一、教學(xué)目標(biāo)
1.了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.
2.利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問題.
3.經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的過程，體會(huì)從特殊到一般的思想.
4.增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心，培養(yǎng)科學(xué)探究精神.
二、教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.
難點(diǎn)：利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問題.
三、教學(xué)用具
電腦、多媒體、課件、教學(xué)用具等
四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
教學(xué)環(huán)節(jié)
教師活動(dòng)
學(xué)生活動(dòng)
設(shè)計(jì)意圖
環(huán)節(jié)一
創(chuàng)設(shè)情境
【復(fù)習(xí)回顧】
教師活動(dòng)：先讓學(xué)生嘗試說出一元二次方程的一般式及求根公式，并提出問題，加深對(duì)判別式的理解，為新課的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).
想一想：一元二次方程的一般形式是怎樣的？
預(yù)設(shè)：ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 )
追問：你知道它的求根公式是什么嗎？
預(yù)設(shè)：
強(qiáng)調(diào)適用的條件：Δ= b2–4ac≥0.
想一想：當(dāng)Δ＞0，Δ=0，Δ＜0 根的情況如何？
預(yù)設(shè)：Δ> 0 時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
Δ = 0 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
Δ< 0 時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.
思考并舉手回答.
復(fù)習(xí)回顧已學(xué)知識(shí)，為新課的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.
環(huán)節(jié)二 探究新知
教師活動(dòng)：先讓學(xué)生選擇自己喜歡的方法解方程完成表格填寫，再觀察表格找到根與系數(shù)之間的關(guān)系，并將其推廣到一般式，探究一般式的根與系數(shù)的關(guān)系.
【做一做】
同學(xué)們，選擇自己喜歡的方法解下列方程，并完成下表：
(1) x2–2x+1=0 (2) x2 – x–1=0 (3) 2x2–3x +1=0
預(yù)設(shè)：選擇自己喜歡的方法解一元二次方程，
觀察上述表格，回答下列問題：
(1)每個(gè)方程的兩根之和與它的系數(shù)a、b、c有什么關(guān)系？
預(yù)設(shè)：
(2)每個(gè)方程的兩根之積與它的系數(shù)a、b、c有什么關(guān)系？
預(yù)設(shè)：
思考：對(duì)于任何一個(gè)一元二次方程，這種關(guān)系都成立嗎？
【猜想】
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)，當(dāng)b2–4ac ≥ 0 時(shí)，有兩個(gè)根分別為x1，x2，那么：
【證明】
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)，當(dāng)b2–4ac ≥ 0 時(shí)，有兩個(gè)根分別為：
歸納：根與系數(shù)的關(guān)系：
如果方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，那么：
.
強(qiáng)調(diào)：兩個(gè)實(shí)數(shù)根的前提條件為b2–4ac≥0.
根與系數(shù)的關(guān)系實(shí)際上就是我們經(jīng)常所說的韋達(dá)定理，它是由法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的.
獨(dú)立完成，并交流討論，完成表格填寫
觀察與思考
并說一說
嘗試說一說
試著寫出證明過程
交流討論，與教師一起歸納總結(jié)
通過做一做，一方面復(fù)習(xí)一元二次方程的解法，另一方面為探究一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系打下基礎(chǔ).
讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證的過程，從特殊到一般，得出兩根之和與系數(shù)之間的關(guān)系、兩根之積與系數(shù)之間的關(guān)系.
環(huán)節(jié)三 應(yīng)用新知
【典型例題】
教師提出問題，學(xué)生先獨(dú)立思考，解答.然后再小組交流探討，如遇到有困難的學(xué)生適當(dāng)點(diǎn)撥，最終教師展示答題過程.
例 利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和、兩根之積：

(1) x2 +7x +6 = 0 ;

(2) 2x2 – 3x–2 = 0 .

分析：(1) ①找對(duì)應(yīng)系數(shù)
a=1，b=7，c=6；
②判斷b2 – 4ac≥0；
③確定方程根的情況；
④根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解.
(2) ①找對(duì)應(yīng)系數(shù)
a=2，b=–3，c=–2；
②判斷b2 – 4ac≥0；
③確定方程根的情況；
④根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解.
解：(1)這里 a = 1，b =7，c =6.
Δ =b2–4ac = 72–4×1×6 = 49–24 = 25 > 0
∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2，那么.
x1+x2=–7，x1x2 =6.
(2)這里 a=2，b=–3，c=–2.
Δ =b2–4ac = (–3)2–4×2×(–2) = 9+16 = 25 > 0，
∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2，那么.
x1+x2=，x1x2 =–1.
想一想：應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系需注意什么？
預(yù)設(shè)：①方程必須是一元二次方程的一般形式；
②判斷b2–4ac≥0；
③使用x1+x2時(shí)， 注意“－ ”不要漏寫.
明確例題的做法
自由說一說
讓學(xué)生在探究過程中進(jìn)一步熟練根與系數(shù)的關(guān)系，并學(xué)會(huì)應(yīng)用其解決簡(jiǎn)單的問題，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).
明確應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系時(shí)應(yīng)注意的問題.
環(huán)節(jié)四 鞏固新知
教師給出練習(xí)，隨時(shí)觀察學(xué)生完成情況并相應(yīng)指導(dǎo)，最后給出答案，根據(jù)學(xué)生完成情況適當(dāng)分析講解.
1.利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和、兩根之積：
(1)x2–3x–1=0；
(2) 3x2+2x–5=0.
2.小明和小華分別求出了方程 9x2+6x–1=0 的根.小明：x1 = x2 =；小華：x1 =，x2 = .他們的答案正確嗎？說說你的判斷方法.
3.已知方程 5x2+kx–6 = 0 的一個(gè)根是 2，求它的另一個(gè)根及 k 的值.
4.如果一個(gè)三角形兩邊的長(zhǎng)分別等于一元二次方程 x2–17x+66 = 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么這個(gè)三角形的第三邊的長(zhǎng)可能是 20 嗎？為什么？
答案：
1.解：(1)這里 a = 1，b = –3，c = –1.
Δ =b2–4ac = (–3)2–4×1×(–1) = 9+4 = 13 > 0，
∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2，那么.
x1+x2=3 ，x1x2 = –1.
(2)這里 a = 3，b = 2，c = –5.
Δ =b2–4ac = 22–4×3×(–5) = 4+60 = 64 > 0，
∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2，那么.
x1+x2= ，x1x2 =.
2. 解：由題意，可得
x1+x2=，x1x2 =.
小明和小華求得的根與算式都不符合.
∴小明和小華的答案都不正確.
3. 解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得
∵其中一個(gè)根為2，因此可以設(shè) x1= 2，
解這個(gè)方程組得
所以另一個(gè)根為，k的值為–7.
4.解：由題意，可得 x1+x2= 17，
即兩邊長(zhǎng)之和為17，17小于20，
所以這個(gè)三角形的第三邊的長(zhǎng)不可能是20.
自主完成練習(xí)，然后集體交流評(píng)價(jià).
通過課堂練習(xí)及時(shí)鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并考查學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力，培養(yǎng)獨(dú)立完成練習(xí)的習(xí)慣.
環(huán)節(jié)五 課堂小結(jié)
思維導(dǎo)圖的形式呈現(xiàn)本節(jié)課的主要內(nèi)容：
學(xué)生嘗試回顧本節(jié)課所講的內(nèi)容
通過小結(jié)總結(jié)回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容，幫助學(xué)生歸納、鞏固所學(xué)知識(shí).
環(huán)節(jié)六
布置作業(yè)
教科書第51頁(yè) 習(xí)題2.8 第1、2題.
學(xué)生課后自主完成.
通過課后作業(yè)，教師能及時(shí)了解學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的掌握情況，以便對(duì)教學(xué)進(jìn)度和方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整.

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5 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

版本： 北師大版

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