大，所以可設(shè)為，則根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可以用含有的代數(shù)式表示和的長度，根據(jù)最大面積求出的值，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出的長度．
【解答】
解：由函數(shù)圖象可知，的最大面積是，此時點與點重合，
在中，，
設(shè)，
，
則，
，
當為最大面積時，，
解得，
，，
在中，，
，
，
．

故選C．  10.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查了銳角三角函數(shù)和勾股定理，作出適當?shù)妮o助線構(gòu)建直角三角形是解答此題的關(guān)鍵 連接，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出的形狀，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．
【解答】
解：設(shè)每個小正方形的邊長為連結(jié)，如圖，

，，，
，
是直角三角形，且，
，，
所以，
故選D．  11.【答案】 【解析】解：
，
，
，，
，
解得：負數(shù)舍去，
，
故選：．
根據(jù)求出，根據(jù)勾股定理得出，求出，再求出即可．
本題考查了解直角三角形，能熟記銳角三角函數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：過點作，垂足為，

四邊形是菱形，
，，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
當點，點，點共線時，且時，有最小值為，
如圖：

，，
，
在中，，
，
的最小值是，
故選：．
過點作，垂足為，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，從而可得是等邊三角形，進而可求出，然后在中，可得，從而可得，當點，點，點共線時，且時，有最小值為，最后在在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答．
本題考查了胡不歸問題，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及將轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：設(shè)正方形零件的邊長為，
在正方形中，，
∽，
是高，
，即，
，
答：正方形的邊長為．
故答案為：．
根據(jù)正方形邊的平行關(guān)系，得出對應(yīng)的相似三角形，即∽，根據(jù)相似三角形相似比等于對應(yīng)高的比列式，可解答．
本題考查綜合考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用以及正方形的有關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)正方形的性質(zhì)得到相似三角形．
 14.【答案】 【解析】解：如圖，延長交的延長線于，取的中點，連接．

，，
，
，
，
，
，
，故選項符合題意，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，故選項符合題意，
，
，故選項符合題意，
，，，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形，
，
，，，
，
，
，故選項錯誤不合題意，
故答案為：．
如圖延長交的延長線于，取的中點連接想辦法證明，，四邊形是菱形即可解決問題．
本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定、菱形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．
 15.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理求出是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分求出，利用銳角三角函數(shù)的定義求出，再利用勾股定理列式求出，然后根據(jù)是斜邊上的中線求出．
【解答】
解：菱形的對角線、相交于點，
，，，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，，
又點為中點，
是斜邊上的中線，
．  16.【答案】或 【解析】解：設(shè)等腰三角形的底邊長為，
，
解得，或，
當時，這個等腰三角形底角的余弦值是：，
當時，這個等腰三角形底角的余弦值是：，
故答案為：或
根據(jù)題意，可以求得底邊的長，然后利用分類討論的方法和銳角三角函數(shù)可以求得相應(yīng)的角的三角函數(shù)值．
本題考查解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的角的三角函數(shù)值．
 17.【答案】解：設(shè)，則，
，，，
，
∽，∽，
，，
解得，
，
答：小明行走的距離是． 【解析】設(shè)，則，根據(jù)平行線的判定定理得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，，求得，于是得到結(jié)論．
本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：，
，
∽，
，
，
，
經(jīng)檢驗：是分式方程的解，
答：河寬的長為米． 【解析】本題考查相似三角形的應(yīng)用、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題．
由，可得，構(gòu)建方程即可解決問題．
 19.【答案】解：設(shè)，則，
，
∽，
，即，
，
，
∽，
，即，
，
，
，
答：路燈的高度為米． 【解析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應(yīng)用及分析問題、解決問題的能力．利用數(shù)學知識解決實際問題是中學數(shù)學的重要內(nèi)容．解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．
 20.【答案】證明：點是的中點，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
四邊形是平行四邊形，
又，
平行四邊形是菱形；
解：由得：四邊形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
是等邊三角形，
． 【解析】證≌，得，則四邊形是平行四邊形，再由，即可得出結(jié)論；
由菱形的性質(zhì)得，，，再證是等邊三角形，即可得出結(jié)論．
本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】證明：點、分別是邊、的中點，
是的中位線，
，，
，
，
，
，，
四邊形為平行四邊形，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形；
如圖，設(shè)，，則，
，

，
，
，
，
∽，
，即，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
． 【解析】先根據(jù)三角形的中位線定理可得：，，證明四邊形為平行四邊形，可得，再證明，根據(jù)對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形可得結(jié)論；
如圖，設(shè)，，則，證明∽，得，并結(jié)合勾股定理可得結(jié)論．
本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，第有難度，證明∽是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：原式


；





，
，
，
當時，原式． 【解析】先根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，立方根進行計算，再算乘法，去掉絕對值符號，再算加減即可；
先根據(jù)分式的減法法則算括號里面的，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本題考查了負整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)的混合運算和分式的化簡求值等知識點，能正確根據(jù)實數(shù)的運算法則和分式的運算法則進行計算是解此題的關(guān)鍵，注意運算順序．
 23.【答案】證明：四邊形是矩形，
，，
根據(jù)折疊的性質(zhì)得：，，
，，
在與中，
，
≌；
解：設(shè)，則，
四邊形是矩形，
，，
，
根據(jù)折疊的性質(zhì)得：，
，
，
在中，
，
，
，
． 【解析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，等量代換得到，，根據(jù)證明三角形全等即可；
設(shè)，則，根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證明，在中，根據(jù)勾股定理表示出的長，根據(jù)正切的定義即可得出答案．
本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，翻折變換折疊問題，根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證出是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】解：如圖，在中，，．
；
如圖，過點作，垂足為，過點作，垂足為，
由題意得，，
當顯示屏的邊緣線與水平線的夾角仍保持，看可得，
，
，
在中，，
又，
，
即：點到的距離為． 【解析】解即可求出的長；
求出，在中求出，進而求出．
本題考查解直角三角形，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提，構(gòu)造直角三角形是常用的方法．
 25.【答案】解：如圖，作于，作于，于．

，，
，設(shè)，則，，，
在中，，
，
解得．
．
風箏距地面的高度． 【解析】如圖，作于，作于，于，設(shè)，則，，，在中，根據(jù)，構(gòu)建方程即可解決問題．
本題考查解直角三角形仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學會利用此時構(gòu)建方程解決問題．
 

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