倍速學(xué)習(xí)五種方法
【方法一】 脈絡(luò)梳理法
知識(shí)點(diǎn)1：矩形的定義
知識(shí)點(diǎn)2：矩形的性質(zhì)（重難點(diǎn)）
知識(shí)點(diǎn)3：直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)（重點(diǎn)）
知識(shí)點(diǎn)4：矩形的判定（重難點(diǎn)）
【方法二】 實(shí)例探索法
題型1：利用矩形的性質(zhì)求角的度數(shù)
題型2：利用矩形的性質(zhì)求邊的長(zhǎng)度
題型3：直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)應(yīng)用
題型4：利用矩形的性質(zhì)證明
題型5：矩形的判定
題型6：矩形的實(shí)際應(yīng)用
題型7：矩形中的折疊問題
題型8：計(jì)算矩形中陰影部分面積
題型9：矩形中的動(dòng)態(tài)問題
【方法三】 差異對(duì)比法
易錯(cuò)點(diǎn)1判斷矩形的條件不足
【方法四】 仿真實(shí)戰(zhàn)法
考法1矩形性質(zhì)的應(yīng)用
考法2矩形的判定
考點(diǎn)3直角三角形斜邊上的中線
考法4矩形的性質(zhì)與判定
【方法五】 成果評(píng)定法
【知識(shí)導(dǎo)圖】
【倍速學(xué)習(xí)五種方法】
【方法一】脈絡(luò)梳理法
知識(shí)點(diǎn)1：矩形的定義
1. 定義：有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做矩形．
注意：矩形的定義既是矩形的基本性質(zhì)，也是判定矩形的基本方法．
知識(shí)點(diǎn)2：矩形的性質(zhì)
矩形除具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)．
(1) 矩形的四個(gè)角都是直角；
(2) 矩形的兩條對(duì)角線相等．
注意：
(1) 矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對(duì)稱圖形．過(guò)中心的任意直線可將矩形分成完全全等的兩部分．
(2) 矩形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸(分別是通過(guò)對(duì)邊中點(diǎn)的直線)．
對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)角線的交點(diǎn) (即對(duì)稱中心)．
知識(shí)點(diǎn)3：直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)
在直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半．
知識(shí)點(diǎn)4：矩形的判定
矩形的判定定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．
矩形的判定定理2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．
【方法二】實(shí)例探索法
題型1：利用矩形的性質(zhì)求角的度數(shù)
例1.如圖．矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE，且EF=3．則AB的長(zhǎng)為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解題分析：∵四邊形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8﹣3=5，
在Rt△CEF中，CF===4，
設(shè)AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，
故選D．
答案：D
題型2：利用矩形的性質(zhì)求邊的長(zhǎng)度
例2．已知矩形ABCD的周長(zhǎng)為16，AB＝5，則BC等于（ ）
A．3B．5C．6D．11
【分析】根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵矩形ABCD的周長(zhǎng)為16，
∴BC＝×（16﹣2×5）＝3，
故選A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的周長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．
題型3：直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)應(yīng)用
例3.如圖，BD、CE是△ABC不同邊上的高，點(diǎn)G、F分別是BC、DE的中點(diǎn)，試證明GF⊥DE．
【分析】連接EG、FG，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DG＝EG＝BC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即可．
【解答】證明：如圖，連接EG、DG，
∵BD、CE分別是△ABC的AC、AB邊上的高，點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，
∴DG＝EG＝BC，
∵點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，
∴GF⊥DE．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作出輔助線構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．
例4.如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線CD的垂線，垂足為E．求證：∠EBC＝∠A．
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD＝BD，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠ECB，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB中點(diǎn)，
∴CD＝BD，
∴∠ABC＝∠ECB，
∵BE⊥CE，
∴∠E＝90°，
∴∠ECB+∠CBE＝∠ABC+∠A＝90°，
∴∠EBC＝∠A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的性質(zhì)，熟記直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型4：利用矩形的性質(zhì)證明
例5.如圖所示，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，
于點(diǎn)F，求證：BE=CF．
A
B
C
D
E
F
O
【解析】∵矩形ABCD，∴．
∵，，
∴，∴BE=CF
【總結(jié)】考察矩形的性質(zhì)的運(yùn)用．
例6.已知：若從矩形ABCD的頂點(diǎn)C作BD的垂線交BD于E，交∠BAD的平分線于F．
求證：△CAF是等腰三角形．
G
【解析】過(guò)A作AG⊥BD，垂足為G
∵AG⊥BD，∴∠BAG+∠GAD=90°
∵∠ADG+∠GAD=90°，∴∠BAG=∠ADG
∵∠DAC=∠ADG，∴∠DAC=∠BAG
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAG＋∠FAG=∠DAC＋∠CAF
∵∠DAC=∠BAG，∴∠FAG=∠CAF
∵AG⊥BD，CE⊥BD，∴AG∥EC，∴∠F=∠FAG
∵∠FAG=∠CAF，∴∠F=∠CAF
∴CA=CF，∴△CAF是等腰三角形
【總結(jié)】考查矩形的性質(zhì)及等腰三角形判定的綜合運(yùn)用．
例7.已知：矩形ABCD中，延長(zhǎng)BC至E，使BE=BD，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，連接AF、CF．
求證：AF⊥CF．
A
B
C
D
E
F
【解析】聯(lián)結(jié)
∵BE=BD，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，∴
∴
∵，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，∴
∴， ∴
∵，，
∴，∴
∵，∴，
即，∴AF⊥CF
【總結(jié)】考察全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形三線合一性質(zhì)的綜合運(yùn)用．
題型5：矩形的判定
例8.已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點(diǎn)E．
求證：四邊形ADCE為矩形；
【分析】根據(jù)三個(gè)角是直角是四邊形是矩形即可證明；
【解答】證明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．
∴∠ADC＝90°，
∵AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，
∴∠MAN＝∠CAN．
∴∠DAE＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°．
∴四邊形ADCE為矩形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的判定、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．
例9.如圖，在△ABC中，O是AC上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），過(guò)點(diǎn)O平行于BC的直線l分別與∠BCA、∠DCA的平分線交于點(diǎn)E、F．
（1）OE與OF相等嗎？證明你的結(jié)論．
（2）試確定點(diǎn)O的位置，使四邊形AECF是矩形，并加以證明．
【分析】（1）根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線定義推出∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，根據(jù)等腰三角形的判定推出OE＝OC，OF＝OC即可；
（2）根據(jù)平行四邊形的判定得出平行四邊形AECF，根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形推出即可；
【解答】（1）解：相等；理由是：∵直線l∥BC，
∴∠OEC＝∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠OCE＝∠BCE，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴OE＝OC，
同理OF＝OC，
∴OE＝OF．
（2）解：O在AC的中點(diǎn)上時(shí)，四邊形AECF是矩形，
理由是：∵OA＝OC，OE＝OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵OE＝OF＝OC＝OA，
∴AC＝EF，
∴平行四邊形AECF是矩形．
【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的判定，平行線的性質(zhì)，角平分線定義等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，題型較好，綜合性比較強(qiáng)，難度也適中．
題型6：矩形的實(shí)際應(yīng)用
例10.如圖是一個(gè)矩形桌子，一小球從P撞擊到Q，反射到R，又從R反射到S，從S反射回原處P，入射角與反射角相等（例如∠PQA＝∠RQB等），已知AB＝8，BC＝15，DP＝3．則小球所走的路徑的長(zhǎng)為 34 ．
【分析】求出四邊形SPQR是平行四邊形，推出SR＝PQ，PS＝QR，證三角形全等得出SR＝PQ，RQ＝PS，根據(jù)相似求出DS，根據(jù)勾股定理求出即RS，RQ，PQ，SP即可．
【解答】解：∵入射角與反射角相等，
∴∠BQR＝∠AQP，∠APQ＝∠SPD，∠CSR＝∠DSP，∠CRS＝∠BRQ，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠DPS+∠DSP＝90°，∠AQP+∠APQ＝90°，
∴∠DSP＝∠AQP＝∠CSR＝∠BQR，
∴∠RSP＝∠RQP，
同理∠SRQ＝∠SPQ，
∴四邊形SPQR是平行四邊形，
∴SR＝PQ，PS＝QR，
在△DSP和△BQR中
∴△DSP≌△BQR，
∴BR＝DP＝3，BQ＝DS，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，BC＝AD＝15，
∴AQ＝8﹣DS，AP＝15﹣3＝12，
∵∠SPD＝∠APQ，
∴△SDP∽△QAP，
∴＝
∴＝，
DS＝，
在Rt△DSP中，由勾股定理得：PS＝QR＝＝，
同理PQ＝RS＝，
∴QP+PS+SR+QR＝2×+2×＝34，
故答案為：34．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形性質(zhì)和判定，矩形性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，有一定的難度．
題型7：矩形中的折疊問題
例11.如圖所示，在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，把矩形折疊使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，
求折疊EF的長(zhǎng)．
O
【答案】
【解析】聯(lián)結(jié)AC交EF于O，連接CE
∵矩形折疊使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，∴．
設(shè)，則
在直角△中，，解得：
由勾股定理可得：．
∵矩形ABCD，∴
在直角△中，，解得：
∴．
【總結(jié)】考察折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理的綜合運(yùn)用．
例12.如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)處，
交AB于點(diǎn)F，則重疊部分△AFC的面積為 ________．
【答案】10
【解析】∵將矩形沿AC折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)處，
∴
∵，∴
∴，∴
∴設(shè)，則
在直角△中，，解得：
∴
【總結(jié)】考察折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理的綜合運(yùn)用．
題型8：計(jì)算矩形中陰影部分面積
例13.矩形ABCD中，橫向陰影部分是長(zhǎng)方形，另一部分是平行四邊形，依照?qǐng)D中標(biāo)注的數(shù)據(jù)，圖中空白部分的面積為 ab﹣bc﹣ac+c2 ．
【分析】先求出矩形的面積（ab），再求出陰影部分的面積（ac和bc），兩塊交叉的部分面積是c2，根據(jù)圖形求出即可．
【解答】解：∵矩形ABCD的面積是ab，
陰影部分的面積是：ac+bc﹣c2，
∴圖中空白部分的面積是：ab﹣（ac+bc﹣c2）＝ab﹣bc﹣ac+c2．
故答案為：ab﹣bc﹣ac+c2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，整式的運(yùn)算的應(yīng)用，注意：兩塊陰影部分的交叉處的面積是c2，題目比較好，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目．
題型9：矩形中的動(dòng)態(tài)問題
例14如圖，已知在矩形ABCD中，AB＝2，，點(diǎn)P是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP，點(diǎn)C關(guān)于直線BP的對(duì)稱點(diǎn)為C1，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C1也隨之運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，則線段CC1掃過(guò)的區(qū)域的面積是 4π+3 ．
【分析】當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A時(shí)，作出點(diǎn)C關(guān)于BP的對(duì)稱點(diǎn)C'，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D時(shí)，作出點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)C''，從而得到點(diǎn)C1的運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)而得到線段CC1的掃過(guò)的區(qū)域，連接C''C，BD，由AB＝2，BC＝2求得tan∠DBC的值，得到∠DBC的大小，進(jìn)而得到∠C''AC的大小，從而求得扇形BC'C''的面積，過(guò)點(diǎn)C''作C''F⊥BC于點(diǎn)F，通過(guò)解直角三角形求得C''F的長(zhǎng)，進(jìn)而得到△C''CB的面積，即可得到線段CC1掃過(guò)的區(qū)域的面積．
【解答】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A時(shí)，作出點(diǎn)C關(guān)于BP的對(duì)稱點(diǎn)C'，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D時(shí)，作出點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)C''，連接C''C，BD，
∴點(diǎn)C1的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)B為圓心，以BC長(zhǎng)為半徑的圓弧C'C''，
∴線段CC1的掃過(guò)的區(qū)域面積為扇形BC'C''的面積和△BC''C的面積之和，
∵AB＝2，BC＝2，
∴tan∠DBC，
∴∠DBC＝30°，
∴∠C''BC＝2∠DBC＝60°，
∴∠C'BC''＝120°，
∴扇形BC'C''的面積為：?π?BC2＝×π×（2）2＝4π，
過(guò)點(diǎn)C''作C''F⊥BC于點(diǎn)F，
∴C''F＝BC''sin∠C''BC＝2×sin60°＝3，
∴S△C''CB＝＝3，
∴線段CC1掃過(guò)的區(qū)域的面積為4π+3，
故答案為：4π+3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，解直角三角形，與圓有關(guān)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵熟練應(yīng)用軸對(duì)稱的性質(zhì)得到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)而得到線段CC1掃過(guò)的區(qū)域．
例15．如圖，在△ABC中，AB＝AC．將△ABC沿著BC方向平移得到△DEF，其中點(diǎn)E在邊BC上，DE與AC相交于點(diǎn)O．
（1）求證：△OEC為等腰三角形；
（2）連接AE、DC、AD，當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，四邊形AECD為矩形，并說(shuō)明理由．
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠ACB，根據(jù)平移得出AB∥DE，求出∠B＝∠DEC，再求出∠ACB＝∠DEC即可；
（2）求出四邊形AECD是平行四邊形，再求出四邊形AECD是矩形即可．
【解答】（1）證明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵△ABC平移得到△DEF，
∴AB∥DE，
∴∠B＝∠DEC，
∴∠ACB＝∠DEC，
∴OE＝OC，
即△OEC為等腰三角形；
（2）解：當(dāng)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECD是矩形，
理由是：∵AB＝AC，E為BC的中點(diǎn)，
∴AE⊥BC，BE＝EC，
∵△ABC平移得到△DEF，
∴BE∥AD，BE＝AD，
∴AD∥EC，AD＝EC，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∵AE⊥BC，
∴四邊形AECD是矩形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定、平移的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
【方法三】差異對(duì)比法
易錯(cuò)點(diǎn)1判斷矩形的條件不足
1.下列命題中真命題是（ ）
A．對(duì)角線互相垂直的四邊形是矩形 B．對(duì)角線相等的四邊形是矩形；
C．四條邊都相等的四邊形是矩形； D．四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形是矩形；
【答案】D
【解析】證明矩形的方法有3種：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；有一個(gè)內(nèi)角為90°的
平行四邊形是矩形；有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．A、B、C都不能證明矩形．
【總結(jié)】考察矩形的證明方法
2.已知四邊形是平行四邊形，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，那么下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．當(dāng)AB=BC時(shí)，四邊形是矩形
B．當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形
C．當(dāng)OA=OB時(shí)，四邊形是矩形
D．當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形
【答案】C
【解析】C答案中，當(dāng)OA=OB時(shí)，可知四邊形的對(duì)角線相等，則可得平行四邊形是矩形．
【總結(jié)】考察矩形的證明方法．
【方法四】 仿真實(shí)戰(zhàn)法
考法1矩形性質(zhì)的應(yīng)用
1．（2022?無(wú)錫）菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（ ）
A．對(duì)邊平行B．對(duì)角線互相平分
C．對(duì)角線互相垂直D．對(duì)角互補(bǔ)
【分析】根據(jù)矩形，菱形的性質(zhì)即可解答．
【解答】解：對(duì)邊平行，對(duì)角線互相平分是矩形，菱形都具有的性質(zhì)，故A，B不符合題意，
對(duì)角互補(bǔ)是矩形具有，而菱形不具有的性質(zhì)，故D不符合題意；
菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是對(duì)角線互相垂直，故C符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握矩形對(duì)角線相等，菱形對(duì)角線互相垂直．
2．（2022?西寧）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝7，點(diǎn)E在AB邊上，AE＝5．若點(diǎn)P是矩形ABCD邊上一點(diǎn)，且與點(diǎn)A，E構(gòu)成以AE為腰的等腰三角形，則等腰三角形AEP的底邊長(zhǎng)是 5或4 ．
【分析】分情況討論：①當(dāng)AP＝AE＝5時(shí)，則△AEP是等腰直角三角形，得出底邊PE＝AE＝5即可；
②當(dāng)P1E＝AE＝5時(shí)，求出BE，由勾股定理求出P1B，再由勾股定理求出底邊AP1即可．
【解答】解：如圖所示，
①當(dāng)AP＝AE＝5時(shí)，
∵∠BAD＝90°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴底邊PE＝AE＝5；
②當(dāng)P1E＝AE＝5時(shí)，
∵BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝3，∠B＝90°，
∴P1B＝，
∴底邊AP1＝；
綜上所述：等腰三角形AEP1的底邊長(zhǎng)為5或4；
故答案為：5或4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)和等腰三角形的判定，進(jìn)行分類討論是解決問題的關(guān)鍵．
3．（2022?吉林）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在對(duì)角線AC上，且AF＝AC，連接EF．若AC＝10，則EF＝ ．
【分析】由AF＝AC可得點(diǎn)F為AO中點(diǎn)，從而可得EF為△AOD的中位線，進(jìn)而求解．
【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝OC＝AC，AC＝BD＝10，
∵AF＝AC，
∴AF＝AO，
∴點(diǎn)F為AO中點(diǎn)，
又∵點(diǎn)E為邊AD的中點(diǎn)，
∴EF為△AOD的中位線，
∴EF＝OD＝BD＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握三角形的中位線的性質(zhì)．
4．（2022?邵陽(yáng)）已知矩形的一邊長(zhǎng)為6cm，一條對(duì)角線的長(zhǎng)為10cm，則矩形的面積為 48 cm2．
【分析】利用勾股定理列式求出另一邊長(zhǎng)，然后根據(jù)矩形的面積公式列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【解答】解：∵長(zhǎng)方形的一條對(duì)角線的長(zhǎng)為10cm，一邊長(zhǎng)為6cm，
∴另一邊長(zhǎng)＝＝8cm，
∴它的面積為8×6＝48cm2．
故答案為：48．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，利用勾股定理列式求出另一邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
5．（2022?鄂州）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD．
（1）求證：DF＝CF；
（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面積．
【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得OC＝OD，得∠ACD＝∠BDC，再證∠CDF＝∠DCF，即可得出結(jié)論；
（2）證△CDF是等邊三角形，得CD＝DF＝6，再證△OCD是等邊三角形，得OC＝OD＝6，則BD＝2OD＝12，然后由勾股定理得BC＝6，即可解決問題．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，
∴OC＝OD，
∴∠ACD＝∠BDC，
∵∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD，
∴∠CDF＝∠DCF，
∴DF＝CF；
（2）解：由（1）可知，DF＝CF，
∵∠CDF＝60°，
∴△CDF是等邊三角形，
∴CD＝DF＝6，
∵∠CDF＝∠BDC＝60°，OC＝OD，
∴△OCD是等邊三角形，
∴OC＝OD＝6，
∴BD＝2OD＝12，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴BC＝＝＝6，
∴S矩形ABCD＝BC?CD＝6×6＝36．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（2022?哈爾濱）已知矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，連接BE，CE，OE，且BE＝CE．
（1）如圖1，求證：△BEO≌△CEO；
（2）如圖2，設(shè)BE與AC相交于點(diǎn)F，CE與BD相交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中的四個(gè)三角形（△AEF除外），使寫出的每個(gè)三角形的面積都與△AEF的面積相等．
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OB＝OC＝OA＝OD，再利用SSS可證△BEO≌△CEO，即可解答；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠BAD＝∠CDA＝90°AB∥CD，AB＝DC，從而可證Rt△BAE≌Rt△CDE，進(jìn)而可得∠AEB＝∠DEC，AE＝DE，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠OEA＝∠OED＝90°，從而可得AB∥OE∥CD，進(jìn)而可得△AEO的面積＝△BEO的面積，△DEO的面積＝△COE的面積，然后利用等式的性質(zhì)可得△AEF的面積＝△BFO的面積，△DHE的面積＝△CHO的面積，再證明△AEF≌△DEH，從而可得△AEF的面積＝△DHE的面積＝△CHO的面積，最后利用線段中點(diǎn)和平行線證明8字模型全等三角形△AEF≌△DEG，即可解答．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，
∴OB＝OC＝OA＝OD，
∵BE＝CE，OE＝OE，
∴△BEO≌△CEO（SSS）；
（2）解：△DHE，△CHO，△DEG，△BFO都與△AEF的面積相等，
理由：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠CDA＝90°AB∥CD，AB＝DC，
∵BE＝CE，
∴Rt△BAE≌Rt△CDE（HL），
∴∠AEB＝∠DEC，AE＝DE，
∵OA＝OD，
∴∠OEA＝∠OED＝90°，
∴∠BAD＝∠OED＝90°，∠ADC＝∠AEO＝90°，
∴AB∥OE，DC∥OE，
∴△AEO的面積＝△BEO的面積，△DEO的面積＝△COE的面積，
∴△AEO的面積﹣△EFO的面積＝△BEO的面積﹣△EFO的面積，△DEO的面積﹣△EHO的面積＝△COE的面積﹣△EHO的面積，
∴△AEF的面積＝△BFO的面積，△DHE的面積＝△CHO的面積，
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴△AEF≌△DEH（ASA），
∴△AEF的面積＝△DHE的面積＝△CHO的面積，
∵DG∥AC，
∴∠G＝∠AFE，∠GDE＝∠FAE，
∴△AEF≌△DEG（AAS），
∴△AEF的面積＝△DEG的面積，
∴△DHE，△CHO，△DEG，△BFO都與△AEF的面積相等．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
考法2矩形的判定
7．（2022?聊城）要檢驗(yàn)一個(gè)四邊形的桌面是否為矩形，可行的測(cè)量方案是（ ）
A．測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線是否相等
B．度量?jī)蓚€(gè)角是否是90°
C．測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線的交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是否相等
D．測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否分別相等
【分析】由平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A、測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線是否相等，不能判定為平行四邊形，更不能判定為矩形，故選項(xiàng)A不符合題意；
B、度量?jī)蓚€(gè)角是否是90°，不能判定為平行四邊形，更不能判定為矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；
C、測(cè)量對(duì)角線交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是否都相等，可以判定是否為矩形，故選項(xiàng)C符合題意；
D、測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否相等，可以判定為平行四邊形，故選項(xiàng)D不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟記“對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形”是解題的關(guān)鍵．
8．（2022?恩施州）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以相同的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s），下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)t＝4s時(shí)，四邊形ABMP為矩形
B．當(dāng)t＝5s時(shí)，四邊形CDPM為平行四邊形
C．當(dāng)CD＝PM時(shí)，t＝4s
D．當(dāng)CD＝PM時(shí)，t＝4s或6s
【分析】根據(jù)題意，表示出DP，BM，AP和CM的長(zhǎng)，當(dāng)四邊形ABMP為矩形時(shí)，根據(jù)AP＝BM，列方程求解即可；當(dāng)四邊形CDPM為平行四邊形，根據(jù)DP＝CM，列方程求解即可；當(dāng)CD＝PM時(shí)，分兩種情況：①四邊形CDPM是平行四邊形，②四邊形CDPM是等腰梯形，分別列方程求解即可．
【解答】解：根據(jù)題意，可得DP＝tcm，BM＝tcm，
∵AD＝10cm，BC＝8cm，
∴AP＝（10﹣t）cm，CM＝（8﹣t）cm，
當(dāng)四邊形ABMP為矩形時(shí)，AP＝BM，
即10﹣t＝t，
解得t＝5，
故A選項(xiàng)不符合題意；
當(dāng)四邊形CDPM為平行四邊形，DP＝CM，
即t＝8﹣t，
解得t＝4，
故B選項(xiàng)不符合題意；
當(dāng)CD＝PM時(shí)，分兩種情況：
①四邊形CDPM是平行四邊形，
此時(shí)CM＝PD，
即8﹣t＝t，
解得t＝4，
②四邊形CDPM是等腰梯形，
過(guò)點(diǎn)M作MG⊥AD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H，如圖所示：
則∠MGP＝∠CHD＝90°，
∵PM＝CD，GM＝HC，
∴△MGP≌△CHD（HL），
∴GP＝HD，
∵AG＝AP+GP＝10﹣t+，
又∵BM＝t，
∴10﹣t+＝t，
解得t＝6，
綜上，當(dāng)CD＝PM時(shí)，t＝4s或6s，
故C選項(xiàng)不符合題意，D選項(xiàng)符合題意，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，涉及動(dòng)點(diǎn)問題，用含t的代數(shù)式表示出各線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
9．（2022?陜西）在下列條件中，能夠判定?ABCD為矩形的是（ ）
A．AB＝ADB．AC⊥BDC．AB＝ACD．AC＝BD
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A．∵?ABCD中，AB＝AD，
∴?ABCD是菱形，故選項(xiàng)A不符合題意；
B．∵?ABCD中，AC⊥BD，
∴?ABCD是菱形，故選項(xiàng)B不符合題意；
C．?ABCD中，AB＝AC，不能判定?ABCD是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意；
D．∵?ABCD中，AC＝BD，
∴?ABCD是矩形，故選項(xiàng)D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握矩形的判定和菱形的判定是解題的關(guān)鍵．
10．（2022?甘肅）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何輔助線的前提下，要想四邊形ABCD成為一個(gè)矩形，只需添加的一個(gè)條件是 ∠A＝90°（答案不唯一） ．
【分析】先證四邊形ABCD是平行四邊形，再由矩形的判定即可得出結(jié)論．
【解答】解：需添加的一個(gè)條件是∠A＝90°，理由如下：
∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵∠A＝90°，
∴平行四邊形ABCD是矩形，
故答案為：∠A＝90°（答案不唯一）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．（2022?巴中）如圖，?ABCD中，E為BC邊的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，延長(zhǎng)EC至點(diǎn)G，使CG＝CE，連接DG、DE、FG．
（1）求證：△ABE≌△FCE；
（2）若AD＝2AB，求證：四邊形DEFG是矩形．
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)推出AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出∠EAB＝∠CFE，利用AAS即可判定△ABE≌△FCE；
（2）先證明四邊形DEFG是平行四邊形，再證明DF＝EG，即可證明四邊形DEFG是矩形．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB＝∠CFE，
又∵E為BC的中點(diǎn)，
∴EC＝EB，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS）；
（2）∵△ABE≌△FCE，
∴AB＝CF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝DC，
∴DC＝CF，
又∵CE＝CG，
∴四邊形DEFG是平行四邊形，
∵E為BC的中點(diǎn)，CE＝CG，
∴BC＝EG，
又∵AD＝BC＝EG＝2AB，DF＝CD+CF＝2CD＝2AB，
∴DF＝EG，
∴平行四邊形DEFG是矩形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明△ABE≌△FCE是解題的關(guān)鍵．
12．（2022?六盤水）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是矩形？請(qǐng)寫出證明過(guò)程．
【分析】（1）由ASA證△ABE≌△CDF即可；
（2）由（1）可知，∠CAE＝∠ACF，則AE∥CF，再由全等三角形的性質(zhì)得AE＝CF，則四邊形AECF是平行四邊形，然后由等腰三角形的在得∠AEC＝90°，即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵AE平分∠BAC、CF平分∠ACD，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，∠DCF＝∠ACF＝∠ACD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；
（2）解：當(dāng)△ABC滿足AB＝AC時(shí)，四邊形AECF是矩形，理由如下：
由（1）可知，∠CAE＝∠ACF，
∴AE∥CF，
∵△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
又∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴平行四邊形AECF是矩形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定是解題的關(guān)鍵．
13．（2022?十堰）如圖，?ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)．
（1）求證：BE＝DF；
（2）設(shè)＝k，當(dāng)k為何值時(shí)，四邊形DEBF是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)，即可得到BO＝OD，EO＝FO，進(jìn)而得出四邊形BFDE是平行四邊形，進(jìn)而得到BE＝DF；
（2）先確定當(dāng)OE＝OD時(shí)，四邊形DEBF是矩形，從而得k的值．
【解答】（1）證明：如圖，連接DE，BF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BO＝OD，AO＝OC，
∵E，F(xiàn)分別為AO，OC的中點(diǎn)，
∴EO＝OA，OF＝OC，
∴EO＝FO，
∵BO＝OD，EO＝FO，
∴四邊形BFDE是平行四邊形，
∴BE＝DF；
（2）解：當(dāng)k＝2時(shí)，四邊形DEBF是矩形；理由如下：
當(dāng)BD＝EF時(shí)，四邊形DEBF是矩形，
∴當(dāng)OD＝OE時(shí)，四邊形DEBF是矩形，
∵AE＝OE，
∴AC＝2BD，
∴當(dāng)k＝2時(shí)，四邊形DEBF是矩形．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，注意對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
考點(diǎn)3直角三角形斜邊上的中線
14．（2022?永州）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，BD＝2，則BC的長(zhǎng)為（ ）
A．B．2C．2D．4
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半和30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可得到結(jié)論．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，BD＝2，
∴AC＝2BD＝4，
∵∠C＝60°，
∴∠A＝30°，
∴BC＝AC＝2，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊中線，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（2022?杭州）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AM上，EF⊥AC于點(diǎn)F，連接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．
（1）求證：CE＝CM．
（2）若AB＝4，求線段FC的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得MC＝MA＝MB，根據(jù)外角的性質(zhì)可得∠MEC＝∠A+∠ACE，∠EMC＝∠B+∠MCB，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得證；
（2）根據(jù)CE＝CM先求出CE的長(zhǎng)，再解直角三角形即可求出FC的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，
∴MC＝MA＝MB，
∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B，
∵∠A＝50°，
∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°，
∴∠EMC＝∠MCB+∠B＝80°，
∵∠ACE＝30°，
∴∠MEC＝∠A+∠ACE＝80°，
∴∠MEC＝∠EMC，
∴CE＝CM；
（2）解：∵AB＝4，
∴CE＝CM＝AB＝2，
∵EF⊥AC，∠ACE＝30°，
∴FC＝CE?cs30°＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，涉及三角形外角的性質(zhì)，解直角三角形等，熟練掌握并靈活運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
考法4矩形的性質(zhì)與判定
16．（2022?云南）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BE與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接AF，∠BDF＝90°．
（1）求證：四邊形ABDF是矩形；
（2）若AD＝5，DF＝3，求四邊形ABCF的面積S．
【分析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，得∠BAE＝∠FDE，而點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，可得△BEA≌△FED（ASA），即知EF＝EB，從而四邊形ABDF是平行四邊形，又∠BDF＝90°，即得四邊形ABDF是矩形；
（2）由∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，得AF＝＝＝4，S矩形ABDF＝DF?AF＝12，四邊形ABCD是平行四邊形，得CD＝AB＝3，從而S△BCD＝BD?CD＝6，即可得四邊形ABCF的面積S為18．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BA∥CD，
∴∠BAE＝∠FDE，
∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，
∴AE＝DE，
在△BEA和△FED中，
，
∴△BEA≌△FED（ASA），
∴EF＝EB，
又∵AE＝DE，
∴四邊形ABDF是平行四邊形，
∵∠BDF＝90°．
∴四邊形ABDF是矩形；
（2）解：由（1）得四邊形ABDF是矩形，
∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，
∴AF＝＝＝4，
∴S矩形ABDF＝DF?AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD＝AB＝3，
∴S△BCD＝BD?CD＝×4×3＝6，
∴四邊形ABCF的面積S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18，
答：四邊形ABCF的面積S為18．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及矩形的判定，全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用等，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形判定定理，證明△BEA≌△FED．
17．（2022?德陽(yáng)）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿BD方向以2cm/s向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)E從點(diǎn)H出發(fā)沿HD方向以1cm/s向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s），且0＜t＜3，過(guò)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，連結(jié)EF．
（1）求證：四邊形EFGH是矩形；
（2）連結(jié)FC，EC，點(diǎn)F，E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△BFC與△DCE是否能夠全等？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理得到EH∥FG，由題意知BF＝2tcm，EH＝tcm，推出四邊形EFGH是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到四邊形EFGH是矩形；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠ABC＝60°，AB＝2cm，求得∠ADC＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝2cm，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵EH⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，
∴EH∥FG，
由題意知BF＝2tcm，EH＝tcm，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴FG＝BF＝tcm，
∴EH＝FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∵∠FGH＝90°，
∴四邊形EFGH是矩形；
（2）△BFC與△DCE能夠全等，
理由：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝2cm，AB∥CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∠DCH＝∠ABC＝60°，
∵DH⊥BC，
∴∠CHD＝90°，
∴∠CDH＝90°﹣60°＝30°＝∠CBF，
在Rt△CDH中，cs∠CDH＝，
∴DH＝2×＝3，
∵BF＝2tcm，
∴EH＝tcm，
∴DE＝（3﹣t）cm，
∴當(dāng)BF＝DE時(shí)，△BFC≌△DEC，
∴2t＝3﹣t，
∴t＝1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
【方法五】 成果評(píng)定法
一、單選題
1．（2023·河南平頂山·統(tǒng)考一模）下列敘述錯(cuò)誤的是（ ）
A．平行四邊形的對(duì)角線互相平分B．矩形的對(duì)角線相等
C．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形D．對(duì)角線相等的四邊形是矩形
【答案】D
【分析】由平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、∵平行四邊形的對(duì)角線互相平分，
∴選項(xiàng)A不符合題意；
B、∵矩形的對(duì)角線相等，
∴選項(xiàng)B不符合題意；
C、∵對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，
∴選項(xiàng)C不符合題意；
D、∵對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形，
∴選項(xiàng)D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·廣東珠?！そy(tǒng)考一模）將一張矩形紙片對(duì)折兩次，然后沿圖中虛線剪下，得到①和②兩部分，如圖所示，則將①展開后得到的平面圖形是（ ）
A．三角形B．矩形C．菱形D．梯形
【答案】C
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到展開圖的對(duì)角線互相垂直平分，即可得到答案；
【詳解】解：由折疊可得，①展開后的對(duì)角線互相垂直平分，
故展開圖是菱形，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)及菱形的判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)折疊有全等得到展開圖對(duì)角線的關(guān)系．
3．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）如圖，菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，連接，若菱形的面積為，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．3B．C．D．2
【答案】D
【分析】根據(jù)菱形的面積公式求出的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半直接求出．
【詳解】解：菱形的面積為，
可得，解得，
∴在中，．
故選：D
【點(diǎn)睛】此題考查菱形的性質(zhì)和 直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是菱形的面積公式為兩條對(duì)角線的乘積的一半．
4．（2023·安徽·校聯(lián)考一模）如圖，菱形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，連接，點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，連接，若，菱形的面積為48，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，由菱形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半，可計(jì)算出的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理即可求得的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得出答案．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，
又，
，
解得，
，
，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，
∴在與中，
，，
，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形及直角三角形的性質(zhì)，合理應(yīng)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．
5．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E是中點(diǎn)，連接，作于F，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：如圖，連接．
∵四邊形是矩形，
∴，，，
∵點(diǎn)是中點(diǎn)，
∴，
在中，，
∵，
∴．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用面積法解決有關(guān)線段問題，屬于中考?？碱}型．
6．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖矩形由矩形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角得到，點(diǎn)C在邊上，過(guò)點(diǎn)E作平行線得矩形，則要知道矩形的面積只需知道（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如圖，過(guò)C作于，依題意得：均為矩形，結(jié)合矩形的性質(zhì)得，依據(jù)轉(zhuǎn)換可得，即可求解．
【詳解】解：如圖，過(guò)C作于，
依題意得：均為矩形，
由矩形性質(zhì)可知，
，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是有矩形的性質(zhì)得到．
二、填空題
7．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，．以點(diǎn)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)(異于點(diǎn))，連接，則的長(zhǎng)為______．
【答案】/
【分析】過(guò)點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，，是等腰直角三角形，根據(jù)作圖可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
則四邊形是矩形，
∴，
∵在中，，,
∴，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
根據(jù)作圖可知，
∴，
∴
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握基本作圖，以及以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）如圖，矩形，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接，在上取一點(diǎn)F，連接，過(guò)F作的垂線交于點(diǎn)H，若，，，，則的長(zhǎng)是___________．
【答案】4
【分析】由矩形的性質(zhì)以及等角對(duì)等邊可得，，，則是等腰三角形，，如圖，過(guò)作于，于，則四邊形是矩形，則，在中，由勾股定理得，求的值，證明，則，根據(jù)計(jì)算求解即可．
【詳解】解：由矩形的性質(zhì)可知，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如圖，過(guò)作于，于，則四邊形是矩形，
∵是等腰三角形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，，
∴，
∵，
∴
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
9．（2023·天津·校聯(lián)考一模）如圖，矩形對(duì)角線相交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連接，F(xiàn)為的中點(diǎn)，．若，，則的長(zhǎng)為______．
【答案】2
【分析】如圖，連接，是的中位線，則，，，在中，由勾股定理求的值，由矩形的性質(zhì)可得，根據(jù)，求解的值即可．
【詳解】解：如圖，連接，
由題意知，是的中位線，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
由矩形的性質(zhì)可得，
∴，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了中位線，勾股定理，矩形的性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于添加輔助線，構(gòu)造中位線．
10．（2023·黑龍江哈爾濱·校考一模）如圖，矩形中，為對(duì)角線，是上一點(diǎn)，連接，，，，則的長(zhǎng)為________．
【答案】
【分析】連接交于點(diǎn)，先求得，再利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：連接交于點(diǎn)，
∵四邊形是矩形，，
∴，，，，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理以及等角對(duì)等邊，熟練掌握矩形的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
11．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）如圖，菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，，點(diǎn)P為邊上一點(diǎn)，且P不與B、C重合．過(guò)P作于E，于F，連接，則的最小值等于______．
【答案】2.4
【分析】由菱形的性質(zhì)可得，由勾股定理可求的長(zhǎng)，可證四邊形是矩形，可得時(shí)，有最小值，由面積法可求解．
【詳解】解：連接，如圖所示：
∵四邊形是菱形，，
∴，
在中，
∴,
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵當(dāng)時(shí)，有最小值，
此時(shí)
，
∴的最小值為2.4，
故答案為：2.4．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
12．（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，，點(diǎn)P在的內(nèi)部，，D是的中點(diǎn)，連接．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為______．
【答案】4或
【分析】分三種情況討論，當(dāng)時(shí)，直接得到；當(dāng)時(shí)，經(jīng)分析此情況不存在；當(dāng)時(shí)，證明，推出，利用含30度的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求解．
【詳解】解：在中，，，，
∴，，
∵D是的中點(diǎn)，
∴，
連接，
∵D是的中點(diǎn)，
∴，
分三種情況討論，
當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，
∴；
當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，
∵，點(diǎn)P在的內(nèi)部，
∴情況不存在，舍去；
當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，
延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
綜上，的長(zhǎng)為4或．
故答案為：4或．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題是解題的關(guān)鍵．
13．（2023·四川成都·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)學(xué)“折向未來(lái)”的活動(dòng)課上，小明用如圖所示的長(zhǎng)方形紙片折四邊形，，點(diǎn)E，G分別是邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F，H分別是邊上的點(diǎn)，且，連接．將，分別沿，翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，則______cm；當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，連接，若為直角三角形，則四邊形的面積為______．
【答案】 或
【分析】當(dāng)點(diǎn)B′落在線段上時(shí)，如圖1，先證明，再利用勾股定理可得的長(zhǎng)，從而得的長(zhǎng)即可；當(dāng)點(diǎn)B′在內(nèi)部時(shí)，若為直角三角形，存在兩種情況：①如圖3，，根據(jù)平行四邊形的面積=底×高可得結(jié)論；②如圖4，，由圖1可知此時(shí)在上，在上，根據(jù)矩形的面積=長(zhǎng)×寬可得結(jié)論．
【詳解】當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，如圖1，
由折疊得：，
∵點(diǎn)E，G分別是邊上的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
由勾股定理得：，
∵E是的中點(diǎn)，
∴，
∴；
如圖2，連接，
∵，
∴，
∴，
由折疊得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，若為直角三角形，存在兩種情況：
①如圖3，，
∵，
∴，
∵，
∴共線，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，同理得：，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴四邊形的面積為．
②如圖4，，由圖1可知此時(shí)在上，在上，
∴，
∴四邊形的面積為．
故答案為：，或．
【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角形全等的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想解決問題．
三、解答題
14．（2023春·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于F．
(1)求證：；
(2)連接，當(dāng)時(shí)，若，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)的長(zhǎng)為6
【分析】（1）根據(jù)四邊形是平行四邊形得，則，根據(jù)點(diǎn)E是的中點(diǎn)，得，即可得；
（2）連接，得，根據(jù)，得，，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)由可得，根據(jù)四邊形是平行四邊形可得，則，即可得．
【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，
∴
在和中，
∴；
（2）解：如圖所示，連接，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴
即的長(zhǎng)為6．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．
15．（2023·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）規(guī)定：每個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)的四邊形叫做格點(diǎn)四邊形．在的正方形網(wǎng)格中畫出符合要求的格點(diǎn)四邊形（設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）．
(1)在圖甲中畫出一個(gè)以為邊的平行四邊形，且它的面積等于8；
(2)在圖乙中畫出一個(gè)以為對(duì)角線的矩形，且它的周長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)畫出符合題意的圖形；
（2）利用矩形的性質(zhì)畫出符合題意得圖形即可．
【詳解】（1）解：如圖甲，平行四邊形即為所求（答案不唯一）．
（2）解：如圖乙，矩形即為所求（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、無(wú)理數(shù)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．
16．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖，已知點(diǎn)是矩形中邊的中點(diǎn)，連接．
(1)分別在、邊上求作點(diǎn)、點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在線段上；（請(qǐng)保留作圖痕跡，不需要寫作法）
(2)在（1）的條件下，若，，求．
【答案】(1)見解析
(2)16
【分析】（1）作出的角平分線，交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求；以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求；
（2）連接，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)題意證明，即可得出的長(zhǎng)度，設(shè)，則，根據(jù)，列出方程求解即可．
【詳解】（1）解：如圖：點(diǎn)P、點(diǎn)即為所求；
（2）解：連接，
∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，
∴，
在中，根據(jù)勾股定理可得：，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
設(shè)，則，
在中，根據(jù)勾股定理可得：，
在中，根據(jù)勾股定理可得：，
∴，解得：，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形和輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解．
17．（2022秋·廣東佛山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，與交于點(diǎn)．
(1)求證：四邊形為矩形；
(2)若，，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)線段的和差關(guān)系可得，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，即可得出，可證明四邊形為平行四邊形，根據(jù)即可得結(jié)論；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，可得為直角三角形，利用面積法可求出的長(zhǎng)，即可得答案．
【詳解】（1），
，即，
是平行四邊形，
，，
，
，
四邊形為平行四邊形，
，
，
四邊形為矩形．
（2）四邊形為矩形，
，，
，
∴，
∵，，
，
為直角三角形，，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)及勾股定理的逆定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．
18．（2023春·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，O為矩形的對(duì)角線的中點(diǎn)，過(guò)O作分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．
(1)求證：四邊形是菱形．
(2)若，，求菱形的面積．
【答案】(1)見解析
(2)45
【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)菱形的判定即可得證；
（2）設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，則，在中，利用勾股定理求出的值，然后根據(jù)菱形的面積公式即可得．
【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，
∴，，
，
∵O為矩形的對(duì)角線的中點(diǎn)，
∴，
在和中，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
又，
四邊形是菱形．
（2）解：四邊形是矩形，
，
設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，則，
，
，
在中，，即，
解得，
，
則四邊形的面積為．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
19．（2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考一模）綜合與實(shí)踐：
在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．
在矩形中，E為邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊上一點(diǎn)，連接、，分別將和沿、翻折，點(diǎn)D、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G、H，且C、H、G三點(diǎn)共線．
(1)如圖1，若F為邊的中點(diǎn)，，點(diǎn)G與點(diǎn)H重合，則＝ °，＝ ；
(2)如圖2，若F為的中點(diǎn)，平分，，，求的度數(shù)及的長(zhǎng)；
(3)，，若F為的三等分點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng) ．
【答案】(1)45；2
(2)；
(3)2或
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)，可得出；設(shè)，用x表示出的三條邊，然后根據(jù)勾股定理列出方程，即可得出的長(zhǎng)；
（2）如圖，由折疊性質(zhì)和平分，得出，即可求出的度數(shù)；先證明和是等腰直角三角形，得出，，即可求出的長(zhǎng)；
（3）根據(jù)F為的三等分點(diǎn)，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接，證明，得出，進(jìn)而求出的長(zhǎng)；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接，根據(jù)，計(jì)算即可求出的長(zhǎng)．
【詳解】（1）∵，四邊形是矩形，
∴四邊形是正方形，
∴，，
∵將和沿、翻折，點(diǎn)D、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G、H，
∴，，
∵，
∴，
∵F為的中點(diǎn)，
∴，
∵將和沿、翻折，點(diǎn)D、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G、H，
∴，，
設(shè)，則，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：45；2；
（2）如圖2，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)M，
∵平分，
∴，
由折疊的性質(zhì)可知，，，
∴，
∴，
∵，，
∴和均為等腰直角三角形，
∴，，
∴，
即，
解得．
（3）分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，
如圖3，過(guò)點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接，則四邊形為矩形，，，
由折疊的性質(zhì)可知，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
設(shè)，，，
∴，
解得，
∴．
②當(dāng)時(shí)，
如圖4，過(guò)點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接，則四邊形為矩形，，，
由折疊的性質(zhì)可知，，，
∴，
∵，
∴，，
設(shè)，，，
∵，
∴，
解得，
∴．
綜上可知，的長(zhǎng)為2或．
【點(diǎn)睛】本題主要綜合考查了矩形的折疊問題，涉及到正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，屬于壓軸題，難度較大，熟練掌握并靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．
20．（2023·黑龍江綏化·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在梯形中，，，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向以秒的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向以秒的速度運(yùn)動(dòng)，、分別從、同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．問：
(1)求為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形？
(2)四邊形可能是矩形嗎？如果可能，求出的值；如果不可能，說(shuō)明理由；
(3)四邊形可能是菱形嗎？如果可能，求出的值；如果不可能，說(shuō)明理由．
【答案】(1)當(dāng)秒時(shí)，四邊形是平行四邊形
(2)可能；當(dāng)秒時(shí)，四邊形是矩形
(3)不可能；理由見解析
【分析】（1）根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，表示出，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，即可求出的值；
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，表示出，，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，即可求出的值；
（3）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，證明四邊形是矩形，求出的長(zhǎng)，若四邊形是菱形，則四邊形是平行四邊形，由（1）得：秒時(shí)，四邊形是平行四邊形，求出長(zhǎng)，若，四邊形是菱形，否則不是菱形．
【詳解】（1）解：∵，，動(dòng)點(diǎn)以秒的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)以秒的速度運(yùn)動(dòng)，
∴，，
∵其中一點(diǎn)到端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，
∴最大運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，
∵已知設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，則，，
∴，，
∵當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，，
∴，解得，
∴當(dāng)秒時(shí)，四邊形是平行四邊形．
（2）解：四邊形可能是矩形；
當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，，
∴，解得，
∴當(dāng)秒時(shí)，四邊形是矩形．
（3）解：四邊形不可能是菱形；
過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
∵，
∴，
又∵，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
若四邊形是菱形，則四邊形是平行四邊形，
由（1）得：秒時(shí)，四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴四邊形不可能是菱形．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形和菱形的判定和性質(zhì)及勾股定理，解一元一次方程，根據(jù)題意列出利用數(shù)形結(jié)合的思想列出方程是解答本題的關(guān)鍵．
21．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）【問題發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖①，在邊長(zhǎng)為5的等邊中，點(diǎn)D，E分別是，邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊向右作等邊．
①過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)G，連接．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系；
②當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，求點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)；
【類比探究】
（2）如圖②，矩形中，，，E為上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接和，求的最小值．
【答案】（1）①相等，理由見解析；②4；（2）
【分析】（1）①作交于點(diǎn)Q，可證明是等邊三角形，再證明，則，然后再證明，得；②以為一邊向右作等邊三角形，連接，以為一邊向右作等邊三角形，連接，證明，則，，再說(shuō)明，且，則點(diǎn)F在線段上運(yùn)動(dòng)，即可求出點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為4；
（2）將線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，作射線，連接交于點(diǎn)K，證明，得，說(shuō)明點(diǎn)G在以點(diǎn)L為端點(diǎn)且與平行的射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，線段最短，求出此時(shí)的長(zhǎng)即可．
【詳解】（1）①PE＝DG，
理由：如圖①甲，作交于點(diǎn)Q，
∵是邊長(zhǎng)為5等邊三角形，
∴，，
∴，，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如圖①乙，以為一邊向右作等邊三角形，即，
∵，，
∴，
∴，
∴連接，以為一邊向右作等邊三角形，連接，
則，，
∴，
∴結(jié)合，有，
∴，，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，且，
∴點(diǎn)F在線段上運(yùn)動(dòng)，
∵當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，則點(diǎn)F與點(diǎn)I重合；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)H重合，
∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為4．
（2）如圖②，將線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，作射線，連接交于點(diǎn)K，
∵將繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴點(diǎn)G在以點(diǎn)L為端點(diǎn)且與平行的射線上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)時(shí)，線段最短，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴的最小值是．
【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短等知識(shí)，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
22．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，，，．且．．
(1)直接寫出、、各點(diǎn)的坐標(biāo)： 、 、 ；
(2)如圖1，，，點(diǎn)，在四邊形的邊上，且在第二象限．若是以為直角邊的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，并對(duì)其中一種情況計(jì)算說(shuō)明；
(3)如圖2，為軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)的直線軸，平分交直線于點(diǎn)．為上的點(diǎn)，且，在運(yùn)動(dòng)中的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，求出變化范圍；若不變，求出定值．
【答案】(1)，，，，，
(2)點(diǎn)坐標(biāo)，或，；計(jì)算說(shuō)明見解析
(3)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中的長(zhǎng)度不發(fā)生變化，定值為
【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性，絕對(duì)值的非負(fù)性，得出，，，，，，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，；
（2）如圖，若點(diǎn)在上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合坐標(biāo)系即可求解．若點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，證明，進(jìn)而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解；
（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，得出，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1），
，，
，，，，，，
，，，
，
四邊形是平行四邊形，且
四邊形是矩形，
，，
，；
（2）如圖，若點(diǎn)在上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，，
，且，，
，
，，
，，，
四邊形是矩形，
，且點(diǎn)，
點(diǎn)坐標(biāo)，
如圖，若點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，
，
，且，
，
，
點(diǎn)坐標(biāo)，；
（3）不發(fā)生變化，
如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
平分，
，
，
，，
，
，且，，
，
，，
，，，
，
，
，
點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中的長(zhǎng)度不發(fā)生變化．
【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，矩形的性質(zhì)與判定，坐標(biāo)與圖形，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．

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2 矩形的性質(zhì)與判定

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