1 . 2 第4課時 用公式法解一元二次方程


知識點 1 一元二次方程的求根公式


1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的各項系數(shù)________確定的，其求根公式是__________，方程存在解的條件是______________．


2．用公式法解一元二次方程3x2＝2x－3時，首先要確定a，b，c的值，下列敘述正確的是( )


A．a(chǎn)＝3，b＝2，c＝3 B．a(chǎn)＝－3，b＝2，c＝3


C．a(chǎn)＝3，b＝2，c＝－3 D．a(chǎn)＝3，b＝－2，c＝3


3．用求根公式解一元二次方程2y2－4y－1＝0，其中b2－4ac的值是( )


A．8 B．12 C．20 D．24


知識點 2 用公式法解一元二次方程


4．用公式法解一元二次方程－x2＋3x＝1.


解：把這個方程化為一般形式為x2－3x＋1＝0.


∵a＝________，b＝________，c＝________，


∴b2－4ac＝________，


∴x＝________，


∴x1＝________，x2＝________．


5．用公式法解方程3x2－5x＋1＝0，正確的是( )


A．x＝eq \f(－5±\r(13),6) B．x＝eq \f(－5±\r(13),3)


C．x＝eq \f(5±\r(13),6) D．x＝eq \f(5±\r(13),3)


6．[2016·沈陽] 一元二次方程x2－4x＝12的根是( )


A．x1＝2，x2＝－6 B．x1＝－2，x2＝6


C．x1＝－2，x2＝－6 D．x1＝2，x2＝6


7．若代數(shù)式x2－6x＋5的值是12，則x的值為( )


A．7或－1 B．1或－5


C．－1或－5 D．不能確定


8．已知代數(shù)式7x(x＋5)＋10的值與9x－9的值互為相反數(shù)，則x＝________．


9．用公式法解下列方程：


(1)x2＋4x－1＝0； (2)x2－13x＋40＝0；








(3)2x2－3x＋4＝0; (4)eq \f(2,3)t2＝2t－1；














(5)3y2＋1＝2 eq \r(3)y; (6)5x2－eq \r(5)x－6＝0.

















10．解方程x2＝－3x＋2時，有一名同學的解答過程如下：


解：∵a＝1，b＝3，c＝2，


b2－4ac＝32－4×1×2＝1>0，


∴x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(－3± \r(1),2×1)＝eq \f(－3±1,2)，


即x1＝－2，x2＝－1.


請你分析以上解答有無錯誤，若有錯誤，請寫出正確的解題過程．











11．如果x2－4x＋5＝(x＋1)0，那么x的值為( )


A．2或－1 B．0或1


C．2 D．－1


12．一元二次方程x2－2x－6＝0，其中較大的一個根為x1，下列最接近x1的范圍是( )


A．3＜x1＜4 B．3＜x1＜3.5


C．3.5＜x1＜3.7 D．3.7＜x1＜4


13．三角形兩邊的長分別為3和6，第三邊的長是方程x2－13x＋36＝0的根，則三角形的周長為________．


14．解方程：(x－1)2－2(x－1)－3＝0.



































15．已知一元二次方程x2－2x－eq \f(5,4)＝0的某個根也是一元二次方程x2－(k＋2)x＋eq \f(9,4)＝0的根，求k的值．









































16．已知一個矩形的相鄰兩邊長分別為2m－1和m＋3，若此矩形的面積為30，求這個矩形的周長．






































17．若x2＋mx＋15＝(x＋5)(x＋n)，試解關(guān)于x的方程nx2＋mx＋1＝0.











18．已知關(guān)于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.


(1)求出此方程的根；


(2)當m為何整數(shù)時，此方程的兩個根都為正整數(shù)？


詳解詳析


1．a(chǎn)，b，c x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a) b2－4ac≥0


2．D 3.D


4．1 －3 1 5 eq \f(3±\r(5),2) eq \f(3＋\r(5),2) eq \f(3－\r(5),2)


5．C


6．B [解析] 方程整理得x2－4x－12＝0，用公式法解得x1＝－2，x2＝6.


7． A [解析] x2－6x＋5＝12，


x2－6x＋5－12＝0，


x2－6x－7＝0，


∴x＝eq \f(6±8,2)，


解得x1＝－1，x2＝7.


故選A.


8.eq \f(－22±3\r(53),7)


9．解：(1)∵a＝1，b＝4，c＝－1，


b2－4ac＝42－4×1×(－1)＝20>0，


∴x＝eq \f(－4±\r(20),2)，∴x＝－2±eq \r(5)，


即x1＝－2＋eq \r(5)，x2＝－2－eq \r(5).


(2)∵a＝1，b＝－13，c＝40，


b2－4ac＝(－13)2－4×1×40＝9，





∴x＝eq \f(13±\r(9),2)＝eq \f(13±3,2)，


∴x1＝8，x2＝5.


(3)∵a＝2，b＝－3，c＝4，


b2－4ac＝(－3)2－4×2×4＝－23＜0，


∴原方程無實數(shù)根．


(4)整理，得2t2－6t＋3＝0.


∵a＝2，b＝－6，c＝3，


b2－4ac＝(－6)2－4×2×3＝12＞0，


∴t＝eq \f(－（－6）±\r(12),2×2)＝eq \f(3±\r(3),2)，


即t1＝eq \f(3＋\r(3),2)，t2＝eq \f(3－\r(3),2).


(5)移項，得3y2－2 eq \r(3)y＋1＝0.


∵a＝3，b＝－2 eq \r(3)，c＝1，


b2－4ac＝(－2 eq \r(3))2－4×3×1＝0，


∴y＝eq \f(－（－2 \r(3)）±\r(0),2×3)＝eq \f(\r(3),3)，


即y1＝y(tǒng)2＝eq \f(\r(3),3).


(6)∵a＝5，b＝－eq \r(5)，c＝－6，


b2－4ac＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(5)))eq \s\up12(2)－4×5×(－6)＝125>0，


∴x＝eq \f(－（－\r(5)）±\r(125),2×5)＝eq \f(\r(5)±5 \r(5),10)，


即x1＝eq \f(3 \r(5),5)，x2＝－eq \f(2 \r(5),5).


10．解：解答有錯誤，正確的解題過程如下：


方程整理，得x2＋3x－2＝0.


這里a＝1，b＝3，c＝－2.


∵b2－4ac＝9＋8＝17，


∴x＝eq \f(－3±\r(17),2)，


即x1＝eq \f(－3＋\r(17),2)，x2＝eq \f(－3－\r(17),2).


11．C 12.C 13.13


14．解：把x－1作為整體看成一個未知數(shù)．


∵a＝1，b＝－2，c＝－3，


b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－3)＝16＞0，


∴x－1＝eq \f(2±\r(16),2)，


∴x1＝4，x2＝0.


15．解：對于方程x2－2x－eq \f(5,4)＝0，


∵a＝1，b＝－2，c＝－eq \f(5,4)，


∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－eq \f(5,4))＝9>0，


∴x＝eq \f(2±\r(9),2×1)，


∴x1＝eq \f(5,2)，x2＝－eq \f(1,2).


把x1＝eq \f(5,2)代入x2－(k＋2)x＋eq \f(9,4)＝0，


解得k＝eq \f(7,5)；


把x2＝－eq \f(1,2)代入x2－(k＋2)x＋eq \f(9,4)＝0，


解得k＝－7.


即k的值為eq \f(7,5)或－7.


16．解：由題意，得(2m－1)(m＋3)＝30，


則2m2＋5m－33＝0，


解得x1＝－eq \f(11,2)(舍去)，x2＝3.


所以這個矩形的相鄰兩邊長分別為5和6，


故這個矩形的周長為22.


17．解：由(x＋5)(x＋n)＝x2＋(n＋5)x＋5n，得x2＋mx＋15＝x2＋(n＋5)x＋5n，


∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝n＋5，,5n＝15，))


解得m＝8，n＝3，


代入方程nx2＋mx＋1＝0，


得3x2＋8x＋1＝0.


∵a＝3，b＝8，c＝1，b2－4ac＝64－12＝52>0，∴x＝eq \f(－8±\r(52),6)＝eq \f(－4±\r(13),3)，


即x1＝eq \f(－4＋\r(13),3)，x2＝eq \f(－4－\r(13),3).


18．解：(1)根據(jù)題意，得m≠1.


b2－4ac＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4，


則x＝eq \f(2m±2,2（m－1）)，


∴x1＝eq \f(2m＋2,2（m－1）)＝eq \f(m＋1,m－1)，x2＝1.





(2)由(1)知，x1＝eq \f(m＋1,m－1)＝1＋eq \f(2,m－1).


∵方程的兩個根都為正整數(shù)，


∴eq \f(2,m－1)是正整數(shù)．


又∵m為整數(shù)，


∴m－1＝1或m－1＝2，


∴m＝2或m＝3.


即當m為2或3時，此方程的兩個根都為正整數(shù)．





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1.2 一元二次方程的解法

版本： 蘇科版

年級： 九年級上冊

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