?北師大版 九上 第二章 2.5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
測(cè)試卷A卷
一． 選擇題（共30分）、
1.已知，是方程的兩根，則代數(shù)式的值是（ ）
A．-25 B．-24 C．35 D．36
【答案】D
【分析】
先根據(jù)已知可得，，a+b=3，然后再對(duì)變形，最后代入求解即可．
【詳解】
解：∵已知，是方程的兩根
∴，，a+b=3
∴=0+5+30+1=36．
故選D．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了一元二次方程的解、根與系數(shù)的關(guān)系以及整式的變形，根據(jù)需要對(duì)整式靈活變形成為解答本題的關(guān)鍵．
2．已知方程的兩根分別為，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)一元二次方程解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系可得，，再代入通分計(jì)算即可求解．
【詳解】
∵方程的兩根分別為，，
∴，，
∴，
∴=====-1．
故選B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了一元二次方程解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練運(yùn)用一元二次方程解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
3．定義新運(yùn)算“”：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有，例如．若（k為實(shí)數(shù)）是關(guān)于x的方程，則它的根的情況為（ ）
A．有一個(gè)實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根
【答案】C
【分析】
根據(jù)新定義，得，轉(zhuǎn)化成一元二次方程，利用根的判別式判斷即可．
【詳解】
∵，
∴，
∴變形為，
∴△＝
＝＞0，
∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故選C．


4.關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，且，，則m的取值范圍是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】
根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根列判別式求出m的取值范圍，再根據(jù)，列式求出m的取值范圍，即可得到答案．
【詳解】
解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴且．
故選：B．
5．設(shè)a，b是方程?x2+x﹣2021＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則?a2+b2+a+b的值是（　　）
A．0 B．2020 C．4040 D．4042
【答案】D
【分析】
根據(jù)一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系可得出a+b=-1，ab=-2021，將其代入?a2+b2+a+b =（a+b）2+（a+b）-2ab中即可求出結(jié)論．
【詳解】
解：∵a，b是方程x2+x-2020=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴a+b=-1，ab=-2021
∴a2+b2+a+b =（a+b）2+（a+b）-2ab=1-1+4042=4042．
故選：D．
6．已知，是方程2+2x-3=0的兩個(gè)根，則的值為（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】
利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理，具體化后，進(jìn)行等量變形，代入化簡即可．
【詳解】
∵，是方程2+2x-3=0的兩個(gè)根，
∴＋= -1
∴= - -1，
且2+2-3=0，
∴ (+1)=，
代入要求的式子中,得:
-
=-
=-
=
=.
故選B.

7.已知α，β是方程x2+2014x+1=0的兩個(gè)根，則（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）的值為（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
【解析】【解答】解：∵α，β是方程x2+2014x+1=0的兩個(gè)根，
∴α+β=﹣ba=﹣2014，α?β=ca=1，
（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）
=（αβ+2016α+α2）（αβ+2016β+β2）
=α（β+2016+α）?β（α+2016+β）
=αβ?（2016﹣2014）（2016﹣2014）
=4．
故選D．
8．若α、β是方程x2+2x﹣2007=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α2+3α+β的值（　　）
A．2007 B．2005 C．﹣2007 D．4010
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
【解析】【解答】解：∵α、β是方程x2+2x﹣2007=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴α+β=﹣2，α2+2α﹣2007=0，即α2+2α=2007，
則α2+3α+β=α2+2α+α+β
=2007﹣2
=2005，
故選：B．
9．如果關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4|a|x+4a2﹣1=0的一個(gè)根是5，則方程的另一個(gè)根是（　?。?br /> A．1 B．5 C．7 D．3或7
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
【解析】【解答】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為m，
由韋達(dá)定理可得：5+m=4|a|，即|a|=5+m4①，
5m=4a2﹣1 ②，
把①代入②得：5m=5+m216×4﹣1，
整理得：m2﹣10m+21=0，
解得：m=3或m=7，
故選：D．
10.已知函數(shù) y=4x2?4x+m 的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 (x1，0) (x2，0) 且 (x1+x2)(4x12?5x1?x2)=8 ，則該函數(shù)的最小值是（　?。?br /> A．2 B．-2 C．10 D．-10
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
【解析】【解答】∵函數(shù)y=4x2-4x+m的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，0），（x2，0），
∴x1與x2是4x2-4x+m=0的兩根，
∴4x12-4x1+m=0，x1+x2=1，x1?x2= m4 ，
∴4x12=4x1-m，
∵（x1+x2）（4x12-5x1-x2）=8，
∴（x1+x2）（4x1-m-5x1-x2）=8，
即（x1+x2）（-m-x1-x2）=8，
∴1?（-m-1）=8，解得m=-9，
∴拋物線解析式為y=4x2-4x-9，
∵y=2（x- 12 ）2-10，
∴該函數(shù)的最小值為-10．
故答案為：D．

二． 填空題（共24分）
11.若實(shí)數(shù)a，b是一元二次方程x2?3x?1=0的兩根，則2a+2b?ab+1=　 　.
【答案】8
【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
【解析】【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2-3x-1=0的根，
∴a+b=3，ab=-1，
∴2a+2b-ab+1=2（a+b）-ab+1=2×3-(-1）+1=8.
故答案為：8.

12.已知關(guān)于x的方程x2+mx?3=0的一個(gè)根為x1=1，則方程的另一個(gè)根x2=　 　．
【答案】-3
【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
【解析】【解答】解：根據(jù)題意得x1?x2=?3，
∴x2=?31=?3．
故答案為：-3．
13.若m、n是方程x2?4x+3=0的兩根，則mn的值為　 ?。?br /> 【答案】3
【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2?4x+3=0的兩根，
∴mn=3
故答案為：3．
14．若方程的一個(gè)根是3，那么另一個(gè)根是_______
【答案】2
【分析】
根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系直接計(jì)算即可
【詳解】
解：∵，
∴
∵方程的一個(gè)根是3
∴
故答案為：2
15．已知，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是__________．
【答案】9
【分析】
可表示為，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求得結(jié)果．
【詳解】
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：，
∴=
故答案為：9．

16.若一元二次方程x2+5x?6=0的兩個(gè)根是x1，x2，則x1x2的值是　 ?。?br /> 【答案】-6
【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+5x?6=0的兩個(gè)根是x1，x2，
∴x1x2=?6，
故答案為：-6．
三． 解答題（共46分）
17.（8分）已知x＝1是關(guān)于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一個(gè)根，求m的值和方程的另一個(gè)根．
【答案】解：∵x＝1是方程的根，
∴1+3﹣m＝0，
∴m＝4，
設(shè)另一個(gè)根為x2，則1+x2＝﹣3，
∴x2＝﹣4，
∴m的值是4，另一個(gè)根是x＝﹣4．

18.（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若該方程的兩個(gè)根都是符號(hào)相同的整數(shù)，求整數(shù)m的值．
【答案】（1）；（2）1
【分析】
（1）直接利用根的判別式即可求解；
（2）根據(jù)韋達(dá)定理可得，，得到，根據(jù)兩個(gè)根和m都是整數(shù)，進(jìn)行分類討論即可求解．
【詳解】
解：（1）∵一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
解得；
（2）設(shè)該方程的兩個(gè)根為、，
∵該方程的兩個(gè)根都是符號(hào)相同的整數(shù)，
∴，，
∴，
∴m的值為1或2，
當(dāng)時(shí)，方程兩個(gè)根為、；
當(dāng)時(shí)，方程兩個(gè)根與不是整數(shù)；
∴m的值為1．

19.（10分）．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，．
（1）求的取值范圍：
（2）若，求的值．
【答案】（1）k>3；（2）8
【分析】
（1）根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根則判別式為正，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解不等式即可求得k的取值范圍；
（2）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，把表示為兩根的和與兩根的積的代數(shù)式，得到關(guān)于k的方程，解方程即可求得k．
【詳解】
（1）由題意，得：
解不等式，得：k>3
即當(dāng)k>3時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
（2）由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得：，
∵，
∴
解得：，

20.（10分）已知關(guān)于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的兩個(gè)根分別為 x1 ， x2 ，利用一元二次方程的求根公式可得： x1+x2=?ba ， x1x2=ca ，利用上述結(jié)論來解答下列問題：
（1）已知 2x2?x?1=0 的兩個(gè)根為 m ， n ，則 m+n=　 　， mn=　 ??；
（2）已知關(guān)于 x 的一元二次方程 x2?(k?1)x?k+2=0 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x1 ， x2 ，若 (x1+x2+2)(x1+x2?2)+2x1x2=?2 ，求 k 的值.
【答案】（1）12；?12
（2）解： ∵ 關(guān)于 x 的一元二次方程 x2?(k?1)x?k+2=0 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x1 ， x2 ，
∴ x1+x2=k?1 ， x1x2=2?k .
∵ (x1+x2+2)(x1+x2?2)+2x1x2=?2 ，即 (x1+x2)2?4+2x1x2=?2 ，
∴ (k?1)2?4+2(2?k)=?2 ，整理得： k2?4k+3=0 ，
∴ k=4±(?4)2?4×1×32 ，
∴ k1=3 ， k2=1 .
當(dāng) k=3 時(shí)，原方程為 x2?2x?1=0 ，
∵ Δ=(?2)2?4×1×(?1)=8 ，
∴ k=3 符合題意；
當(dāng) k=1 時(shí)，原方程為 x2+1=0 ，
∵ Δ=02?4×1×1=?4

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5 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

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