一、選擇題


1.已知x1,x2是一元二次方程x2-4x+1=0的兩個(gè)根,則x1·x2=( )


A.-4B.-1


C.1D.4


2.x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+m-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,是否存在實(shí)數(shù)m使1x1+1x2=0成立?對(duì)此下列結(jié)論正確的是( )


A.m=0時(shí)成立


B.m=2時(shí)成立


C.m=0或2時(shí)成立


D.不存在


3.設(shè)一元二次方程x2-2x-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1,x2,則x1+x1x2+x2等于( )


A.1B.-1


C.0D.3


4.已知一元二次方程x2-2x-1=0的兩個(gè)根分別為x1,x2,則1x1+1x2的值為( )


A.2B.-1


C.-12D.-2


5.已知x1,x2是方程2x2=4x-1的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則x12+x22的值為( )


A.17B.6


C.5D.3


6.設(shè)α,β是方程x2+x+2020=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則α2+2α+β的值為( )


A.-2020B.2020


C.2021D.-2021


7.已知α,β滿足α+β=6,且αβ=8,則以α,β為兩個(gè)根的一元二次方程是( )


A.x2+6x+8=0B.x2-6x+8=0


C.x2-6x-8=0D.x2+6x-8=0


8.甲、乙兩同學(xué)解方程x2+px+q=0,甲看錯(cuò)了一次項(xiàng),得其根為2和7,乙看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng),得其根為1和-10,則原方程為( )


A.x2-9x+14=0B.x2+9x-14=0


C.x2-9x+10=0D.x2+9x+14=0


9.關(guān)于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù),則a的值為( )


A.2B.0


C.1D.2或0


二、填空題


10.關(guān)于x的一元二次方程x2+2x-2m+1=0的兩實(shí)數(shù)根之積為負(fù)數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .


11.已知a,b,m,n為互不相等的實(shí)數(shù),且(a+m)(a+n)=2,(b+m)(b+n)=2,則ab-mn的值為 .


12.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1=3,x2=4,則m+n的值是 .


13.關(guān)于x的一元二次方程(k+1)x2-3x-3k-2=0有一個(gè)根為-1,則k的值和它的另一個(gè)根分別是 .


14.設(shè)a,b是方程x2-x-2019=0的兩根,則a2+2a+3b-2的值為 .


三、解答題


15.設(shè)x1,x2是方程2x2-9x+6=0的兩個(gè)根,求下列各式的值:


(1)1x1+1x2;


(2)x12+x22;


(3)(x1-3)(x2-3);


(4)x1-x2.

















16.若α,β是一元二次方程3x2-5x+1=0的兩個(gè)根,利用根與系數(shù)的關(guān)系求下列各式的值:


(1)(α-2)(β-2);


(2)(α+1)2+(β+1)2.























17.已知m,n是關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+a=0的兩個(gè)解,若(m-1)(n-1)=-6,求a的值.




















18.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2(m-2)x+(m2+4)=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,并且兩根的平方和比兩根的積大21,求m的值.

















19.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m=0.


(1)求證:方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;


(2)如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1,x2,且x12+x22-x1x2=7,求m的值.

















20.已知關(guān)于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2.


(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍;


(2)若x1,x2滿足x12+x22=16+x1x2,求實(shí)數(shù)k的值.


























21.已知關(guān)于x的兩個(gè)一元二次方程,


方程①:x2+(k+2)x+1=0;


方程②:x2+(2k+1)x-2k-3=0.


(1)若這兩個(gè)方程中只有一個(gè)有實(shí)數(shù)根,請(qǐng)說明哪個(gè)方程沒有實(shí)數(shù)根;


(2)若這兩個(gè)方程有一個(gè)公共根a,求代數(shù)式ak-a-2k的值.




















22.已知x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.


(1)是否存在實(shí)數(shù)k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-32成立?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.


(2)求使x1x2+x2x1-2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值.


(3)若k=-2,λ=x1x2,試求λ的值.





參考答案


一、選擇題


二、填空題


10.【解析】因?yàn)橐辉畏匠逃袑?shí)數(shù)根,所以Δ≥0,即22-4(-2m+1)≥0,解得m≥0.根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系列出不等式-2m+112.


【答案】m>12


11. -2


12 5 .


13. 1,52 .


14. 2020


三、解答題


15.由題可得x1+x2=92,x1x2=3.


(1)1x1+1x2=x1+x2x1x2=923=32.


(2)x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=814-6=574.


(3)(x1-3)(x2-3)=x1x2-3(x1+x2)+9=3-272+9=-32.


(4)x1-x2=±(x1-x2)2=±(x1+x2)2-4x1x2=±814-12=±332.


16.(1)解:由根與系數(shù)的關(guān)系可知α+β=53,αβ=13,


∴(α-2)(β-2)=αβ-2(α+β)+4=13-2×53+4=1.


(2)解:由根與系數(shù)的關(guān)系可知α+β=53,αβ=13,


∴(α+1)2+(β+1)2=α2+2α+1+β2+2β+1=(α+β)2-2αβ+2(α+β)+2=532-2×13+2×53+2=259-23+103+2=679.


17.解:∵m,n是關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+a=0的兩個(gè)解,∴m+n=3,mn=a.


∵(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1=-6,


∴a-3+1=-6,解得a=-4,即a的值為-4.


18.解:設(shè)兩根分別為x1,x2,則x1+x2=-2(m-2),x1x2=m2+4.


∵x12+x22-x1x2=21,即(x1+x2)2-3x1x2=21,


∴4(m-2)2-3(m2+4)=21,


解得m1=17,m2=-1.


∵方程有實(shí)數(shù)根,∴Δ=4(m-2)2-4(m2+4)≥0,


解得m≤0,∴m=-1.


19.解:(1)∵Δ=[-(m-3)]2-4×1×(-m)=m2-2m+9=(m-1)2+8>0,


∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.


(2)根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,


得x1+x2=m-3,x1x2=-m.


∵x12+x22-x1x2=7,∴(x1+x2)2-3x1x2=7,


∴(m-3)2-3×(-m)=7,解得m1=1,m2=2,


∴m的值為1或2.


20.解:(1)∵關(guān)于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2,


∴Δ=(2k-1)2-4(k2-1)=-4k+5≥0,


解得k≤54,


∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為k≤54.


(2)由題意得x1+x2=1-2k,x1x2=k2-1.


∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16+x1x2,


∴(1-2k)2-2×(k2-1)=16+(k2-1),


即k2-4k-12=0,


解得k=-2或k=6(不符合題意,舍去),


∴實(shí)數(shù)k的值為-2.


21.解:(1)Δ1=(k+2)2-4=k2+4k,Δ2=(2k+1)2-4×(-2k-3)=4k2+12k+13=(2k+3)2+4>0,


∵方程①②只有一個(gè)有實(shí)數(shù)根,∴方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)根.


(2)∵方程①②有一個(gè)公共根a,


∴a2+(k+2)a+1=0, ③


a2+(2k+1)a-2k-3=0, ④


④-③,得ak-a-2k-4=0.


22.解:(1)由題意得x1+x2=1,x1x2=k+14k,


∴(2x1-x2)(x1-2x2)=2x12-4x1x2-x1x2+2x22=2(x1+x2)2-9x1x2=2×12-9×k+14k=2-9(k+1)4k,


若2-9(k+1)4k=-32成立,解得k=95.


∵Δ=16k2-4×4k(k+1)=-16k>0,∴k

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