1 . 2 第3課時 用配方法解一元二次方程(二次項系數(shù)不為1)


知識點 1 用配方法把方程轉(zhuǎn)化為(x＋m)2＝n 的形式


1. 把方程2x2－4x－2＝0的二次項系數(shù)化為1，得________＝0.移項，得________．配方，得________，即(________)2＝________．


2．把方程3x2－12x－18＝0配方，化為(x＋m)2＝n的形式應(yīng)為( )


A．(x－4)2＝6 B．(x－2)2＝4


C．(x－2)2＝10 D．(x－2)2＝0


3．將一元二次方程2x2＋4 eq \r(2)x＋1＝0的左邊配方成(x＋m)2的形式之后，右邊的常數(shù)應(yīng)該是( )


A．1 B.eq \f(3,2) C.eq \r(2) D.eq \r(3)


4．用配方法解下列方程時，配方有誤的是( )


A．x2－2x－98＝0化為(x－1)2＝99


B．x2－6x＋4＝0化為(x－3)2＝5


C．4x2＋6x＋1＝0化為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(5,16)


D．3x2－4x－2＝0化為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(4,3)


5．代數(shù)式2x2＋8x－7配方后得____________．


6．用配方法解一元二次方程2x2＋3x＋1＝0，變形為(x＋h)2＝k，則h＝________，k＝________．


知識點 2 用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程


7．用配方法解方程：2x2＋4x－12＝0.


解：二次項系數(shù)化為1，得________________．


移項，得______________．


配方，得______________，


即______________．


開方，得______________．


所以原方程的解為__________________．


8．一元二次方程3x2＋10x－8＝0的解為________．


9．用配方法解下列方程：


(1)2x2－7x＋6＝0; (2)6x2－x－12＝0；














(3)4x2＋12x＋9＝0;

















(4)[2016·儀征二模] 2x2－4x－1＝0；




















(5)2x(x－3)＝1; (6)－eq \f(1,6)x2－eq \f(1,3)＝eq \f(1,2)x.











10．不論x取何值，二次三項式2x2－2x＋1的值都( )


A．大于或等于eq \f(1,2) B．小于或等于－eq \f(1,2)


C．有最大值eq \f(1,2) D．恒小于0


11．小明設(shè)計了一個魔術(shù)盒，當(dāng)任意實數(shù)對(a，b)進入其中，會得到一個新的實數(shù)3a2－4b＋6.若將實數(shù)(x，－2x)放入其中，得到1，則x＝________．








12．已知方程5x2＋kx－10＝0的一個根是－5，求它的另一個根及k的值．























13．當(dāng)x為何值時，代數(shù)式2x2＋7x－1的值與x2－19的值互為相反數(shù)？





























14．大家知道在用配方法解一般形式的一元二次方程時，都要先把二次項系數(shù)化為1，再進行配方．請你閱讀如下方程的解答過程．


解方程：2x2－2 eq \r(2)x－3＝0.


解：2x2－2 eq \r(2)x＝3，


(eq \r(2)x)2－2 eq \r(2)x＋1＝3＋1，(eq \r(2)x－1)2＝4，


eq \r(2)x－1＝±2，解得x1＝－eq \f(\r(2),2)，x2＝eq \f(3 \r(2),2).


按照上述解法解方程：5x2－2eq \r(15)x＝2.








15．配方法不僅可以用來解一元二次方程，還可以用來解決很多問題，如求式子的最值：因為3a2≥0，所以3a2＋1就有最小值1，即3a2＋1≥1，只有當(dāng)a＝0時，才能得到這個式子的最小值1.同樣，因為－3a2≤0，所以－3a2＋1有最大值1，即－3a2＋1≤1，只有當(dāng)a＝0時，才能得到這個式子的最大值1.


(1)當(dāng)x＝________時，代數(shù)式－2(x－1)2＋3有最________(填“大”或“小”)值為________．


(2)當(dāng)x＝________時，代數(shù)式－2x2＋4x＋3有最________(填“大”或“小”)值為________，


分析：－2x2＋4x＋3＝－2(x2－2x＋________)＋________＝－2(x－1)2＋________．


(3)如圖1－2－1，已知矩形花園的一面靠墻，另外三面柵欄的總長度是16 m，當(dāng)花園與墻相鄰的邊長為多少時，花園的面積最大？最大面積是多少？(假設(shè)墻足夠長)





圖1－2－1





詳解詳析


1．x2－2x－1 x2－2x＝1 x2－2x＋1＝2x－1 2


2．C [解析] 3x2－12x－18＝0.


二次項系數(shù)化為1，得x2－4x－6＝0.


移項，得x2－4x＝6.


配方，得x2－4x＋4＝10，即(x－2)2＝10.


3．B


4．D [解析] 用配方法解方程時，配方這一步是方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．


5．2(x＋2)2－15


6.eq \f(3,4) eq \f(1,16)


7．x2＋2x－6＝0 x2＋2x＝6 x2＋2x＋1＝6＋1 (x＋1)2＝7 x＋1＝±eq \r(7) x1＝eq \r(7)－1，x2＝－eq \r(7)－1


8．x1＝eq \f(2,3)，x2＝－4


9．[解析] 先將二次項系數(shù)化為1，然后用配方法求解．


解：(1)方程兩邊同除以2，得x2－eq \f(7,2)x＋3＝0.


移項、配方，得x2－eq \f(7,2)x＋eq \f(49,16)＝－3＋eq \f(49,16)，


即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(7,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,16)，所以x－eq \f(7,4)＝±eq \f(1,4)，


所以x1＝2，x2＝eq \f(3,2).





(2)方程兩邊都除以6，并移項，得x2－eq \f(1,6)x＝2.


配方，得x2－eq \f(1,6)x＋(－eq \f(1,12))2＝2＋(－eq \f(1,12))2，


即(x－eq \f(1,12))2＝eq \f(289,144)＝(eq \f(17,12))2，


所以x－eq \f(1,12)＝eq \f(17,12)或x－eq \f(1,12)＝－eq \f(17,12)，


所以x1＝eq \f(3,2)，x2＝－eq \f(4,3).


(3)移項，得4x2＋12x＝－9.


二次項系數(shù)化為1，得x2＋3x＝－eq \f(9,4).


方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，得


x2＋3x＋eq \f(9,4)＝－eq \f(9,4)＋eq \f(9,4)，即(x＋eq \f(3,2))2＝0，


解得x1＝x2＝－eq \f(3,2).


(4)方程整理，得x2－2x＝eq \f(1,2).


配方，得x2－2x＋1＝eq \f(3,2)，即(x－1)2＝eq \f(3,2).


開方，得x－1＝±eq \f(\r(6),2).


解得x1＝1＋eq \f(\r(6),2)，x2＝1－eq \f(\r(6),2).


(5)整理，得2x2－6x＝1.


兩邊同除以2，得x2－3x＝eq \f(1,2).


配方，得x2－3x＋eq \f(9,4)＝eq \f(1,2)＋eq \f(9,4)，


即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(11,4).


開方，得x－eq \f(3,2)＝±eq \f(\r(11),2)，


所以x1＝eq \f(3,2)＋eq \f(\r(11),2)，x2＝eq \f(3,2)－eq \f(\r(11),2).


(6)移項，得－eq \f(1,6)x2－eq \f(1,2)x＝eq \f(1,3).


兩邊同除以－eq \f(1,6)，得x2＋3x＝－2.


配方，得x2＋3x＋eq \f(9,4)＝－2＋eq \f(9,4)，


即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4).


開方，得x＋eq \f(3,2)＝±eq \f(1,2)，


所以x1＝－1，x2＝－2.





10. A


11．－eq \f(5,3)或－1 [解析] 根據(jù)題意，得3x2－4(－2x)＋6＝1.


整理，得3x2＋8x＝－5.


化簡、配方，得(x＋eq \f(4,3))2＝eq \f(1,9).


解得x1＝－eq \f(5,3)，x2＝－1.


故答案為－eq \f(5,3)或－1.


12．解：把x＝－5代入方程，得


5×(－5)2－5k－10＝0，解得k＝23，


∴原方程為5x2＋23x－10＝0.


兩邊同除以5，得x2＋eq \f(23,5)x－2＝0


配方，得x2＋eq \f(23,5)x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(23,10)))eq \s\up12(2)＝2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(23,10)))eq \s\up12(2)


即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(23,10)))eq \s\up12(2)＝eq \f(729,100)，∴x＋eq \f(23,10)＝±eq \f(27,10)，


∴x1＝eq \f(2,5)，x2＝－5.


∴方程的另一個根是eq \f(2,5)，k的值為23.


13．解：因為代數(shù)式2x2＋7x－1的值與x2－19的值互為相反數(shù)，


所以2x2＋7x－1＋x2－19＝0，


所以3x2＋7x－20＝0，


二次項系數(shù)化為1，得


x2＋eq \f(7,3)x－eq \f(20,3)＝0.


配方，得(x＋eq \f(7,6))2＝eq \f(20,3)＋eq \f(49,36)，


即x＋eq \f(7,6)＝±eq \f(17,6)，


所以x＝eq \f(5,3)或x＝－4.


即當(dāng)x的值為eq \f(5,3)或－4時，代數(shù)式2x2＋7x－1的值與x2－19的值互為相反數(shù)．


14．解：(eq \r(5)x)2－2 eq \r(5)×eq \r(3)x＝2，


(eq \r(5)x)2－2 eq \r(5)×eq \r(3)x＋3＝5，


(eq \r(5)x)2－2 eq \r(5)×eq \r(3)x＋(eq \r(3))2＝(eq \r(5))2，(eq \r(5)x－eq \r(3))2＝(eq \r(5))2，eq \r(5)x－eq \r(3)＝±eq \r(5)，


x－eq \f(\r(15),5)＝±1，


解得x1＝1＋eq \f(\r(15),5)，x2＝－1＋eq \f(\r(15),5).


15． [解析] 首先要理解題意，根據(jù)完全平方式，通過配方求最值．


解：(1)1 大 3


(2)1 大 5 1 5 5


(3)設(shè)花園與墻相鄰的邊長為x m，花園的面積為S m2，


則S＝x(16－2x)＝－2x2＋16x＝－2(x－4)2＋32.


當(dāng)x＝4時，S取得最大值32.


∴當(dāng)花園與墻相鄰的邊長為4 m時，花園的面積最大，最大面積是32 m2.





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1.2 一元二次方程的解法

版本： 蘇科版

年級： 九年級上冊

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