2.5 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系


能力提升卷


一、選擇題（共10小題，3*10=30）


1．已知α，β是一元二次方程x2＋x－2＝0的兩個實數(shù)根，則α＋β－αβ的值是( )


A．3 B．1 C．－1 D．－3


2．已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的兩個實數(shù)根，下列結(jié)論錯誤的是( )


A．x1≠x2 B．x21－2x1＝0


C．x1＋x2＝2 D．x1·x2＝2


3．已知一元二次方程2x2－5x＋1＝0的兩個根為x1，x2，下列結(jié)論正確的是( )


A．x1＋x2＝－eq \f(5,2) B．x1·x2＝1


C．x1，x2都是有理數(shù) D．x1，x2都是正數(shù)


4．已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的兩個實數(shù)根，則x1x2等于( )


A．－4 B．－1 C．1 D．4


5．設(shè)x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的兩個根，則x21＋x22的值是( )


A．19 B．25 C．31 D．30


6. 若x1＋x2＝3，x12＋x22＝5，則以x1，x2為根的一元二次方程是( )


A．x2－3x＋2＝0 B．x2＋3x－2＝0


C．x2＋3x＋2＝0 D．x2－3x－2＝0


7．關(guān)于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0的兩個實數(shù)根的平方和為12，則m的值為( )


A．m＝－2 B．m＝3


C．m＝3或m＝－2 D．m＝－3或m＝2


8．已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2＋bx－3＝0的兩根，且滿足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值為( )


A．4 B．－4 C．3 D．－3


9．若α，β為方程2x2－5x－1＝0的兩個實數(shù)根，則2α2＋3αβ＋5β的值為( )


A．－13 B．12 C．14 D．15


10．已知等腰三角形的三邊長分別為a，b，4，且a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的兩根，則m的值是( )


A．34 B．30 C．30或34 D．30或36


二．填空題（共8小題，3*8=24）


11．已知關(guān)于x的方程x2＋x－a＝0的一個根為2，則另一個根是.


12. 已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的兩實數(shù)根，則eq \f(1,2x1＋1)＋eq \f(1,2x2＋1)的值是.


13．若一元二次方程x2－x－2＝0的兩根為x1，x2，則(1＋x1)＋x2(1－x1)的值是.


14．若2－eq \r(3)是方程x2－4x＋c＝0的一個根，則c的值是.


15． 已知m，n是關(guān)于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的兩個根，若(m－1)(n－1)＝－6，則a＝.


16．對于任意實數(shù)a，b，定義：a◆b＝a2＋ab＋b2.若方程(x◆2)－5＝0的兩根記為m，n，則m2＋n2＝ ．


17．一元二次方程x2－4x＋2＝0的兩根為x1，x2，則x12－4x1＋2x1x2的值為.


18．一元二次方程x2－3x＋1＝0的兩個根為x1，x2，則x12＋3x2＋x1x2－2的值是.


三．解答題（共7小題， 46分）


19．(6分) 設(shè)x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的兩根，求xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)的值．














20．(6分) 已知關(guān)于x的方程x2＋mx－6＝0的一個根為2，求方程的另一個根．




















21．(6分) 已知m，n是關(guān)于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的兩實數(shù)根，求(m＋2)(n＋2)的最小值.

















22．(6分) 設(shè)x1，x2是一元二次方程2x2－x－3＝0的兩根，求下列代數(shù)式的值．


(1)x12＋x22；


(2)eq \f(x2,x1)＋eq \f(x1,x2)；


(3)x12＋x22－3x1x2.


























23．(6分) 若關(guān)于x的一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的兩個不相等的實數(shù)根分別為a和b，且a2－ab＋b2＝18，求eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)的值.


























24．(8分) 關(guān)于x的一元二次方程x2－(k－1)x－k＋2＝0有兩個實數(shù)根x1，x2，若(x1－x2＋2)(x1－x2－2)＋2x1x2＝－3，求k的值.
































25．(8分) 已知關(guān)于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m2＝0.


(1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；


(2)設(shè)這個方程的兩個實數(shù)根為x1，x2，且|x1|＝|x2|－2，求m的值及方程的根．















































參考答案


1-5BDDCC 6-10AAABA


11. －3


12. 6


13. 4


14. 1


15. －4


16. 6


17. 2


18. 7


19. 解：由題意知，x1·x2＝eq \f(3,2)，x1＋x2＝3.


所以xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝9－3＝6.


20. 解： 方法一(利用根與系數(shù)的關(guān)系)：


∵方程x2＋mx－6＝0的一個根為2，設(shè)另一個根為x1，


∴2x1＝－6，解得x1＝－3，


∴方程的另一個根是－3.


方法二(代入法)：把x＝2代入原方程，得22＋2m－6＝0，解得m＝1.


把m＝1代入原方程，得x2＋x－6＝0，


解得x1＝2，x2＝－3.即方程的另一個根為－3.


21. 解：由一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系可知，


m＋n＝2t，mn＝t2－2t＋4.又∵m，n是方程的兩實數(shù)根，


∴Δ＝4t2－4(t2－2t＋4)≥0，解得t≥2.


因為(m＋2)(n＋2)＝mn＋2(m＋n)＋4，


將mn和m＋n代入整理得t2＋2t＋8，


∴t2＋2t＋8＝(t＋1)2＋7，


∵t≥2. 故當(dāng)t＝2時，(m＋2)(n＋2)取得最小值為16.


22. 解：由題意得：x1＋x2＝eq \f(1,2)，x1x2＝－eq \f(3,2)


(1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(eq \f(1,2))2＋2×eq \f(3,2)＝eq \f(13,4)


(2)eq \f(x2,x1)＋eq \f(x1,x2)＝eq \f(x12＋x22,x1x2)＝eq \f(（x1＋x2）2－2x1x2,x1x2)＝eq \f(\f(13,4),－\f(3,2))＝－eq \f(13,6)


(3)x12＋x22－3x1x2＝(x1＋x2)2－5x1x2＝(eq \f(1,2))2＋5×eq \f(3,2)＝eq \f(31,4)


23. 解：∵a，b為方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的兩個不相等的實數(shù)根，


∴a＋b＝3，ab＝p.


∵a2－ab＋b2＝(a＋b)2－3ab＝32－3p＝18，


∴p＝－3.


當(dāng)p＝－3時，Δ＝(－3)2－4p＝9＋12＝21＞0，


∴p＝－3符合題意．


∴eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)＝eq \f(a2＋b2,ab)＝eq \f(（a＋b）2－2ab,ab)＝eq \f(（a＋b）2,ab)－2＝eq \f(32,－3)－2＝－5.


24. 解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2－(k－1)x－k＋2＝0的兩個實數(shù)根為x1，x2，∴x1＋x2＝k－1，x1x2＝－k＋2.


∵(x1－x2＋2)(x1－x2－2)＋2x1x2＝－3，


即(x1＋x2)2－2x1x2－4＝－3，∴(k－1)2＋2k－4－4＝－3，


解得k＝±2.


∵關(guān)于x的一元二次方程x2－(k－1)x－k＋2＝0有實數(shù)根，


∴Δ＝[－(k－1)]2－4×1×(－k＋2)≥0，


解得k≥2eq \r(2)－1或k≤－2eq \r(2)－1，∴k＝2.


25. 解：(1)由題意得Δ＝b2－4ac＝(3－m)2－4×1×(－m2)＝5m2－6m＋9＝5(m－eq \f(3,5))2＋eq \f(36,5)＞0，


∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根


(2)由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1·x2＝eq \f(c,a)＝－m2≤0，x1＋x2＝m－3.


∵|x1|＝|x2|－2，∴|x1|－|x2|＝－2.


若x1≥0，x2≤0，上式化簡得x1＋x2＝－2，


∴m－3＝－2，即m＝1，


方程化為x2＋2x－1＝0，


解得x1＝－1＋eq \r(2)，x2＝－1－eq \r(2)；


若x1≤0，x2≥0，上式化簡得－(x1＋x2)＝－2，


∴x1＋x2＝m－3＝2，即m＝5，


方程化為x2－2x－25＝0，


解得x1＝1－eq \r(26)，x2＝1＋eq \r(26)








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