一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知平面上三點(diǎn)，則的值為（ ）
A. B. 2C. D. 4
【正確答案】C
【分析】應(yīng)用向量的坐標(biāo)表示及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求.
【詳解】由題設(shè)，則.
故選：C
2. 已知，則的虛部是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，由共軛復(fù)數(shù)定義得到，由虛部定義得到結(jié)果.
【詳解】，，
的虛部為.
故選：D.
3. 下列說(shuō)法中，正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則與不是共線向量
【正確答案】C
【分析】根據(jù)向量的模與向量的定義可判斷AB的正誤，根據(jù)共線向量的定義可判斷CD的正誤.
【詳解】對(duì)于A，向量的模為非負(fù)數(shù)，它們可以比較大小，但向量不可以比較大小，故A錯(cuò)誤.
對(duì)于B，兩個(gè)向量的模相等，但方向可以不同，故B錯(cuò)誤.
對(duì)于C，若，則必定共線，故，故C成立.
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，它們可以模長(zhǎng)不相等，但可以同向或反向，
故與可以為共線向量，故D錯(cuò)誤.
故選：
4. 在中，若，則的形狀為（ ）
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形D. 等邊三角形
【正確答案】C
【分析】應(yīng)用正弦邊角關(guān)系及二倍角正弦公式有，結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)得或，即可得答案.
【詳解】由已知及正弦邊角關(guān)系有，則，
三角形中，則或，
所以三角形為等腰三角形或直角三角形.
故選：C
5. 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，則B的大小為（ ）
A. 30°B. 60°
C. 30°或150°D. 60°或120°
【正確答案】A
【分析】先由正弦定理求出sinB=，可得B=30°或B=150°，再由a>b，得A>B，從而可求出B=30°.
【詳解】由正弦定理得，
即，
解得sinB=，
又B為三角形內(nèi)角，所以B=30°或B=150°，
又因?yàn)閍>b，所以A>B，即B=30°.
故選：A.
6. 中，，，，PQ為內(nèi)切圓的一條直徑，M為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】易知是直角三角形，利用等面積法可得內(nèi)切圓半徑，設(shè)內(nèi)切圓圓心為，根據(jù)為直徑，可知，，整理，進(jìn)而根據(jù)的運(yùn)動(dòng)情況來(lái)求解.
【詳解】由題可知，，所以是直角三角形，，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，解得，
設(shè)內(nèi)切圓圓心為，因?yàn)槭莾?nèi)切圓的一條直徑，
所以，，
則，，
所以，
因?yàn)镸為邊上的動(dòng)點(diǎn)，所以；當(dāng)與重合時(shí)，，
所以的取值范圍是，
故選：C
7. 已知半徑為2的⊙O內(nèi)有一條長(zhǎng)度等于半徑的弦AB，若⊙O內(nèi)部（不含圓上）有一動(dòng)點(diǎn)P，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】由向量數(shù)量積的運(yùn)算律有，應(yīng)用坐標(biāo)法求向量數(shù)量積，結(jié)合即可得.
【詳解】由，
如下圖示，建立平面直角坐標(biāo)系，為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，關(guān)于軸對(duì)稱，
則，設(shè)，且，
則，
所以，而，故，
所以的取值范圍為.
故選：C
8. 古希臘數(shù)學(xué)家托勒密在他的名著《數(shù)學(xué)匯編》里給出了托勒密定理，即圓的內(nèi)接凸四邊形的兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.已知為圓的內(nèi)接四邊形ABCD的兩條對(duì)角線，，，則面積的最大值為（ ）.
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】由圓的性質(zhì)及正弦邊角關(guān)系得，從而設(shè)，結(jié)合題設(shè)得到且，最后應(yīng)用三角形面積公式及基本不等式求面積的最大值.
【詳解】由題意，則，
所以，即，
設(shè)，又，由題意，
所以，故，
又，故，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故面積的最大值為.
故選：C
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分或4分.
9. 已知向量，，則（ ）
A.
B. 若，則
C. 與的夾角余弦值為
D. 向量在向量上的投影向量為
【正確答案】BCD
【分析】應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得、判斷A、B；應(yīng)用向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角余弦值判斷C；根據(jù)投影向量的定義及坐標(biāo)運(yùn)算求投影向量判斷D.
【詳解】A：由，顯然，即，A錯(cuò)；
B：由，則，對(duì)；
C：由，則，對(duì)；
D：向量在向量上的投影向量為，對(duì).
故選：BCD
10. 在復(fù)平面內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則
B. 若復(fù)數(shù)z滿足，則
C. 已知其中是虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)
D. 若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，則或
【正確答案】ACD
【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再應(yīng)用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算判斷A；特殊值判斷B；根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)有判斷C；若實(shí)數(shù)解為，結(jié)合已知有求參數(shù)判斷D.
【詳解】A：，則，對(duì)；
B：當(dāng)時(shí)，，而，錯(cuò)；
C：，則，對(duì)；
D：若實(shí)數(shù)解為，則，
故，則，可得或，對(duì).
故選：ACD
11. 在中，角A、B、C所對(duì)的邊的長(zhǎng)分別為a、b、c.下列命題中正確的是（ ）
A. 若，則一定是鈍角三角形
B. 若，則一定是直角三角形
C. 若，則一定是銳角三角形
D. 若，，則一定是等邊三角形
【正確答案】BD
【分析】A B均利用等關(guān)系以及正弦定理化簡(jiǎn)即可；C先用降冪公式，再用化簡(jiǎn)；D正弦定理化簡(jiǎn)，再解方程組.
【詳解】A. 在中，
，
因，則得，故A錯(cuò)誤；
B 由正弦定理得，，
則，即，
因，則得，故 B正確；
C. 因，由正弦定理得，，即
，則，則，因，則得，故C錯(cuò)誤；
D ，由正弦定理得，因，則，即，得，故D正確.
故選：BD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，若A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)______________.
【正確答案】2
分析】
利用平面向量的共線定理求解即可.
【詳解】由得,因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線,故.
故2
本題主要考查了共線向量的性質(zhì)運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題型.
13. 已知復(fù)數(shù)滿足方程，則的最小值為____________．
【正確答案】
【分析】設(shè)復(fù)數(shù)根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知的軌跡為圓；再根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，及的幾何意義即可求得點(diǎn)到圓上距離的最小值，即為的最小值.
【詳解】復(fù)數(shù)滿足方程，
設(shè)（），
則，在復(fù)平面內(nèi)軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓；
，意義為圓上的點(diǎn)到的距離，
由點(diǎn)與圓的幾何性質(zhì)可知，的最小值為，
故答案為.
本題考查了復(fù)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系及距離最值的求法，屬于中檔題.
14. 費(fèi)馬點(diǎn)是在三角形中到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，具體位置取決于三角形的形狀，如果三角形的三個(gè)內(nèi)角均小于，費(fèi)馬點(diǎn)是三角形內(nèi)部對(duì)三邊張角均為的點(diǎn)；如果三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于，費(fèi)馬點(diǎn)就是該內(nèi)角所在的頂點(diǎn).已知中，角所對(duì)的邊分別為，為費(fèi)馬點(diǎn).若，則的值為______.
【正確答案】
【分析】根據(jù)已知求，進(jìn)而有且費(fèi)馬點(diǎn)在內(nèi)部，，再應(yīng)用三角形面積公式列方程得，再由向量數(shù)量積的定義求目標(biāo)式的值.
【詳解】由，顯然最大角為，且，
所以為小于的鈍角，且，
所以費(fèi)馬點(diǎn)在內(nèi)部，且，
所以，
則，
所以，
由.
故
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知向量，.
（1）若向量，且，求的坐標(biāo);
（2）若向量，求實(shí)數(shù)的值.
【正確答案】（1）或
（2）
【分析】（1）利用向量平行和模長(zhǎng)坐標(biāo)表示，列方程求解即可；
（2）根據(jù)向量數(shù)量積的概念和運(yùn)算律求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
由，，設(shè)，，
又因?yàn)?，所以，解得?br>所以或.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，，所以?br>解得 .
16. 已知z為復(fù)數(shù)，和均為實(shí)數(shù)，其中是虛數(shù)單位.
（1）求復(fù)數(shù)z和|z|；
（2）若在第四象限，求m的取值范圍.
【正確答案】（1）；
（2）
【分析】（1）設(shè)，依據(jù)題設(shè)，建立方程求出，即可求得z，再求其模；
（2）先求出，再根據(jù)題意建立不等式組求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)，則，
由為實(shí)數(shù)，得，則，
由為實(shí)數(shù)，得，則，
∴，則；
【小問(wèn)2詳解】
，
由在第四象限，得，解得或，
故m的取值范圍為．
17. 在中，.
（1）若，的面積為，求；
（2）若，
①求的值：
②求面積的最大值；
③求周長(zhǎng)的取值范圍.
【正確答案】（1）；
（2）①；②；③.
【分析】（1）應(yīng)用余弦邊角關(guān)系可得，應(yīng)用余弦定理有，進(jìn)而有，再由面積公式得，結(jié)合已知即可求邊長(zhǎng)；
（2）①應(yīng)用正弦定理有，結(jié)合合比性質(zhì)即可得；②③應(yīng)用基本不等式求范圍，即可得面積最值和周長(zhǎng)范圍.
【小問(wèn)1詳解】
由題設(shè)及余弦邊角關(guān)系有，
所以，則，且，
在三角形中有，又，可得，
結(jié)合，則；
【小問(wèn)2詳解】
①由（1）有，則，所以；
②由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，即面積最大值為；
③由，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以周長(zhǎng).
18. 在三角形中，，，，是線段上一點(diǎn)，且，為線段上一點(diǎn)．
（1）若，求x－y的值；
（2）求的取值范圍；
（3）若為線段的中點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)M，求·．
【正確答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）將化成和后，與已知條件比較得，由此即可求出結(jié)果；
（2）設(shè)，（），將用表示，根據(jù)數(shù)量積公式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，即可求出結(jié)果；
（3）先根據(jù)向量共線和三點(diǎn)共線可知存在實(shí)數(shù)，使得，存在使得，化簡(jiǎn)整理，根據(jù)系數(shù)相等可得，再與進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算即可得到結(jié)果．
【小問(wèn)1詳解】
解：（1）∵，所以
∵，
又，
∴，∴；
【小問(wèn)2詳解】
解：設(shè)，（）
因?yàn)樵谌切沃?，，，?br>∴，
∴
；
又，所以，
故的取值范圍為
【小問(wèn)3詳解】
解：∵三點(diǎn)共線，
∴存在實(shí)數(shù)，使得，
∵為的中點(diǎn)，
∴，
又三點(diǎn)共線，∴存在使得，
∴，
∴，解得，
.
19. 如圖，某小區(qū)準(zhǔn)備將閑置的一直角三角形地塊開發(fā)成公共綠地，圖中.設(shè)計(jì)時(shí)要求綠地部分（如圖中陰影部分所示）有公共綠地走道，且兩邊是兩個(gè)關(guān)于走道對(duì)稱的三角形（和）.現(xiàn)考慮方便和綠地最大化原則，要求點(diǎn)與點(diǎn)均不重合，落在邊上且不與端點(diǎn)重合，設(shè).

（1）若，求此時(shí)公共綠地的面積；
（2）為方便小區(qū)居民的行走，設(shè)計(jì)時(shí)要求的長(zhǎng)度最短，求此時(shí)綠地公共走道的長(zhǎng)度.
【正確答案】(1)；(2).
【詳解】分析：（1）由題意可得，，則；
（2）由題意可得 ，由正弦定理有 ，記，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得時(shí)，取最大，最短，則此時(shí).
詳解：（1）由圖得： ∴，
又 ∴ ∴，
∴；
（2）由圖得：且 ，
∴ ，
在中，由正弦定理可得: ，
∴ ，
記
，
又 ，∴ ，
∴時(shí)，取最大，最短，則此時(shí).
點(diǎn)睛：解三角形應(yīng)用題的一般步驟
(1)閱讀理解題意，弄清問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．
(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題的模型．
(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．
(4)將三角形問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)單位問(wèn)題、近似計(jì)算的要求等.

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