一、單選題（本大題共8小題）
1．已知平面上三點，則的值為（ ）
A．B．2C．D．4
2．已知，則的虛部是（ ）
A．B．C．D．
3．下列說法中，正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則與不是共線向量
4．在中，若，則的形狀為（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等邊三角形
5．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，則B的大小為（ ）
A．30°B．60°
C．30°或150°D．60°或120°
6．中，，，，PQ為內(nèi)切圓的一條直徑，M為邊上的動點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
7．已知半徑為2的⊙O內(nèi)有一條長度等于半徑的弦AB，若⊙O內(nèi)部（不含圓上）有一動點P，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
8．古希臘數(shù)學(xué)家托勒密在他的名著《數(shù)學(xué)匯編》里給出了托勒密定理，即圓的內(nèi)接凸四邊形的兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.已知為圓的內(nèi)接四邊形ABCD的兩條對角線，，，則面積的最大值為（ ）.
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知向量，，則（ ）
A．
B．若，則
C．與的夾角余弦值為
D．向量在向量上的投影向量為
10．在復(fù)平面內(nèi)，下列說法正確的是（ ）
A．若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則
B．若復(fù)數(shù)z滿足，則
C．已知其中是虛數(shù)單位，則實數(shù)
D．若關(guān)于的方程有實數(shù)解，則或
11．在中，角A、B、C所對的邊的長分別為a、b、c.下列命題中正確的是（ ）
A．若，則一定是鈍角三角形
B．若，則一定是直角三角形
C．若，則一定是銳角三角形
D．若，，則一定是等邊三角形
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知，若A，B，C三點共線，則實數(shù) .
13．已知復(fù)數(shù)滿足方程，則的最小值為 ．
14．費馬點是在三角形中到三個頂點距離之和最小的點，具體位置取決于三角形的形狀，如果三角形的三個內(nèi)角均小于，費馬點是三角形內(nèi)部對三邊張角均為的點；如果三角形有一個內(nèi)角大于或等于，費馬點就是該內(nèi)角所在的頂點.已知中，角所對的邊分別為，為費馬點.若，則的值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知向量，.
(1)若向量，且，求的坐標;
(2)若向量，求實數(shù)的值.
16．已知z為復(fù)數(shù)，和均為實數(shù)，其中是虛數(shù)單位.
(1)求復(fù)數(shù)z和|z|；
(2)若在第四象限，求m的取值范圍.
17．在中，.
(1)若，的面積為，求；
(2)若，
①求的值：
②求面積的最大值；
③求周長的取值范圍.
18．在三角形中，，，，是線段上一點，且，為線段上一點．
(1)若，求x－y的值；
(2)求的取值范圍；
(3)若為線段的中點，直線與相交于點M，求·．
19．如圖，某小區(qū)準備將閑置的一直角三角形地塊開發(fā)成公共綠地，圖中.設(shè)計時要求綠地部分（如圖中陰影部分所示）有公共綠地走道，且兩邊是兩個關(guān)于走道對稱的三角形（和）.現(xiàn)考慮方便和綠地最大化原則，要求點與點均不重合，落在邊上且不與端點重合，設(shè).
（1）若，求此時公共綠地的面積；
（2）為方便小區(qū)居民的行走，設(shè)計時要求的長度最短，求此時綠地公共走道的長度.
參考答案
1．【答案】C
【詳解】由題設(shè)，則.
故選C．
2．【答案】D
【詳解】，，
的虛部為.
故選D.
3．【答案】C
【詳解】對于A，向量的模為非負數(shù)，它們可以比較大小，但向量不可以比較大小，故A錯誤.
對于B，兩個向量的模相等，但方向可以不同，故B錯誤.
對于C，若，則必定共線，故，故C成立.
對于D，當時，它們可以模長不相等，但可以同向或反向，
故與可以為共線向量，故D錯誤.
故選
4．【答案】C
【詳解】由已知及正弦邊角關(guān)系有，則，
三角形中，則或，
所以三角形為等腰三角形或直角三角形.
故選C．
5．【答案】A
【詳解】由正弦定理得，
即，
解得sinB=，
又B為三角形內(nèi)角，所以B=30°或B=150°，
又因為a>b，所以A>B，即B=30°.
故選A.
6．【答案】C
【詳解】由題可知，，所以是直角三角形，，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，解得，
設(shè)內(nèi)切圓圓心為，因為是內(nèi)切圓的一條直徑，
所以，，
則，，
所以，
因為M為邊上的動點，所以；當與重合時，，
所以的取值范圍是，
故選C．
7．【答案】C
【詳解】由，
如下圖示，建立平面直角坐標系，為邊長為2的等邊三角形，關(guān)于軸對稱，
則，設(shè)，且，
則，
所以，而，故，
所以的取值范圍為.
故選C．
8．【答案】C
【詳解】由題意，則，
所以，即，
設(shè)，又，由題意，
所以，故，
又，故，則，
所以，
當且僅當時取等號，故面積的最大值為.
故選C．
9．【答案】BCD
【詳解】A：由，顯然，即，A錯；
B：由，則，對；
C：由，則，對；
D：向量在向量上的投影向量為，對.
故選BCD．
10．【答案】ACD
【詳解】A：，則，對；
B：當時，，而，錯；
C：，則，對；
D：若實數(shù)解為，則，
故，則，可得或，對.
故選ACD．
11．【答案】BD
【詳解】A. 在中，
，
因，則得，故A錯誤；
B. 由正弦定理得，，
則，即，
因，則得，故 B正確；
C. 因，由正弦定理得，，即
，則，則，因，則得，故C錯誤；
D. ，由正弦定理得，因，則，即，得，故D正確.
故選BD．
12．【答案】2
【解析】利用平面向量的共線定理求解即可.
【詳解】由得,因為A，B，C三點共線,故.
13．【答案】
【詳解】復(fù)數(shù)滿足方程，
設(shè)（），
則，在復(fù)平面內(nèi)軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓；
，意義為圓上的點到的距離，
由點與圓的幾何性質(zhì)可知，的最小值為．
14．【答案】
【詳解】由，顯然最大角為，且，
所以為小于的鈍角，且，
所以費馬點在內(nèi)部，且，
所以，
則，
所以，
由.
15．【答案】(1)或
(2)
【詳解】（1）由，，設(shè)，，
又因為，所以，解得，
所以或.
（2）因為，所以，
又因為，，所以，
解得 .
16．【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）設(shè)，依據(jù)題設(shè)，建立方程求出，即可求得z，再求其模；
（2）先求出，再根據(jù)題意建立不等式組，求解即可.
【詳解】（1）設(shè)，則，
由為實數(shù)，得，則，
由為實數(shù)，得，則，
所以，則；
（2），
由在第四象限，得，解得或，
故m的取值范圍為．
17．【答案】(1)；
(2)①；②；③.
【詳解】（1）由題設(shè)及余弦邊角關(guān)系有，
所以，則，且，
在三角形中有，又，可得，
結(jié)合，則；
（2）①由（1）有，則，所以；
②由，當且僅當時取等號，
所以，即面積最大值為；
③由，則，
當且僅當時取等號，所以周長.
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）解：（1）∵，所以
∵，
又，
∴，∴；
（2）解：設(shè)，（）
因為在三角形中，，，，
∴，
∴
；
又，所以，
故的取值范圍為
（3）解：∵三點共線，
∴存在實數(shù)，使得，
∵為的中點，
∴，
又三點共線，∴存在使得，
∴，
∴，解得，
.
19．【答案】(1)；(2).
【詳解】分析：（1）由題意可得，，則；
（2）由題意可得 ，由正弦定理有 ，記，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得時，取最大，最短，則此時.
詳解：（1）由圖得： ∴，
又 ∴ ∴，
∴；
（2）由圖得：且 ，
∴ ，
在中，由正弦定理可得: ，
∴ ，
記
，
又 ，∴ ，
∴時，取最大，最短，則此時.
點睛：解三角形應(yīng)用題的一般步驟
(1)閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．
(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型．
(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．
(4)將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關(guān)單位問題、近似計算的要求等.

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