一、互斥事件、對立事件與相互獨(dú)立事件


1.互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件；對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者必須有一個發(fā)生.因此對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，對立事件是互斥事件的特殊情況.


2.掌握互斥事件和對立事件的概率公式及應(yīng)用，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).


例1 (1)袋內(nèi)有3個白球和2個黑球，從中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”記為B，否則記為C，那么事件A與B，A與C間的關(guān)系是( )


A.A與B，A與C均相互獨(dú)立


B.A與B相互獨(dú)立，A與C互斥


C.A與B，A與C均互斥


D.A與B互斥，A與C相互獨(dú)立


(2)從1,2,3，…，7這7個數(shù)中任取兩個數(shù)，其中：


①恰有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù)；


②至少有一個是奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)；


③至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；


④至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù).


上述事件中，是對立事件的是( )


A.① B.②④ C.③ D.①③


答案 (1)A (2)C


解析 (1)有放回地摸球，第一次摸球與第二次摸球之間沒有影響.(2)③中“至少有一個是奇數(shù)”，即“兩個奇數(shù)或一奇一偶”，而從1～7中任取兩個數(shù)，根據(jù)取到數(shù)的奇偶性可認(rèn)為共有三個事件：“兩個都是奇數(shù)”、“一奇一偶”、“兩個都是偶數(shù)”，故“至少有一個是奇數(shù)”與“兩個都是偶數(shù)”是對立事件，易知其余都不是對立事件.


反思感悟 事件間的關(guān)系的判斷方法


(1)判斷事件間的關(guān)系時，可把所有的試驗(yàn)結(jié)果寫出來，看所求事件包含哪幾個試驗(yàn)結(jié)果，從而斷定所給事件間的關(guān)系.


(2)對立事件一定是互斥事件，也就是說不互斥的兩事件一定不是對立事件，在確定了兩個事件互斥的情況下，就要看這兩個事件的和事件是不是必然事件，這是判斷兩個事件是否為對立事件的基本方法.判斷互斥事件、對立事件時，注意事件的發(fā)生與否都是對于同一次試驗(yàn)而言的，不能在多次試驗(yàn)中判斷.


(3)判斷兩事件是否相互獨(dú)立，有兩種方法：①直接法；②看P(AB)與P(A)·P(B)是否相等，若相等，則A，B相互獨(dú)立，否則不相互獨(dú)立.


跟蹤訓(xùn)練1 (1)在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動卡”的概率是eq \f(3,10)，那么概率是eq \f(7,10)的事件是( )


A.至多有一張移動卡 B.恰有一張移動卡


C.都不是移動卡 D.至少有一張移動卡


(2)下列事件A，B是相互獨(dú)立事件的是( )


A.一枚硬幣擲兩次，A表示“第一次為正面”，B表示“第二次為反面”


B.袋中有2個白球，2個黑球，不放回地摸球兩次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”


C.擲一枚骰子，A表示“擲出點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，B表示“擲出點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”


D.有一個燈泡，A表示“燈泡能用1 000小時”，B表示“燈泡能用2 000小時”


答案 (1)A (2)A


解析 (1)“至多有一張移動卡”包含“一張移動卡，一張聯(lián)通卡”，“兩張全是聯(lián)通卡”兩個事件，它是“2張全是移動卡”的對立事件，其概率為1－eq \f(3,10)＝eq \f(7,10).


(2)B選項(xiàng)由于是不放回摸球，故事件A與B不相互獨(dú)立，C選項(xiàng)中A與B為對立事件，D選項(xiàng)中事件B受事件A影響，故選A.














二、古典概型


1.古典概型是一種最基本的概率模型，是學(xué)習(xí)其他概率模型的基礎(chǔ)，解題時要緊緊抓住古典概型的兩個基本特征，即有限性和等可能性.在應(yīng)用公式P(A)＝eq \f(m,n)時，關(guān)鍵在于正確理解試驗(yàn)的發(fā)生過程，求出試驗(yàn)的樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)n和事件A的樣本點(diǎn)個數(shù)m.


2.掌握古典概型的概率公式及其應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)素養(yǎng).


例2 袋中裝有除顏色外其他均相同的6個球，其中4個白球、2個紅球，從袋中任取兩球，求下列事件的概率.


(1)A：取出的兩球都是白球；


(2)B：取出的兩球一個是白球，另一個是紅球.


解 設(shè)4個白球的編號為1,2,3,4,2個紅球的編號為5,6.從袋中的6個球中任取2個球，樣本空間Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共15個樣本點(diǎn)，且每個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同.


(1)“從袋中的6個球中任取2球，所取的2球全是白球”為事件A，則A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共含有6個樣本點(diǎn).所以P(A)＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5).


(2)“從袋中的6個球中任取2球，其中一個是白球，另一個是紅球”為事件B，則B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}，共含有8個樣本點(diǎn)，所以P(B)＝eq \f(8,15).


反思感悟 在古典概型中，計算概率的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找到樣本點(diǎn)的數(shù)目，這就需要我們能夠熟練運(yùn)用圖表和樹狀圖，把樣本點(diǎn)一一列出.而有許多試驗(yàn)，它們的可能結(jié)果非常多，以至于我們不可能將所有結(jié)果全部列出，這時我們不妨找找其規(guī)律，算出樣本點(diǎn)的數(shù)目.


跟蹤訓(xùn)練2 某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況，數(shù)據(jù)如下表：(單位：人)





(1)從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個社團(tuán)的概率；


(2)在既參加書法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)A1，A2，A3，A4，A5,3名女同學(xué)B1，B2，B3.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，求A1被選中且B1未被選中的概率.


解 (1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加書法社團(tuán)又未參加演講社團(tuán)的有30人，


故至少參加上述一個社團(tuán)的共有45－30＝15(人)，


所以從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，該同學(xué)至少參加上述一個社團(tuán)的概率為P＝eq \f(15,45)＝eq \f(1,3).


(2)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，其一切可能的結(jié)果組成的樣本空間Ω＝{A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，A5B1，A5B2，A5B3}，共含15個樣本點(diǎn).


根據(jù)題意這些樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等.事件“A1被選中且B1未被選中”所包含的樣本點(diǎn)有A1B2，A1B3，共2個.


所以其概率為P＝eq \f(2,15).


三、相互獨(dú)立事件概率的計算


1.相互獨(dú)立事件的概率通常和互斥事件的概率綜合在一起考查，這類問題具有一個明顯的特征，那就是在題目的條件中已經(jīng)出現(xiàn)一些概率值，解題時先要判斷事件的性質(zhì)(是互斥還是相互獨(dú)立)，再選擇相應(yīng)的公式計算求解.


2.掌握相互獨(dú)立事件的概率公式的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).


例3 某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪，否則被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為eq \f(4,5)，eq \f(3,5)，eq \f(2,5)，且各輪問題能否正確回答互不影響.


(1)求該選手進(jìn)入第三輪才被淘汰的概率；


(2)求該選手至多進(jìn)入第二輪考核的概率.


解 記“該選手正確回答第i輪問題”為事件Ai(i＝1,2,3)，則P(A1)＝eq \f(4,5)，P(A2)＝eq \f(3,5)，P(A3)＝eq \f(2,5).


(1)該選手進(jìn)入第三輪才被淘汰的概率為


P(A1A2eq \x\t(A3))＝P(A1)P(A2)P(eq \x\t(A3))＝eq \f(4,5)×eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))＝eq \f(36,125).


(2)該選手至多進(jìn)入第二輪考核的概率為


P(eq \x\t(A1)＋A1eq \x\t(A2))＝P(eq \x\t(A1))＋P(A1)P(eq \x\t(A2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,5)))＋eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5)))＝eq \f(13,25).


反思感悟 解此類題的步驟如下


(1)標(biāo)記事件.


(2)判斷事件的獨(dú)立性.


(3)分清所涉及的事件及事件狀態(tài)(互斥還是對立).


(4)套用公式.


跟蹤訓(xùn)練3 設(shè)甲、乙、丙三臺機(jī)器是否需要照顧相互之間沒有影響，已知在某一小時內(nèi)，甲、乙都需要照顧的概率為0.05，甲、丙都需要照顧的概率為0.1，乙、丙都需要照顧的概率為0.125.


(1)分別求甲、乙、丙每臺機(jī)器在這一小時內(nèi)需要照顧的概率；


(2)計算這一小時內(nèi)至少有一臺機(jī)器需要照顧的概率.


解 記甲、乙、丙三臺機(jī)器在某一小時內(nèi)需要照顧分別為事件A，B，C，則A，B，C兩兩相互獨(dú)立.


(1)由題意得


P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05，


P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1，


P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125，


∴P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5，


∴甲、乙、丙每臺機(jī)器在這一小時內(nèi)需要照顧的概率分別為0.2,0.25,0.5.


(2)∵A，B，C兩兩相互獨(dú)立，


∴eq \x\t(A)，eq \x\t(B)，eq \x\t(C)兩兩相互獨(dú)立，


∴甲、乙、丙每臺機(jī)器在一個小時內(nèi)都不需要照顧的概率為


P(eq \x\t(A)eq \x\t(B)eq \x\t(C))＝P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))P(eq \x\t(C))＝0.8×0.75×0.5＝0.3，


∴這一小時內(nèi)至少有一臺需要照顧的概率為


P＝1－P(eq \x\t(A)eq \x\t(B)eq \x\t(C))＝1－0.3＝0.7.





1.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋中任取2個球，那么互斥而不對立的事件是( )


A.“至少有一個黑球”與“都是黑球”


B.“至少有一個黑球”與“都是紅球”


C.“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”


D.“恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球”


答案 D


解析 A中的兩個事件是包含關(guān)系，不是互斥事件；B中的兩個事件是對立事件；C中的兩個事件都包含“一個黑球，一個紅球”這一事件，不是互斥關(guān)系；D中的兩個事件是互斥而不對立的關(guān)系.


2.甲、乙兩人下棋，和棋的概率是eq \f(1,2)，乙獲勝的概率是eq \f(1,3)，則下列說法正確的是( )


A.甲獲勝的概率是eq \f(1,6) B.甲不輸?shù)母怕适莈q \f(1,2)


C.乙輸了的概率是eq \f(2,3) D.乙不輸?shù)母怕适莈q \f(1,2)


答案 A


解析 “甲獲勝”是“和棋或乙獲勝”的對立事件，所以“甲獲勝”的概率是P＝1－eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)，故A正確；“乙輸了”等于“甲獲勝”，其概率為eq \f(1,6)，故C不正確；設(shè)事件A為“甲不輸”，則A是“甲勝”、“和棋”這兩個互斥事件的并事件，所以P(A)＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,2)＝eq \f(2,3)(或設(shè)事件A為“甲不輸”，則A是“乙獲勝”的對立事件，所以P(A)＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3))，故B不正確；同理，“乙不輸”的概率為eq \f(5,6)，故D不正確.


3.古代“五行”學(xué)說認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、水、火、土五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機(jī)抽取兩種，則抽取的兩種物質(zhì)不相克的概率為( )


A.eq \f(3,10) B.eq \f(2,5) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,5)


答案 C


解析 從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機(jī)抽取兩種，出現(xiàn)的情況有(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)(水，土)，(火，土)，共10種等可能情況，其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5種，則不相克的也有5種，所以抽取的兩種物質(zhì)不相克的概率為eq \f(1,2).


4.某校高二(1)班甲、乙兩同學(xué)進(jìn)行投籃比賽，他們進(jìn)球的概率分別是eq \f(3,4)和eq \f(4,5)，現(xiàn)甲、乙各投籃一次，恰有一人投進(jìn)球的概率是( )


A.eq \f(1,20) B.eq \f(3,20) C.eq \f(1,5) D.eq \f(7,20)


答案 D


解析 有甲進(jìn)球乙不進(jìn)球，甲不進(jìn)球乙進(jìn)球兩種情況，故所求概率P＝eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))×eq \f(4,5)＝eq \f(7,20).


5.在一個不透明的箱子里裝有5個完全相同的小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5，甲先從箱子中摸出一個小球，記下球上數(shù)字后，再將該小球放回箱子中搖勻，然后乙從該箱子中摸出一個小球.


(1)若甲、乙兩人誰摸出的球上標(biāo)的數(shù)字大誰就獲勝(若數(shù)字相同則為平局)，求甲獲勝的概率；


(2)若規(guī)定：兩人摸到的球上所標(biāo)數(shù)字之和小于6，則甲獲勝，否則乙獲勝，這樣規(guī)定公平嗎？


解 用(x，y)(x表示甲摸到的數(shù)字，y表示乙摸到的數(shù)字)表示甲、乙各摸一球構(gòu)成的樣本點(diǎn)，則樣本點(diǎn)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25個.


(1)設(shè)甲獲勝的事件為A，則事件A包含的樣本點(diǎn)有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10個.


則P(A)＝eq \f(10,25)＝eq \f(2,5).


(2)設(shè)甲獲勝的事件為B，乙獲勝的事件為C.事件B所包含的樣本點(diǎn)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10個.


則P(B)＝eq \f(10,25)＝eq \f(2,5)，所以P(C)＝1－P(B)＝eq \f(3,5).


因?yàn)镻(B)≠P(C)，所以這樣規(guī)定不公平.參加書法社團(tuán)
未參加書法社團(tuán)
參加演講社團(tuán)
8
5
未參加演講社團(tuán)
2
30

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