1．2 第6課時(shí) 用因式分解法解一元二次方程


知識(shí)點(diǎn) 用因式分解法解一元二次方程


1．用因式分解法解方程5(x＋3)－2x(x＋3)＝0，可將其化為兩個(gè)一元一次方程：____________、____________求解，其解為x1＝________，x2＝________．


2．我們解一元二次方程3x2－6x＝0時(shí)，可以運(yùn)用因式分解法，將此方程化為3x(x－2)＝0，從而得到兩個(gè)一元一次方程：3x＝0或x－2＝0，進(jìn)而得到原方程的解為x1＝0，x2＝2.這種解法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是( )


A．轉(zhuǎn)化思想 B．函數(shù)思想


C．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 D．公理化思想


3．方程(y－1)2＝y(tǒng)－1的解是( )


A．y＝1 B．y1＝1，y2＝2


C．y＝2 D．y1＝0，y2＝1


4．一元二次方程x(x－3)＝3－x的解是( )


A．x＝－1 B．x＝3


C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝3


5．方程(x＋1)(x－2)＝x＋1的解是( )


A．x＝2 B．x＝3


C．x1＝－1，x2＝2 D．x1＝－1，x2＝3


6．一元二次方程4x2－12x＝0的解是____________．


7．方程x(x－2)＝x的解是______________．


8．方程2(x－2)2＝x2－4的解是____________．


9．已知數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是一元二次方程(x＋1)(x－2)＝0的兩個(gè)根，則A，B兩點(diǎn)間的距離是________．


10．用因式分解法解下列方程：


(1)x2＋16x＝0；














(2)(3x＋2)2－4x2＝0；

















(3)2x(x＋3)－3(x＋3)＝0；














(4)x(2x－5)＝4x－10；




















(5)(x－1)2＋2x(x－1)＝0；




















(6)(x－5)2－2(x－5)＋1＝0.




















11．教材例8(2)變式當(dāng)x為何值時(shí)，代數(shù)式x－3的值與x(x－3)的值的差為0.











12．下列四個(gè)方程：(1)x2－25＝0；(2)y2＝eq \r(3)y；(3)(x＋1)2－4(x＋1)＋4＝0；(4)x2＋2x＋1＝0.其中能用因式分解法求解的個(gè)數(shù)是( )


A．1 B．2 C．3 D．4


13．定義一種新運(yùn)算：a?b＝a(a－b)．例如，4?3＝4×(4－3)＝4.若x?2＝3，則x的值是( )


A．x＝3 B．x＝－1


C．x1＝3，x2＝1 D．x1＝3，x2＝－1


14．若關(guān)于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的兩根為x1＝－1，x2＝2，則將多項(xiàng)式x2＋bx＋c分解因式的結(jié)果為_(kāi)_______．


15．用合適的方法解方程：


(1)(2x－1)2＝9； (2)(x－5)(3x－2)＝10；




















(3)x2＋6x＝1; (4)(2x－3)(x＋1)＝x＋1.




















16．小紅、小亮兩名同學(xué)一起解方程x(2x－5)＋4(5－2x)＝0.


小紅是這樣解的：先將方程變形為x(2x－5)－4(2x－5)＝0，移項(xiàng)，得x(2x－5)＝4(2x－5)，方程兩邊同除以(2x－5)，得x＝4.


小亮看后說(shuō)小紅的解法不對(duì)，請(qǐng)你判斷小紅的解法是否正確，若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由，并給出正確的解法．


























17．[2017·湘潭] 由多項(xiàng)式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，將該式從右到左使用，即可得到用“十字相乘法”進(jìn)行因式分解的公式：


x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．


示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．


(1)嘗試：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋________)·(x＋________)；


(2)應(yīng)用：請(qǐng)用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.








18．閱讀題例，解答后面的問(wèn)題：


解方程：x2－|x－1|－1＝0.


解：①當(dāng)x－1≥0，即x≥1時(shí)，


原方程化為x2－(x－1)－1＝0，則x2－x＝0，


解得x1＝0(不合題意，舍去)，x2＝1；


②當(dāng)x－1＜0，即x＜1時(shí)，


原方程化為x2＋(x－1)－1＝0，則x2＋x－2＝0，


解得x1＝1(不合題意，舍去)，x2＝－2.


綜上所述，原方程的解是x＝1或x＝－2.


依照上面的解法，解方程：x2＋2|x＋2|－4＝0.





詳解詳析


1．5－2x＝0 x＋3＝0 eq \f(5,2) －3 [解析] 把方程5(x＋3)－2x(x＋3)＝0化為(5－2x)(x＋3)＝0，則5－2x＝0或x＋3＝0.


2．A


3．B [解析] 把y－1看成一個(gè)整體，移項(xiàng)、提取公因式，得(y－1)(y－2)＝0，


∴y1＝1，y2＝2.


4．D [解析] 原方程可化為x(x－3)＋(x－3)＝0，


∴(x－3)(x＋1)＝0，


∴x－3＝0或x＋1＝0，


∴x1＝3，x2＝－1.


5．D [解析] 原方程可化為(x＋1)(x－2)－(x＋1)＝0，∴(x＋1)(x－2－1)＝0，即(x＋1)(x－3)＝0，∴x＋1＝0或x－3＝0，∴x1＝－1，x2＝3.故選D.


6．x1＝0，x2＝3


7．x1＝0，x2＝3 [解析] 原方程可化為x(x－2)－x＝0，x(x－2－1)＝0，∴x＝0或x－3＝0，解得x1＝0，x2＝3.


8．x1＝2，x2＝6


9．3 [解析] 因?yàn)?x＋1)(x－2)＝0，所以x＋1＝0或x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，所以A，B兩點(diǎn)間的距離是|2－(－1)|＝3.故答案是3.


10．解：(1)原方程可變形為x(x＋16)＝0，


∴x＝0或x＋16＝0，


∴x1＝0，x2＝－16.


(2)原方程可變形為(3x＋2－2x)(3x＋2＋2x)＝0，


即(x＋2)(5x＋2)＝0，


∴x＋2＝0或5x＋2＝0，


∴x1＝－2，x2＝－eq \f(2,5).


(3)原方程可化為(x＋3)(2x－3)＝0，


∴x＋3＝0或2x－3＝0，


∴x1＝－3，x2＝eq \f(3,2).


(4)原方程可變形為


x(2x－5)－2(2x－5)＝0，


即(2x－5)(x－2)＝0，


∴2x－5＝0或x－2＝0，


∴x1＝eq \f(5,2)，x2＝2.


(5)分解因式，得(x－1)(x－1＋2x)＝0，


∴x－1＝0，x－1＋2x＝0，


∴x1＝1，x2＝eq \f(1,3).


(6)分解因式，得[(x－5)－1]2＝0，


∴x1＝x2＝6.


11．解：根據(jù)題意，得x－3－x(x－3)＝0，


方程變形為(x－3)(1－x)＝0.


∴x－3＝0或1－x＝0，


∴x1＝3，x2＝1，


即當(dāng)x為3或1時(shí)，代數(shù)式x－3的值與x(x－3)的值的差為0.


12．D


13．D [解析] ∵x?2＝3，∴x(x－2)＝3，整理，得x2－2x－3＝0，(x－3)(x＋1)＝0，x－3＝0或x＋1＝0，∴x1＝3，x2＝－1.故選D.


14．(x＋1)(x－2)


15．解：(1)開(kāi)平方，得2x－1＝3或2x－1＝－3，


解得x1＝2，x2＝－1.


(2)整理，得3x2－17x＝0，


∴x(3x－17)＝0.


∴x＝0或3x－17＝0，


解得x1＝0，x2＝eq \f(17,3).


(3)∵x2＋6x＝1，∴x2＋6x＋9＝1＋9，


即(x＋3)2＝10，則x＋3＝±eq \r(10)，


∴x＝－3±eq \r(10)，


即x1＝－3＋eq \r(10)，x2＝－3－eq \r(10).


(4)原方程變形為(x＋1)(2x－3－1)＝0，


即2(x＋1)(x－2)＝0，


∴x＋1＝0或x－2＝0，


解得x1＝－1，x2＝2.


16．解：小紅的解法不正確．理由：方程兩邊同除以(2x－5)時(shí)，她認(rèn)為2x－5≠0，事實(shí)上，2x－5可以為零，這樣做，會(huì)導(dǎo)致丟根．


正確解法如下：


x(2x－5)＋4(5－2x)＝0，


x(2x－5)－4(2x－5)＝0，


(2x－5)(x－4)＝0，


∴2x－5＝0或x－4＝0，


∴x1＝eq \f(5,2)，x2＝4.


17．解：(1)∵8可以分解為2與4的積，且2與4的和為6，滿足十字相乘的形式，故填2，4.


(2)x2－3x－4＝0，


(x－4)(x＋1)＝0，


即x－4＝0或x＋1＝0，


∴x1＝4，x2＝－1.


18．[解析] 根據(jù)題中所給的材料把絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的x＋2分兩種情況討論(x＋2≥0和x＋2＜0)，去掉絕對(duì)值符號(hào)后再解方程．


解：①當(dāng)x＋2≥0，即x≥－2時(shí)，


原方程化為x2＋2(x＋2)－4＝0，


則x2＋2x＝0，x(x＋2)＝0，


解得x1＝0，x2＝－2；


②當(dāng)x＋2＜0，即x＜－2時(shí)，


原方程化為x2－2(x＋2)－4＝0，


則x2－2x－8＝0，(x－4)(x＋2)＝0，


解得x1＝4(不合題意，舍去)，x2＝－2(不合題意，舍去)．


綜上所述，原方程的解是x＝0或x＝－2.


[點(diǎn)評(píng)] 從題中所給材料找到解題方法是解題的關(guān)鍵．注意在去掉絕對(duì)值符號(hào)時(shí)要針對(duì)符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式的正負(fù)性分情況討論．


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1.2 一元二次方程的解法

版本： 蘇科版

年級(jí)： 九年級(jí)上冊(cè)

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