1. 已知復數(shù)，，為虛數(shù)單位，若復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用復數(shù)的減法結合復數(shù)的概念可得出關于實數(shù)的等式，解之即可.
【詳解】由題意可得為純虛數(shù)，則，解得.
故選：C.
2. 如圖所示，D，E為邊BC上的三等分點，且則下列各式中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)三等分點得出向量相等結合向量的方向即可判斷選項.
【詳解】D，E為邊上的三等分點，所以，
所以D選項正確；
若，則不成立，C選項錯誤；
方向不同不能相等，A選項錯誤；
方向相反不能相等，B選項錯誤.
故選：D.
3. 已知向量，，若，則（ ）．
A. B. 2C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)垂直向量的數(shù)量積以及其坐標表示，建立方程，求得參數(shù)，利用模長公式，可得答案.
【詳解】因為，所以，所以，所以．
故選：C．
4. 在中，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關系式、正弦定理來求得正確答案.
【詳解】由于，所以為鈍角，所以，
由正弦定理得.
故選：D
5. 在平行四邊形中，，，，，則（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】以為基底，表示，，結合向量數(shù)量積的概念和運算律可求的值.
【詳解】如圖：
以為基底，則，，.
且，，
所以
故選：D
6. 在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足，則的形狀為（ ）
A. 直角三角形B. 鈍角三角形C. 銳角三角形D. 等腰三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)余弦定理可得，從而可判斷三角形的形狀.
【詳解】由余弦定理得，
化簡得，故，
從而的形狀為鈍角三角形，
故選：B.
7. 已知是單位平面向量，若對任意的，都有，則的最大值為（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可知，單位向量的夾角最小時，正整數(shù)有最大值，利用向量數(shù)量積的定義求出此時的值即可．
【詳解】依題意，設單位向量的夾角為，
因為，
所以則，所以，
根據(jù)題意，正整數(shù)的最大值為，
故選：C.
8. 在中，角，，所對的邊分別為，，．若，，時，則的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
結合同角三角函數(shù)的基本關系可求出，，，由兩角和的正弦公式可求出，結合正弦定理即可求出，進而可求出三角形的面積.
【詳解】因為，且，解得，，
又，所以，
故．
因為，，故，
故．
故選:B．
【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)基本關系，考查了兩角和的正弦公式，考查了正弦定理，考查了三角形的面積公式，屬于中檔題.
二?多選題
9. 已知，下列說法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則中至少有一個為0
C.
D. 若，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】舉反例即可求解A，根據(jù)模長的性質(zhì)即可求解BC，根據(jù)模長公式，即可求解D.
【詳解】對于A,若，滿足，但，故A錯誤，
對于B，由，則或，故中至少有一個為0，B正確，
對于C，，C正確，
對于D，設，,故，故，，故D正確，
故選：BCD
10. 已知平面向量為非零向量，且滿足，則（ ）
A. 夾角的取值范圍是
B. 的取值范圍是
C. 的取值范圍是
D. 的取值范圍是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)已知，設，且在以為圓心，1為半徑的圓上，數(shù)形結合并結合向量數(shù)量積、加減法、模長的幾何意義判斷各項的正誤.
【詳解】由，
若，且在以為圓心，1為半徑的圓上，如下圖示，
由圖，當與圓相切時，即最大，最小顯然為0，
所以，A對；
當為圓與軸的交點時取得最值，結合圖易知，B對；
如圖，若軸，由，
顯然在圓與軸的兩個交點之間運動（含交點），故，而，
所以的取值范圍是，C錯；
如圖，若是中點，則，則，
顯然中點軌跡是以為圓心，為半徑的圓上運動，則，
所以，D對.
故選：ABD
11. 已知不是直角三角形，角的對邊分別為，且，則（ ）
A.
B. 的最小值為4
C. 若，則
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】應用正弦邊角關系得，再由判斷A；應用“1”的代換，討論一正一負或同正，研究最值判斷B；由正余弦定理及已知得、，即可判斷C；由余弦定理、輔助角公式及已知有，進而得到，即可求范圍判斷D.
【詳解】由，則，故，
，A對；
由，
又不是直角三角形，則一正一負或同正，
若一正一負，顯然，此時，最小值不為4；
若同正，則，故，
當且僅當時取等號，顯然等號不能成立，故，
綜上，的最小值不為4，B錯；
由，
而，即，由，則，
所以，C對；
由，
則，且，，
所以，左側(cè)等號在時取得，右側(cè)等號在時取得，
若，則，即，所以，D對.
故選：ACD
三?填空題
12. 設復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的模為______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知根據(jù)復數(shù)的除法運算可得，再根據(jù)復數(shù)的模的運算求解即可.
【詳解】由已知可得，
所以，
所以的模為.
故答案為：.
13. 在中，，點在邊上，，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】若是的中點，連接，易得、、，應用正弦定理及差角正弦公式整理得，即可得.
【詳解】若是的中點，連接，而，則，易得，
由，則，而，
根據(jù)正弦定理知，所以，
所以，即，可得.
故答案為：
14. 勒洛三角形，也稱圓弧三角形，是一種特殊三角形，在建筑、工業(yè)上應用廣泛.如圖所示，分別以正三角形的頂點為圓心，以邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為勒洛三角形.已知正三角形邊長為2，點為勒洛三角形上的一點（除去三點）.記，若對于某個確定的實數(shù)，使得方程成立的點的位置有且只有3處，則此時的__________.
【答案】.
【解析】
【分析】由，可將化為：
，后由圖形結合對稱性可確定點P位置，從而可得答案.
【詳解】注意到.
同理可得.
則
.
因為定值，
則變化僅與有關.
如圖，取三段圓弧中點分別為D，E，F(xiàn)，若點P為不同于D，E，F(xiàn)的點，
由對稱性，可知，
又在上存在使得到相等t的，
則此時，對于某個確定的實數(shù)，使得方程成立的點的位置有6處.
則當點P在點D，E，F(xiàn)時滿足題意.
此時，由題可得，因劣弧所對圓心角為，則優(yōu)弧所對圓心角為，
則優(yōu)弧所對圓周角為，又設，由余弦定理，
則，
則，則，
則,
則.
【點睛】結論點睛：在三角形中，求兩相鄰兩邊對應向量數(shù)量積，常可用結論：
，但使用時要注意符號.
四?解答題
15. 已知復數(shù)在復平面上對應的點分別為.
（1）若，求復數(shù)；
（2）若復數(shù)在復平面上對應的點在第四象限，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)復數(shù)對應坐標寫出復數(shù)的代數(shù)形式，再應用復數(shù)除法求；
（2）根據(jù)已知得，結合對應點所在象限特征列不等式求參數(shù)范圍.
【小問1詳解】
由題設，則
【小問2詳解】
由在第四象限，則.
16. 已知，，．
（1）求與夾角；
（2）若，且，求及．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）利用向量數(shù)量積運算律和數(shù)量積定義即可求出；
（2）根據(jù)向量數(shù)量積運算律得，再平方計算即可.
【小問1詳解】
，
所以，又，所以.
【小問2詳解】
由題意知，
解得，，
，
所以．
17. 在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知．
（1）求角；
（2）若，，求的周長．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理結合兩角差的正弦展開式化簡后再利用特殊角的正切值求出角；
（2）由正弦定理求得，再利用余弦定理求得，即可求得求的周長．
【小問1詳解】
在中，由正弦定理得，
又因為，所以，
因為，所以，
所以，又因為，所以.
【小問2詳解】
在中，由正弦定理，得，
因為，所以，
在中，，
由余弦定理得，即，
所以，所以，
所以，所以周長為.
18. 已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且滿足.
（1）求；
（2）若為線段上的兩個動點，且滿足，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，結合三角恒等變換即可求解，
（2）根據(jù)正弦定理可得的表示，即可利用三角形的面積公式，即可利用三角恒等變換，結合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【小問1詳解】
已知，因為，
所以.
由正弦定理可得.
根據(jù)余弦定理，.
因為，所以.
【小問2詳解】
因為，∴，
∵，∴，
或，
又，所以，故，，
由正弦定理可得，故，
設，其中，則，，
在中，由正弦定理可得，
則，
在中，由正弦定理可得，
則．
∴的面積，
，
∵，∴，即，
∴．
19. 對于平面向量，定義“變換”：，
（1）若向量，，求；
（2）已知，，且與不平行，，，證明：；
（3）若向量，求．
【答案】（1）；
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）將，帶入變換計算可得；
（2）利用變換規(guī)則計算向量數(shù)量積可得，且，，再由面積公式即可得出結論；
（3）利用變換規(guī)則以及三角恒等變換以及可得，即可解得
【小問1詳解】
根據(jù)題意可得，，，
代入變換可得，
即
【小問2詳解】
得，同理可得，
；
所以，
則，
得，
即；
【小問3詳解】
易知
；
且
所以
；
因此
由，
可得，
即,又，
解得．
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于理解新定義的運算規(guī)則，得出任意兩向量之間的關系，再結合三角恒等變換以及向量數(shù)量積的運算規(guī)則即可求解.

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