一元二次方程解法知識(shí)點(diǎn)回顧：定義：只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．    一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過(guò)整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．    一個(gè)一元二次方程經(jīng)過(guò)整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)． 解法一 ——直接開(kāi)方法適用范圍：可解部分一元二次方程直接開(kāi)平方法就是用直接開(kāi)平方求解一元二次方程的方法。用直接開(kāi)平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解為x=m±√n歸納小結(jié)：共同特點(diǎn)：把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”．   由應(yīng)用直接開(kāi)平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開(kāi)平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的．若p＜0則方程無(wú)解自主練習(xí)：1：用直接開(kāi)平方法解下列方程：（1）；　　              （2）；        （3）．          （4）    （5）；　　 （6）；     （7）；　　　   2. 關(guān)于的方程的根  　，　　．3. 關(guān)于的方程的解為　　　　　 解法二——配方法適用范圍：可解全部一元二次方程 引例：：x2+6x-16=0    x2+6x-16=0移項(xiàng)→x2+6x=16兩邊加（6/2）2使左邊配成x2+2bx+b2的形式 → x2+6x+32=16+9左邊寫成平方形式 → （x+3）2=25  降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5  解一次方程→x1=2，x2= -8像上面的解題方法，通過(guò)配成完全平方形式來(lái)解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是為了降次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解．配方法解一元二次方程的一般步驟：(1)先將已知方程化為一般形式；（2）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；（3）常數(shù)項(xiàng)移到右邊；（4）方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式；（5）變形為(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程無(wú)實(shí)根．例1．用配方法解下列關(guān)于x的方程    （1）x2-8x+1=0            （2）x2-2x-=0      分析：（1）顯然方程的左邊不是一個(gè)完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式；（2）同上．       例2．解下列方程    （1）2x2+1=3x               （2）3x2-6x+4=0                   （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0分析：我們已經(jīng)介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來(lái)完成，即配一個(gè)含有x的完全平方．            拓展題．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6    分析：因?yàn)槿绻归_(kāi)（6x+7）2，那么方程就變得很復(fù)雜，如果把（6x+7）看為一個(gè)數(shù)y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=（6x+7）+，x+1=（6x+7）-，因此，方程就轉(zhuǎn)化為y的方程，像這樣的轉(zhuǎn)化，我們把它稱為換元法．    解：設(shè)6x+7=y        則3x+4=y+，x+1=y-    依題意，得：y2（y+）（y-）=6    去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72    y2（y2-1）=72， y4-y2=72    （y2-）2=    y2-=±    y2=9或y2=-8（舍）    ∴y=±3    當(dāng)y=3時(shí)，6x+7=3  6x=-4  x=-    當(dāng)y=-3時(shí)，6x+7=-3  6x=-10  x=-    所以，原方程的根為x1=-，x2=-例3 求證:無(wú)論y取何值時(shí),代數(shù)式-3 y2+8y-6恒小于0.       解法三——分解因式法適用范圍：可解部分一元二次方程因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”兩種）”和“十字相乘法”。因式分解法是通過(guò)將方程左邊因式分解所得，因式分解的內(nèi)容在八年級(jí)上學(xué)期學(xué)完。解下列方程．  （1）2x2+x=0  （2）3x2+6x=0上面兩個(gè)方程中都沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；左邊都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2） 因此，上面兩個(gè)方程都可以寫成：（1）x（2x+1）=0     （2）3x（x+2）=0因?yàn)閮蓚€(gè)因式乘積要等于0，至少其中一個(gè)因式要等于0，也就是：（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-．    （2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．因此，我們可以發(fā)現(xiàn)，上述兩個(gè)方程中，其解法都不是用開(kāi)平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個(gè)一次式分別等于0，從而實(shí)現(xiàn)降次，這種解法叫做因式分解法． 例1．解方程    （1）4x2=11x                   （2）（x-2）2=2x-4    分析：（1）移項(xiàng)提取公因式x；（2）等號(hào)右側(cè)移項(xiàng)到左側(cè)得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可達(dá)到分解因式；一邊為兩個(gè)一次式的乘積，另一邊為0的形式      例2．已知9a2-4b2=0，求代數(shù)式的值．    分析：要求的值，首先要對(duì)它進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后從已知條件入手，求出a與b的關(guān)系后代入，但也可以直接代入，因計(jì)算量比較大，比較容易發(fā)生錯(cuò)誤．          例3．（十字相乘法）我們知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可轉(zhuǎn)化為（x-a）（x-b）=0，請(qǐng)你用上面的方法解下列方程．    （1）x2-3x-4=0     （2）x2-7x+6=0    （3）x2+4x-5=0       上面這種方法，我們把它稱為十字相乘法．一：用因式分解法解下列方程：(1)y2＋7y＋6＝0；            (2)t(2t－1)＝3(2t－1)；            (3)(2x－1)(x－1)＝1．        (4)x2＋12x＝0；      (5)4x2－1＝0；          (6)x2＝7x；      (7)x2－4x－21＝0；   (8)(x－1)(x＋3)＝12；       (9)3x2＋2x－1＝0；           (10)10x2－x－3＝0；         (11)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．   課堂檢測(cè)1．下面一元二次方程解法中，正確的是（  ）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1= ，x2=C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x  兩邊同除以x，得x=1 2．下列命題①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1與方程x2=1是同解方程；③方程x2=x與方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正確的命題有（  ）．      A．0個(gè)    B．1個(gè)    C．2個(gè)    D．3個(gè)3．如果不為零的n是關(guān)于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值為（  ）．      A．-     B．-1      C．     D．14．x2-5x因式分解結(jié)果為_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的結(jié)果是______．5．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．6．二次三項(xiàng)式x2+20x+96分解因式的結(jié)果為________；如果令x2+20x+96=0，那么它的兩個(gè)根是_________．7.方程x(x－)＝ －x的解為__________．8．用因式分解法解下列方程．（1）3y2-6y=0            （2）25y2-16=0        （3）x2-12x-28=0         （4）x2-12x+35=0     9．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．    課后作業(yè)核心價(jià)值題1．配方法解方程2x2-x-2=0應(yīng)把它先變形為（  ）．   A．（x-）2=    B．（x-）2=0    C．（x-）2=    D．（x-）2=2．下列方程中，一定有實(shí)數(shù)解的是（  ）．  A．x2+1=0       B．（2x+1）2=0   C．（2x+1）2+3=0   D．（x-a）2=a3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，則x+y+z的值是（  ）．      A．1     B．2     C．-1      D．-24．將二次三項(xiàng)式x2-4x+1配方后得（  ）．      A．（x-2）2+3     B．（x-2）2-3    C．（x+2）2+3     D．（x+2）2-35．已知x2-8x+15=0，左邊化成含有x的完全平方形式，其中正確的是（  ）．A．x2-8x+（-4）2=31  B．x2-8x+（-4）2=1  C．x2+8x+42=1  D．x2-4x+4=-11 6．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左邊是一個(gè)關(guān)于x的完全平方式，則m等于（  ）．      A．1       B．-1       C．1或9      D．-1或97．方程x2+4x-5=0的解是________．8.方程左邊配成一個(gè)完全平方式，所得的方程是    ．9．代數(shù)式的值為0，則x的值為________．10．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若設(shè)x+y=z，則原方程可變?yōu)?/span>_______，所以求出z的值即為x+y的值，所以x+y的值為______．11．無(wú)論x、y取任何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式x2+y2-2x-4y+16的值總是_______數(shù)．12．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x與y的關(guān)系是________．13．用配方法解方程．（1）9y2-18y-4=0                        （2）x2+3=2x     （3）                          （4）         （5）                （6）      14．如果x2-4x+y2+6y++13=0，求（xy）z的值．      知者加速15.用配方法證明：（1）的值恒為正；     （2）的值恒小于0．    （3）多項(xiàng)式的值總大于的值．    16.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?/span>（1）x2-4x-3=0         （2）（3y-2）2=36       （3）x2-4x+4=0       （4）               （5）(2x＋3)2－25＝0.            （6）       （7）（x-1）2=2x-2       （8）6x2-x-2=0     （9）(3x+1)2=7　　  　 （10）9x2-24x+16=11        （11）4(x+2)2-9(x-3)2=0 　　  　　　    （12）(x+5)(x-5)=3         （13）3x2+1=2x 　 　        （14）(2x+3)2+5(2x+3)-6=0  

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初中數(shù)學(xué)蘇科版九年級(jí)上冊(cè)電子課本 舊教材

1.2 一元二次方程的解法

版本： 蘇科版

年級(jí)： 九年級(jí)上冊(cè)

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