分別以5，12，13；3， 4， 5；8，15，17；7，24，25為三邊長作三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？
每個三角形都滿足較小兩邊長的平方和等于第三邊長的平方.
勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c 滿足a2+b2=c2 ，那么這個三角形是直角三角形.
區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質定理，其逆定理是直角三角形的判定定理.
變式: c2-b2 =a2 c2-a2 =b2
已知：在△ABC中，三邊長分別為a，b，c，且a2+b2=c2.你能否判斷 △ABC是直角三角形？并說明理由.
簡要說明：作一個直角∠MC1N，在C1M上截取C1B1=a=CB,在C1N上截取C1A1=b=CA,連接A1B1.
在Rt△A1C1B1中，由勾股定理,得 A1B12=a2+b2=AB2 .∴ A1B1=AB .∴ △ABC≌△A1B1C1 . （SSS）∴ ∠C=∠C1=90° .
∴ △ABC是直角三角形.
例 一個零件的形狀如下圖(左)所示,按規(guī)定這個零件中∠A和∠DBC都應為直角.工人師傅量得這個零件各邊尺寸如下圖(右)所示，這個零件符合要求嗎?
注意：在直角三角形中，斜邊所對的角是直角！
解： ∵在Rt△ABD中， AB2+AD2=9+16=25=BD2 ∴△ABD是直角三角形，∠A是直角 ∵在△BCD中， BD2+BC2=25+144=169=CD2 ∴△BCD是直角三角形，∠DBC是直角
因此這個零件符合要求。
練習1. 古埃及人曾用下面的方法得到直角：他們用13個等距離的結把一根繩子分成等長的12段，一個工匠同時握住第一個結和第13個結，兩個助手分別握住第4個結和第8個結，拉緊繩子，就會得到一個直角三角形，其直角在第4個結處。
2.如圖，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，圖中有幾個直角三角形？你是如何判斷的？與同伴進行交流.
解：△BAE，△EDF，△BCF，△BEF是直角三角形.
常用的勾股數:必是正整數3, 4, 5 5, 12, 13 7, 24, 258, 15, 17 9, 40, 41 11, 60, 61 10, 24, 26 12, 35, 37 20, 21, 29
它們的K倍也成立，如3K,4K.5K還是勾股數.
(3k)2+(4k)2=25k2 =(5k)2
判斷下列哪組數是勾股數：（1）6，7，8； （2）8，15，6；（3）a=n2-1，b=2n，c=n2+1 （n＞1）（4）a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2 （m＞n＞0）
例2 如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四邊形ABCD 的面積。
解：連結BD，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=5cm又∵在三角形BDC中，三邊分別是5，12，13，滿足勾股定理，∴三角形BDC是直角三角形。
因此，四邊形ABCD的面積為36平方厘米。
S四邊形=SΔABD+SΔBDC=
解：（1）S△ABC=4×4-12×1×2-12×4×3-12×2×4=16-1-6-4=5. 所以△ABC的面積為5.（2）△ABC是直角三角形. 理由如下.因為小方格的邊長為1，所以AB2=12+22=5，AC2=22+42=20，BC2=32+42=25.所以B2+AC2=5+20=25=BC2.所以.
【例3】如圖所示網格中的△ABC，若小方格的邊長為1，請你根據所學的知識，解答下列問題：（1）求△ABC的面積；（2）判斷△ABC是什么形狀，并說明理由.
AB2+AC2=5+20=25=BC2.所以△ABC為直角三角形
課堂練習：1. 如圖1-2-3，△ABC中，AD⊥BC，垂足為點D. 如果AD=6，BD=9，CD=4，那么∠BAC是直角嗎？說明理由.
解：∠BAC是直角.理由如下.因為AD⊥BC，所以∠ADB=∠ADC=90°.因為AD=6，BD=9，CD=4，所以AB2=AD2+BD2=117，AC2=AD2+CD2=52.因為BC=BD+CD=13，所以AB2+AC2=BC2=169.所以∠BAC=90°.
2. 如圖1-2-6，∠ABC為直角，BC長為3，AB長為4，AF長為12，正方形的面積為169，求△AFC的面積.
解：因為∠ABC為直角，BC長為3，AB長為4，所以AC2=AB2+BC2=16+9=25.因為正方形的面積為169，所以FC2=169.因為AF2+AC2=144+25=169=FC2，所以△AFC為直角三角形.所以∠FAC為直角.所以S△AFC=0.5AF·AC=0.5×12×5=30.
3.已知△ABC中,a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊,則下列條件:①a=4,b= ?,c= ?;②a2∶b2∶c2=1∶3∶2;③∠A ∶∠B∶∠C=3∶4∶5;④∠A=2∠B=2∠C.其中能判斷△ABC是直角三角形的有?(　　)A.1個　????B.2個　????C.3個　????D.4個
答案????C　①∵a2+b2=?= ?,c2= ?=?,∴此三角形是直角三角形;②∵a2∶b2∶c2=1∶3∶2,∴a2+c2=b2,∴此三角形是直角三角形;③∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,∴設∠A=3x,則∠B=4x,∠C=5x,∵∠A+∠B+∠C=180°,∴3x+4x+5x=180°,解得x=15°,∴∠A=45°,∠B=60°,∠C=75°,∴此三角形不是直角三角形;④∵∠A=2∠B=2∠C,∴設∠B=∠C=x,則∠A=2x,∴x+x+2x=180°,解得x=45°,∴∠A=2x=90°,∴此三角形是直角三角形.故選C.
習題1.3 1，2，3，4
1.如圖,點E是正方形ABCD內的一點,連接AE、BE、CE,△ABE≌△CBE'.若AE=1,BE=2,CE=3,則∠BE'C=　　????度.
解析　連接EE',?∵△ABE≌△CBE',∴AE=CE',BE=BE',∠ABE=∠CBE',∴∠EBE'是直角,∴△EBE'是直角三角形,∠BEE'=∠BE'E=45°,∵AE=1,BE=2,∴BE'=2,E'C=1.∵EE'2=22+22=8,CE'=1,EC=3,∴EC2=E′C2+EE'2,∴△EE'C是直角三角形,∴∠EE'C=90°,
∴∠BE'C=135°.
2.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的對邊分別為a ,b,c,且滿足c十a=2b,c-a=0.5b,則△ABC是什么特殊三角形?
解:∵c+a=2b,c-a= 0.5b,
∴(c+a)(c-a)=b2
∴△ABC是直角三角形,∠C= 90°
3.如圖1 -2-8,P是等邊三角形ABC內的一點，連接PA、PB、PC,以BP為邊作∠PBQ=60°,且BQ=BP,連接CQ.(1)觀察并猜想AP與CQ之間的大小關系,并證明你的結論;
解:(1)AP=CQ.證明如下:
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC,∠ABC=60°.
又∵∠PBQ=60°,BQ = BP,
∴∠ABP=∠CBQ，△BPQ為等邊三角形

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1 菱形的性質與判定

版本： 北師大版

年級： 九年級上冊

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